专题09 直线与椭圆的常考题型总结（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09直线与椭圆的常考题型总结 题型归纳 题型一直线与椭圆的位置关系和交点 题型二直线与椭圆相切的条件 题型三椭圆上的点到直线的距离 题型四弦长的计算与由弦长求参数 题型五中点弦的直线方程 题型六弦的中点坐标与中点轨迹 题型七点差法求高心率 题型专练 题型一：直线与椭圆的位置关系和交点 1.B 2.D 3.C 4.D 5.B 6.C 7.B 题型二：直线与椭圆相切的条件 1.B 2.A 3.x+2y-8=0 4.±V5 5.y=1(答案不唯一，可以为y=-2x+3) 6.9,+o0 号首1 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：椭圆上的点到直线的距离 1.A 3V2+V6 2. 2 3.2V2 4.V6+V2//2+6 2 3926/3926 2 210+2V5 6. 5 258V5 个 5’5 题型四：弦长的计算与由弦长求参数 1.C 14 2.3 3.6 4.4 5.V2x-y+1=0或V2x+y-1=0 6.C 。【答案】+y 2,600 7 【分析】(1)利用己知条件求出c,进而得出a2-b2,结合a=3b求出a2,b2,即得椭圆方程： (2)求出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式求解即可 【解析】(1)椭圆M的左焦点为(-2,0)，∴.c=2,故c2=a2-b2=2, 又.a=V3b,联立解得b2=1,a=3, +y2=1. .椭圆M的方程为：3 (2) B （1,0 1-2 过点 且斜率为的直线1的方程为 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2.1 联立椭圆方程得3+4 x-12=1,整理得7x2-6x-9=0, x1+X27 设Ax1,y1,Bx2,y2,由韦达定理得 X1X2=- .AB)-91+4x 要-4x引 5×122_60 7 7 8.【答案】(3+y=1: (2)R3. 6 【分析】(1)由己知易求得b=1,将1,3 代入椭圆方程可求得a=V3,可求椭圆C的方程： 3V (2)求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得X1+X2= _3 2 ,X1X2=4 进而利用弦 长公式求得弦长AB, 【解析】(1)由椭圆的简单几何性质，可知2b=2,得b=1, 路1,6代入之少，得a=3 t 所以椭圆C的标准方程为3+y=1 (2)由己知可得椭圆的右焦点为V2,0,直线的方程为y=x-V2, 联立椭圆方程，得4x2-6V2x+3=0,△=24>0， 设AX,少小，B到2.所以X+%,=32 3 2,X=4 则1-5W=2*4-52要-4是-5 题型五：中点弦的直线方程 1.A 2.D 3.C 4.B 5.3x+4y-7=0 。9号 7.3x+2y-8=0 315 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8. 【借1暗片1 (2)3x+4y-7=0. 【分析】(1)根据距离公式可得出关于x、y所满足的等式，化简可得点M的轨迹方程： (2)设点Ax1,y1小、BX2,y2)x1≠x2,由点差法求出直线斜率即可由点斜式方程得解 【解析】(1)因为动点Mx,y与定点F1,0的距离和M到直线x=4的距离的比是常数， 北罗-为理时*关 x-42 43 所以曲线C的轨迹方程为4+3 2由题意点P1,1在椭圆X+子1内，且直线的斜率存在且不为0 设点Ax1,y1、Bx2,y2x1≠x2,因为P为线段AB的中点， 营--3，-0风--型 43 所以 +=1 4 3 4 3 43 →k= =-3x+x=-3×2=-3 X1-X2 4y1+y24×24, 所以直线的方程为y=-子x-1+1a3x+4y-7=0 题型六：弦的中点坐标与中点轨迹 1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.A 7.D 题型七：点差法求离心率 415 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.B 2.B 3.D 2 4. 313 5.22 5/5 专题09 直线与椭圆的常考题型总结 题型一 直线与椭圆的位置关系和交点 题型二 直线与椭圆相切的条件 题型三 椭圆上的点到直线的距离 题型四 弦长的计算与由弦长求参数 题型五 中点弦的直线方程 题型六 弦的中点坐标与中点轨迹 题型七 点差法求离心率 题型一：直线与椭圆的位置关系和交点 1．已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出椭圆方程，再与直线方程联立，可得解. 【解析】由题，长轴长为，所以， 由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点. 故选：B 2．直线：与椭圆：的一个交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案. 【解析】由可得，解得或 当时，，当时， 所以直线与椭圆的交点坐标为 故选：D 3．已知，，.则中的元素个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意可知集合是直线上的点的集合，集合是椭圆上的点的集合，因此只需联立方程判断直线和椭圆的交点个数即可. 【解析】因为，， 所以集合是直线上的点的集合，集合是椭圆上的点的集合； 因为，所以若要求中的元素个数，只需联立方程即可； 联立并化简得，， 解得或，即椭圆和直线有两个交点或， 所以中的元素个数是2. 故选：C. 4．直线与椭圆的位置关系为（　　） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 【解析】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 5．已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【解析】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 6．直线与椭圆的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答. 【解析】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C 7．已知两定点，，直线：，在上满足的点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或1或2 【答案】B 【分析】求出点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的点的个数． 【解析】详解： ∵，，∴在以为焦点，为长轴长的椭圆上， 由于，，又，因此， 椭圆方程为， 由，解得,∴点只有一个． 故选：B． 题型二：直线与椭圆相切的条件 1．过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求出斜率，进而求出所求直线方程. 【解析】显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为， 由消去得， 由直线与椭圆相切，得， 整理得，解得， 所以过A点且与直线l垂直的直线方程为，即． 2．直线与椭圆总有交点，则取值范围（　　） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【解析】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 3．若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】先说明直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【解析】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令 ， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 4．已知椭圆，过点作椭圆的两条切线互相垂直，则的值为________． 【答案】 【解析】设过点的椭圆切线方程为，联立椭圆得： ， 则，化简整理得， 方程的两根对应切线的两条斜率，由韦达定理得， 已知两条切线互相垂直，故， 故，解得． 5．已知直线与椭圆相切，写出一条此直线l方程：_________． 【答案】（答案不唯一，可以为） 【分析】求出直线所过定点，设出的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求解. 【解析】由题意得直线，即， 由，解得，即直线恒过定点， 由直线与椭圆相切，得直线不垂直于轴，设其方程为， 由，消去得， 因此，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 6．已知直线与椭圆，若无论k取何值，直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围______. 【答案】 【分析】首先确定直线的定点，再判断定点与圆锥曲线的关系，即可列式求解. 【解析】由于表示椭圆，则且，① 直线恒过定点，若满足题意，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，②，由①②得， 所以的取值范围是 7．已知以，为焦点的椭圆与直线有且只有一个公共点，则这个椭圆的方程是________. 【答案】 【分析】由题可设椭圆方程为，联立直线方程与椭圆方程，根据题意可得，即可求解椭圆方程. 【解析】由题可设椭圆方程为， 联立方程组，消去并整理得. 因为椭圆与直线有且只有一个公共点， 所以，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为：. 题型三：椭圆上的点到直线的距离 1．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案. 【解析】设与l：平行的直线为：， 当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值， 联立与可得，， 由，可得， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为. 故选：A 2．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为______． 【答案】 【分析】取椭圆上任意一点，当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值．求出切线方程，再利用两平行直线间的距离公式即可求解. 【解析】取椭圆上任意一点， 易知当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值． 设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，得， 消去得， 令，解得， 由图可知，当时，点到直线的距离最大，最大值为. 　　 故答案为：. 3．椭圆上的点到直线的距离的最小值为________． 【答案】 【分析】方法一：切线法，将点到直线的距离的最值转化为平行线之间的距离，设与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆联立方程组，由，求得，得解；法2，利用圆锥曲线的参数方程设点，然后用点到直线的距离公式表示出所求距离，结合三角函数的值域求解 【解析】方法一：切线法，设直线与直线的距离为， 将代入，得关于的方程， 所以，解得， 当时，，即所求最小值． 方法二：参数法 设椭圆上任意一点为，， 则点到直线的距离， 当，即时，. 故答案为：. 4．已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最大值为________. 【答案】/ 【分析】找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线，利用平行线的距离公式求距离的最大值. 【解析】要使点到直线的距离最大，只要找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线， 令与平行且与椭圆相切的直线为， 联立，消去整理得， 由，即，解得或， 对于直线，与直线的距离为， 对于直线，与直线的距离为， 所以点到直线的距离最大值为. 故答案为：. 5．已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为______. 【答案】/ 【分析】求出与直线平行的直线方程，离直线较远的直线与的距离即为所求． 【解析】设直线y＝x＋m与椭圆相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0， ∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±， 切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－， ∴所求最大距离为d＝＝. 故答案为： 6．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为______． 【答案】 【分析】求出直线AB的方程为，设与AB平行且与椭圆相切的直线为，联立椭圆方程，利用判别式可求得t的值，再根据平行线间的距离公式即可求得答案. 【解析】由椭圆，可得， 故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为， 代入椭圆方程整理，得， 则，解得， 当时，与之间的距离为； 当时，与间的距离为， 故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为， 故答案为： 7．已知椭圆和直线，则该椭圆上的点到该直线的距离的取值范围为______． 【答案】 【分析】求出与直线平行且与椭圆相切的两直线，则两直线与直线的距离的范围即为该椭圆上的点到该直线的距离的取值范围. 【解析】设直线，则直线与原直线平行， 联立直线方程与椭圆方程，，可得， 令，解得， 当时，此时直线与椭圆相切，且离原直线距离最近， 所以椭圆上离原直线距离最近的点，即是这个切点， 此时最小距离为， 当时，此时直线与椭圆相切，且离原直线距离最远， 所以椭圆上离原直线距离最远的点，即是这个切点， 此时最大距离为 综上，椭圆上的点到原直线的距离范围为． 题型四：弦长的计算与由弦长求参数 1．已知椭圆与直线交于、两点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值. 【解析】设点、，直线的方程可化为， 联立可得，解得，， 由弦长公式可得. 故选：C. 2．已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【答案】 【分析】设，由题设及椭圆第二定义可得答案. 【解析】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 3．椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【答案】6 【分析】先根据离心率以及得到的倍数关系，然后化简椭圆方程并联立直线与椭圆方程，利用韦达定理形式结合弦长公式表示出，由此求解出的值. 【解析】因为，所以，所以，， 所以椭圆方程为，设， 联立直线与椭圆方程得，消去y得， 所以， 由，得， 由弦长公式得：， 所以解得，满足，所以. 4．已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【答案】4 【解析】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． 5．已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为___________. 【答案】或 【分析】首先由题意求椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，代入弦长公式，即可求解. 【解析】由题意得，.∴.∴椭圆方程为. 当直线l的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 联立，得， 恒成立. 设，.∴，. ∴， 即， 解得，∴. ∴直线l的方程为或. 故答案为：或. 6．已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】先由与的关系推导椭圆离心率，结合垂直平分线性质将的周长转化为，再联立直线与椭圆方程利用弦长公式求，即可得到周长. 【解析】由题设，结合椭圆参数关系，得，即, 由椭圆性质得，又，故为等边三角形； 因为过且垂直于，所以是的垂直平分线，因此 ，， 则的周长为， 根据椭圆定义，对椭圆上任意点有，故，， 因此 ， 代入周长表达式得的周长为。 接下来求的值： 直线的斜率，则直线的斜率， 又过 ，则的方程为， 联立与椭圆方程 ，整理得 ， 设，由韦达定理得，， 由弦长公式， 代入数值计算得：， 由题设，得，解得，故的周长为. 7．已知椭圆，左焦点为，且 (1)求M的方程； (2)若过点且斜率为的直线l与M交于A，B两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件求出，进而得出，结合求出，即得椭圆方程； （2）求出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式求解即可． 【解析】（1）椭圆的左焦点为，，故， 又，联立解得，， 椭圆的方程为：． （2） 过点且斜率为的直线l的方程为， 联立椭圆方程得，整理得， 设，由韦达定理得， ． 8．已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，进而利用弦长公式求得弦长. 【解析】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线的方程为， 联立椭圆方程，得， 设，所以， 则. 题型五：中点弦的直线方程 1．已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用点差法，设弦两端点坐标代入椭圆方程作差，利用中点坐标求出弦所在直线斜率，再用点斜式写出直线方程并化简． 【解析】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得， 化简得， 因为，， 所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 2．如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入椭圆，两式相减，得到，结合斜率公式和中点公式，化简得到，即可求解. 【解析】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 3．椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程. 【解析】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C 4．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得 【解析】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 5．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为________． 【答案】 【分析】利用点差法解决中点弦问题，即可求得结果. 【解析】由题意，直线的斜率存在，设，则， 因为点在椭圆上，所以， 两式相减得，，即， 整理得，即， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 故答案为：. 6．已知直线l与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的斜率为__________. 【答案】/ 【分析】利用点差法列方程，整理求得直线的斜率. 【解析】依题意可知，直线的斜率存在. 设直线的斜率为， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为， 所以. 故答案为： 7．已知椭圆C:，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若P为的中点，则直线AB的方程为____. 【答案】 【分析】先由点差法求解直线AB的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【解析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得，所以. 由两式作差得+=0，整理得-， 即·= ，所以 ， 因此直线的方程为，即. 故答案为：. 8．已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据距离公式可得出关于x、y所满足的等式，化简可得点M的轨迹方程； （2）设点、，由点差法求出直线斜率即可由点斜式方程得解. 【解析】（1）因为动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）由题意点在椭圆内，且直线l的斜率存在且不为0， 设点、，因为为线段的中点， 所以 ， 所以直线的方程为即. 　　 题型六：弦的中点坐标与中点轨迹 1．已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程与椭圆方程，消y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得，进而得出中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可. 【解析】由题意知， ，消去y，得， 则，， 所以A、B两点中点的横坐标为：， 所以中点的纵坐标为：， 即线段AB的中点的坐标为. 故选：B 2．已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，为椭圆的右焦点，则，再根据代入数据即可求得答案． 【解析】设，，为椭圆的右焦点， 由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， ∴ ， 同理可得，， 而 ， 即，解得，则的最大值为1. 3．已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的方程，再根据同解可求的值. 【解析】设，，直线的斜率为， 由已知，则，， ，， 两式相减整理得：，故可得：， 故直线， 由可得， 由可得， 由题设，两个方程均有解， 故，故． 4．设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程. 【解析】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 5．直线椭圆相交于两点，则弦的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线代入椭圆的方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理和中点坐标公式求解. 【解析】把直线代入椭圆的方程， 消去x，化简可得，设， 则有，故线段AB的中点的纵坐标是， 把代入直线可得， 故线段AB的中点坐标是. 故选：A. 6．直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程组，求出弦的中点的横坐标，代入直线方程，即可求出纵坐标. 【解析】设弦为,, 由，消去y得，即. ，， 所以弦的中点的横坐标是， 代入直线方程中，得. 所以弦的中点坐标是. 故选：A. 7．若椭圆 的动弦 斜率为 1 ， 则弦中点坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，可设，，弦的中点为，利用中点坐标公式，点差法和斜率公式计算即可. 【解析】解：设椭圆上的两点为，，弦的中点为， 则，，，， 由已知得，，， 两式相减可得：，整理可得， ， 又点在椭圆的内部，所以. 故选：D. 题型七：点差法求离心率 1．已知椭圆： ，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可. 【解析】设，，则，，. 因为点，在椭圆上，所以，. 所以， 所以，即. 又，所以. 又椭圆的离心率，所以. 2．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点， 设，则有，， 两式相减得，则有， 由，，， 所以，得，即， 所以，则椭圆的离心率. 3．若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“对称”求出直线斜率，进而求出中点坐标，利用点差法建立、的关系，即可求出椭圆的离心率. 【解析】因为点关于直线对称，所以直线与直线垂直， 所以. 所以直线的方程为. 设的中点为，则在直线与直线上，则 ，解得，，即. 设，，则，，， 两式相减得，，又， 所以，即，所以. 因为，所以. 故选：D. 4．已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 【答案】 【分析】利用“点差法”以及中点弦即可求解． 【解析】如图所示， 因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，， 又且，则是的中点， 所以，， 又点，在椭圆E上面， 所以，， 两式相减整理得， 即， 所以直线的斜率可以表示为， 又，在直线上， 所以直线的斜率为， 则，解得，即，， 所以，椭圆E的离心率为. 5．直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【解析】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09直线与椭圆的常考题型总结 题型归纳 题型一直线与椭圆的位置关系和交点 题型二直线与椭圆相切的条件 题型三椭圆上的点到直线的距离 题型四弦长的计算与由弦长求参数 题型五中点弦的直线方程 题型六弦的中点坐标与中点轨迹 题型七点差法求高心率 题型专练 题型一：直线与椭圆的位置关系和交点 1.已知椭圆的焦点坐标分别为F-1,0和F21,0,长轴长为4，则直线x+2y-4=0与椭圆的交点个数 为() A.0 B.1 C.2 D.无法确定 3x+y-3=0与椭圆C:6+文1的一个交点坐 ) A.2,3 211V3 13’13 c.-2,33 215V3 13’13 3.已知A=x,yx+y=0,B={x,y川x2+2y2=1,M=AnB.则M中的元素个数是() A.0 B.1 C.2 D.4 4.直线y=kx-1与椭圆4 +y=1的位置关系为() A.与k的值有关 B.相切 118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.相离 D.相交 x 5已知直线的方程为mx+y+2m=1,稀圆C的方程为。+山，则直线与稀圆C的位置关系为 ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 6:直线y=3x二1与椭圆：+ +父=1的公共点的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.无数个 7.已知两定点M0,-1,N0,1,直线l:y=x+V3,在上满足PM+PN=2V2的点P的个数为( A.0 B.1 C.2 D.0或1或2 题型二：直线与椭圆相切的条件 1,过椭圆芩+片=1上的点A3,-1)作精圆的切线，则过A点且与直线1垂直的直线方程为() 124 A.X-y-3=0 B.X+y-2=0 C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0 2.直线y=x+1与椭圆+广=1总有交点，则m取值范围() 5 m A.m≥1且m≠5 B.0<m<5 c.m≥1 D.0<m≤5 3,若过点2,3的直线与椭圆C:6+)1有且仅有一个公共点，则直线的方程为 4。已知精圆父+y1,过点卫Pα，0作椭圆的条切线相垂直，则Q的值为 5.已知直线：(m+1)x-(m-2)y=3与椭圆号+y=1相切，写出一条此直线1方程： 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6。已知直线y=kx+3与椭圆兰+上=1，若无论取何值，直线与精圆恒有公共点，则m的取值范围 5 m 7.已知以F-2,0,F22,0为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且只有一个公共点，则这个椭圆的方 程是 题型三：椭圆上的点到直线的距离 知椭圆C:父+y=1,直线：X-y-40,则椭圆C上的点到直线的距离的最大值是( A. 4V2+V10 4V2-V10 3 B. 2 c.10+2 2 D. 10-V2 2 2.已知稀圆C:芩+y=1.直线：y=X+3,则椭圆C上的点到直线睡离的最大位为 2 3.躺园苦+y产=1上的点到直线x-y+6=0的距腐份袋小位为 4.已知P是椭圆 +y=1上动点，则P点到直线：x+y-23=0的距离的最大值为 ,x,v)是椭圆文+y=1上任意一点，则点P到直线：y=x+213的 94 6.已知椭圆C: 4+y=1的右顶点为A,上项点为B,则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 。已知精圆十y工和直线2X二y+50,则毯圆上的点到该直线的距离的取值为一 题型四：弦长的计算与由弦长求参数 1. 已知椭圆C:兰ty=1与直线1：3x-2y-2=0交于P、Q两点，则lPQ1=() 4 A.3 3V5 B. 2 C.- V21 D.7 2 318 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知稀圆C:+上=1的左焦点为F,过F的直线与稀圆交于A,B两点.若线段AB的中点M的横坐 95 标为-1，则AB= 3稀国若若-1o>b0图浅心丰为要。且精题与我x2y8-0阳交于P.Q限点： |PQ=10,则a= 4.已知直线1y=X+2与椭圆C:+上=1m>0)交于不同的两点4，B,若1AB=32,则实数m= 3m m 5,已知椭圆两顶点A-1,0,B1,0过焦点F0,1的直线1与椭圆交于C,D丙点，当CD=32 时， 直线1的方程为 6. 自知椭圆C:父+1a>b>0的上顶点为A,两个焦点为，，b=3 2a,过F且垂直于AF, 的直线与麓图C交于D,E两点，DE=则△ADE的质长是() A.4 B.8 C.16 D.32 7.己知椭圆M: +号=1(a>b>0),左焦点为-2,0，且a=3b d b (1)求M的方程： (2)若过点(1,0)且斜率为的直线1与M交于A,B两点，求AB. 8.已知椭圆C: :X+上=11a>b>0的短轴长为2，且过点1,3 a2 b2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若经过椭圆C的右焦点F2作倾斜角为45°的直线l,直线l与椭圆C交于A,B两点，求弦长AB. 题型五：中点弦的直线方程 。知椭过。+宇，以M11为中点的弦所在直线方程为（） A.4X+9y-13=0 B.9x+4y-13=0 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.4x-9y+5=0 D.9x-4y-5=0 2.如图，直线1交椭圆E:￥+号=1于A,B两点，分别交X轴正半轴、y辅正半抽于C,D两点，且 43 AC=DB,则直线I的斜率为() 1 A.- 4 c.、3 4 0.3 2 随圆X+=1中，以P1,1为中点的弦所在的直线方程为( A.x+2y+1=0 B.x+2y-3=0 C.X-2y-3=0 D.X-2y+1=0 4.已知M4,2是直线1被椭圆x+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线1的方程为() A.2x+y-8=0 B.X+2y-8=0 C.x-2y-8=0 D.2x-y-8=0 5.若椭圆 +上=1的弦AB哈好被点M1,1)平分，则AB所在的直线方程为 86 6.已知直线I与能同C:苦若-1交于么B两点，者线度.B的中点华标从-3儿则直线的率为 .146 7.已知椭圆C: 可C式+1，过点P2,1的直线交椭圆C于A,B两点，若P为AB的中点，则直线AB的 方程为 ,1 8.己知M是曲线C上的动点，且动点M(x,y与定点F1,0的距离和M到直线x=4的距离的比是常数2： (1)求曲线C的轨迹方程： (2)若过点P1,1的直线和曲线C相交于A,B两点，且P为线段AB的中点，求直线的方程. 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六：弦的中点坐标与中点轨迹 已知直线：y=x+1,椭圆C:}+y=1,若直线1与椭圆C交于4，B两点，则线段4AB的中点 为( ) 13 31 A.4'4 B. 4’4 13 1 C.2'2 2.已知椭圆C:X+兰=1上有两个动点A,B清足AB3,P(X,,为线段AB的中点，则X的最大值 43 为() A.4 B.3 C.2 D.1 + 3.已知圆M:x+1+y-1=rr>0与椭圆：年+3=1交于A,B两点，且线段AB哈好为圆M的直 径，则r2=() A.2 B.2 125 125 C.84 D.96 4,设直线：y=X+m与椭圆E:年+专1相交于A、B两点，当m变化时，线段B的中点所在的直线万 程为() A.y=3x 4 B.y=4 3 c.y=-3 5.直线x+2y-3=0精圆士+兰=1相交于A,B两点，则弦AB的中点坐标为() 84 A.1,1 c.-1,1 D. 6.直线y=x-1被椭圆2x2+y=4所截得的弦的中点坐标是() 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. c分司 7.若椭圆 X+兰=1的动弦AB斜率为1， 则弦中点坐标可能是() 43 A.-3,4 c.-4,3 题型七：点差法求离心率 1. 已知椭圆C: 长-1ob0. 2 斜率为2的直线与椭圆C相交于M,N,MN的中点坐标为 , 则椭圆C的离心率是（) 1 A.2 2 B.2 C.2 D.2 3」 2. 椭圆C:父+a>b>0的右焦点为Fc,0,过点F咀斜率为3的直线交椭圆于A、B限 b2 若M2,V3是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为( ) A.2 2 B.2 3 3 C.3 D.2 若过点5.0的直碳店园。+a>6>0相交于A,B两点，且A,B联于直线x+y-30 称，则该椭圆的离心率为() 2 A. 2 B. 3 3 C.3 D.2 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.已知椭圆E: 。+打O>b>0的右焦点为P飞0，过点P的直线交箱圆于d,B两点，看 M1,-1且OA+OB=2OM,则E的离心率为 5.直：-2y49=0服过米国后长-1ab0的个点r,H与国交于A,B点若为 线段AB中点，MF=OM,则椭圆的离心率为 818