专题03 椭圆的标准方程和几何性质的六种题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题03 椭圆标准方程和几何性质的六种题型 题型一：椭圆定义及应用 题型二：求椭圆的标准方程及参数 题型三：椭圆焦点三角形问题 题型四：椭圆的几何性质 题型五：椭圆的离心率求解及范围 题型六：点和椭圆位置关系的判定及应用 题型一：椭圆定义及应用 1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．1 B．3 C．5 D．13 2．如图，已知椭圆，点是直线上的动点，过右焦点作的垂线交以为直径的圆于两点，则的值是（    ） A．2 B．4 C．3 D． 3．设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 4．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 7．方程的化简结果为（   ） A． B． C． D． 8．已知P为曲线上的动点，，，且，则（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 9．平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 10．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为 . 11．已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则 . 12．方程所表示的曲线是 ． 13．设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 14．如图，已知．动点到点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点，当点在运动时，记点的轨迹为，则的方程为 ，的取值范围为 ． 题型二：求椭圆的标准方程及参数 1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．1 B．3 C．5 D．13 2．如图，已知椭圆，点是直线上的动点，过右焦点作的垂线交以为直径的圆于两点，则的值是（    ） A．2 B．4 C．3 D． 3．设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 4．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 7．方程的化简结果为（   ） A． B． C． D． 8．已知P为曲线上的动点，，，且，则（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 9．平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 10．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为 . 11．已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则 . 12．方程所表示的曲线是 ． 13．设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 14．如图，已知．动点到点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点，当点在运动时，记点的轨迹为，则的方程为 ，的取值范围为 ． 题型三：椭圆焦点三角形问题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 2．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 5．已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 6．已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（   ） A． B．0 C． D． 7．已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 8．设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 ． 9．已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ． 10．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 11．已知圆过的两焦点，，且它们有4个交点，其中1个交点为，若面积为26，椭圆长轴为15，则 ． 12．如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则 ． 13．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 14．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ，若，则 . 15．已知椭圆的焦点为，，点在椭圆上且，则点到轴的距离是 . 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 17．已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 题型四：椭圆的几何性质 1．如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（   ） A．两个椭圆的离心率相等 B．P到，，，四点的距离之和为定值 C．曲线C关于直线，均对称 D．曲线C所围区域面积必小于36 2．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 3．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左右顶点分别为，若直角三角形的直角顶点为，点在上，点在直线上，且满足，则的面积为 ． 5．已知椭圆：，为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点．若，则 ． 6．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，且轨道II的右顶点为轨道I的中心.设椭圆I与II的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的有 .    ① ② ③ ④椭圆II比椭圆I更扁 7．已知P是椭圆的一点，，分别为C的左、右焦点，且P满足，.若的角平分线与x轴交于点，则椭圆C的长轴长为 . 8．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则 . 9．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为 . 10．如图，分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且，，则椭圆的标准方程是 ． 11．如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= .    12．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为 .    13．已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 题型五：椭圆的离心率求解及范围 1．椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 2．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（   ）. A． B． C． D． 4．已知椭圆（）的右焦点为F，点P是椭圆C上一点，且（O为坐标原点），以P为圆心，PF为半径的圆与y轴相交于A，E两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为 ． 7．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左、右焦点.是上的动点，点，若的最大值为6，动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则椭圆的离心率为 ；的取值范围为 . 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，、在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为 . 9．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为椭圆在第一象限上的点，的延长线交椭圆于另一个点，满足，且，则椭圆的离心率 . 10．已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 . 11．如图，离心率相同的两个椭圆和 分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 12．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示，清朝的一个青花山水楼阁纹椭圆盘如图2所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆，已知图（1）、图（2）、图（3）中椭圆的长轴长、短轴长的比值分别为、、，则对应的椭圆盘最圆的是图 （填序号）    13．已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； (3)设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围． 14．已知椭圆：，直线：与交于，两点. (1)若过的右焦点，求的离心率. (2)已知是的右顶点，过点且与垂直的直线与轴交于点. ①证明：. ②若的离心率为，证明：. 题型六：点和椭圆位置关系的判定及应用 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 6．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 7．若直线与圆没有公共点，则m，n满足的关系式为 ；以为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有 个． 8．已知为椭圆上的点，为原点，则的取值范围是 ． 9．已知椭圆及其上两点． (1)若且，求证：点在椭圆上； (2)若，求的取值范围． 10．已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆标准方程和几何性质的六种题型 题型一：椭圆定义及应用 题型二：求椭圆的标准方程及参数 题型三：椭圆焦点三角形问题 题型四：椭圆的几何性质 题型五：椭圆的离心率求解及范围 题型六：点和椭圆位置关系的判定及应用 题型一：椭圆定义及应用 1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．1 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义直接得出结果. 【详解】由题知，所以点到另一个焦点的距离为. 故选：C. 2．如图，已知椭圆，点是直线上的动点，过右焦点作的垂线交以为直径的圆于两点，则的值是（    ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】求出椭圆右焦点坐标，按点是否在轴上分类，利用相似三角形性质、直角三角形射影定理列式求解. 【详解】椭圆右焦点，令直线与轴交于点，与交于点， 依题意，，，由直角三角形的射影定理得， 当与不重合时，∽，则， ，因此； 当点与重合时，点重合，由直角三角形射影定理，得，， 所以. 故选：A 3．设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 【答案】C 【分析】求出值的范围，把曲线化为标准形式，判断曲线的形状． 【详解】若，则， 曲线,即， ， 表示焦点在轴上的椭圆． 故选： 4．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点的轨迹是椭圆，再确定的值，确定椭圆的标准方程. 【详解】因为动点的坐标满足方程， 即点到点和的距离之和为6，且. 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以. 所以点的轨迹方程为：. 故选：C 5．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】由两点间距离公式，方程， 其表示的几何意义为点到与的距离之和， 即，则， 根据椭圆的定义，点点在以和为焦点的椭圆上， 其中，可得，则， 所以所求轨迹的方程为为． 故选：C． 6．已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 由，可得， 因为线段的垂直平分线交线段于点，可得， 则， 结合椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 7．方程的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合距离公式，得出其轨迹符合椭圆定义，求出椭圆标准方程即可. 【详解】设，则， 且， 点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆， 则， 其标准方程为. 故选：D. 8．已知P为曲线上的动点，，，且，则（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】因为，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆， 由题意可知该椭圆即为曲线 C ，焦点在轴上，所以，且，即，. 故选：D 9．平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 10．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由方程得出椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义得出，结合图象求出的最大值，即可得出答案． 【详解】椭圆，则，，， 如图，椭圆的右焦点为， 则， ， 由图结合三角形两边之差小于第三边，则， 则当点在射线与椭圆的交点时，取最大值， 的最大值为． 故答案为： 11．已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义可求解. 【详解】因为椭圆，所以可得，所以， 又因为点为椭圆上一点，所以. 故答案为：. 12．方程所表示的曲线是 ． 【答案】椭圆．其中． 【分析】根据正弦函数、余弦函数的最值性质，结合同角的三角函数关系式、椭圆标准方程的形式进行判断即可. 【详解】因为，所以， 由， 故答案为：椭圆．其中． 13．设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 【答案】① 【分析】根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可. 【详解】对于①，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于8的点的轨迹，因为与之间的距离为6，且， 所以动点的轨迹是椭圆，所以方程①表示椭圆的方程， 对于②，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于2的点的轨迹，由于与之间的距离为2， 所以动点的轨迹是一条线段，所以方程②表示的不是椭圆方程， 故答案为：① 14．如图，已知．动点到点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点，当点在运动时，记点的轨迹为，则的方程为 ，的取值范围为 ． 【答案】 ； . 【分析】根据椭圆的定义式判断点的轨迹为椭圆，求出标准方程；利用椭圆的定义式将转化成，结合图形，考虑临界情况即得其取值范围. 【详解】 如图，连接，因点是线段的中垂线上一点，故， 由题意，且，即， 故点的轨迹为以点为两焦点的椭圆， 由可得，则， 故轨迹的方程为. 因点是椭圆上的一点，则， 于是， 由图知，， 当且仅当点为椭圆的左端点（）时不等式右端取等号， 当且仅当点为椭圆的右端点（）时不等式左端取等号， 即，故的取值范围为. 故答案为：；. 题型二：求椭圆的标准方程及参数 1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．1 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义直接得出结果. 【详解】由题知，所以点到另一个焦点的距离为. 故选：C. 2．如图，已知椭圆，点是直线上的动点，过右焦点作的垂线交以为直径的圆于两点，则的值是（    ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】求出椭圆右焦点坐标，按点是否在轴上分类，利用相似三角形性质、直角三角形射影定理列式求解. 【详解】椭圆右焦点，令直线与轴交于点，与交于点， 依题意，，，由直角三角形的射影定理得， 当与不重合时，∽，则， ，因此； 当点与重合时，点重合，由直角三角形射影定理，得，， 所以. 故选：A 3．设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 【答案】C 【分析】求出值的范围，把曲线化为标准形式，判断曲线的形状． 【详解】若，则， 曲线,即， ， 表示焦点在轴上的椭圆． 故选： 4．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点的轨迹是椭圆，再确定的值，确定椭圆的标准方程. 【详解】因为动点的坐标满足方程， 即点到点和的距离之和为6，且. 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以. 所以点的轨迹方程为：. 故选：C 5．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】由两点间距离公式，方程， 其表示的几何意义为点到与的距离之和， 即，则， 根据椭圆的定义，点点在以和为焦点的椭圆上， 其中，可得，则， 所以所求轨迹的方程为为． 故选：C． 6．已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 由，可得， 因为线段的垂直平分线交线段于点，可得， 则， 结合椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 7．方程的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合距离公式，得出其轨迹符合椭圆定义，求出椭圆标准方程即可. 【详解】设，则， 且， 点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆， 则， 其标准方程为. 故选：D. 8．已知P为曲线上的动点，，，且，则（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】因为，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆， 由题意可知该椭圆即为曲线 C ，焦点在轴上，所以，且，即，. 故选：D 9．平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 10．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由方程得出椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义得出，结合图象求出的最大值，即可得出答案． 【详解】椭圆，则，，， 如图，椭圆的右焦点为， 则， ， 由图结合三角形两边之差小于第三边，则， 则当点在射线与椭圆的交点时，取最大值， 的最大值为． 故答案为： 11．已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义可求解. 【详解】因为椭圆，所以可得，所以， 又因为点为椭圆上一点，所以. 故答案为：. 12．方程所表示的曲线是 ． 【答案】椭圆．其中． 【分析】根据正弦函数、余弦函数的最值性质，结合同角的三角函数关系式、椭圆标准方程的形式进行判断即可. 【详解】因为，所以， 由， 故答案为：椭圆．其中． 13．设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 【答案】① 【分析】根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可. 【详解】对于①，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于8的点的轨迹，因为与之间的距离为6，且， 所以动点的轨迹是椭圆，所以方程①表示椭圆的方程， 对于②，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于2的点的轨迹，由于与之间的距离为2， 所以动点的轨迹是一条线段，所以方程②表示的不是椭圆方程， 故答案为：① 14．如图，已知．动点到点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点，当点在运动时，记点的轨迹为，则的方程为 ，的取值范围为 ． 【答案】 ； . 【分析】根据椭圆的定义式判断点的轨迹为椭圆，求出标准方程；利用椭圆的定义式将转化成，结合图形，考虑临界情况即得其取值范围. 【详解】 如图，连接，因点是线段的中垂线上一点，故， 由题意，且，即， 故点的轨迹为以点为两焦点的椭圆， 由可得，则， 故轨迹的方程为. 因点是椭圆上的一点，则， 于是， 由图知，， 当且仅当点为椭圆的左端点（）时不等式右端取等号， 当且仅当点为椭圆的右端点（）时不等式左端取等号， 即，故的取值范围为. 故答案为：；. 题型三：椭圆焦点三角形问题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】因为，所以，解得， 由椭圆方程知，所以，解得，即. 所以的周长为， 故选：D. 2．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的方程，求得的值，结合椭圆的定义和几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆,可得，，所以， 如图所示，则的周长为. 故选:A.    3．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点结合三角形中位线定理、中点坐标公式，运用代入法、椭圆的定义进行求解即可. 【详解】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c， 由，是线段的三等分点，得是线段的中点，而坐标原点是 的中点， 则，轴，把代入椭圆方程，得，而，则， 由为线段的中点，得，因此， 解得，而，于是， 所以的周长为. 故选：D 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为 ． 故选：C. 5．已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用椭圆定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】 由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：， 故选：A. 6．已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式并结合点在椭圆上建立方程组，求解参数即可. 【详解】由题意得，则，设， 因为的面积为，所以，解得，即 可得，解得，则点的横坐标是，故B正确. 故选：B 7．已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 【答案】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积 【详解】在椭圆中，， 由椭圆的定义可得，， 在中，，由余弦定理， 得 ， 解得，因此. 故答案为：. 8．设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 ． 【答案】3 【分析】利用正弦定理、余弦定理结合等积法可求的值. 【详解】 由椭圆的标准方程可得. 设，则, 在中，由余弦定理有， 故，故， 故， 而，故即， 由正弦定理可得，故. 故答案为：. 9．已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义和余弦定理求出，即可求的面积； 【详解】椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，则，， 根据椭圆定义可得， 则①， 在中，由余弦定理得 ②， 由①②可得， 所以的面积为； 故答案为： 10．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【答案】 / 【分析】利用椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出的面积，再由等面积法求出内切圆的半径． 【详解】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 【点睛】 11．已知圆过的两焦点，，且它们有4个交点，其中1个交点为，若面积为26，椭圆长轴为15，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意设出点的坐标，再代入椭圆方程即可得到关于的二次方程，即可解出的值得到答案. 【详解】因为点同时在圆和椭圆上，且，故． 圆过的两焦点，即有，    设OP的倾斜角为，则， 且， 又点在椭圆上，故①， 将代入①， 得， 整理得关于的二次方程， 解得，于是，， 故答案为： 12．如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义与题中条件可得，根据椭圆的光学性质和对称性可得，两式联立解得的值，进而求得比值. 【详解】 如图，由椭圆的光学性质可得三点共线， 由题意，根据椭圆的定义可得：， 所以, 因为，则，那么①， 因为点关于的对称点为，所以， 因为，所以，即②， 联立①②，解得 ，则. 故答案为：. 13．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】由、及椭圆定义，可得，，，，再由余弦定理可得，又三角形的面积为，可求得，进而求出椭圆方程. 【详解】设，则， 所以，又， 所以， 又，所以， 所以，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，又三角形的面积为， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 故答案为：．        14．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ，若，则 . 【答案】 20 8 【分析】根据椭圆的标准方程，求出a的值，由的周长是求出第一空， 第二空，结合，即可求解； 【详解】椭圆，∴， 的周长是， 所以 故答案为∶20，8 15．已知椭圆的焦点为，，点在椭圆上且，则点到轴的距离是 . 【答案】 【分析】借助椭圆定义及勾股定理计算可得，再利用等面积法计算即可得解. 【详解】由椭圆定义可得， 由，则， 则， 即，又， 即有，解得， 故点到轴的距离是. 故答案为：. 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，根据得到，再根据求解即可. （2）根据得到，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）设点的坐标为（其中，）， 由，，，可得，.     由，有，可得，     又由点在椭圆上，有.     联立方程解得，， 故点的坐标为. （2）由椭圆的性质，有，     又由，可得.     又由，在中，有.     可得.     可得的面积为. 17．已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆的性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【详解】（1）依题意可得，则，因为焦点，则， 所以椭圆方程为. （2）（i）当直线的斜率为时，则直线方程为， 与椭圆方程联立，解得， 不妨设点，， 则， 设椭圆的左焦点为， 由椭圆的性质可得， 所以的周长为， 又， 所以的周长为， 所以当直线的斜率为1时，求的周长为. （ii）依题意可设直线， 与椭圆方程联立可得，整理可得， 设， 则， 设直线，与椭圆方程联立可得， 整理可得， 设， 则， 又，所以， 同理可得， 由题意与关于原点对称，所以， 即， 整理可得， 即， ， 将代入上式可得， 又不恒为，故， 所以直线恒过点. 题型四：椭圆的几何性质 1．如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（   ） A．两个椭圆的离心率相等 B．P到，，，四点的距离之和为定值 C．曲线C关于直线，均对称 D．曲线C所围区域面积必小于36 【答案】B 【分析】求出椭圆的离心率判断A；利用椭圆的定义判断B；利用椭圆的对称性判断C；利用椭圆的顶点构成图形判断D. 【详解】对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率 ，，A正确； 对于B，为椭圆的左右焦点，为 椭圆的两个焦点，当点为两个椭圆交点时，点到四点距离的和为20； 当点时，点到四点距离的和为，因此距离之和不为定值，B错误； 对于C，两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，C正确； 对于D，椭圆的上、下顶点分别为，椭圆的 左、右顶点分别为，曲线在两组平行直线所围正方形及内部， 该正方形边长为6，因此曲线C所围区域面积必小于36，D正确. 故选：B 2．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，结合椭圆过焦点的最长、最短弦求出范围. 【详解】设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性，得点在椭圆上，    由互相平分于点，得四边形为平行四边形，则且， 又且，则点与点重合，因此， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径，最长弦长为实轴长， 椭圆的通径长为，实轴长为，由知，线段与椭圆实轴不重合， 所以. 故选：C 3．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义求出，后，再利用余弦定理解三角形计算即可求解. 【详解】设为的右焦点，连接，，如图，则四边形为平行四边形， ∴，由椭圆定义知，， ∴，. 在中，， ∴. 在中，.    故选：C. 4．已知椭圆的左右顶点分别为，若直角三角形的直角顶点为，点在上，点在直线上，且满足，则的面积为 ． 【答案】160 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，得到各边长，求出，分的坐标为和两种情况，得到对应的点坐标，设梯形的面积为，利用求出答案. 【详解】椭圆右顶点为，故， 设直线与轴的交点为，过点作轴的垂线，垂足为， 由于直角顶点为，则，又， 所以， 又，故∽， 由于，所以，故， 中，令得， 故， 当的坐标为时，，则， 故， 当的坐标为时，，则， 故． 设梯形的面积为， 当时， ， 当，时， 160，故的面积为160． 故答案为：160． 5．已知椭圆：，为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点．若，则 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程得的值，得左焦点和右顶点的坐标，可得和的值，由，所以为椭圆短轴的一个端点，可求. 【详解】椭圆：中，，，， 则，，所以，由，得， 由，所以为椭圆短轴的一个端点，所以． 故答案为：. 6．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，且轨道II的右顶点为轨道I的中心.设椭圆I与II的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的有 .    ① ② ③ ④椭圆II比椭圆I更扁 【答案】①②③ 【分析】根据椭圆的定义及几何性质得，据此对所给结论逐一判断即可. 【详解】由题可得，. 对于①，，所以①正确； 对于②，，所以②正确； 对于③，，所以③正确； 对于④，由③知，，即，所以椭圆I比椭圆II更扁，所以④不正确. 故答案为：①②③. 7．已知P是椭圆的一点，，分别为C的左、右焦点，且P满足，.若的角平分线与x轴交于点，则椭圆C的长轴长为 . 【答案】/ 【分析】先利用勾股定理求出，再根据角平分线定理可求出，再结合椭圆得定义即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以，所以， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 又因为的角平分线与x轴交于点，则， 又因为，所以， 所以，即，解得， 所以， 即椭圆C的长轴长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用勾股定理及角平分线定理求出，是解决本题的关键. 8．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则 . 【答案】3 【分析】根据题意，圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，列方程求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 故答案为：3. 9．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为 . 【答案】6 【分析】通过△外接圆的面积为，求出外接圆半径为，设设，则，利用正弦定理求解求出的值，求出，利用点差法求出，然后求解的值. 【详解】 因为△外接圆的面积为，所以其外接圆半径为， 又△是以为底边的等腰三角形， 设，则， 所以， 所以，所以或， 不妨设点在轴下方， 所以或. 设，， 则 作差得， 即， 所以或（此时焦点在轴上，舍去）， 因为为椭圆的右焦点，， 所以，长轴长为6， 故答案为：6. 10．如图，分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且，，则椭圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由已知设椭圆方程为，由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程. 【详解】由已知可得所求椭圆的焦点在上，中心为原点，故可设其方程为， 设椭圆的半焦距为，则，，，， 所以直线的方程为，直线的斜率为 将代入，解得，又点在第二象限，所以， 所以直线的斜率为 由题意得，即，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为：. 11．如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= .    【答案】28 【分析】利用椭圆的定义及其几何性质即可求解. 【详解】根据题意，把椭圆的长轴AB分成8等份， 设另一焦点为F2，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 则根据椭圆的对称性知，|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a，同理，其余两对的和也是2a，又|P4F|=a， ∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.    故答案为：28. 12．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为 .    【答案】 【分析】根据给定条件，过切点E，F作出双球模型的轴截面，利用圆的切线性质及椭圆的定义求解作答. 【详解】过切点E，F作出双球模型的轴截面，设球分别与圆锥的同一条母线切于A，B两点，      有，过作于点C，则四边形是矩形， 于是，，又，从而， 设直线AB与平面的交点为P，则有，， 所以椭圆的长轴长. 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 13．已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件列出方程组，求解、、，进而得到椭圆的标准方程； （2）利用圆和椭圆的对称性，结合向量垂直的性质求出交点坐标，再根据直线垂直的关系确定圆心坐标和半径，从而判断圆是否存在并求出圆的方程. 【详解】（1），即. 将代入，得，代入， 化简得，解得，（负值舍去），所以， 故椭圆的标准方程为. （2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，且，. 由圆和椭圆的对称性可知，，，. 由（1）知，，所以，. 因为，则，即，可得. 又因为点在椭圆上，所以，联立可得. 整理得，解得或. 当时，，重合，此时题设要求的圆不存在. 当时，. 过，分别与，垂直的直线的交点即为圆，设. 因为，即，解得. 则圆的半径. 所以圆的方程为. 题型五：椭圆的离心率求解及范围 1．椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B 2．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 3．已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线，三角形中位线结合椭圆定义，可以求出，，再用勾股定理找到，进而将化简为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 由题意，根据切线的性质可得，， 又为的中点，为线段的中点， 所以，所以； 所以，， 在中，，即， 则，整理得，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：D. 4．已知椭圆（）的右焦点为F，点P是椭圆C上一点，且（O为坐标原点），以P为圆心，PF为半径的圆与y轴相交于A，E两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得出，再结合垂直关系列式解齐次式得出离心率. 【详解】由题可知，，过作轴，垂足为，如图所示． 因为点是椭圆上一点，且，设，所以， 即，解得， 不妨设点在第一象限，所以， 即圆的半径，因为圆心在弦的垂直平分线上，所以为的中点． 又因为，所以． 在中，，，所以，所以， 即，即，解得或， 因为，所以． 故选：D. 5．已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求解. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距为， 则由题意得，， 得， 则这个椭圆的离心率. 故选：A 6．设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出的中点坐标，判断出点与点重合，利用，建立关系，结合，即可求解. 【详解】设点，因为，所以的中点， 即点在轴上，又点在直线上，所以点与点重合， 由，得，即，得， 可得，解得，或舍去， 故答案为：. 7．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左、右焦点.是上的动点，点，若的最大值为6，动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则椭圆的离心率为 ；的取值范围为 . 【答案】 /0.5 【分析】根据题意得，求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又点到直线的距离的5倍，分析求解即可. 【详解】根据椭圆定义得：， 所以， 因为的最大值为6，，所以，即， 解得，所以离心率为； 右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的5倍， 则，即. 故答案为：①##；②. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，、在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设，根据条件求得，由椭圆定义得，从而利用求得离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又， 如图，    设， 四边形为等腰梯形，，即，, 由椭圆定义知，，， 解得. 故答案为：. 9．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为椭圆在第一象限上的点，的延长线交椭圆于另一个点，满足，且，则椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出点的坐标，并代入椭圆方程求得离心率. 【详解】设椭圆：的半焦距为c，由为椭圆在第一象限上的点，且， 则由得，又，则， 点在椭圆：上，因此，整理得， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 10．已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 . 【答案】 【分析】由三角形内角平分线的性质结合椭圆的定义可得，从而有，结合椭圆离心率的范围，即可得. 【详解】∵，若在O在同侧， 则，， ∵是的角平分线， ∴，则， 由，得， 由，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 若在O在异侧，则，，， 则，得，所以，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 综上，椭圆离心率的范围是. 故答案为：. 11．如图，离心率相同的两个椭圆和 分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 【答案】/ 【分析】由离心率相同，可得，由图可得，计算即可得的值. 【详解】由图可得，故有， 由两个椭圆离心率相同，则有，即， 故，即有，故. 故答案为：. 12．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示，清朝的一个青花山水楼阁纹椭圆盘如图2所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆，已知图（1）、图（2）、图（3）中椭圆的长轴长、短轴长的比值分别为、、，则对应的椭圆盘最圆的是图 （填序号）    【答案】（2） 【分析】由椭圆的离心率大小即可求解椭圆的扁平程度. 【详解】设椭圆方程的长半轴长与短半轴长分别为，， 则椭圆的离心率， 显然越大，越小， 由于三个椭圆的分别为，且 又则， 故椭圆盘（2）的离心率最小，故椭圆盘（2）最圆. 故答案为：（2） 13．已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； (3)设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点的直线交椭圆于两点，由椭圆性质得，结合题意得到，即可求出离心率； （2）若，结合（1）得到和椭圆的方程，设点，线段的中点，列方程组计算得到点，再根据直线的斜率公式计算即可. （3）根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围. 【详解】（1）设，则根据椭圆性质得， 而，所以有，即， 因此椭圆的离心率为. （2）若，因为，所以，且， 以原点为圆心，为半径的圆的方程为， 设点，线段的中点， 则，消化简可得，解得或， 因为，所以，计算得，点， 所以直线的斜率为； （3）由（1）可知，，椭圆的方程为. 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为， 并设则由消去并整理得 从而有， 所以. 因为，所以，. 由与相似， 所以 令，则，从而， 即的取值范围是. 14．已知椭圆：，直线：与交于，两点. (1)若过的右焦点，求的离心率. (2)已知是的右顶点，过点且与垂直的直线与轴交于点. ①证明：. ②若的离心率为，证明：. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）将椭圆右焦点坐标代入直线方程得，即可求解离心率. （2）①求出直线的方程，进而得，即可判断直线垂直平分线段，即可证明； ②设，，直线与椭圆方程联立，韦达定理得，，求得 ，由离心率得，化简得，即可证明. 【详解】（1）记的右焦点坐标为，则，解得， 所以的离心率为. （2）①由题意可得直线的方程为. 令，解得，所以. 线段的中点为，代入直线的方程，得，等式成立， 所以点在直线上，则直线垂直平分线段. 因为点在直线上，所以. ②设，. 由得，. 由韦达定理得，. 又，， 所以 . 因为的离心率为，所以，解得，即， 所以，所以. 题型六：点和椭圆位置关系的判定及应用 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程可得与的值，结合圆与椭圆的位置关系可得的不等式，求解即可. 【详解】由椭圆，得， 所以，又，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 其方程为，又点在上，所以圆与椭圆有四个公共点， 如图： 所以，解得且，所以的取值范围为. 故选：A 2．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 3．已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合点A在椭圆内的条件，列出不等式组求解作答. 【详解】依题意，，设C的左焦点为，则， 因为，且，则，即， 于是，解得，而，点为椭圆C内一点， 即有，，整理得，又，解得， 所以a的取值范围是 . 故选：D 4．已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出椭圆方程，由于不在椭圆的外部，得到，结合，得到，求出离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的方程为， 因为不在椭圆的外部， 所以，因为， 所以，化简得：， 同除以得：，结合， 解得：， 故. 故选：B 5．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 6．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到，即可得解. 【详解】解：直线，令，解得，所以直线恒过定点， 直线与椭圆恒有公共点， 即点在椭圆内或椭圆上，，即， 又，否则是圆而非椭圆， 或，即实数的取值范围是. 故答案为： 7．若直线与圆没有公共点，则m，n满足的关系式为 ；以为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有 个． 【答案】 ； 2 【分析】由直线与圆无公共点，圆心到直线的距离大于半径，应用点线距离公式得到m，n的关系式，根据椭圆短轴长即可判断与椭圆内的位置关系，进而可得直线与椭圆的交点个数. 【详解】要使直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径即可， 所以，则， 因为椭圆的短轴长为，而，即恒在椭圆内部， 所以过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个. 故答案为：，2 8．已知为椭圆上的点，为原点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的有界性即可得出结论. 【详解】椭圆的标准方程为 所以，， ∵为椭圆上的点，为原点， ，即， 故答案为： 9．已知椭圆及其上两点． (1)若且，求证：点在椭圆上； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出，在椭圆上，故，计算出，得到点在椭圆上； （2）得到，两边平方相加，结合可得，由柯西不等式可得，从而得到答案. 【详解】（1）因为， 所以，即， 在椭圆上，故， 其中 又，故， 所以点在椭圆上； （2）设，， 所以，故， 在椭圆上，故， 所以， 平方得①， 平方得，即②， 式子①+②得，即， 由于， 由柯西不等式得， 故，故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得. 10．已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件可求得，进而可求得椭圆方程； （2）设是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公可得，可求得点到点的距离的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，解得：. 故椭圆的方程为： （2）设是椭圆上的任意一点，所以， 所以，其中. 所以. 故点到点的距离的取值范围是. 47 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $