专题01 椭圆定义与标准方程（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题01椭圆定义与标准方程 常考题型·精准突破 题型1椭圆的定义 题型2利用椭圆定义求方程 题型3根据椭圆过的点求标准方程 题型4椭圆的方程与椭圆(焦点)位置的特征 题型5椭圆中的焦点三角形问题 题型6椭圆上点的最值问题 题型7与椭圆有关的轨迹问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1椭圆的定义 ( 解题贴士 ： 椭圆的定义具有双向作用 ， 即若 ｜ MF 1 ｜＋｜ MF 2 ｜＝ 2 a （ 2 a ＞｜ F 1 F 2 ｜）， 则点 M 的轨迹是椭圆 ； 反之 ， 椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2 a . ) 【例1】（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（25-26高三上·云南楚雄·期末）椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【变式3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）下列说法中正确的是（　　） A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 【变式5】（2026高三·全国·专题练习）已知中顶点和顶点，顶点在椭圆上，则________． ◆题型2利用椭圆定义求方程 ( 解题贴士 ： 根据椭圆定义 ， 确定 a 2 ， b 2 的值 ， 结合焦点位置写出方程 ) 【例2】（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． ◆题型3根据椭圆过的点求标准方程 ( 解题贴士 ： 先判断焦点位置 ， 设出标准方程形式 ， 最后由条件确定待定系数即可 ， 即 “ 先定位 ， 后定量 ”. ) 【例3】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山东济南·期中）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为_____. 【变式5】（25-26高二上·广东江门期中）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 【变式6】已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为 ． ◆题型4椭圆的方程与椭圆(焦点)位置的特征 ( 解题贴士 ： 由方程表示椭圆确定参数值 （ 范围 ） 时 ， 要根据焦点所在的坐标轴来确定两个分母的大小 ； 若给出椭圆方程为 Ax 2 ＋ By 2 ＝ C ， 则应首先将其转化为椭圆的标准方程的形式 ＋ ＝ 1 ， 再研究其焦点的位置等情况 . ) 【例4】（2027高三·全国·专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·四川·期中）若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【变式4】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·安徽·期中）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________． 【变式6】（上海市川沙中学、川沙中学友任分校、华东理工大学附属浦东科技高级中学三校联考2026-2027学年高二第一学期阶段一考试数学试题）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 【变式7】（2026·广东江门·二模）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． ◆题型5椭圆中的焦点三角形问题 ( 解题贴士 ： 椭圆上的点 P （ x 0 ， y 0 ）（ 点 P 不在 x 轴上 ） 与两焦点 F 1 ， F 2 构成的 △ PF 1 F 2 称为焦点三角形 ， 解关于焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识 . ) 【例5】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】（2024·江西·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交于两点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【变式4】（2024·广东阳江·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 【变式5】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6】（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 ◆题型6椭圆上点的最值问题 ( 解题贴士 ： 利用定义实现距离的转化 ， 利用三点共线关系求距离和差的最值问题 . ) 【例6】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式2】（25-26高二上·湖南常德·期中）已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3】（2016·辽宁沈阳·三模）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．63 【变式4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【变式5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 【变式6】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【变式7】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为______，最大值为______． ◆题型7与椭圆有关的轨迹问题 ( 解题贴士 ： 求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 （ 1 ） 定义法 ： 若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹 （ 如椭圆、圆等 ） 的定义 ， 则可用定义法直接求解 ； （ 2 ） 相关点法 （ 代入法 ）： 根据相关点所满足的方程 ， 通过转换求出动点的轨迹方程 ； （ 3 ） 直接法 ： 将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化 ， 列出等式后化简 ， 得出动点的轨迹方程 . ) 【例7】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【变式5】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为___________． 【变式6】（26-27高三·全国·一轮复习）已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【变式7】（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【变式8】（2026高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 2．（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二上·北京西城·期末）“”是“为椭圆方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是椭圆上一点，则（　　） A． B．6 C． D．3 7．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，，且过点，则该椭圆的上顶点为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·福建福州·期末）北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（25-26高二上·四川达州·阶段检测）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 14．（多选）（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得曲线为圆 B．若曲线为椭圆，则的取值范围是 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值 15．（多选）（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 16．（25-26高二下·青海海东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 17．（25-26高二上·广东广州·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________． 18．（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 19．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 20．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 21．（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 22．（2026高二·全国·专题练习）（1）设是椭圆上一点，是椭圆的焦点，如果点到焦点的距离为，那么点到焦点的距离是多少？ （2）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 23．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 24．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 25．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. (1)求椭圆的标准方程; (2)求的内切圆的标准方程. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01椭圆定义与标准方程 常考题型·精准突破 题型1椭圆的定义 题型2利用椭圆定义求方程 题型3根据椭圆过的点求标准方程 题型4椭圆的方程与椭圆(焦点)位置的特征 题型5椭圆中的焦点三角形问题 题型6椭圆上点的最值问题 题型7与椭圆有关的轨迹问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1椭圆的定义 ( 解题贴士 ： 椭圆的定义具有双向作用 ， 即若 ｜ MF 1 ｜＋｜ MF 2 ｜＝ 2 a （ 2 a ＞｜ F 1 F 2 ｜）， 则点 M 的轨迹是椭圆 ； 反之 ， 椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2 a . ) 【例1】（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长，分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长，所以. 【变式1】（25-26高三上·云南楚雄·期末）椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为椭圆C：，所以，，所以， 故的周长为．故选：C 【变式2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】由椭圆可得：， 根据椭圆的定义，，则.故选：D 【变式3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的定义可知，，又，解得，．故选：A． 【变式4】（多选）下列说法中正确的是（　　） A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】AC 【解析】对于A，∵|F1F2|＝8，∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确， 对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误， 对于C，点M（5，3）到F1，F2的距离之和为|F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确，对于D，轨迹为线段的垂直平分线，故D错误．故选：AC 【变式5】（2026高三·全国·专题练习）已知中顶点和顶点，顶点在椭圆上，则________． 【答案】 【解析】椭圆中，，得，， 因此椭圆的两个焦点恰好就是和，则，且， 根据正弦边角关系，得. ◆题型2利用椭圆定义求方程 ( 解题贴士 ： 根据椭圆定义 ， 确定 a 2 ， b 2 的值 ， 结合焦点位置写出方程 ) 【例2】（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，所以.又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是．故选：B． 【变式2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则，方程为：.故选：D 【变式3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，，所以点P的轨迹方程为.故选：B 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 【答案】 【解析】椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，焦距是2， 则有，，即，，所以，所以椭圆的标准方程为． ◆题型3根据椭圆过的点求标准方程 ( 解题贴士 ： 先判断焦点位置 ， 设出标准方程形式 ， 最后由条件确定待定系数即可 ， 即 “ 先定位 ， 后定量 ”. ) 【例3】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意设,由在椭圆上， 则，解得所以椭圆的标准方程.故选：C 【变式1】（25-26高二上·山东济南·期中）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为．故选：C 【变式2】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为．故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为．故选：D. 【变式4】（25-26高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为_____. 【答案】 【解析】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆方程为. 【变式5】（25-26高二上·广东江门期中）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 【答案】 【解析】由原点为中心且经过点和点的椭圆，设椭圆方程为， 则且，解得，所以所求椭圆标准方程为. 【变式6】已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设所求椭圆的方程为． 将两点，的坐标代入，得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为． ◆题型4椭圆的方程与椭圆(焦点)位置的特征 ( 解题贴士 ： 由方程表示椭圆确定参数值 （ 范围 ） 时 ， 要根据焦点所在的坐标轴来确定两个分母的大小 ； 若给出椭圆方程为 Ax 2 ＋ By 2 ＝ C ， 则应首先将其转化为椭圆的标准方程的形式 ＋ ＝ 1 ， 再研究其焦点的位置等情况 . ) 【例4】（2027高三·全国·专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，故，所以，即. 【变式1】（26-27高二上·四川·期中）若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，所以 ，解得. 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 【变式3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】因为方程表示椭圆，所以，解得且． 【变式4】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程表示的曲线是椭圆，则且， 故选：D 【变式5】（25-26高二上·安徽·期中）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由曲线表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即的取值范围是． 【变式6】（上海市川沙中学、川沙中学友任分校、华东理工大学附属浦东科技高级中学三校联考2026-2027学年高二第一学期阶段一考试数学试题）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，即，所以，则m的取值范围是． 【变式7】（2026·广东江门·二模）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】由椭圆方程的特征可知， 所以方程，可化为， 因为的焦点在轴上，所以， 所以，故的取值范围是. ◆题型5椭圆中的焦点三角形问题 ( 解题贴士 ： 椭圆上的点 P （ x 0 ， y 0 ）（ 点 P 不在 x 轴上 ） 与两焦点 F 1 ， F 2 构成的 △ PF 1 F 2 称为焦点三角形 ， 解关于焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识 . ) 【例5】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程为，得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 【变式1】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意．在中，由余弦定理得， ， 即，所以．故选A. 【变式2】（25-26高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】，，又椭圆， 则， .故选：D. 【变式3】（2024·江西·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交于两点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】由椭圆的定义，知， 所以，即， 又，所以．故选B 【变式4】（2024·广东阳江·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【解析】由，得， 设， 即，则，解得. 故选：B. 【变式5】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 【变式6】（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】椭圆方程，得，，，，. 由椭圆定义，； 已知，即。 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 综上所述或，焦距. 因为，即或,故是直角三角形. ◆题型6椭圆上点的最值问题 ( 解题贴士 ： 利用定义实现距离的转化 ， 利用三点共线关系求距离和差的最值问题 . ) 【例6】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，的周长为， 故，又因为，所以，则、， 如下图所示： 要使得取最小值，则与直线垂直， 所以点为椭圆的右顶点且与直线垂直时，取最小值，且最小值为. 故选：D. 【变式1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【解析】，，，， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号，，，， ，的最大值为. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·湖南常德·期中）已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】椭圆C的左焦点为，则，于是， 当且仅当Q，P，三点共线，且P在线段上时，取得最小值， 最小值为点到直线的距离，所以的最小值为1. 故选：A 【变式3】（2016·辽宁沈阳·三模）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．63 【答案】B 【解析】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上， 又因为，所以，PM为圆的切线， ，所以当PF最长时，切线长PM最大． 当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为． 此时的最大值为．故选B． 【变式4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【答案】 【解析】由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则. 【变式5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 【答案】/ 【解析】设是椭圆的右焦点，则，. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为， 所以，所以的最大值为， 故的最大值为. 【变式6】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】根据椭圆的定义：， 取得最大值时，即最大. 由题意知， 如图所示：， 当，，共线，即为的延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值为﹒    【变式7】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 7 13 【解析】由椭圆方程知，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，， 设两圆半径分别为，，则，. ∴，|， ，|， 故的最小值为； 的最大值为.    ◆题型7与椭圆有关的轨迹问题 ( 解题贴士 ： 求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 （ 1 ） 定义法 ： 若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹 （ 如椭圆、圆等 ） 的定义 ， 则可用定义法直接求解 ； （ 2 ） 相关点法 （ 代入法 ）： 根据相关点所满足的方程 ， 通过转换求出动点的轨迹方程 ； （ 3 ） 直接法 ： 将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化 ， 列出等式后化简 ， 得出动点的轨迹方程 . ) 【例7】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义.则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为.故选：B. 【变式2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得， 所以点的轨迹是以，为焦点长轴长为6的椭圆， 则，所以， 所以点的轨迹方程为.故选：D 【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为．故选：D． 【变式4】（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【答案】 【解析】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆， 因为，，所以焦距，解得， 因为，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得，因此，解得， 动点的轨迹方程是. 【变式5】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为___________． 【答案】 【解析】由题意可知，动点P的轨迹为椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 【变式6】（26-27高三·全国·一轮复习）已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】因为由正弦定理可得， 即，满足椭圆定义， 则，，可得， 所以点C的轨迹方程为． 【变式7】（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【答案】 【解析】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆， 因为，， 所以焦距，解得， 因为，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 因此，解得， 动点的轨迹方程是. 【变式8】（2026高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【答案】 【解析】如图所示： 不妨设， 则满足；易知， 又线段的中点为，可得； 即，代入方程 可得，整理得. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 【答案】C 【解析】把点的横、纵坐标代入椭圆的方程左边，得， 所以点在椭圆外. 2．（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【答案】B 【解析】因为椭圆，则，， 所以的周长为，故选：B. 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，曲线的方程可化为， 因为曲线是焦点在轴上的椭圆，所以，解得， 因此实数的取值范围是.故选：A. 4．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以.故选：B 5．（25-26高二上·北京西城·期末）“”是“为椭圆方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若为椭圆方程，则且， 所以“”是“为椭圆方程”的必要不充分条件. 故选：B 6．（25-26高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是椭圆上一点，则（　　） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【解析】由椭圆方程可知，由椭圆定义可知． 故选：A． 7．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，，所求点的轨迹方程为． 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，，且过点，则该椭圆的上顶点为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆的两个焦点分别为，，设为， 设椭圆方程为， 在椭圆上， 故， 故，则该椭圆的上顶点为，即. 9．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 10．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 11．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 12．（25-26高二上·福建福州·期末）北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，卫星的运行轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点， 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则由题可知， 近地点到焦点距离为：， 即，所以椭圆方程可以为：， 故选：B． 13．（多选）（25-26高二上·四川达州·阶段检测）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 【答案】AB 【解析】对于A，当，即时，曲线，表示圆，故A正确； 对于B，若为椭圆，且焦点在轴上， 则，解得，故B正确； 对于C，由A知，当时，曲线为圆，故C错误； 对于D，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆， 其焦距为，故D错误. 故选：AB. 14．（多选）（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得曲线为圆 B．若曲线为椭圆，则的取值范围是 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值 【答案】AC 【解析】对于A：曲线C为圆，即 ，正确； 对于B：C为椭圆，错误； 对于C：C为焦点在轴上的椭圆，正确； 对于D：C是椭圆，此时焦距，不是定值，错误. 故选：AC 15．（多选）（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，    对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 16．（25-26高二下·青海海东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【答案】4 【解析】由题可知，又， 所以. 17．（25-26高二上·广东广州·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________． 【答案】 【解析】根据椭圆方程，有，，则， 因为点在椭圆上，所以有，因为， 所以， 则， 则. 18．（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 【答案】 【解析】由题意可设所求椭圆的标准方程为， ∵椭圆过点，∴将，代入方程得， 解得或（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 19．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 【答案】 【解析】设椭圆的一般方程为， 把点、的坐标分别代入椭圆方程， 得，解得，故椭圆标准方程为. 20．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 【答案】 【解析】如图，连接,因是线段的中垂线，则, 由可得,因, 可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易得，则，故点的轨迹方程为. 21．（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【解析】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 22．（2026高二·全国·专题练习）（1）设是椭圆上一点，是椭圆的焦点，如果点到焦点的距离为，那么点到焦点的距离是多少？ （2）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 【解】（1）已知椭圆方程为，则， 又因为，，所以. （2）依题意，，椭圆长轴长， 即长半轴长，设短半轴长为，有，如图所示，    在中，由余弦定理得， 有， 解得，， 所以的面积是. 23．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 24．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【解】（1）椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为， ，解得， ，， 椭圆的方程为． （2） ，， 又P为椭圆上一点，， 焦点三角形的周长； 在△中，由余弦定理得， 即①， ， ②， ②减①得，故， 三角形的面积． 25．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. (1)求椭圆的标准方程; (2)求的内切圆的标准方程. 【解】（1）因为椭圆过点，且， 所以，解得，则椭圆的标准方程为. （2）由椭圆的定义及条件可得：，解得， 又因为，所以，即， 设内切圆的半径为r，则， 所以，解得， 设内切圆的圆心为I，过I分别作 、、的垂线，垂足分别为E、F、G，如图所示，    因为，且， 所以，则圆心， 所以的内切圆的标准方程为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $