专题08 幂运算重难点八大题型突破-2026-2027学年人教版八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题08 幂运算重难点八大题型突破 【题型 1:直接应用幂的运算性质】 【题型 2:混合运算】 【题型 3:幂的大小比较】 【题型 4:幂的等式求解】 【题型 5:科学记数法中的应用】 【题型 6:零指数幂】 【题型 7:逆用幂的运算性质】 【题型 8:新定义运算】 【题型 1:直接应用幂的运算性质】 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．若，，则______． 3．已知，那么x的值为_______． 4．______． 5．已知：，求______． 【题型 2:混合运算】 6．计算 (1) (2)、 (3) 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算． (1)； (2)． 【题型 3:幂的大小比较】 9．已知，，，那么a、b、c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 10．若，比较a、b、c的大小（　　） A．abc B．bac C．cab D．cba 11．已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 12．比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ） A． B． C．D． 【题型 4:幂的等式求解】 13．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求y的值． 14．若（且是正整数），则．请你利用上面的结论解决下面的2个问题． (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 15．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____________，_____________； (2)若，，，试探究，，之间存在的数量关系． 16．在幂的运算中规定：若（且是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【题型 5:科学记数法中的应用】 17．查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 18．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 19．火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的__________倍． 20．月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需_____小时．（结果用科学记数法表示） 【题型 6:零指数幂】 21．（     ） A．0 B．1 C． D．无意义 22．若有意义，则的取值范围是______． 23．定义新运算：，当时，；当时，．则____________． 24．若，则___________ ． 【题型 7:逆用幂的运算性质】 25．已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 26．已知，则的值为___________． 27．已知，则的值是________． 28．已知 ，，则的值是_______ ． 29．计算：________． 【题型 8:新定义运算】 30．定义新运算∶，例： (1)求的值； (2)试说明与是否相等． 31．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空：_______；_________； (2)若，，，试说明． 32．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 33．定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 幂运算重难点八大题型突破 【题型 1:直接应用幂的运算性质】 【题型 2:混合运算】 【题型 3:幂的大小比较】 【题型 4:幂的等式求解】 【题型 5:科学记数法中的应用】 【题型 6:零指数幂】 【题型 7:逆用幂的运算性质】 【题型 8:新定义运算】 【题型 1:直接应用幂的运算性质】 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．若，，则______． 【答案】 【分析】利用同底数幂乘法的逆运算，将变形为，代入已知数值计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，可得， ∵，， ∴代入计算得． 3．已知，那么x的值为_______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即， 解得 ． 4．______． 【答案】 【分析】先利用积的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， ． 5．已知：，求______． 【答案】 【分析】将等式左边各项都化为以为底的幂，利用同底数幂的乘法法则得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：先将原式左侧各幂转化为以为底的幂， ， 原等式可改写为 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得 即 移项计算得 解得． 【题型 2:混合运算】 6．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算即可； （2）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算即可； （3）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算即可； （4）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算后再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 8．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案； （2）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型 3:幂的大小比较】 9．已知，，，那么a、b、c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算和幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方法则可得，，，据此比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， 故选：A． 10．若，比较a、b、c的大小（　　） A．abc B．bac C．cab D．cba 【答案】B 【分析】本题考查幂的大小比较，将a、b、c转化为同指数，比较底数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴bac， 故选B． 11．已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用． 本题应先将、d化为指数都为2的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ ， 故选：D． 12．比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘法把、、化为指数都为11的幂，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511， 而125＜243＜256， 所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整数）． 【题型 4:幂的等式求解】 13．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求y的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先将底数4转化为2的幂，利用幂的乘方法则把等式两边化为同底数幂的形式，因为题目给出同底数幂相等时指数相等的结论，所以列方程求解x． （2）先利用同底数幂的乘法性质，提取公因式化简等式左边，再通过计算将等式两边化为同底数幂的形式，最后利用同底数幂相等时指数相等的结论列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 原等式变为， 已知时，若，则，这里底数符合条件， 因此， 解得． （2）解：∵，， ∴ ， 原等式转化为：， ， 又∵， 即， ∴． 14．若（且是正整数），则．请你利用上面的结论解决下面的2个问题． (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，则，进而可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则，进而得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 15．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____________，_____________； (2)若，，，试探究，，之间存在的数量关系． 【答案】(1)3，5 (2) 解：，理由如下： ，， ，， ，即 ． 【分析】（1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ，； （2）略 16．在幂的运算中规定：若（且是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方变形得，再根据已知规定即可求解； （2）根据乘方的定义将左边式子变形得到，则，再根据已知规定即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 5:科学记数法中的应用】 17．查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 【答案】或500 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，利用时间等于路程除以速度，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：500 18．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 【答案】391 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 19．火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的__________倍． 【答案】8 【分析】根据整式除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键． 20．月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需_____小时．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据时间路程速度，即可求解． 【详解】解：由题意得： 飞机飞行时间为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除法的应用，掌握相关运算法则是解题关键． 【题型 6:零指数幂】 21．（     ） A．0 B．1 C． D．无意义 【答案】B 【分析】判断非零后计算零指数幂． 【详解】解：∵， ∴． 22．若有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据零指数幂有意义的条件即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 23．定义新运算：，当时，；当时，．则____________． 【答案】 【分析】先根据零指数幂的运算法则计算的值，再比较计算结果和的大小，最后根据新运算的定义得出结果． 【详解】解：∵，当时，， ∴． 24．若，则___________ ． 【答案】6或4或 【分析】需要分三种情况讨论：底数为时，底数为且指数为偶数时，底数不为且指数为时． 【详解】解：分三种情况讨论： 当时，， 此时， 当且为偶数时，， 此时，为偶数， 当且时，， 此时， 综上，的值是或或． 【题型 7:逆用幂的运算性质】 25．已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 【答案】C 【分析】逆用同底数幂乘法法则求出的值，再计算的结果． 【详解】解：∵， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 26．已知，则的值为___________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴． 27．已知，则的值是________． 【答案】17 【分析】根据幂的乘方与同底数幂的乘法运算法则，将等式左边化为底数为3的幂，与等式右边对比后即可求得的值． 【详解】解：因为，即， 所以． 28．已知 ，，则的值是_______ ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 29．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【题型 8:新定义运算】 30．定义新运算∶，例： (1)求的值； (2)试说明与是否相等． 【答案】(1) (2)不相等 ，，二者不相等 【分析】（1）把、代入新运算的定义式计算； （2）分别按定义计算与，利用同底数幂相乘的运算性质比较两个结果． 【详解】（1）解：☆． （2）略 31．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空：_______；_________； (2)若，，，试说明． 【答案】(1)3；4 (2)见解析 【分析】（1）根据，结合所给新定义即可得到答案； （2）根据题意可得，则可得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）材料中把 写成 、把 写成 ，底数与指数同时变化，运用的是幂的乘方性质； （2）先由绝对值与平方的非负性求出 ， 的值，再把 化为 、 化为 ，化同指数后比较底数即可； （3）把新运算还原为幂的形式：设 ，，，则 ，，，由 逆用同底数幂的乘法得 ，从而求出 ． 【详解】（1）解：材料中 ，，都是把幂化为指数相同的形式，运用了幂的乘方性质， 故选： C． （2）解：，且 ，， ，， ，， ，， ， ， ． （3）解：设 ，，， 由新运算的定义，得 ，，， ， ， ， ， 即 ． 33．定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 【答案】(1)9； (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方的逆运算．根据题意得，，是解题的关键． （1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案． （2）由题意得，，，从而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：9； ②∵，即， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，，， 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $