精品解析：江苏省睢宁高级中学2026-2027学年度高二年级10月月考数学试题

省睢中高二年级10月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（    ） A. 若，则该椭圆的焦距为2 B. 若，则该椭圆经过点 C. 的取值范围为 D. 若该椭圆的焦点在y轴上，则 4. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两条直线的斜率分别为，设的夹角（锐角）为，，则直线与直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B是平面上的两定点，，动点满足，，动点N在直线AC上，则MN距离的最小值为（    ） A. B. C. D. 8. 已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 是直线与直线垂直的充分不必要条件 B. 是直线与直线平行的充分不必要条件 C. 若一条直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 D. 经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 10. 下列说法正确的有（    ） A. 直线过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1 C. 若，，则直线不经过第二象限 D. 点，直线与线段相交，则实数的取值范围是或 11. 已知曲线的方程为：，下列结论正确的为（ ） A. 曲线关于坐标轴对称 B. 曲线围成的图形面积大于48 C. 曲线上任意两点的距离不超过 D. 若，为曲线与轴的交点，点在曲线上，则的面积最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为________. 13. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是_______. 14. 若关于x的方程有唯一解，则b的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. （1）求C的方程； （2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 16. （1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求直线方程的一般式和的周长． 17. 在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； （3）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 18. 已知直线与圆相交于两点，且. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 19. 已知圆：，直线：，与圆交于不同的两点，点在圆上运动，且点满足（为原点），记点的轨迹为． （1）求曲线的方程． （2）设的中点为，求点到直线距离的最大值． （3）过点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省睢中高二年级10月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程求出直线的斜率即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由可得， 所以直线的斜率， 所以， 故选：A 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 3. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（    ） A. 若，则该椭圆的焦距为2 B. 若，则该椭圆经过点 C. 的取值范围为 D. 若该椭圆的焦点在y轴上，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则椭圆方程为，所以， 从而，选项A不正确； 若，则椭圆方程为，点的坐标不满足方程， 即该椭圆不经过点，选项B错误； 因为方程表示椭圆，所以， 解得，且，选项C错误； 因为椭圆的焦点在y轴上，所以，解得， 选项D正确. 4. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 5. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 6. 已知两条直线的斜率分别为，设的夹角（锐角）为，，则直线与直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出已知直线的斜率，由已知的公式即可求夹角的大小. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 满足，则，所以锐角为. 故选：B 7. 已知A，B是平面上的两定点，，动点满足，，动点N在直线AC上，则MN距离的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则， 设动点，则由可得，整理可得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，得直线的方程为， 则由图可知MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 则圆心到直线的距离为， 所以MN距离的最小值为. 8. 已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 是直线与直线垂直的充分不必要条件 B. 是直线与直线平行的充分不必要条件 C. 若一条直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 D. 经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互相平行、垂直直线的性质、直线平移的性质，结合直线截距的定义逐一判断即可. 【详解】A：当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线与直线显然垂直，因此是直线与直线垂直的充分不必要条件，因此本选项正确； B：当时，两条直线方程为直线与直线，显然两直线重合不平行， 因此是直线与直线平行的充分不必要条件说法不正确，故本选项不正确； C：当直线不存在斜率时，方程为，显然该直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，不回到原来的位置， 当直线存在斜率时，直线方程设为，当该直线沿轴向左平移3个单位长度， 再沿轴向上平移2个单位长度后，直线方程为， 由题意可知：，所以本选项说法正确， D：当直线过原点时，直线方程为，显然该直线在两坐标轴上的截距互相反数，因此本选项说法不正确， 故选：AC 10. 下列说法正确的有（    ） A. 直线过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1 C. 若，，则直线不经过第二象限 D. 点，直线与线段相交，则实数的取值范围是或 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方程，求出实数的值，检验后得到答案；C选项，直线变形为斜截式，得到斜率与在轴上的截距；D选项，求出过定点，画出图象，数形结合得到实数的取值范围. 【详解】，故直线恒过定点，A正确； 两直线与平行，则，解得或， 当时，两直线与满足要求， 当时，两直线与满足要求， 综上，或，B错误； 若，，则直线变形为， 直线斜率，与轴截距为 直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，C正确； 直线，直线经过定点， 画出坐标系，如下：    其中，， 则要想直线与线段相交，则直线斜率或， 解得或，故D正确. 11. 已知曲线的方程为：，下列结论正确的为（ ） A. 曲线关于坐标轴对称 B. 曲线围成的图形面积大于48 C. 曲线上任意两点的距离不超过 D. 若，为曲线与轴的交点，点在曲线上，则的面积最大为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件利用方程的特征，将分别换成可判断A正确，画出图象，分别求出四边形面积和半圆面积可得B错误，由数形结合并利用圆的对称性可知C正确，再根据圆上点到直线距离的最值问题可判断D正确. 【详解】在中，由，得或，由，得或， 则直线与坐标轴有5个公共点， 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径， 对于A，将表达式中替换成，可得，即，因此曲线关于轴对称； 同理将表达式中替换成也满足表达式，即曲线关于轴对称； 综上可知曲线关于坐标轴对称,A正确； 对于B，曲线围成的图形面积，B错误； 对于C，曲线上的任意点到原点距离的最大值为， 因此曲线在圆及内部，则曲线上任意两点的距离不超过，C正确； 对于D，点到轴距离最大值为，而，则的最大面积为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出以原点为圆心、以c为半径的圆与椭圆有交点，即，从而结合，即可求出椭圆离心率e的取值范围. 【详解】因为椭圆上存在点P，使， 所以以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆必有交点， 如图，，所以，又因为，所以， 即，则，又因为， 所以， 所以椭圆的离心率e的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】将表示为圆上的点与点的连线的斜率，然后设出切线方程为，结合图形求出结果即可. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：. 14. 若关于x的方程有唯一解，则b的取值范围是_______. 【答案】{或} 【解析】 【分析】运用代数式的几何意义，将方程解的问题转化成半圆与直线两个函数交点的问题. 【详解】由题意，，即， 问题等价于在上有唯一解， 令表示圆心为，半径为1的圆的上半部分， 而表示斜率为的直线，如下图示：    只需与在上有唯一公共点， ①当直线与半圆右上部相切时，，由解得，此时有唯一公共点； 当直线过时，直线方程为，由图知当时恒有两个交点； 当直线过时，直线方程为，由图知时恒有一个公共点. 综上，的范围为或}，原方程有唯一解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. （1）求C的方程； （2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【小问1详解】 由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. 【小问2详解】 设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 16. （1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求直线方程的一般式和的周长． 【答案】（1）；（2），周长 【解析】 【分析】（1）先求两直线的交点，再根据垂直关系求所求直线斜率，进而得直线方程； （2）先确定直线过定点，再求出与坐标轴正半轴交点的坐标表达式，结合面积最小利用基本不等式计算即可求周长. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）由可得，， 令，解得，所以直线过定点． 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小. 此时直线：，化成一般式为：. 且，， 的周长为． 所以当面积最小时，直线的一般式方程为：，的周长为． 17. 在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； （3）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 设圆心，， 由于，所以，所以， 即圆心的坐标为，则圆的方程为； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 因为直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 即，此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； 【小问3详解】 取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 18. 已知直线与圆相交于两点，且. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）或. （2）①； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①由是线段的中点，可得，即，进而可得的轨迹方程；②设直线的方程为，设，将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. 【小问2详解】 ①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②略 19. 已知圆：，直线：，与圆交于不同的两点，点在圆上运动，且点满足（为原点），记点的轨迹为． （1）求曲线的方程． （2）设的中点为，求点到直线距离的最大值． （3）过点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）由向量关系建立两点坐标之间的变换关系，相关点代入求轨迹方程. （2）先求出直线过的定点，再确定隐圆的方程，最后求出圆上的点到直线距离的最值. （3）将平分角的问题转化为斜率问题，再考虑直线方程斜率存不存在问题，设直线方程，直线与圆进行联立，运用韦达定理，进行探究定点问题. 【小问1详解】 设，，由，得： 所以， 因为在圆上，代入得： 化简得因此曲线的方程为. 【小问2详解】 直线可得：， 令，所以直线过定点， 因为是弦中点，所以，又过，故 ， 因此在以为直径的圆上， 圆的圆心为， 该轨迹圆的圆心为中点半径 圆心到直线的距离， 所以点到该直线距离的最大值为 因此最大值为 【小问3详解】 当直线轴时，轴平分， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由化简，得． ． 设，，，则，， 若轴平分，则，所以． 又，，所以， 即， 整理，得，解得． 所以当时，轴平分． 综上，存在点，使得轴平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $