期中专题：二次函数与一元二次方程 训练 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

期中专题：二次函数与一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 2．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过点A（1，1），则方程x2﹣6x+c＝1的解为（　　） A．x＝1 B．x＝6 C．x＝1或x＝﹣7 D．x＝1或x＝5 3．根据表格中的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为（　　） x ﹣4.25 ﹣4.13 ﹣3.72 ﹣3.49 y ﹣1.18 ﹣0.57 1.34 2.25 A．﹣4.25＜x＜﹣4.13 B．﹣4.13＜x＜﹣3.72 C．﹣3.72＜x＜﹣3.49 D．﹣3.61＜x＜﹣3.49 4．二次函数y＝2x2﹣5x+1与x轴的交点个数有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．无法判断 5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象，它与x轴一个交点的横坐标是3，顶点坐标是（2，3），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数的图象与x轴另一个交点的横坐标是0 B．当x＜2时，y随x的增大而减小 C．二次函数的图象与y轴交点的纵坐标小于0 D．点M（x1，y1），点N（x2，y2）在函数图象上，若x1＜3＜x2，则y1＜y2 6．如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中y与x的部分对应值如下表，下列判断正确的是（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，下列说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．函数的最小值是4 D．抛物线与x轴没有交点 9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．则下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．c＞0 10．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（　　） A．当x＝1时，函数有最大值是4 B．图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0） C．当x＜﹣1或1＜x＜3时，函数值y随x值的增大而减小 D．若直线y＝m与函数图象至少有3个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4 二．填空题（共6小题） 11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（2，0）和（﹣1，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为_______________ ． 12．已知顶点坐标为（﹣3，4）的抛物线，过点（0，﹣5），当y＞0时，x的取值范围是____________ ． 13．二次函数y＝2x2+4x+c的图象与x轴有两个交点，则正整数c的值为_____ ． 14．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OA只有一个交点时，则t的范围是______________ ． 15．已知抛物线C：y＝ax2﹣2ax﹣4a+1的顶点坐标为（m，﹣4），与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B． （1）点A的坐标为__________ ； （2）将抛物线C沿x轴向右平移2个单位长度，平移后的抛物线D与抛物线C相交于点M，则△ABM的面积为_____ ． 16．如图，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝ax2的图象交于点A（﹣1，1），B（2，4），则关于x的方程ax2＝kx+b的根为_______________ ． 三．解答题（共5小题） 17．已知二次函数y＝x2﹣4x+c． （1）若该图象过点（4，5），求c的值并求图象的顶点坐标； （2）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴只有一个交点，求字母c的值． 18．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （2）直接写出当x取何值时，y＞0？ （3）当0≤x≤3时，求出y的取值范围． 19．已知二次函数的图象过A（1，0），顶点B坐标为（﹣1，2）． （1）求二次函数的解析式； （2）若图象与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，点P在二次函数的图象上且，求点P的坐标． 20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得S△PAB＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴负半轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，顶点C的横坐标为﹣1． （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD＝S△CAD？若存在，求点P的横坐标；若不存在，说明理由． 期中专题：二次函数与一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【专题】二次函数图象及其性质． 【解答】解：∵二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0， ∴令y＝0，得方程x2﹣9＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣3， ∴A，B两点的坐标为 （﹣3，0）和 （3，0）， ∴线段AB的长为3﹣（﹣3）＝6， 故选：B． 2．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过点A（1，1），则方程x2﹣6x+c＝1的解为（　　） A．x＝1 B．x＝6 C．x＝1或x＝﹣7 D．x＝1或x＝5 【专题】二次函数图象及其性质． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c， ∴抛物线的对称轴是直线x＝3， ∵图象经过点A（1，1）， ∴点（5，1）也是图象上的点， ∴方程x2﹣6x+c＝1的解为x＝1或x＝5， 故选：D． 3．根据表格中的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为（　　） x ﹣4.25 ﹣4.13 ﹣3.72 ﹣3.49 y ﹣1.18 ﹣0.57 1.34 2.25 A．﹣4.25＜x＜﹣4.13 B．﹣4.13＜x＜﹣3.72 C．﹣3.72＜x＜﹣3.49 D．﹣3.61＜x＜﹣3.49 【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；推理能力． 【解答】解：由表可以看出，当x取﹣4.13与﹣3.72之间的某个数时，y＝0，即这个数是方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为﹣4.13＜x＜﹣3.72． 故选：B． 4．二次函数y＝2x2﹣5x+1与x轴的交点个数有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．无法判断 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0， ∴二次函数y＝2x2﹣5x+1与x轴的交点个数有2个． 故选：C． 5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象，它与x轴一个交点的横坐标是3，顶点坐标是（2，3），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数的图象与x轴另一个交点的横坐标是0 B．当x＜2时，y随x的增大而减小 C．二次函数的图象与y轴交点的纵坐标小于0 D．点M（x1，y1），点N（x2，y2）在函数图象上，若x1＜3＜x2，则y1＜y2 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，3）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝2， ∵它与x轴一个交点的横坐标是3， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点的横坐标是2×2﹣3＝1． 故A选项不正确，不符合题意； 由图象可知，当x＜2时，y随x的增大而增大． 故B选项不正确，不符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与x轴的交点坐标分别为（1，0），（3，0）， ∴二次函数的图象与y轴交点的纵坐标小于0． 故C选项正确，符合题意； 由题意知，当1＜x1＜3＜x2时，有y1＞y2， 故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 6．如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：由题意可得：当x＝2.26时，y＝﹣0.32，当x＝2.56时，y＝0.41， ∴当y＝0时，2.26＜x＜2.56， ∴选项C符合， 故选：C． 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中y与x的部分对应值如下表，下列判断正确的是（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 【专题】二次函数图象及其性质． 【解答】解：由图表可得，当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当x＝0时，y＝1，即抛物线与y轴的交点为（0，1）， 即抛物线与y轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，选项C正确，符合题意； 根据二次函数图象的对称性质可知，当x＝3时，y＝﹣5， 可知方程ax2+bx+c＝0的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，下列说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．函数的最小值是4 D．抛物线与x轴没有交点 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力． 【解答】解：A．∵二次函数y＝﹣x2+2x+4中，﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， 故原说法错误，该选项不合题意； B．∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． 又∵抛物线开口向下， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大， 故原说法正确，该选项符合题意； C．∵抛物线开口向下， ∴函数只有最大值，没有最小值， 故原说法错误，该选项不符合题意； D．当y＝0时，﹣x2+2x+4＝0，即x2﹣2x﹣4＝0， 此时Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴有两个交点， 故原说法错误，该选项不符合题意， 故选：B． 9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．则下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．c＞0 【专题】二次函数图象及其性质． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴， 解得， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，A选项错误； a+b+c＝﹣4＜0，B选项错误； ∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线x＝1， ∴x＜1时，y随x增大而减小，C选项正确； c＝﹣3＜0，D选项错误， 故选：C． 10．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（　　） A．当x＝1时，函数有最大值是4 B．图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0） C．当x＜﹣1或1＜x＜3时，函数值y随x值的增大而减小 D．若直线y＝m与函数图象至少有3个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【解答】解：∵y＝|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|， ∴函数图象关于直线x＝1对称，翻折后的顶点坐标为（1，4）， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴图象与x轴交点为（3，0），（﹣1，0），故B错误，不符合题意； 由图象可知，当x＜﹣1或1＜x＜3时，图象呈下降趋势，即y随x的增大而减小，故C正确，符合题意； 当x＝1时，y＝4，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A错误，不符合题意； 若直线y＝m与函数图象至少有3个公共点，观察图象可知0＜m≤4，故D错误，不符合题意； 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（2，0）和（﹣1，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝﹣1　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（2，0）和（﹣1，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（2，0）和（﹣1，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 12．已知顶点坐标为（﹣3，4）的抛物线，过点（0，﹣5），当y＞0时，x的取值范围是　﹣5＜x＜﹣1　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）2+4， ∵过点（0，﹣5）， ∴﹣5＝a（0+3）2+4， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+3）2+4， 令y＝﹣（x+3）2+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣5， ∴抛物线与x轴交于（﹣1，0），（﹣5，0）， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， 如图， ∴当y＞0时，x的取值范围是﹣5＜x＜﹣1， 故答案为：﹣5＜x＜﹣1． 13．二次函数y＝2x2+4x+c的图象与x轴有两个交点，则正整数c的值为　1　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【解答】解：由题意可得：方程2x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝42﹣4×2×c＝16﹣8c＞0， 解得：c＜2， ∵c是正整数， ∴c＝1． 故答案为：1． 14．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OA只有一个交点时，则t的范围是　0＜t＜3或t＝4　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）， 当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴C（0，3）， 当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， ∵抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，平移后的抛物线与线段OA只有一个交点， ∴抛物线向下平移t（t＞0）个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4﹣t， 当x＝0时，y＝3﹣t， ∴平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3﹣t）， ∵当平移后的抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上时，平移后的抛物线与线段OA只有一个交点， ∴3﹣t＞0， 解得t＜3， ∵当平移后的抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与线段OA只有一个交点， ∴4﹣t＝0， 解得t＝4， ∴t的取值范围为0＜t＜3或t＝4． 故答案为：0＜t＜3或t＝4． 15．已知抛物线C：y＝ax2﹣2ax﹣4a+1的顶点坐标为（m，﹣4），与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B． （1）点A的坐标为　（3，0）　 ； （2）将抛物线C沿x轴向右平移2个单位长度，平移后的抛物线D与抛物线C相交于点M，则△ABM的面积为　3　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣4a+1＝a（x﹣1）2﹣5a+1， ∴抛物线C的顶点坐标为（1，﹣5a+1）， 顶点坐标为（m，﹣4）， ∴m＝1，﹣5a+1＝﹣4， ∴a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∴当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∵与x轴正半轴交于点A， ∴A（3，0）； 故答案为：（3，0）； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴当x＝0时，y＝﹣3， ∵抛物线C与y轴交于点B， ∴B（0，﹣3）， ∴将抛物线C沿x轴向右平移2个单位长度，平移后的抛物线D的表达式为y＝（x﹣1﹣2）2﹣4＝（x﹣3）2﹣4， 联立抛物线C和抛物线D的表达式得，， 解得， ∵抛物线D与抛物线C相交于点M， ∴M（2，﹣3）， ∴BM∥x轴， ∴BM＝2， ∴△ABM的面积为． 故答案为：3． 16．如图，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝ax2的图象交于点A（﹣1，1），B（2，4），则关于x的方程ax2＝kx+b的根为x1＝﹣1，x2＝2　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与二次函数y＝ax2的图象交于点A（﹣1，1），B（2，4）， ∴x＝﹣1或x＝2时，kx+b＝ax2， ∴关于x的方程ax2＝kx+b的根为x1＝﹣1，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝2． 三．解答题（共5小题） 17．已知二次函数y＝x2﹣4x+c． （1）若该图象过点（4，5），求c的值并求图象的顶点坐标； （2）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴只有一个交点，求字母c的值． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【解答】解：（1）将（4，5）代入y＝x2﹣4x+c， 得16﹣16+c＝5， 解得c＝5． ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+5， ∵y＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1， ∴图象的顶点坐标为（2，1）． （2）∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝0， 解得c＝4． 18．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （2）直接写出当x取何值时，y＞0？ （3）当0≤x≤3时，求出y的取值范围． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识． 【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）． 将x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）． （2）画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象如下： 由图象可得，当﹣1＜x＜3时，y＞0． （3）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象的顶点坐标为（1，4）， ∴当x＝1时，y取得最大值4． ∵0≤x≤3， ∴当x＝3时，y取得最小值0． ∴当0≤x≤3时，y的取值范围为0≤y≤4． 19．已知二次函数的图象过A（1，0），顶点B坐标为（﹣1，2）． （1）求二次函数的解析式； （2）若图象与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，点P在二次函数的图象上且，求点P的坐标． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：（1）已知二次函数的图象过A（1，0），顶点B坐标为（﹣1，2），则： 设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+2，（a≠0）， 根据题意，将（1，0）代入y＝a（x+1）2+2，得0＝a（1+1）2+2， 解得， ∴； （2）∵， ∴当y＝0，即时， 解得x1＝1，x2＝﹣3． ∵二次函数的图象过A（1，0），且图象与x轴的另一个交点为C， ∴C（﹣3，0）， 由题意可得：D（0，）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， 代入数据求解可得，直线CD的解析式为y： 设点P（a，a2﹣a）， 过P作y轴的平行线交CD于H，则H的坐标为（a，）， 则PH＝|（a2﹣a）﹣（）|＝|a2a| C，D的水平距离为3，且得， S△CDP|a2a|， 解得|a2a|＝1， 当a2a＝1时，解得a＝﹣1或﹣2， 代入P（a，a2﹣a）可得：P（﹣1，2），（﹣2，）； 当a2a＝﹣1时，解得a或， 代入P（a，a2﹣a）可得：P（，），（或，）； 故符合条件的P的坐标为：（﹣1，2），（﹣2，），（，），（，）． 20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得S△PAB＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 把C（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1）， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）， 即y＝﹣x2﹣2x+3； （2）存在． ∵S△PAB＝S△ABC， ∴P点和C点到AB的距离相等， ∵C点到AB的距离为3， ∴P点到AB的距离为3， 当y＝3时，﹣x2﹣2x+3＝3， 解得x1＝﹣2，x2＝0（舍去）， 此时P点坐标为（﹣2，3）； 当y＝﹣3时，﹣x2﹣2x+3＝﹣3， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣1， 此时P点坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）， 综上所述，P点坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）． 21．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴负半轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，顶点C的横坐标为﹣1． （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD＝S△CAD？若存在，求点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴负半轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，顶点C的横坐标为﹣1． ∴， ∴b＝2a． 将点A（﹣3，0）代入抛物线解析式得，0＝a•（﹣3）2+b•（﹣3）+3， 解得a＝﹣1， ∴b＝2×（﹣1）＝﹣2． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．则： 将x＝﹣1代入解析式得， y＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝4， ∴顶点为C（﹣1，4）， 将x＝0代入解析式得，y＝﹣02﹣2×0+3＝3， ∴B（0，3）． 设直线AB的解析式为y＝kx+m，由题意可得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， ∵对称轴x＝﹣1交直线AB于点D， ∴将x＝﹣1代入直线AB得，y＝﹣1+3＝2， ∴D（﹣1，2）， 过点P作PQ⊥x轴，交直线AD于点Q，如图： 设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3）， ∴； 当xA＜t＜xD（Q在A、D之间）时，如图： ∴； 当t≤xA（Q在A左侧）时，如图： ∴； 当t≥xD（Q在D右侧）时，如图： ， ∴xD﹣xA＝﹣1﹣（﹣3）＝2，PQ＝|yP﹣yQ|， ∴PQ＝|（﹣t2﹣2t+3）﹣（t+3）| ＝|﹣t2﹣3t| ＝|t2+3t|， ∴， ∵C（﹣1，4），D（﹣1，2）， ∴CD＝4﹣2＝2， 又∵xD﹣xA＝﹣1﹣（﹣3）＝2， ∴同理可得，， ∵S△PAD＝S△CAD， ∴|t2+3t|＝2， 当t2+3t＝2时，t2+3t﹣2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac ＝32﹣4×1×（﹣2） ＝17＞0， ∴， 解得； 当t2+3t＝﹣2时， 解得t1＝﹣1，t2＝﹣2， ∵点P不与点C重合，且C的横坐标为﹣1， ∴t＝﹣1不符合题意， 综上所述，点P的横坐标为﹣2、、． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $