2026-2027学年人教版数学九年级上册期中考测试

2026-2027年第一学期期中考测试 九年级数学 学习中心： 姓名 得分 说明： 1.全卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟. 2. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔填写自己的信息。 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A．2 B． C． D． 2．若一元二次方程的一个根为，则另一个根为（     ） A．1 B． C．2 D． 3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移个单位长度可以得到 4．某同学投出的篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，篮球运动的竖直高度与水平位移近似满足函数关系．根据上述函数模型和以下数据，可推断出篮球运动到最高点时，其水平位移为（     ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．若，是方程的两根，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．某种商品计划经过2个月的时间将售价提高，设每月平均的增长率为x，那么列出方程是（     ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（） A．B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 二、填空题（每题3分，共15分） 11．若m是方程的一个根，则的值为__________ 12．校园科技节期间，为展示同学们的优秀作品，学校决定在某围墙旁布置一块面积为的长方形作品展示区．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置一个开口宽为的进出门（如图），设长方形垂直于墙的边长为，则可列方程为________． 13． 若抛物线有最高点，则实数的取值范围是__________． 14．已知二次函数图象的一部分如图，以下结论： ①； ②若m为任意实数，则有； ③方程的解是，； ④； 其中正确的有______个． 15．如图，点A坐标为，点B坐标为，点M是正方形的中心，且点D，M均在反比例函数图象的同一分支上，则a的值为______． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16．解下列方程： (1)； (2) ． 17．受2026美加墨世界杯热潮的影响，足球爱好者小宣加大了足球训练强度．在某次训练中，他将足球垂直于地面向上踢出，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）满足，求足球从踢出到落地的时间． 18．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)写出这个反比例函数的表达式． (2)当时，求y的值． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 20．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 21．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，求的值． 5、 解答题（三）（共27分） 22．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则___________； (2)已知实数m，n满足求的值； (3)若a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 23．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． (3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年第一学期期中考测试答案 九年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C D D C C A D 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵选项A的方程含、两个未知数， ∴不是一元二次方程； ∵选项B的方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； ∵选项C的方程展开得，整理为，未知数最高次数为1， ∴不是一元二次方程； ∵选项D的方程分母含未知数，是分式方程， ∴不是一元二次方程. 2．若一元二次方程的一个根为，则另一个根为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴这个方程的另一个根为2． 3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移个单位长度可以得到 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质以及二次函数的平移法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B错误， ∵， ∴函数最大值为，故C正确， 向右平移2个单位长度得，与给定函数不符，故D错误． 4．某同学投出的篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，篮球运动的竖直高度与水平位移近似满足函数关系．根据上述函数模型和以下数据，可推断出篮球运动到最高点时，其水平位移为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】篮球最高点的水平位移对应抛物线的对称轴，代入已知点坐标求出二次函数系数，再计算对称轴即可． 【详解】解：将，代入，得， 将，代入解析式得，化简得①， 将，代入解析式得，化简得②， 得， 解得， 将代入①得， 解得， 抛物线对称轴为， 即最高点的水平位移为． 5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点判断，，符号；利用抛物线对称性，把的函数值转移到；再将代入的函数不等式，化简判断的正负． 【详解】A：抛物线开口向下；对称轴为直线， 因为，所以； 因为抛物线与轴交于正半轴，所以； 所以，A正确． B：利用对称性：对称轴为直线，与关于对称． 从图像：时，， 所以时函数值同样小于，所以时，，正确． C：由对称轴，得，移项：，C正确． D：时，， 又， 代入：，D错误． 【点睛】二次函数图像题的关键：①开口定；对称轴判断关系式；轴交点定；②抛物线上关于对称轴对称的两点，函数值相等；③把用替换，可化简代数式，判断式子正负． 6．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定抛物线的开口方向与对称轴，通过比较三点到对称轴的距离，结合增减性判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的值越大． ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 且， ∴． 7．若，是方程的两根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程中，，， 由根与系数的关系得，． 8．某种商品计划经过2个月的时间将售价提高，设每月平均的增长率为x，那么列出方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设商品原售价为单位1， ∵每月平均增长率为x， ∴1个月后售价为，2个月后售价为 ∵2个月后售价提高，即售价为， ∴ 可列方程． 9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的符号确定反比例函数图象所在象限及一次函数图象经过的象限即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，故A符合题意； 当时，反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，此时均不符合题意． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】过点D作轴于点E，根据k的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得 k，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 对角线轴， , 四边形是矩形， ， k， ∵菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，， ． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．若m是方程的一个根，则的值为__________ 【答案】2024 【分析】是方程的根，满足方程，可得，将所求代数式变形后整体代入即可计算出结果． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴ 将代入方程得 整理得 对所求代数式变形可得： 将代入上式得：原式． 12．校园科技节期间，为展示同学们的优秀作品，学校决定在某围墙旁布置一块面积为的长方形作品展示区．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置一个开口宽为的进出门（如图），设长方形垂直于墙的边长为，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设长方形垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，再根据长方形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：设长方形垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 由题意可得． 13．若抛物线有最高点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】抛物线有最高点说明开口向下，二次项系数小于0，据此列不等式求解． 【详解】∵ 抛物线有最高点， ∴ 抛物线开口向下，二次项系数满足． 解不等式得． 14．已知二次函数图象的一部分如图，以下结论： ①； ②若m为任意实数，则有； ③方程的解是，； ④； 其中正确的有______个． 【答案】 3 【分析】根据二次函数图像开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断 的符号及关系；利用对称轴公式及顶点坐标性质判断最值问题；利用抛物线的对称性求方程的解；根据对称轴公式判断 的数量关系． 【详解】解：由图像可知，抛物线开口向下，则 抛物线与轴交于正半轴，则 对称轴为直线，则，即 ∵ ∴ ∴，故①正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴当时，函数取得最大值，最大值为 ∴对于任意实数，都有 ∴，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∴方程的解是，，故③正确； ∵， ∴ ∵， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共 3 个． 15．如图，点A坐标为，点B坐标为，点M是正方形的中心，且点D，M均在反比例函数图象的同一分支上，则a的值为______． 【答案】6 【分析】由题意可得，；如图：过D作y轴，则 ，再结合正方形的性质可证明可得，进而得到，再根据中点坐标求得点M的坐标为，然后根据均在反比例函数图象的同一分支上得到求解即可． 【详解】解：∵点A坐标为，点， ∴，， 如图：过D作y轴，则 ，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是正方形的中心， ∴点M的坐标为， ∵点均在反比例函数图象的同一分支上， ∴故横、纵坐标的乘积相等， ∴， 解得：，， ∵在轴正半轴，，舍去， ． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先确定一元二次方程各项系数，运用公式法求解． （2）先提取公因式，转化为一次方程再求解． 【详解】（1）解： ∵，，， ∴ ∴ ∴，． （2） 或 ∴， 17．受2026美加墨世界杯热潮的影响，足球爱好者小宣加大了足球训练强度．在某次训练中，他将足球垂直于地面向上踢出，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）满足，求足球从踢出到落地的时间． 【答案】足球从踢出到落地的时间为 【详解】解：足球落地时， 由题意得， 解得（舍去），． 答：足球从踢出到落地的时间为． 18．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)写出这个反比例函数的表达式． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法，即可求解； （2）已知自变量的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的表达式为， 当时，， ，解得， 这个反比例函数的表达式； （2）解：当时，， 则y的值为． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在实数，的值为 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）直接利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． （2） 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 存在实数，的值为． 20．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； (2)； (3)制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1300元， 答：制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 21．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，求的值． 【答案】 【分析】先求出点A的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点A， ∴，即， ∵， ∴， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， 将，代入，得 ∴点， ∴， 五、解答题（三）（共27分） 22．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则___________； (2)已知实数m，n满足求的值； (3)若a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 【答案】(1)3， (2)或2 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得，，可得出或，再根据根的判别式可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知：； （2）解：当时， ∵实数m、n满足， ∴m、n可看作方程的两根， ∴， ∴； 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：∵a，b是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得或， 又 当时，，方程无实根，舍去； 当时，，符合题意， ∴． 23．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． (3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为． 【分析】（1）求得，即，，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点，求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理求得直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴的左侧， ∴，即， ∵，， 由题意得， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $