湖南省长沙市2026-2027学年人教版数学九年级上册期中（第25-27章）练习卷-

湖南省长沙市期中（第25-27章）练习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．下列是一元二次方程的是（　　） A．x3﹣x﹣1＝0 B．2x﹣1＝5 C． D．x2﹣3x+1＝0 2．抛物线y＝（x+3）2﹣2的顶点的横坐标为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 3．用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，方程应变形为（　　） A．（x+3）2＝13 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+6）2＝32 D．（x+3）2＝5 4．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D． 5．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1﹣y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1+y2＞0 6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2026，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．﹣2026 B． C．2026 D． 7．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从6A增加到10A时，电阻R（　　） A．减小了2.4Ω B．减小了4Ω C．增大了2.4Ω D．增大了4Ω 8．如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　） A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3 9．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接AO、BO，则△AOB的面积为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0）和（3，0），且与直线y＝2交于两点，其横坐标分别为x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，则有下列结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞8a；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数m，有4a+2b+c≤am2+bm+c．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．若y＝（m﹣2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝_______ ． 12．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________ ． 13．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，当所围矩形猪舍垂直于墙的边的长度为_____ m时，猪舍面积为80m2． 14．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2h内到达，则速度至少需要提高到________ km/h． 15．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积为3，则k的值为_______ ． 16．若二次函数y＝3x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝_______ ． 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 18．某书店销售儿童期刊，一天可售出20套．每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？ （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？ 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s，当点Q到达C点时，P同时停止运动，设运动时间为ts． （1）当∠CPQ＝45°时，求t的值； （2）当△CPQ的面积为54cm2时，求t的值． 20．实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求双曲线AB的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上8：00能否驾车去上班？请说明理由． 21．如图，一次函数y＝2x+2的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），与x轴，y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P在线段AB上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标． 22．如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面示意图如图2所示，量得OM＝10m，最高处点P与地面OM的距离为5m．现以点O为原点，OM所在直线为x轴，过点O作OM的垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式． （2）现因举办活动，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线的对称轴对称，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，点A，D在抛物线上，点B，C在OM上，已知BC＝6m，则“装饰门”高多少米？ 23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是_____ ； ①x2+6x+8＝0；②x2﹣4＝0；③x2﹣7x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，则c＝_____ ； （3）若关于x的方程x2﹣（m+4）x﹣2m＝0（m是常数）是“倍根方程”，试求出m值； （4）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“倍根方程”，令t＝9a﹣4b+1，试求t的最小值． 24．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于一点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1． （1）求m的值及二次函数解析式． （2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，二次函数图象与x轴正半轴的交点为C，求四边形OABC的面积． 湖南省长沙市期中（第25-27章）练习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列是一元二次方程的是（　　） A．x3﹣x﹣1＝0 B．2x﹣1＝5 C． D．x2﹣3x+1＝0 【专题】一元二次方程及应用；抽象能力． 【解答】解：A．x3﹣x﹣1＝0，含有一个未知数，未知数的最高次数是3，故选项A不符合题意； B．2x﹣1＝5，含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，故选项B不符合题意； C．，分母含有未知数，是分式方程，故选项C不符合题意； D．x2﹣3x+1＝0，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程，故选项D符合题意． 故选：D． 2．抛物线y＝（x+3）2﹣2的顶点的横坐标为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：∵抛物线解析式可变形为y＝[x﹣（﹣3）]2﹣2， 又∵抛物线顶点式为y＝a（x﹣h）2+k， ∴顶点的横坐标为﹣3． 故选：A． 3．用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，方程应变形为（　　） A．（x+3）2＝13 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+6）2＝32 D．（x+3）2＝5 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：移项得：x2﹣6x＝﹣4， 配方得：x2﹣6x+9＝﹣4+9， 即（x﹣3）2＝5， 故选：B． 4．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：根据题意可得：x（x﹣1）＝110． 故选：B． 5．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1﹣y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1+y2＞0 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【解答】解：反比例函数中， ∵k＝﹣3＜0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限， ∵x1＜0＜x2， ∴点A（x1，y1）在第二象限，点B（x2，y2）在第四象限， ∴y1＞0，y2＜0， ∴y1﹣y2＞0，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意， ∵|y1|与|y2|的大小关系不确定， ∴y1+y2的符号不确定，故A、D选项错误，不符合题意． 故选：B． 6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2026，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．﹣2026 B． C．2026 D． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2026， 则20262a+2026b+c＝0， 方程两边同除以20262，得， ∴关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为x， 故选：D． 7．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从6A增加到10A时，电阻R（　　） A．减小了2.4Ω B．减小了4Ω C．增大了2.4Ω D．增大了4Ω 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【解答】解：设， 由图象可知，函数图象经过点（9，4）， ∴U＝4×9＝36V， ∴反比例函数的解析式为， 当I＝10A时，， 当I＝6A时，， ∵6﹣3.6＝2.4Ω， ∴当电流I从6A增加到10A时，电阻R减小了2.4Ω， 故选：A． 8．如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　） A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3 【专题】数形结合；一元二次方程及应用；运算能力；模型观念． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣3的对称轴为直线x1.5，已知根0.75＜x1＜1，由对称性得另一根﹣1.5×2﹣1＜x2＜﹣1.5×2﹣0.75，即﹣4＜x2＜﹣3.75， ∴另一根更接近的是﹣4． 故选：B． 9．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接AO、BO，则△AOB的面积为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：如图，设AB与y轴交于点D， 由条件可知S△ABO＝S△ADO+S△BDO， ∵点A在上，点B在上， ∴，， ∴S△ABO＝S△ADO+S△BDO＝4． 故选：A． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0）和（3，0），且与直线y＝2交于两点，其横坐标分别为x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，则有下列结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞8a；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数m，有4a+2b+c≤am2+bm+c．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【专题】二次函数图象及其性质． 【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和 （3，0） ∴对称轴为， 可设函数为 y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， 得 b＝﹣2a，c＝﹣3a， 将y＝2代入函数得 ax2﹣2ax﹣3a﹣2＝0， ∴x1+x2＝2，， ∵， ∴ 平方得 ， 解得 ，开口向下， 逐一判断结论： ①，故①错误； ②b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a）＝16a2， ∵a＜0，∴16a2＞0＞8a，故②正确； ③∵a＜0，对称轴为x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故③正确； ④∵a＜0，开口向下，对称轴为x＝1， ∴当x＝1时，y最大值＝a+b+c，当x＞1时，函数值随x的增大而减小， 当x＝2时，y＝4a+2b+c，当x＝m＞2时，y＝am2+bm+c， ∴4a+2b+c＞am2+bm+c， ∴不等式不成立，故④错误． 综上，正确结论共2个， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．若y＝（m﹣2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝　﹣2　 ． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x|m|+1是二次函数， ∴， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 12．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜1　 ． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×1•m＞0，即4﹣4m＞0， 解得m＜1． 故答案为：m＜1． 13．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，当所围矩形猪舍垂直于墙的边的长度为　8　 m时，猪舍面积为80m2． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，根据题意可得： x（25﹣2x+1）＝80， 解得x1＝5，x2＝8， 当x＝5时，25﹣2×5+1＝16＞12，不符合题意； 当x＝8时，25﹣2×8+1＝10＜12，符合题意； 所以当所围矩形猪舍垂直于墙的边的长度为8m时，猪舍面积为80m2． 故答案为：8． 14．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2h内到达，则速度至少需要提高到　300　 km/h． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：根据行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间为反比例函数关系可得： 设， 把（200，3）代入得：k＝tv＝200×3＝600， ∴， 当t＝2h时，（km/h）， 由函数图象可得，t随着v的增大而减小， 所以列车要在2h内到达，则速度至少需要提高到300km/h． 故答案为：300． 15．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积为3，则k的值为　﹣4　 ． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：连接OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴2|k|＝3． ∴k＝±4． ∵k＜0， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 16．若二次函数y＝3x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝　﹣1　 ． 【专题】函数思想；运算能力． 【解答】解：∵二次函数y＝3x2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣6， ∴方程3x2﹣6x+c＝0的两根之和x1+x2， ∵x1＝3， ∴x2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x， 3x（x﹣1）﹣（2﹣2x）＝0， 3x（x﹣1）﹣2（1﹣x）＝0， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x+2）＝0， x﹣1＝0或3x+2＝0， ∴x1＝1，； （3）（2x+1）2＝（x﹣1）2， （2x+1）2﹣（x﹣1）2＝0， [（2x+1）+（x﹣1）][（2x+1）﹣（x﹣1）]＝0， 3x（x+2）＝0， 3x＝0或x+2＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2． 18．某书店销售儿童期刊，一天可售出20套．每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？ （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？ 【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用． 【解答】解：（1）由题意，（30﹣x）（20+2x）＝750， 化简得：x2﹣20x+75＝0， ∴x1＝15，x2＝5， ∵为了尽快减少库存， ∴x＝15， 答：需要降价15元； （2）由题意，y＝（30﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+40x+600＝﹣2（x﹣10）2+800， ∵﹣2＜0， ∴当x＝10时，y有最大值，最大值为800， 答：每套书降价10元时，书店可获最大利润，最大利润为800元． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s，当点Q到达C点时，P同时停止运动，设运动时间为ts． （1）当∠CPQ＝45°时，求t的值； （2）当△CPQ的面积为54cm2时，求t的值． 【专题】一元二次方程及应用． 【解答】解：（1）∵BC＝21cm，BQ＝tcm，CP＝tcm， ∴CQ＝BC﹣BQ＝（21﹣t）cm， ∵∠C＝90°，∠CPQ＝45°， ∴∠CQP＝90°﹣∠CPQ＝90°﹣45°＝45°， ∴∠CPQ＝∠CQP＝45°， ∴CP＝CQ， ∴t＝21﹣t， 解得：； （2）∵， 解得：t1＝9，t2＝12， ∴t的值为9或12． 20．实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求双曲线AB的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上8：00能否驾车去上班？请说明理由． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【解答】解：（1）设直线OA的解析式为y＝kx，由图象可知直线OA过（0.25，20）， ∴20＝0.25k， 解得k＝80， ∴直线OA的解析式为y＝80x， 当x＝1.5时，y＝80×1.5＝120， ∴A（1.5，120）， 设双曲线AB的函数表达式为， 将点A（1.5，120），代入得， 解得m＝180， ∴双曲线AB的函数表达式为； （2）第二天早上8：00能驾车上班，理由， 从晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上8：00，时间间距为10小时， 由（1）得双曲线AB的函数表达式为， 当x＝10时，， ∵18＜20，即血液中的酒精含量小于国家规定的“酒后驾驶”标准， ∴第二天早上8：00能驾车上班． 21．如图，一次函数y＝2x+2的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），与x轴，y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P在线段AB上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力． 【解答】解：（1）依题意得：点A（1，a）在一次函数y＝2x+2的图象上， ∴a＝2×1+2＝4， ∴点A（1，4）， ∵点A（1，4）在反比例函数的图象上， ∴k＝1×4＝4， ∴反比例函数的表达式为：； （2）对于y＝2x+2，当y＝0时，x＝﹣1， ∴点B的坐标为（﹣1，0）， ∵点P在线段AB上， ∴设点P的坐标为（t，2t+2），其中﹣1≤t≤1， ∵PQ∥x轴， ∴点P的纵坐标为2x+2， ∵点Q在反比例函数的图象上， ∴点Q的坐标为， ∵PQ， ∴， 整理得：2t2+11t+5＝0， 解得：t＝﹣0.5，t＝﹣2.5（不合题意，舍去）， 当t＝﹣0.5时，4，2t+2＝2×（﹣0.5）+2＝1， ∴点Q的坐标为（4，1）． 22．如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面示意图如图2所示，量得OM＝10m，最高处点P与地面OM的距离为5m．现以点O为原点，OM所在直线为x轴，过点O作OM的垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式． （2）现因举办活动，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线的对称轴对称，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，点A，D在抛物线上，点B，C在OM上，已知BC＝6m，则“装饰门”高多少米？ 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【解答】解：（1）∵OM＝10m，最高处点P与地面OM的距离为5m． ∴该抛物线的顶点坐标为（5，5）， ∴设该抛物线对应的函数解析式为y＝a（x﹣5）2+5，将点（0，0）代入，得： 0＝a（0﹣5）2+5， 解得：， ∴该抛物线对应的函数解析式为； （2）∵BC＝6m，矩形ABCD关于抛物线的对称轴对称，OM＝10m， ∴， ∴点B的横坐标为2． 当x＝2时，得：， ∴， 即“装饰门”高． 23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是　①　 ； ①x2+6x+8＝0；②x2﹣4＝0；③x2﹣7x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　8　 ； （3）若关于x的方程x2﹣（m+4）x﹣2m＝0（m是常数）是“倍根方程”，试求出m值； （4）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“倍根方程”，令t＝9a﹣4b+1，试求t的最小值． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：（1）①∵x2+6x+8＝0， ∴x+2＝0或x+4＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4， ∵﹣4＝2×（﹣2）， ∴该方程是倍根方程； ②∵x2﹣4＝0， ∴x2＝4， ∴x1＝2，x2＝﹣2， ∴不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； ③∵x2﹣7x+12＝0， ∴（x﹣3）（x﹣4）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝3，x2＝4， ∴不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； 综上，是倍根方程的是①； 故答案为：①； （2）设方程的两根为t和2t，则t+2t＝6， 解得t＝2， ∴c＝t•2t＝2×4＝8； 故答案为：8； （3）设方程的两根为t和2t，则t+2t＝m+4，t•2t＝﹣2m， ∴3t＝m+4，t2＝﹣m， 将t代入t2＝﹣m， ∴， ∴m1＝﹣1，m2＝﹣16， 经检验，m＝﹣1 和m＝﹣16均使方程有两个实数根，符合题意， ∴m＝﹣1或﹣16； （4）设方程的两根为k和2k，则，，即，2k2， 由3k得k，代入2k2得：2（）， ∴2b2＝9a， 将9a＝2b2代入t＝9a﹣4b+1，得： t＝2b2﹣4b+1＝2（b﹣1）2﹣1， ∴当b＝1时，t取得最小值，最小值为﹣1， 此时a0，符合题意， ∴t的最小值为﹣1． 24．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于一点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1． （1）求m的值及二次函数解析式． （2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，二次函数图象与x轴正半轴的交点为C，求四边形OABC的面积． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【解答】解：（1）由题意得3＝0+m， 即m＝3； ∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ∴， 即a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x+c； 由题意，二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象过点A（0，3）， ∴c＝3， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）过点B作BE⊥x轴于点E，如图， 由（1）得y＝x+3， 解方程组， 得或， ∴B（1，4）， ∴OE＝1，BE＝4； 令y＝﹣x2+2x+3＝0， 解得：x3＝﹣1，x4＝3， ∴C（3，0）， ∴OC＝3， ∴CE＝OC﹣OE＝3﹣1＝2； ∵A（0，3）， ∴OA＝3； ∴四边形OABC的面积＝S梯形OABE+S△BEC ＝7.5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $