期中考试模拟培优卷（范围：第1-3章）2026-2027学年九年级数学上册（湘教版，湖南省专用）

2026-2027学年湘教版九年级上学期期中模拟卷 数学培优卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版九年级数学上册第1~3章。 一﹑选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果，，，，那么（     ） A．a，b，c，d成比例 B．a，c，d，b成比例 C．a，c，b，d成比例 D．a，b，d，c成比例 【答案】B 【分析】分析四个数据，判断能否满足两内项之积等于两外项之积，再将其写成比例式形式即可． 【详解】解：，，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即，，，成比例． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程要求二次项系数不为 0，即， 解得 ． 3．在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 4．如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一进行判定即可． 【详解】解：已知，根据平行线分线段成比例定理： A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，错误． 【点睛】分清对应线段，平行截得的上、下两段的比相等，不要把对应边弄颠倒． 5．用配方法解方程，方程可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 6．如图，在菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点E．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别延长，两线交于点G，则可证明，从而得，再由正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，分别延长，两线交于点G， ∵F是边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为、判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， 即， ， ， ， ∴的取值范围是且． 8．如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得米，最后在中解直角三角形即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴ 在中，， ∴． 9．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据利润售价进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低元，每周可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：当每件降低元时，每件销售利润为元，平均每周销售量为件． 根据题意得． 10．如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：；是等腰直角三角形；；若点是的中点，则；⑤当时，，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角相等与对顶角证相似；通过四点共圆导角证明等腰直角三角形；用旋转法证明半角模型核心等式；设边长用勾股定理代数求解；用对称性与特殊角三角函数计算比值． 【详解】四边形是正方形， ． ，， ， ∴， 又， ，故正确 ， ， 是等腰直角三角形，故正确； 如图所示， 将绕点顺时针旋转得到， 则，，． ． ， 、、三点共线， 在和中， ， ，故正确． 设正方形的边长为,则,， ， ， ， ， ， ，故正确． 在和中， ， ， ， ， ， 假设正方形边长为，设,则, 如图，连接，交于， ，， 是的垂直平分线， ，， 中，, 中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确． 二﹑填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．方程的根为_________． 【答案】， 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， 即，． 12．计算：_______________． 【答案】1 【详解】解： ． 13．如图，，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，代入已知线段长计算即可求出的长． 【详解】解：， ． ，，， ， ． 14．如图，在中，，，与相交于点H．若，则______． 【答案】4 【分析】先根据已知得到，则，，再证明，，得到，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 15．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）． 【答案】 【分析】通过作水平线构造两个直角三角形，利用矩形性质得到；先用俯角 求出水平距离 ；再利用仰角 的等腰直角三角形特点得到；最后 求出建筑总高度． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形， ． 在中，，则． 在中，， ， ． 16．已知，则___________． 【答案】 【详解】解：将原等式右边展开为：， 移项整理得：． 将拆分为，把式子分为三组分别配方： 设，，原式化为， 配方： 代回原式得： ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0， ∴ 移项得． 三﹑解答题：本题共8小题，共72分。（其中：17-18题每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 解得：，； （2）解：， 整理得：， 因式分解得：，即， ∴或， ∴，． 18．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)以为中心，将顺时针旋转，画出． 【答案】(1) 如图，为所作 (2) 如图，为所作 【分析】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1） 延长到使，则点为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点、，从而得到； （2）根据网格结构找出点A、B、C绕着点C， 顺时针旋转得、、的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤． 结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售． (1)若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为____元； (2)水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元 【分析】本题主要考查一元二次方程与销售利润问题的综合运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法，正确列式求解是解题的关键． （1）每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤，降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为（公斤），由此即可求解； （2）设降价元，则销售量为公斤，得到一元二次方程，因式分解解一元二次方程，结合尽快减少库存，即可求解． 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤， ∴每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤， ∴降价后的销售价格为（元），降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为：（公斤）， ∴每天的销售利润为：（元）， 故答案为：； （2）解：能达到800元，理由如下， 设降价元，则销售量为公斤， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 当降价2元时，销售量为（公斤），当降价4元时，销售量为（公斤）， ∵减少库存，， ∴降价4元，此时的销售单价为（元）， ∴葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元 21．如图，在中，为边的中点，连接，的延长线和的延长线相交于点． (1)求证：． (2)连接，，两线相交于点．若的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， , 为的中点， ． 在和中， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合为边的中点，通过证明，推出； （2）由平行四边形的性质以及为的中点条件，推出，从而得到和的面积比为，进而得到的面积，由与等高，推出的面积，相加得到的面积，从而求得的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形，为边的中点， ，， ，， ， ． 的面积为， ． ， ， ， ， ． 22．舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， （2）解：如图，过点作，分别交，于点，． ，，， ， 四边形，，都是矩形， ，，，． 设，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 故桩与桩的距离的长约为． 23．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． (2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例“换根法”解答即可； （）仿照题例“换根法”解答即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为； （2）解：设所求方程的根为，则， ∵已知方程的根不为零， ∴，，， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为． 24．如图①，已知正方形的边长为，点，分别是，上的动点，满足，连接，交于点． (1)求证：⊥； (2)如图②，连接与交于点，恰好是的中点． ①求的长； ②如图③，点为上一点，⊥，垂足为，求+的最小值． 【答案】(1)证明：在正方形中，，． 在和中： ， ． ， ， ，即． (2)①；② 【详解】（1）略 （2）解：①是的中点，且由（1）知， 垂直平分， ． 在正方形中，， ． ， ， ， 即， ， ． ②连接交于点，连接， 垂直平分， 点关于的对称点为， ， ． ，由垂线段最短，当点为过点所作的的垂线与的交点时，取得最小值，最小值为点到的距离即的长． 正方形的两条对角线互相垂直平分， 点到的距离为， 的最小值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年湘教版九年级上学期期中模拟卷 数学培优卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材湘教版九年级数学上册第1~3章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.如果a=2cm,b=9cm,c=6cm,d=3cm,那么（) A.a,b,c,d成比例 B.a,c,d,b成比例 C.a,c,b,d成比例 D.a,b,d,c成比例 2,若关于*的方程m-2列r+3x-1=0 是一元二次方程，则m的取值范围是() A.m≠0 B.m≠2 C.m≠-2 D.m>2 3.在Rt△ABC中，∠C=0°，BC=1,AC=2,那么tanB的值是() 1 5 2W5 A.2 B.2 C.5 D.5 4.如图，在△ABC中，DE‖BC,则下列比例式一定成立的是() AD AE AD EC AD EC DB AE A.DBEC B.DB AE C.AB AC D.AB AC 第1页共7页 5.用配方法解方程x2-4x-1=0,方程可变形为() A.x-22=3 B.6x-2}2=5 C.(x+2)2=5 D.(r-2y2=1 6.如图，在菱形ABCD中，F是边BC的中点，H为边CD上一点，过点H作EH⊥AB于点E.若HE=6, HF=5,则sin∠EHF的值为() D 4 A.5 7.已知关于x的一元二次方程(a-1)r-4-1=0 实数根，则的取值范围是() A.a≥-4 B.a≥-3 C.a≥-3且a≠1 D.a>-3且a≠1 8.如图，有一信号塔CD,小红站在点F处，测得信号塔顶D的仰角为28°，小红向前走了40m,到达点 E处，测得信号塔顶D的仰角为56°，则信号塔CD的高度为()· D 信 塔 56 28 A.40sin28m B.40tan28°m C.40sin56°m D.40tan56m 9.某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售， 增加利润，商场准备降价销售.经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周 销售该款T恤获利3600元，设每件降低x元，则可列方程为() A.(60-40-8x(200-x)=3600 B.(60-40-x)(200+8x)=360 第2页共7页 c.(60-40-8x)(200+x)=3600 D.(60-40-x(200-8x)=360 10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于 M、N,连接EN、EF,有以下结论：①△ABM∽aNEM;②aAEN是等腰直角三角形： BE2 ®BE+DF=F:④若点p是DC的中点，则CE号C,@当A5=A时，瓷-是，其正第的个 数是() D M B E A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.方程x2-4=0的根为 12.计算：sin260°+sin230°= 13.如图，ADI‖EB FC,若AB=1,AC=3,DF=5,则DE=— B/E C F 第3页共7页 14.如图，在△ABC中，AD=DE=EB,EF∥DG∥AC,EC与DG相交于点H.若AC=24,则GH= A D B 15.如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°.若无 人机的飞行高度AD为lOm,则该建筑的高度BC为 (结果取整数.参考数据：sin17°≈0.29， cos17°≈0.96.tan17°≈0.31). B D C 16.已知d+26+d2+=(2b-a-c小42h,则a-b= 三、解答题：本题共8小题，共72分。（其中：17-18题每题6分，1920题每题8分，21-22题每题10分， 23-24题每题12分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.解方程： )2-9=0 3x(x+1)=3x+3 (2) 18.计算： (1)3tan30°-tan45°+2sin60°+2cos60° 第4页共7页 a10+2in30+5-刘°+ 19.在网格图中，己知△ABC和点 M(1,2) (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△AB'C': (2)以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°，画出△A"BC"」 20.某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60 公斤.结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该 水果经销商决定降价销售 (1)若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为_元： (2)水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不 能，请说明理由， 21.如图，在ABCD中，E为边DC的中点，连接AE,AE的延长线和BC的延长线相交于点F. A (1)求证：BC=FC (2)连接AC,BE,两线相交于点G.若△CEG的面积为2，求口ABCD的面积. 22.舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典 活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）.在舞狮表演中，梅花桩AB,CD,EF垂直于 第5页共7页 地面，且B,D,F在同一直线上（如图②所示），如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为 35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为lm,两桩的距离BF为2m. Q T动 B D F 图① 图② (1)舞狮人从A跳跃至C，随后再跳跃至E,所成的角∠ACE= (2)求桩AB与桩CD的距离BD的长（结果精确到0.01m,参考数据：tan35°=0.7002，tan47°≈1.0724）. 23.已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：谈所求方程的根为，则=2x,所以一克，起*=古代入已方起得)+号1-0， ,化简得 y2+2y-4=0 y2+2y-4=0 ，故所求方程为 ,这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根 法” 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程.（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程x+2x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍. (2)已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方 程根的倒数， 24.如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点E,F分别是AB,AD上的动点，满足AE=DF,连接 DE,CF交于点G D G G R ① ② ③ 第6页共7页 (1)求证：CF⊥DE; (2)如图②，连接AC与DE交于点H,恰好G是DH的中点. ①求DF的长： ②如图③，点P为CF上一点，P⊥AC,垂足为，求PH+P№的最小值. 第7页共7页