2026-2027学年人教版数学九年级上册 期中专题：反比例函数的图像和性质-

期中专题：反比例函数的图像和性质-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．若点（2，5）在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（　　） A．（﹣2，5） B．（﹣5，﹣2） C．（2，﹣5） D．（﹣5，2） 2．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m＞0 D．m＜0 3．若点A（x1，﹣2），B（x2，4），C（x3，8）都在反比例函数y的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1 4．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．5 B．10 C．﹣5 D．﹣1 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（3，﹣4） B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 6．已知反比例函数，点M（x1，y1）和N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点，若对于x1＝k，1≤x2≤2，都有y1＜y2，则k的取值范围是（　　） A．1＜k＜2 B．0＜k＜1 C．k＞2或0＜k＜1 D．k＜1或1＜k＜2 7．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 8．如图，第一象限的角平分线OP与反比例函数的图象交于点P．点A、点B分别在x轴和y轴的正半轴上，分别连接AP、BP，若∠APB＝90°，且四边形OAPB的面积为4．则k的值为（　　） A．4 B．2 C．3.5 D．8 二．填空题（共6小题） 9．已知A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）两点在反比例函数的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围为___________ ． 10．已知x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y（t是常数），则称点M（x，y）是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是____________ ． 11．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值为________ ． 12．如图，过原点且平行于y＝3x﹣1的直线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象相交于点C，过直线OC上的点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD＝2BD，那么点C的坐标为 ____________________ ． 13．如图，直线y＝mx+n与双曲线y（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（a，﹣2），则不等式mx+n的解集是_______________ ． 14．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y，y的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C，则△ABC的面积为_____ ． 三．解答题（共7小题） 15．已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝4． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x＝1.5时，求y的值； （3）当y＝6时，求x的值． 16．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线交于点，B（n，﹣1）． （1）求直线与双曲线的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 17．已知y是x的反比例函数，且当时，y＝﹣4． （1）求该反比例函数的表达式； （2）补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； x … ﹣6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 6 … y … … （3）当﹣4≤x≤﹣1时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为_____ ． 18．如图，一次函数yx+1与反比例函数y的图象相交于点A（2，a）、B（b，﹣1）． （1）求a、b以及反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P是y轴上的一点，△ABP的面积是12，求点P的坐标． 19．如图，已知一次函数y1x+3的图象与反比例函数y2（k≠0）的图象交于A（4，m）、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数y2的表达式和点B的坐标； （2）过点C的直线y3＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2的图象只有一个公共点．若y3＜y2＜y1，则x的取值范围是___________ ． 20．如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A（2，1），反比例函数的图象经过点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，延长线段OA交的图象于点D，连接OB，BD，则△OBD的面积＝_____ ． 21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣2），B（1，t）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当x＞3时，对于x的每一个值，一次函数y＝nx（n≠0）的值既大于反比例函数的值，又小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 期中专题：反比例函数的图像和性质-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．若点（2，5）在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（　　） A．（﹣2，5） B．（﹣5，﹣2） C．（2，﹣5） D．（﹣5，2） 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：∵点（2，5）在反比例函数的图象上， ∴k＝2×5＝10， ∴该反比例函数的表达式为：， 对于选项A， 当x＝﹣2时，y5，， ∴点 （﹣2，5）不在该反比例函数的图象上， 故选项A不符合题意； 对于选项B， 当x＝﹣5时，y2， ∴点 （﹣5，﹣2）在该反比例函数的图象上， 故选项B符合题意； 对于选项C， 当x＝2时，y5， ∴点 （2，﹣5）不在该反比例函数的图象上， 故选项C不符合题意； 对于选项D， 当x＝﹣5时，y2， ∴点 （﹣5，2）不在该反比例函数的图象上， 故选项D不符合题意， 故选：B． 2．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m＞0 D．m＜0 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：由题意得，m﹣1＜0， 解得m＜1． 故选：B． 3．若点A（x1，﹣2），B（x2，4），C（x3，8）都在反比例函数y的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为y， 所以反比例函数的图象位于第一、三象限且在每个象限内y随x的增大而减小． 因为点A（x1，﹣2），B（x2，4），C（x3，8）都在该反比例函数的图象上且﹣2＜4＜8， 所以x1＜0＜x3＜x2， 即x1＜x3＜x2． 故选：C． 4．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．5 B．10 C．﹣5 D．﹣1 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：根据反比例函数的图象性质可知： 2×2＝4，﹣3×（﹣3）＝9， 结合图象得4＜k＜9， 故选：A． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（3，﹣4） B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：根据反比例函数的图象与性质逐项分析判断如下： ∵当x＝3时，， ∴A错误，不符合题意； ∵k＝12＞0， ∴反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误，不符合题意； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴C正确，符合题意； ∵k＞0，当x＞0时，函数图象在第一象限， ∴y随x的增大而减小， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 6．已知反比例函数，点M（x1，y1）和N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点，若对于x1＝k，1≤x2≤2，都有y1＜y2，则k的取值范围是（　　） A．1＜k＜2 B．0＜k＜1 C．k＞2或0＜k＜1 D．k＜1或1＜k＜2 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【解答】解：①k﹣1＞0，即k＞1，此时反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而减小． ∵对于x1＝k，1≤x2≤2，都有y1＜y2， ∴点M（x1，y1）和N（x2，y2）都在第一象限， ∴k＞2； ②k﹣1＜0，即k＜1，此时反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而增大， ∵对于x1＝k，1≤x2≤2，都有y1＜y2， ∴点M（x1，y1）和N（x2，y2）都在第四象限， ∴0＜k＜1． 综上，k的取值范围是k＞2或0＜k＜1． 故选：C． 7．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为﹣2． 观察函数图象，发现： 当﹣2＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方， ∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2． 故选：A． 8．如图，第一象限的角平分线OP与反比例函数的图象交于点P．点A、点B分别在x轴和y轴的正半轴上，分别连接AP、BP，若∠APB＝90°，且四边形OAPB的面积为4．则k的值为（　　） A．4 B．2 C．3.5 D．8 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：如下图所示，过点P作PE⊥y轴，PD⊥x轴， ∴∠AOB＝∠ODP＝∠OEP＝90°， ∴四边形PEOD是矩形， ∴∠APD+∠APE＝90°， ∵OP是第一象限的角平分线， ∴PE＝PD， ∴四边形PEOD是正方形， ∵∠APB＝90°， ∴∠BPE+∠APE＝90°， ∴∠BPE＝∠APD， 在△BPE和△APD中， ， ∴△BPE≌△APD（ASA）， ∴S正方形PEOD＝S四边形OAPB＝4， ∴PE＝PD＝2， ∴点P的坐标为（2，2）， ∴， ∴k＝4． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．已知A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）两点在反比例函数的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围为　﹣1＜a＜1　 ． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为， 所以反比例函数的图象位于第一、三象限且在每个象限内y随x的增大而减小． 因为A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）两点在该反比例函数的图象上且y1＜y2， 所以a+1＞0且a﹣1＜0， 解得﹣1＜a＜1． 故答案为：﹣1＜a＜1． 10．已知x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y（t是常数），则称点M（x，y）是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是m＜2且m≠1　 ． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：∵x2＝2y+t，y2＝2x+t， ∴x2﹣y2＝（2y+t）﹣（2x+t）＝2y﹣2x+t﹣t， 即（x+y）（x﹣y）＝﹣2（x﹣y）， ∵x≠y， ∴x+y＝﹣2，即y＝﹣2﹣x， ∵点M（x，y）在反比例函数的图象上，且存在两个不同的关联点， ∴， 整理得x2+2x+（m﹣1）＝0， 该方程需有两个不相等的实数根，且反比例函数要求m﹣1≠0， ∴Δ＝22﹣4×1×（m﹣1）＞0，且m≠1， 计算得4﹣4（m﹣1）＞0， 解得m＜2， 综上可知m＜2且m≠1． 故答案为：m＜2且m≠1． 11．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值为　﹣10　 ． 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【解答】解：连接AO， 设A（m，n）， ∵点A在第二象限，△ABP的面积为5， ∴AB＝﹣m，OB＝n，mn＝k， ∵AB⊥y轴， ∴AB∥x轴， ∴S△AOB＝S△ABP＝5， ∴，即， ∴mn＝﹣10， 则k＝mn＝﹣10． 故答案是：﹣10． 12．如图，过原点且平行于y＝3x﹣1的直线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象相交于点C，过直线OC上的点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD＝2BD，那么点C的坐标为 　（，）　 ． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：过原点且平行于y＝3x﹣1的直线为y＝3x， ∵A（1，3）， ∴AB＝3，OB＝1， ∵AD＝2BD， ∴AB＝3BD， ∴BD＝1， ∴D（1，1） 将D坐标代入反比例解析式得：k＝1； ∴反比例函数的解析式为：y， 由解得：或， ∵x＞0， ∴C； 故答案为：． 13．如图，直线y＝mx+n与双曲线y（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（a，﹣2），则不等式mx+n的解集是　﹣2＜x＜0或x＞4　 ． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：由条件可得， 解得k＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为， 将B（a，﹣2）代入反比例函数解析式得： ， ∴a＝4， ∴B（4，﹣2）， 由函数图象可得，不等式的解集是﹣2＜x＜0或x＞4． 故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4． 14．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y，y的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C，则△ABC的面积为　8　 ． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观． 【解答】解：由得，x＝±， 因为点A在第一象限， 所以点A坐标为（）； 由得，x＝±， 因为点B在第三象限， 所以点B坐标为（）． 因为AC和BC分别与y轴和x轴平行， 所以点C坐标为（）且∠C＝90°， 所以AC，BC， 所以． 故答案为：8． 三．解答题（共7小题） 15．已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝4． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x＝1.5时，求y的值； （3）当y＝6时，求x的值． 【解答】解：（1）∵y与x2成反比例， ∴y． ∵当x＝3时，y＝4， ∴4， 解得k＝36， ∴y； （2）∵由（1）知y， ∴当x＝1.5时，y16； （3）∵由（1）知y， ∴当y＝6，即6， 解得x＝±． 16．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线交于点，B（n，﹣1）． （1）求直线与双曲线的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力． 【解答】解：（1）∵双曲线过点， ∴， 解得m＝﹣1， ∴双曲线的解析式为， 把B（n，﹣1）代入中，得﹣1， ∴n＝1， ∴B（1，﹣1）； 把，B（1，﹣1）代入y＝kx+b（k≠0）得， ∴， ∴直线的解析式为y＝﹣2x+1； （2）由函数图象可知，不等式的解集为或0＜x＜1， ∴不等式的解集为或0＜x＜1． 17．已知y是x的反比例函数，且当时，y＝﹣4． （1）求该反比例函数的表达式； （2）补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； x … ﹣6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 6 … y … … （3）当﹣4≤x≤﹣1时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为　6　 ． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：（1）设， ∵当时，y＝﹣4， ∴， 解得：k＝﹣6， ∴该反比例函数的表达式为； （2）列表： x … ﹣6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 6 … y … 1 2 3 6 ﹣6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 描点，连线，画图象如下， （3）据函数图象可知函数y的最大值为：当x＝﹣1时，， 故答案为：6． 18．如图，一次函数yx+1与反比例函数y的图象相交于点A（2，a）、B（b，﹣1）． （1）求a、b以及反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P是y轴上的一点，△ABP的面积是12，求点P的坐标． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：（1）将A，B坐标分别代入yx+1得， ， 所以a＝2，b＝﹣4， 则点A坐标为（2，2），点B坐标为（﹣4，﹣1）． 将点A坐标代入y得， k＝2×2＝4， 所以反比例函数的表达式为； （2）由函数图象可知， 当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为﹣4＜x＜0或x＞2； （3）将x＝0代入yx+1得，y＝1， 所以点M坐标为（0，1）． 因为△ABP的面积是12， 所以， 解得PM＝4， 则1+4＝5，1﹣4＝﹣3， 所以点P坐标为（0，5）或（0，﹣3）． 19．如图，已知一次函数y1x+3的图象与反比例函数y2（k≠0）的图象交于A（4，m）、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数y2的表达式和点B的坐标； （2）过点C的直线y3＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2的图象只有一个公共点．若y3＜y2＜y1，则x的取值范围是　4＜x＜16　 ． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力． 【解答】解：（1）∵一次函数y1x+3的图象过点（4，m）， ∴m4+3＝6， ∴A（4，6）， 又∵反比例函数y2（k≠0）的图象过点A（4，6）， ∴k＝4×6＝24， ∴反比例函数的表达式为y2， 联立， 解得或， ∴B（﹣8，﹣3）； （2）在y1x+3中，令x＝0，得y＝3， ∴直线y3＝ax+3， 联立， 得ax2+3x﹣24＝0， ∵直线y3＝ax+b与双曲线y只有一个交点，设交点为E， ∴Δ＝9+96a＝0， ∴a， ∴y3x+3， 令x+3， 整理得 x2﹣32x+256＝0，即（x﹣16）2＝0， ∴x＝16， ∴切点E的横坐标为16， ∴若y3＜y2＜y1，则x的取值范围是4＜x＜16． 故答案为：4＜x＜16． 20．如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A（2，1），反比例函数的图象经过点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，延长线段OA交的图象于点D，连接OB，BD，则△OBD的面积＝　6　 ． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力． 【解答】解：（1）∵▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A（2，1）， ∴点B（2，4）， 又∵点B（2，4）在y的图象上， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的关系式为y； （2）如图2，延长BA交x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，则S△BOM＝S△ODN8＝4， 设直线OA的关系式为y＝kx，而点A（2，1）， ∴k， ∴直线OA的关系式为yx， 由于点D在yx的图象上，可设点D（x，x）， 而点D在y的图象上， ∴x•x＝8， 解得x＝4或x＝﹣4＜0（舍去）， ∴点D（4，2）， ∴S△BOD＝S△BOM+S梯形BDNM﹣S△ODN ＝S梯形BDNM （4+2）×（4﹣2） ＝6， 故答案为：6． 21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣2），B（1，t）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当x＞3时，对于x的每一个值，一次函数y＝nx（n≠0）的值既大于反比例函数的值，又小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：（1）由条件可得，， 解得：m＝6， ∴反比例函数的解析式为， 把B（1，t）代入得，t＝6， ∴B（1，6） 把A（﹣3，﹣2），B（1，6）代入一次函数y＝kx+b（k≠0）得： ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为y＝2x+4， （2）如图， ∵当x＞3时，对于x的每一个值，一次函数y＝nx（n≠0）大于反比例函数的值， 当x＝3时，， ∴C（3，2）， 将C（3，2）代入y＝nx（n≠0），即2＝3n，解得：， ∴一次函数， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值， 又∵当x＞3时，一次函数y＝nx（n≠0）的值小于一次函数y＝2x+4的值， ∴n≤2 综上所述，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $