期中考前模拟拔高卷二（第25章-28章）-2026-2027学年人教版数学九年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中考前模拟拔高卷二（第25章-28章） 一、选择题（共30分） 1．对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图是二次函数的图象，则，的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 5．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 6．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 二、填空题（共18分） 11．若、是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 12．如图，正比例函数与反比例函数的图像在第一象限内交于点A，且，则_____． 13．已知是抛物线上的三点，则的大小关系用“”连接是______． 14．已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 15．如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（）的度数是______． 16．如图是一幅矩形画卷，其面积为，在画卷背面恰好镶嵌有三块相同的矩形纸片（图中的阴影部分）．已知矩形纸片宽与长的比是，则矩形画卷的长为________． 三、解答题（共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知二次函数． (1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)求图象与x轴的交点坐标，并写出当时x的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作绕原点逆时针旋转得到的（点、、的对应点分别为点、、）； (2)作关于原点成中心对称的（点、、的对应点分别为点、、）． 20．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 21．第十五届全国运动会于年月日在广州开幕，全运会官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”．某大型商场销售全运会吉祥物，该商场吉祥物的进价为每套元，若销售价定为每套元，则每天可销售套，通过市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出套． (1)为了进一步推广宣传这一全国体育盛事并尽量减少库存，商场决定降价促销，要使每天销售获利元，销售价应为每套多少元？ (2)该商场能否每天销售获利元，若能，销售价为每套多少元？若不能，请说明理由． 22．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求四边形的面积． 23．如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 24．如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时以相同的速度从出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 25．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中考前模拟拔高卷二（第25章-28章） 一、选择题（共30分） 1．对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是判断各选项中的系数对任意实数是否恒不为0． 【详解】解：二次函数的二次项系数不能为0． 选项A：当时，二次项系数为0，不是二次函数． 选项B：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项C：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项D：∵，∴，即对任意实数，二次项系数恒不为0，一定是二次函数． 2．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将道路平移，可得到长方形的长为，宽为，直接代入面积公式即可． 【详解】解：由题意可列式：． 3．如图是二次函数的图象，则，的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点判断的符号． 【详解】解：根据题图可知，抛物线的对称轴在轴右侧，则， 解得， 抛物线与轴的交点在轴上方， 可得， 故选项满足题意． 4．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点关于点对称，，，，， ，， ， ， 符合题意的有①②③． 5．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，变形等式匹配目标方程形式，即可确定所求根． 【详解】解：将代入，得． 将等式两边同时除以，得． 整理得． 方程必有一根为． 6．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用方程解的定义，将看作整体，与原方程中的取值对应求解． 【详解】解：∵方程的解为，， ∴，， 令，解得， 令，解得， 即方程的解为，． 7．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 8．如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解． 【详解】解：点、是双曲线 上的点， 过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为， ，， ， ，， ． 9．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到，，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明，接着证明，然后根据勾股定理可计算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 10．如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】设矩形花圃的宽为米，长为米，根据篱笆总长与墙长的关系列出与的等量关系，构建面积关于的二次函数，结合确定自变量取值范围，利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：设米，米， ∵篱笆总长为米，墙米，且其余部分用篱笆围成， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， 解得， 又， ∴， 设矩形花圃面积为平方米， ， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时， ∴， 即矩形花圃面积的最大值是平方米． 二、填空题（共18分） 11．若、是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：由根与系数的关系，得 ， ∴． 12．如图，正比例函数与反比例函数的图像在第一象限内交于点A，且，则_____． 【答案】 【分析】设点A的坐标为，利用两点间距离公式列式求得a的值，从而确定点A的坐标，再运用待定系数法求解即可． 【详解】解：由题意知，设点A的坐标为， ∵ ∴，解得：或（负值不合题意，舍去）， ∴点A的坐标为． ∵正比例函数与反比例函数的图像在第一象限内交于点A， ∴． 13．已知是抛物线上的三点，则的大小关系用“”连接是______． 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：该抛物线的解析式为顶点式， 二次项系数为，因此抛物线开口向上，且对称轴为直线， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴对应函数值满足． 14．已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 【答案】 【分析】先令得到一元二次方程，利用结合根与系数的关系列方程求解． 【详解】解：令，得一元二次方程 ， 设点，点，且， 故是一元二次方程的两个根， ，， 由题意得，且， ∴ ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 15．如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（）的度数是______． 【答案】 或 【分析】分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点D在上方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为； 如图所示，当点D在下方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角的大小为； 综上所述，旋转角的大小为或. 16．如图是一幅矩形画卷，其面积为，在画卷背面恰好镶嵌有三块相同的矩形纸片（图中的阴影部分）．已知矩形纸片宽与长的比是，则矩形画卷的长为________． 【答案】 【分析】设矩形纸片的宽为，则长为，根据图形拼接关系表示出矩形画卷的长和宽，利用面积公式列方程求解即可 【详解】解：设矩形纸片的宽为， ∵矩形纸片宽与长的比是， ∴矩形纸片的长为， 由图可知，矩形画卷的长为，宽为， ∵矩形画卷的面积为， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴，即矩形画卷的长为． 三、解答题（共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 18．已知二次函数． (1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)求图象与x轴的交点坐标，并写出当时x的取值范围． 【答案】(1)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为 (2)与x轴的交点坐标为和，取值范围为 【分析】（1）因为二次函数二次项系数为正，所以可直接判断开口方向；如果用配方法将函数化为顶点式的形式，那么可直接得到对称轴为直线，顶点坐标为，也可使用对称轴公式、顶点纵坐标公式计算对应结果． （2）求图象与x轴的交点坐标时，因为x轴上点的纵坐标为0，所以令，解一元二次方程，得到的根就是交点的横坐标；因为该二次函数开口向上，所以当时，x的取值范围在两个交点横坐标之间． 【详解】（1）解：． ∵ ， ∴ 开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ． （2）解：令 ，得 ， 即 ， 解得 ， ∴ 与 x 轴的交点坐标为 和 ． ∵ 抛物线开口向上， ∴图象在 x 轴下方的部分对应的 x 的取值范围为． 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作绕原点逆时针旋转得到的（点、、的对应点分别为点、、）； (2)作关于原点成中心对称的（点、、的对应点分别为点、、）． 【答案】(1)绕原点逆时针旋转得到的如图所示： (2)关于原点成中心对称的如图所示： 【分析】（1）根据旋转规律：点绕原点逆时针旋转后的坐标为，写出点、、的对应点分别为点、、的坐标，再描点后顺次连接、和即可得到； （2）根据中心对称规律：点关于原点对称的点坐标为，写出点、、的应点分别为点、、的坐标，再描点后顺次连接、和，得到． 【详解】（1）绕原点逆时针旋转后，点、、的对应点、、的坐标分别为： 、、， 作图略． （2）关于原点成中心对称，点、、的对应点、、的坐标分别为： 、、， 作图略． 20．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出两交点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）通过交点坐标以及函数图象，可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， ∴； 将代入，得， 解得， ∴； 将和代入，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得交点坐标为和， 通过图象可得，当时，或． 21．第十五届全国运动会于年月日在广州开幕，全运会官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”．某大型商场销售全运会吉祥物，该商场吉祥物的进价为每套元，若销售价定为每套元，则每天可销售套，通过市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出套． (1)为了进一步推广宣传这一全国体育盛事并尽量减少库存，商场决定降价促销，要使每天销售获利元，销售价应为每套多少元？ (2)该商场能否每天销售获利元，若能，销售价为每套多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)销售价应为每套元 (2)不能每天销售获利元，理由如下： 设每套降价元时每天销售获利元，由题意得， 整理得，，， ， 该方程无实数根，不存在满足条件的销售价． 【详解】（1）解：设销售价应为每套元，由题意得， 整理得， ， 或， 要尽量减少库存，需要每天销量尽可能大，当时，销量为，当时，销量为， 销售价应为每套元． （2）解：不能每天销售获利元，理由同参考答案． 22．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）连接，根据旋转的性质推出为等边三角形，即可得出结果； （2）先证明，再证明为直角三角形，过点作，勾股定理求出的长，分割法求出四边形的面积即可. 【详解】（1）解：连接， ∵旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，即点与的距离为4； （2）解：∵等边， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴的面积为， 过点作，则， ∴， ∴的面积为， ∵四边形的面积为的面积与的面积之和， ∴四边形的面积为. 23．如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为（）． (2)①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度． 【分析】（1）以中点为原点、直线为轴、过拱顶且垂直于的直线为轴建立坐标系；用待定系数法设，代入、两点坐标求参数； （2）利用解析式计算拱顶及集装箱顶部到水面的高度并比较． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，． 设抛物线的函数表达式为． ∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为， ∴，，且点、都在抛物线上． ∴ 解得，． ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为， ∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面． 在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，． ∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过． ②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面． 集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过． 设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为． 需满足，解得． ∴至少要增加的吃水深度． 24．如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时以相同的速度从出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图象如图：；性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； (3)或 【分析】（1）先用勾股定理算出，分两段讨论，点在、上，利用三角形面积公式求；两个三角形同高，面积之比等于底边长之比，化简求出． （2）通过描点、连线画出两个函数图象，观察图象增减性写出的一条性质． （3）联立解析式求出交点横坐标，对照图象得到满足的范围． 【详解】（1） 在中，，，， ． 如图：当点在上，即时， ，边上的高为， ． 如图当点在上，即时， ，边上的高为， ． 由题意可得：，过作于，则是和的高， ，即． （2）、图象：略； 函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）联立，解得； 联立，解得； 由函数图象可知：当时，或， 当时，或． 25．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，点E的坐标为，其中，从而求出与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可； （3）设点D的坐标为，点F的坐标为，根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点和点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，点E的坐标为，其中， ∴， ， ， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 设点D的坐标为，点F的坐标为， 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，， ∴此时点D的坐标为或； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， ∴此时点D的坐标为； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， 此时点D的坐标为． 综上，存在，此时点D的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $