2026-2027学年人教版数学九年级上册 期中专题：二次函数的图像和性质-

期中专题：二次函数的图像和性质-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．抛物线y＝（x+3）2﹣2的顶点的横坐标为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 2．抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后二次函数表达式为（　　） A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3 3．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1图象的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝1 4．关于二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象，下列结论正确的是（　　） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线x＝2 C．其最小值为1 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 5．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 7．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1在x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 1 3 1 … 则下列判断正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 9．抛物线y＝ax2+c的顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线yx2相同，则a，c的值分别为（　　） A．，2 B．，﹣2 C．，2 D．，﹣2 10．分段函数是一种在不同的“x范围”里，对应不同函数表达式的函数，若分段函数y的函数图象如图所示．A，B分别为对应二次函数图象的顶点，则下列说法中正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．不存在一次函数y1＝kx+b的图象与此分段函数的图象有两个交点 C．点A的坐标为（﹣2，7），分段函数最大值为7 D．不等式y≥3的解集为﹣4≤x≤0或x≥4 二．填空题（共6小题） 11．若抛物线y＝（n+1）x2﹣2（n为常数）的开口向下，则n的值可以是_______ ．（写出一个即可） 12．已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为 ___________ ． 13．已知函数y＝（x﹣1）2+2，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为_____ ． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 2 ﹣1 2 5 … 则抛物线的对称轴为__________ ． 15．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a为常数，a≠0）关于x轴对称的抛物线经过点（1，4），则a的值为_____ ． 16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0），M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，若对于﹣a﹣1≤x1≤﹣a，3≤x2≤5都有y1＜y2，则a的取值范围是____________________ ． 三．解答题（共7小题） 17．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣2． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标． （2）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围． 18．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）经过点（2，3）． （1）求a的值； （2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 19．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表． x … ﹣1 0 1 2 … y … 3 0 m 0 … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是___________ ； ③当y≥0时，x的取值范围是____________ ． 20．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，3），对称轴为直线x＝﹣1． （1）求二次函数的表达式． （2）若点B（1，8）向上平移3个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值． （3）当n﹣1≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为3，求n的值． 21．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），与y轴交于D点，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连结OC、OB，求出△BOC的面积； （3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围． 22．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标k倍的点（k为常数，且k≠0），则把该函数称为“k倍函数”，该点称为“k倍点”，例如：“2倍函数”y＝x+1，其“2倍点”坐标为（1，2）． （1）①判断：函数y＝2x+2_______ “2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数y＝x2+2的图象上的“3倍点”的坐标为________________ ． （2）若抛物线y＝（m﹣1）x2+mxm上有两个“2倍点”，求m的取值范围． （3）若函数y＝x2+（m﹣k）x的图象上存在唯一的一个“k倍点”，且当﹣2≤m≤1时，n的最小值为﹣k，求k的值． 23．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，且过点C（4，5）．直线l：y＝﹣x+1与y轴交于点F． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线l：y＝﹣x+1下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：y＝﹣x+1的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 期中专题：二次函数的图像和性质-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．抛物线y＝（x+3）2﹣2的顶点的横坐标为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：∵抛物线解析式可变形为y＝[x﹣（﹣3）]2﹣2， 又∵抛物线顶点式为y＝a（x﹣h）2+k， ∴顶点的横坐标为﹣3． 故选：A． 2．抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后二次函数表达式为（　　） A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位， ∴平移后的抛物线的表达式为y＝2（x+1）2﹣3． 故选：B． 3．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1图象的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝1 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：由题意可得：， 抛物线的对称轴为直线x＝2， 故选：B． 4．关于二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象，下列结论正确的是（　　） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线x＝2 C．其最小值为1 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，当x＝1时，函数的最小值为﹣1，当x＜1时，y随x的增大而减小， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 5．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力． 【解答】解：联立二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a， 消去y得，ax2+a＝0， ∴Δ＝﹣4a2＜0，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令ax2+bx＝0， 解得：x1＝0，， ∴二次函数y＝ax2+bx与x轴的交点坐标为（0，0）或，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过一、三、四象限，则b＞0，﹣a＜0，即a＞0，b＞0，矛盾，故不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过二、三、四象限，则b＜0，﹣a＜0，即a＞0，b＜0，故正确，符合题意． 故选：C． 6．若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）， ∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴是x1， ∴点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的图象上， ∴点A（﹣1，y1）的对称点的坐标是（3，y1）． ∵抛物线开口向上，当x＞1时，y随着x的增大而增大，且2＜3＜4， ∴y2＜y1＜y3． 故选：A． 7．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1在x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【解答】解：二次函数y＝（x﹣m）2﹣1的对称轴为直线x＝m， ∵a＝1＞0， ∴开口向上， ∴x＜1时，y的值随x值的增大而减小， 当x＜m时，y的值随x值的增大而减小， ∴若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1在x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m≥1， 故选：A． 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 1 3 1 … 则下列判断正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 【解答】解：∵由图表可以得出当x＝0或2时，y＝1，可以求出此函数的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，3）， ∴二次函数解析式为：y＝a（x﹣1）2+3， 再将（0，1）点代入得：1＝a（﹣1）2+3， 解得：a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣1）2+3， ∵a＜0 ∴A，抛物线开口向上错误，故A错误； ∵y＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣2x2+4x+1， 与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴， 故B错误； ∵当x＞1时，y随x的增大而减小时正确的， 故C正确； ∵方程ax2+bx+c＝0，Δ＝16+4×2×1＝22＞0， 此方程有两个不相等的实数根， 由表正根在2和3之间； 故选：C． 9．抛物线y＝ax2+c的顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线yx2相同，则a，c的值分别为（　　） A．，2 B．，﹣2 C．，2 D．，﹣2 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：∵抛y＝ax2+c的顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线yx2相同， ∴a， ∵抛物线y＝ax2+c的顶点坐标是（0，2）， ∴c＝2． 故选：A． 10．分段函数是一种在不同的“x范围”里，对应不同函数表达式的函数，若分段函数y的函数图象如图所示．A，B分别为对应二次函数图象的顶点，则下列说法中正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．不存在一次函数y1＝kx+b的图象与此分段函数的图象有两个交点 C．点A的坐标为（﹣2，7），分段函数最大值为7 D．不等式y≥3的解集为﹣4≤x≤0或x≥4 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【解答】解：由题知， 抛物线y＝﹣x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝﹣2且开口向下，抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2且开口向上， 结合所给分段函数的图象可知， 当﹣2＜x＜2时，y随x的增大而减小， 所以A选项不符合题意； 当一次函数的图象经过坐标原点且与右侧的图象相切时， 该一次函数的图象与此分段函数的图象有两个交点， 所以B选项不符合题意； 因为﹣2＜0， 所以当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）+3＝7， 即点A的坐标为（﹣2，7）． 因为图象点B右侧的部分向右上方无限延伸， 所以函数无最大值， 故C选项不符合题意； 由﹣x2﹣4x+3＝3得， x1＝﹣4，x2＝0； 由x2﹣4x+3＝3的， x3＝0，x4＝4， 所以当﹣4≤x≤0或x≥4时，函数的图象不在直线y＝3的下方，即y≥3， 所以不等式y≥3的解集为﹣4≤x≤0或x≥4， 所以D选项符合题意． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．若抛物线y＝（n+1）x2﹣2（n为常数）的开口向下，则n的值可以是　﹣2　 ．（写出一个即可） 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【解答】解：∵抛物线y＝（n+1）x2﹣2的开口向下， ∴n+1＜0， 解得n＜﹣1， 因此可取n＝﹣2（答案不唯一）． 故答案为：﹣2． 12．已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为 　（﹣1，0）　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【解答】解：∵y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣x2+mx﹣x+m＝﹣x2+m（x+1）﹣x， ∴当x+1＝0，即x＝﹣1时，函数图象恒过定点， 此时y＝﹣1+1＝0， ∴定点A的坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 13．已知函数y＝（x﹣1）2+2，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为　1　 ． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（1，2）， 即x＝1时，y有最小值2， 把y＝3代入y＝（x﹣1）2+2，得（x﹣1）2+2＝3， 解得x1＝0，x2＝2， ∵当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2， ∴m的最小值为1，最大值为2， ∴m的最大值与最小值的差为2﹣1＝1， 故答案为：1． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 2 ﹣1 2 5 … 则抛物线的对称轴为　直线x＝1　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：由表格可知二次函数经过（0，2）和（2，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x． 故答案为：直线x＝1． 15．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a为常数，a≠0）关于x轴对称的抛物线经过点（1，4），则a的值为　2　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【解答】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴将原抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2中的y替换为﹣y，得到﹣y＝ax2﹣2ax﹣2，即y＝﹣ax2+2ax+2， ∵对称后的抛物线经过点（1，4）， ∴4＝﹣a•12+2a•1+2， 解得a＝2． 故答案为：2． 16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0），M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，若对于﹣a﹣1≤x1≤﹣a，3≤x2≤5都有y1＜y2，则a的取值范围是a＜﹣6或0＜a　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：由题意得，抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1的对称轴为直线xa， 又设点N关于对称轴的对称点N′的坐标为（x3，y3），则y3＝y2， ∵抛物线的对称轴x＝a， ∴a，即x3＝2a﹣x2， ∴x3的取值范围为2a﹣5≤x3≤2a﹣3， ①当a≤﹣1时，a＜0≤﹣a﹣1＜﹣a且a＜3，则M、N两点都在抛物线对称轴右侧， ∵此时抛物线开口向下，x＞a时，y随着x的增大而减小， ∴y1在x1＝﹣a﹣1处取最大值，y2在x2＝5处取最小值， ∴只要﹣a﹣1＞5，则点M在点N的右侧，都有y1＜y2． ∴a＜﹣6时都有y1＜y2． ②当﹣1＜a＜0时，2a﹣3＜﹣a﹣1＜﹣a＜3且2a﹣3＜a＜﹣a＜3，则点M位于N、N′两点之间， ∵此时抛物线开口向下，点M到对称轴的距离小于N、N′两点到对称轴的距离， ∴y1＞y2，无解． ③当0＜a＜3时，﹣a﹣1＜﹣a＜0＜a＜3，点M和点N位于对称轴两侧， ∵a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，在对称轴右侧y随着x的增大而增大， ∴y1在x1＝﹣a﹣1处取最大值，y3在x3＝2a﹣3处取最小值， ∴只要﹣a﹣1＞2a﹣3，则y1＜y3，即y1＜y2， ∴0＜a时，都有y1＜y2． ④当a≥3时，﹣a＜2a﹣5且﹣a＜3，此时抛物线开口向上，点M始终在点N和N′的左侧， ∵点M到对称轴的距离大于点N和N′到对称轴的距离， ∴y1＞y2，无解． 综上可知，a＜﹣6或0＜a． 故答案为：a＜﹣6或0＜a． 三．解答题（共7小题） 17．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣2． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标． （2）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：（1）由条件可知对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）； （2）由解析式可知抛物线开口向上， ∴当x＝1时，函数最小值为﹣2， ∵x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣1）2﹣2＝2， x＝2时，y＝（2﹣1）2﹣2＝﹣1， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣2≤y≤2， 故答案为：﹣2≤y≤2． 18．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）经过点（2，3）． （1）求a的值； （2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（2，3），∴3＝a（2﹣1）2+4， 解得：a＝﹣1； （2）∵a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4， 当x＝0时，y＝﹣（0﹣1）2+4＝3， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3）； 当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）． 19．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表． x … ﹣1 0 1 2 … y … 3 0 m 0 … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是　﹣1≤y＜3　 ； ③当y≥0时，x的取值范围是x≤0或x≥2　 ． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【解答】解：（1）根据题意可得， 解得， ∴y＝x2﹣2x． （2）①函数图象如图： ②y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， 开口向上，对称轴为直线x＝1，最小值为﹣1， 当1＜x＜2时，随着x增大，y增大， 当﹣1＜x≤1时，随着x增大，y减小， 当x＝﹣1时，y＝3， 当x＝2时，y＝0， ∴当﹣1＜x＜2时，﹣1≤y＜3． 故答案为：﹣1≤y＜3； ③函数图象开口向上，与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）， ∴当y≥0时，x≤0或x≥2． 故答案为：x≤0或x≥2． 20．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，3），对称轴为直线x＝﹣1． （1）求二次函数的表达式． （2）若点B（1，8）向上平移3个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值． （3）当n﹣1≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为3，求n的值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，3），对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴． ∴二次函数的关系式为y＝x2+2x+3； （2）将点B（1，8）向上平移3个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为（1﹣m，11），恰好落在抛物线y＝x2+2x+3上， ∴（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝11， ∴m1＝5，m2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴m的值为5； （3）n﹣1≤x≤n时，二次函数y＝x2+2x+3的最大值与最小值的差为3， ∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向上， ∴分三种情况讨论： 当n≤﹣1时， （n﹣1）2+2×（n﹣1）+3﹣（n2+2n+3）＝3， ∴n＝﹣2，符合题意； 当n﹣1≤﹣1＜n时，即﹣1＜n≤0， ∴（n﹣1）2+2×（n﹣1）+3﹣[（﹣1）2+2×（﹣1）+3]＝3或n2+2n+3﹣[（﹣1）2+2×（﹣1）+3]＝3， ∴n＝±（不合题意，舍去）或n＝﹣1±（不合题意，舍去）； 当n﹣1＞﹣1时，即n＞0， n2+2n+3﹣[（n﹣1）2+2×（n﹣1）+3]＝3， ∴n＝1，符合题意． 综上所述，n＝﹣2或1． 21．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），与y轴交于D点，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连结OC、OB，求出△BOC的面积； （3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围． 【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力． 【解答】解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上， ∴1＝a， ∴抛物线的解析式为y＝x2； （2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2． 当x＝0时，y＝2， ∴D（0，2）， 联立两函数解析式成方程组，， 解得：或， ∴点C的坐标为（﹣2，4），B（1，1）． ∴S△BOC＝S△COD+S△BOD3； （3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1． 22．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标k倍的点（k为常数，且k≠0），则把该函数称为“k倍函数”，该点称为“k倍点”，例如：“2倍函数”y＝x+1，其“2倍点”坐标为（1，2）． （1）①判断：函数y＝2x+2　不是　 “2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数y＝x2+2的图象上的“3倍点”的坐标为　（1，3）或（2，6）　 ． （2）若抛物线y＝（m﹣1）x2+mxm上有两个“2倍点”，求m的取值范围． （3）若函数y＝x2+（m﹣k）x的图象上存在唯一的一个“k倍点”，且当﹣2≤m≤1时，n的最小值为﹣k，求k的值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【解答】解：（1）①设“2倍点”的坐标为（x，2x），代入y＝2x+2得2x＝2x+2，此方程无解， ∴y＝2x+2不是“2倍函数”； 故答案为：不是； ②设函数y＝x2+2的图象上的“3倍点”的坐标为（x，3x），代入y＝x2+2得： 3x＝x2+2， 解得：x＝1或x＝2， ∴函数y＝x2+2的图象上的“3倍点”的坐标为（1，3），（2，6）． 故答案为：（1，3）或（2，6）； （2）设“2倍点”坐标为（x，2x），代入得： ， 整理得，， ∵抛物线有两个“2倍点”， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为：且m≠1； （3）若函数y＝x2+（m﹣k）x的图象上存在唯一的一个“k倍点”， 设“k倍点”坐标为（x，kx）， ∴， 整理得，， ∴， ∴（m﹣2k）2﹣n+k＝0， n＝（m﹣2k）2+k，即n是关于m的二次函数，图象开口向上， ∴对称轴为直线m＝2k， 当﹣2≤m≤1时，n的最小值为﹣k，根据对称轴与取值范围的关系，分类讨论： ①﹣2≤2k≤1，即， ∴（2k﹣2k）2+k＝﹣k， 解得：k＝0； ∵k≠0， ∴k＝0不符合题意，舍去； ②当2k≤﹣2时，k≤﹣1， ∴m＝﹣2时取到最小值﹣k， ∵（﹣2﹣2k）2+k＝﹣k，整理得，4k2+10k+4＝0， 解得，k1＝﹣2，（舍去）； ③当2k＞1时，， ∴m＝1时取到最小值﹣k， ∴（1﹣2k）2+k＝﹣k，整理得，4k2﹣2k+1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×4×1＝﹣12＜0，无解． 综上所述，k的值为﹣2． 23．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，且过点C（4，5）．直线l：y＝﹣x+1与y轴交于点F． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线l：y＝﹣x+1下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：y＝﹣x+1的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝0， ∴0，解得b＝0， 把C（4，5）代入yx2+c得8+c＝5， 解得c＝﹣3， ∴抛物线解析式为yx2﹣3； （2）存在． 直线y＝﹣x+1交x轴于E点，抛物线与直线y＝﹣x+1相交于M、N，过P点作PH⊥MN于H点，作PQ∥y轴交MN于Q点，如图，则PH， 当x＝0时，y＝﹣x+1＝1， ∴F（0，1）， 当y＝0时，﹣x+1＝0， 解得x＝1， ∴E（1，0）， ∴OE＝OF， ∴△OEF为等腰直角三角形， ∴∠OFE＝45°， ∵PQ∥y轴， ∴∠PQH＝∠OFE＝45°， ∴△PQH为等腰直角三角形， ∴PQPH＝2， 解方程组得或， ∴M（﹣4，5），N（2，﹣1）， 设P（t，t2﹣3）（﹣4＜t＜2），则Q（t，﹣t+1）， ∴﹣t+1﹣（t2﹣3）＝2， 整理得t2+2t﹣4＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝﹣1， ∴满足条件的P点坐标为（﹣1，）或（﹣1，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $