专题06 立体几何初步（学考真题汇编，云南专用）2027年高中数学

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06立体几何初步 4类高频考点 目录 ☑考点一空间几何体 ☑考点二空间点、直线、平面之间的位置关系 ☑考点三直线、平面平行的判定与性质 ☑考点四直线、平面垂直的判定与性质 四学考汇编分考点专练 考点一空间几何体（共6题） 1.B 2.C 3.C 4.D 5.1600π 2π2 6.3擗 考点二空间点、直线、平面之间的位置关系（共5题） 1.D 2.A 3.A 4.B 115 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.c 考点三直线、平面平行的判定与性质（共1题） 1. 【答案】(1)证明见详解：(2)证明见详解， 【分析】(1)连接AC交BD于点O,连接OE,由题意可得OE/PC,利用线面平行的判定定理即可证 出 (2)根据题意证出BD⊥AC、PA⊥BD,利用线面垂直的判定定理即可证出， 【详解】(1)连接AC交BD于点O,连接OE,如图： E 因为ABCD为菱形，则O为AC的中点， 因为点E为PA的中点， 所以OE11PC, 又OEC平面BDE,PC文平面BDE, 所以PCI/平面BDE (2)因为ABCD为菱形， 所以BD⊥LAC, 因为PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥BD, 又因为AC∩PA=A. 所以BD⊥平面PAC 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于基础题 考点四直线、平面垂直的判定与性质（共6题） 215 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.c 2.【答案】(1)证明： 因为PA⊥AD,PA⊥CD,AD∩CD=D,AD,CDC平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD (2)20 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理得证： (2)根据棱锥体积公式计算即可得解， 【详解】(1)略： (2)因为PA=6,四边形ABCD的面积等于10， 1 所以'48cn-3PA-S地ecm=3×6×10=20, 即四棱锥P-ABCD的体积为20 3.【答案】(1) AB,C1-ABC,CC⊥ 在直三棱柱 中， 平面ABC ,CC⊥AD 因为ADc平面ABC,所以C 又D是线段BC的中点，且AB=AC,所以BC⊥AD, CCBC=C CC,BC BCC 因为 平面 所以4D上平面 CC R CC⊥ADBC⊥AD 【分析】(1)结合题设易得 进而结合线面垂直的判定定理求证即可； (2)利用等体积 VC-ABG =VG-ARC 求解即可. 【详解】(1)略 CC⊥ (2)由(1)知， 平面 ABC 因为△ABC是边长为2的正三角形， 315 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=BC=2,BD=1 AD=3 所以 则1 则SABc=与×2xV5=V5 1 2 所以三楼锥C-A8C的体积为=儿-5c×CC=5x3=5 4.【答案】(1) 证明：因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,PB、PCc平面PBC, 因此PA⊥平面PBC, (2)10. 【分析】(1)利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； (2)求出△PBC的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥P-ABC的体积. 【详解】(1)略 （2)因为PBLPC,且pB=4PC=5,则Sax=PBPC=x4x5=10. 2 2 又因为PA⊥平面PBC,且PA=3, 放m号5c1-=兮10x3=l10,即三校能p-BC的体积为10 3 √2 5.【答案】(1)3 (2)证明见详解 【分析】(1)直接由四棱锥体积公式求得结果： (2)先证明SD⊥AC,AC⊥BD得出AC⊥平面SBD 【详解】(1)己知四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，由SD⊥平面ABCD得四棱锥S-ABCD 的高为SD, 所以四棱锥了-ABCD的体积"×50有*1xw反= 3: (2)因为四棱锥S-ABCD的底面是正方形， 所以AC⊥BD 因为SD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 所以SD⊥AC,又SD∩BD=D,SDC平面SBD,BDc平面SBD, 415 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以AC⊥平面SBD 6.【答案】(1) 因为PAL底面ABCD,BDc平面ABCD,所以可得PA⊥BD, 而AC⊥BD,且PAOAC=A,ACc平面PAC,PAc平面PAC 所以BD⊥平面PAC. (2)10 【分析】(1)根据线面垂直，可以得到线线垂直，再根据线垂直于两条相交直线，即可证明线面垂直； (2)先求出底面面积，再根据四棱锥的体积公式即可求解. 【详解】(1)略 (2)设底面H8CD的面积为S,则Sk=Sm+S4c-0D4AC+)OB4C=)BD-4C, S底=6 又因4C=3,BD=4,所以氵 根据四棱锥的体积公式P=3XS%×h,由题意知h=PA, 所以r=写x5×h=写x6x5=10, 所以四棱锥P-ABCD的体积为I0. 5/5 专题06 立体几何初步 4类高频考点 目 录 ✅考点一 空间几何体 ✅考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 ✅考点三 直线、平面平行的判定与性质 ✅考点四 直线、平面垂直的判定与性质 考点一 空间几何体（共6题） 1．（2025·云南学业水平合格考）某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意可得手持弹力球的半径是， 故手持弹力球的体积为. 故选：B 2．（24-25高二·云南学业水平合格考）某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球的表面积公式求解. 【详解】依题意，球的表面积为（）. 故选：C 3．（2020·云南1月学业水平考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体的三视图可得该几何体为圆柱，利用柱体的体积公式即可求解. 【详解】由几何体的三视图可知： 该几何体是以底面半径为，高为的圆柱， 所以. 故选：C 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积以及圆柱的体积公式，需熟记公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 4．（2024·云南7月学业水平考试）某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意，这种球体的表面积为. 故选：D. 5．（2024·云南1月学业水平考试）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是______. 【答案】 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，半径为的球体的表面积为. 故答案为：. 6．（22-23高二·云南学业水平考试）已知圆锥的底面半径为1，高为2，则其体积等于__________. 【答案】## 【分析】直接利用圆锥的体积公式计算得到答案. 【详解】圆锥的体积. 故答案为：. 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系（共5题） 1．（2025·云南学业水平合格考）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方体的特征计算即可. 【详解】由正方体的特征可知侧棱垂直于底面， 又底面，所以，即异面直线与所成的角为. 故选：D 2．（2024·云南7月学业水平考试）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面. 【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A. 3．（24-25高二·云南学业水平合格考）如图，在正方体中，直线与直线（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由图正方体结构特点及异面直线的定义可得答案. 【详解】由图知平面，平面，， 根据异面直线的定义，直线与直线异面. 故选：A 4．（2024·云南1月学业水平考试）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的性质找到异面直线所成的角，求出即可； 【详解】由题意可得，所以异面直线与所成的角等于， 由正方体的性质可得， 故选：B 5．（22-23高二·云南学业水平考试）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为. 【详解】连结、，如下图： 在正方体中，且； 四边形为平行四边形，则； 又在正方体中，为等边三角形， 就是异面直线与所成角,， 异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 考点三 直线、平面平行的判定与性质（共1题） 1．（2020·云南1月学业水平考试）如图，点P为菱形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD ，点E为PA的中点. （1）求证: PC//平面BDE； （2）求证: BD⊥平面PAC. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【分析】（1）连接交于点，连接，由题意可得，利用线面平行的判定定理即可证出. （2）根据题意证出、PA⊥，利用线面垂直的判定定理即可证出. 【详解】（1）连接交于点，连接，如图： 因为ABCD为菱形，则为的中点， 因为点E为PA的中点， 所以, 又平面BDE，平面BDE， 所以PC//平面BDE. （2）因为ABCD为菱形， 所以， 因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥， 又因为. 所以BD⊥平面PAC. 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于基础题. 考点四 直线、平面垂直的判定与性质（共6题） 1．（2020·云南1月学业水平考试）在正方体中，与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面ABCD，得到是与平面所成的角求解, 【详解】如图所示： 因为平面ABCD， 所以AC为在平面上的射影， 所以是与平面所成的角 设棱长，则， 所以， 故选：C 2．（24-25高二·云南学业水平合格考）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明: 因为，，平面， 所以平面. (2)20 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. 【详解】（1）略； （2）因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为. 3．（2024·云南7月学业水平考试）如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 【答案】(1) 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又D是线段BC的中点，且，所以， 因为，平面, 所以平面. (2) 【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面， 因为是边长为2的正三角形， 所以，则， 则， 所以三棱锥的体积为. 4．（2024·云南1月学业水平考试）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积. 【答案】(1) 证明：因为，，，、平面， 因此平面. (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）求出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2）因为，且，，则， 又因为平面，且， 故，即三棱锥的体积为. 5．（22-23高二·云南学业水平考试）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）直接由四棱锥体积公式求得结果； （2）先证明，得出平面. 【详解】（1）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，由平面得四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积； （2）因为四棱锥的底面是正方形， 所以, 因为平面，平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面. 6．（2025·云南学业水平合格考）如图，在四棱锥中，底面，，.    (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积. 【答案】(1) 因为底面，平面，所以可得， 而，且，平面,平面 所以平面. (2) 【分析】（1）根据线面垂直，可以得到线线垂直，再根据线垂直于两条相交直线，即可证明线面垂直； （2）先求出底面面积，再根据四棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）设底面的面积为，则， 又因，，所以， 根据四棱锥的体积公式，由题意知, 所以， 所以四棱锥的体积为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06立体几何初步 4类高频考点 目录 ☑考点一空间几何体 ☑考点二空间点、直线、平面之间的位置关系 ☑考点三直线、平面平行的判定与性质 ☑考点四直线、平面垂直的判定与性质 学考汇编分考点专练 考点一空间几何体（共6题） (2025云南学业水平合格考)某种手持弹力球的半径是2cm,则这种手持弹力球的体积为() 4π A.3 m3 32元cm B. C.36xcm D.12πcm3 2.(24-25高二云南学业水平合格考)某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为5cm,则这个 球的表面积为() A.10xcm2 B.50元cm2 C.100πcm2 D.400πcm2 3.(2020云南1月学业水平考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 116 可学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ←2→ 正视图 侧视图 -2 俯视图 A.π B.2π C.3π D.4π 4.(2024云南7月学业水平考试)某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品.若这种球体的半径 为10cm,则这种球体的表面积为() A.100πcm2 B.200πcm2 C.300xcm2 D.400xcm2 5.(2024云南1月学业水平考试)某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的 球体，半径为20cm,这种球体的表面积是cm2. 6.(22-23高二云南学业水平考试)已知圆锥的底面半径为1，高为2，则其体积等于 考点二空间点、直线、平面之间的位置关系（共5题） ABCD-ABC D 1.(2025云南学业水平合格考)在正方体 中，异面直线1B与 CC 所成的角为() A君 π B.4 C.3 ABCD-ABCD AB 2.(2024云南7月学业水平考试)如图，在正方体 中，直线与直线BD() 216 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B1 A.异面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直 ABCD-ABC D 3.(24-25高二·云南学业水平合格考)如图，在正方体 中，直线8C与直线DD() D C B A.异面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直 ABCD-ABC D AD CC 4.(2024云南1月学业水平考试)如图，在正方体 中，异面直线与所成的角等 于() D B i; D C B A.君 B.4 C.3 D. 2 ABCD-ABC D 5.(22-23高二·云南学业水平考试)在正方体 中，异面直线1C与4 所成角的大小为 () 316 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C B D -0 B 6 B. 4 元3 C. D. D C B A 在正方体 中， 且 D B ABCD-ABCD AB I/DC AB=DC 考点三直线、平面平行的判定与性质（共1题） 1.(2020云南1月学业水平考试)如图，点P为菱形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD,点E为PA 的中点 D B (1)求证：PC/平面BDE; (2)求证：BD⊥平面PAC 考点四直线、平面垂直的判定与性质（共6题） 1. (2020云南1月学业水平考试)在正方体 BCD-ABGD中， C与平面 BCD 所成角的正弦值是 () 416 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2 V3 5 6 A.2 B.2 C.3 D.3 2.(24-25高二云南学业水平合格考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD,PA⊥CD (1)证明：PA⊥平面ABCD； (2)若PA=6,四边形ABCD的面积等于10，求四棱锥P-ABCD的体积 ABC-AB 3.(2024云南7月学业水平考试)如图，在直三棱柱 中，D是线段BC的中点，且1B=AC B B AD上平面 CC (1)求证： (2)若 CC=3△ABC C-ABC 是边长为2的正三角形，求三棱锥 的体积. 4. (2024云南1月学业水平考试)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC B (1)证明：PA⊥平面PBC: (2)若PA=3,PB=4,PC=5,求三棱锥P-ABC的体积， 516 可学科网 www zxxk com 让教与学更高效 5.(22-23高二云南学业水平考试)如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD1平面 ABCD,SD=2 S D---- (1)求四棱锥S-ABCD的体积； (2)求证：AC⊥平面SBD 6.(2025云南学业水平合格考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AC∩BD=O, AC⊥BD D 0 B (1)求证：BD⊥平面PAC; (2)若AC=3,BD=4,PA=5,求四棱锥P-ABCD的体积 616