专题05 平面向量和复数（学考真题汇编，云南专用）2027年高中数学

西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05平面向量和复数 3类高频考点 目录 ☑考点一平面向量的基本定理及坐标表示 ☑考点二平面向量的数量积 ☑考点三复数 函学考汇编分考点专练 考点一平面向量的基本定理及坐标表示（共7题） 1.B 2.B 3.D 4.D 5.c 6.(1,-1) 7.4 考点二平面向量的数量积（共7题） 1.A 2.C 3.A 4.B 5.c 1/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.C 7.【答案】(1) 因为n(A-B)-V5cos(A-B)=0 所以in(4-B-5cs(A-B)=0, 2 所以( 因为么B为锐角。BC的内角，所以4Be0引】 所以A-B∈ ππ 2'2所以A-B= 3 所以tan(4-B)=tan交=V5 3 【分析】(1)首先对题干中的等式进行化简，求出A-B的值，进而可求出A-B的正切值. (2)首先将向量的数量积表示出来，并进行化简，然后根据角A+B的范围求出向量数量积的范围即可. 【详解】(1)略 (2)因为m=(os4,snA),i=(cosB,-sinB) mn=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B) 所以" 又A-B=,贺<A<开 3’3 2,所以0<B< 6, 而A+B+C=元0<C<,所以A+B=-C> 2 所以子4B<径 1 所以2<cos(4+B)<0 以的取都为 214 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点三复数（共11题） 1.A 2.A 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.B 9.A 10.3 1.【给笑1④4,4=925=2m--2 【分析)（1)将c=0代入可得”=2忽+3， an+1,将4=1代入即可逐一求解. (2)将c=1代入可得 +12a,1-a)=0,构运a+1是以2为首现，以2为公比的等比数列，从而 求出”，再利用分组求和以及等比数列的前”项和公式即可求解 【详解】(1)由 2a2+(3-an+1)an+c-an+1=0c=0 所以2a2+(3-ani)a,-a1=0,解得 a0-242+3g an+1, 4=2a+3g-5 当n=1时， a+12, 当时，则4三20+30=20-40 a2+17 7, n=2 3/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)当c=1时，即2 2a+(3-a1)an+1-an1=0 2a2+3an -ana,+1-an =0 →2a7+2an+an-an+14n+1-a+1=0 2a,(a,+1)+a,+1-a(a,+1)=0 →(an+1)(2an+1-an)=0 0,解得0，=-或0=2a+1 91 an=-1 ,故 (舍去)， 所以01=2a,+1 。1-22号-之 放a+ 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以，+1=2x2=2 即82”1 所以a的”项和 Sn=a1+a2+a3+…+an=2-1+22-1+23-1+…+2"-1 =2+22+23+…+2”-n= 21-2 -n=2m1-n-2 1-2 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列中的项、构造法求数列的通项公式、等比数列的定义、数列分组 求和、等比数列的前n项和公式，属于中档题， 414 专题05 平面向量和复数 3类高频考点 目 录 ✅考点一 平面向量的基本定理及坐标表示 ✅考点二 平面向量的数量积 ✅考点三 复数 考点一 平面向量的基本定理及坐标表示（共7题） 1．（24-25高二·云南学业水平合格考）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法法则求解. 【详解】由向量加法法则知. 故选：B 2．（24-25高二·云南学业水平合格考）已知点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解. 【详解】点，点，则. 故选：B 3．（2024·云南1月学业水平考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 4．（22-23高二·云南学业水平考试）已知向量，若，则（    ） A．-8 B．8 C．-10 D．10 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，， 则，解得. 故选：D. 5．（2024·云南7月学业水平考试）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 6．（22-23高二·云南学业水平考试），则的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解作答. 【详解】因为，则， 所以的坐标为. 故答案为： 7．（2025·云南学业水平合格考）若与共线，则的值为________ 【答案】4 【分析】根据平面向量共线的坐标表示算出答案即可. 【详解】若与共线，则，得， 故答案为：4 考点二 平面向量的数量积（共7题） 1．（24-25高二·云南学业水平合格考）已知平面向量，.若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 2．（2024·云南7月学业水平考试）已知平面向量，，则（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，，∴． 故选：C 3．（2024·云南1月学业水平考试）已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关的等式，解之即可. 【详解】因为平面向量，平面向量，且， 则，解得. 故选：A. 4．（22-23高二·云南学业水平考试）已知与的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义计算. 【详解】. 故选：B. 5．（2020·云南1月学业水平考试）已知向量=（1，2），=(-2，0)，则的值等于 A．-4 B．-3 C．-2 D．1 【答案】C 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由=（1，2），=(-2，0)， 则. 故选：C 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，需熟记运算公式，属于基础题. 6．（2025·云南学业水平合格考）若向量，满足，，，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 则，所以. 故选：C. 7．（24-25高二·云南学业水平合格考）记锐角三角形的内角分别为，，，平面向量，平面向量，已知. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1) 因为， 所以， 所以. 因为为锐角的内角，所以， 所以，所以， 所以. (2) 【分析】（1）首先对题干中的等式进行化简，求出的值，进而可求出的正切值. （2）首先将向量的数量积表示出来，并进行化简，然后根据角的范围求出向量数量积的范围即可. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以. 又，，所以， 而，所以， 所以. 所以，所以的取值范围为. 考点三 复数（共11题） 1．（2025·云南学业水平合格考）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 2．（24-25高二·云南学业水平合格考）已知为虚数单位，设复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数加减法运算求解. 【详解】复数，得. 故选：A 3．（24-25高二·云南学业水平合格考）已知为虚数单位，设复数，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共轭复数的意义直接判断. 【详解】由复数，得。 故选：D 4．（2024·云南7月学业水平考试）已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：C. 5．（2024·云南7月学业水平考试）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 6．（2024·云南1月学业水平考试）已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的减法法则计算即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 7．（2024·云南1月学业水平考试）已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定. 【详解】复数对应的点的坐标为,为第四象限的点， 故选:D. 8．（22-23高二·云南学业水平考试）若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可判断作答. 【详解】复数，则在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 9．（22-23高二·云南学业水平考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数除法运算，化简求得表达式的值. 【详解】因为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题. 10．（2025·云南学业水平合格考）已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为_____. 【答案】3 【分析】利用复数的加法运算和复数的定义求解. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以复数的实部为3， 故答案为：3 11．（2020·云南1月学业水平考试）已知在数列中，是常数，，. （1）若，求的值； （2）若，求的前项和. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）将代入可得，将代入即可逐一求解. （2）将代入可得，构造是以为首项，以为公比的等比数列，从而求出，再利用分组求和以及等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）由，， 所以，解得， 当时，则， 当时，则， （2）当时，即， ，解得或 由，故（舍去）， 所以， 所以，即， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 所以的前项和 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列中的项、构造法求数列的通项公式、等比数列的定义、数列分组求和、等比数列的前项和公式，属于中档题. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05平面向量和复数 3类高频考点 目录 ☑考点一平面向量的基本定理及坐标表示 ☑考点二平面向量的数量积 ☑考点三复数 函学考汇编分考点专练 考点一平面向量的基本定理及坐标表示（共7题） 1.(24-25高二云南学业水平合格考)AB+BC=() A.BC B AC c.2BC D.27C 2.(2425高二云南学业水平合格考)已知点4,2)，点823)，则孤=（) A.65) B(亿) c.（1) D.(43) 3.(2024云南1月学业水平考试若B=L2).C=(1D,则8C=（) A.(2,-1) B.(2,1) c.(-1,2) D.(-2,-1) 4.(2223商二云南学业水平考试)已知向量0=(2-)，6=(40，若a∥6，则=（) 114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-8 B.8 C.-10 D.10 5.(2024云南7月学业水平考试) CA+AB+BD=() A.AB C.CD 0 DC 6.(22-23高二云南学业水平考试) B=(Q,-2),BC=(,）,则4C的坐标为 7.(2025云南学业水平合格考)若a=(2,3)与5=(：，6)共线，则×的值为 考点二平面向量的数量积（共7题） 1.(2425高二云南学业水平合格考》己知平面向量a=(L2).万=(4)若a16,则x=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024云南7月学业水平考试)已知平面向量i=(60,6=0-2).则ā6=（) A.-7 B.-5 C.1 D.5 3.(2024云南1月学业水平考试)已知平面向量0=(2，)，平面向量5=(B,若16，则x=（) 3 A.-6 B.6 c.2 个 4.(22-23高二云南学业水平考试)已知ld=2,5=3,ā与6的夹角为3，则a:6=() A.3 B.3 c.3V3 D35 5.（2020云南1月学业水平考试)已知向量a:(4,2),62,0.则a-6的值等于 A.-4 B.-3 C.-2 D.1 6.(2025云南学业水平合格考)若向量a,6满足-2，=3，ā6=0，则日--（) A.6 B.5 3 .o 7.(24-25高二云南学业水平合格考)记锐角三角形ABC的内角分别为A,B,C,平面向量 214 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m=(cosA4,sinA),平面向量” =(eosB,-sinB）,已知sin(4-B)v5cos(4-B)=0 1)证明： tan(4-B)=3 2)求mn 的取值范围 考点三复数（共11题） 1. (2025云南学业水平合格考)已知i为虚数单位，则复数2=10+20i在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1=2+3i,z2=1- 2.(24-25高二·云南学业水平合格考)已知为虚数单位，设复数 ,则 A.1+4i B.3+2i c.2-3i D.1-4i 3.(24-25高二云南学业水平合格考)已知i为虚数单位，设复数z=10+5i,则z的共轭复数z=() A.5+10i B.5-10i c.-10+5i D.10-5i 4.(2024云南7月学业水平考试)已知i为虚数单位，复数z=3-4i,则2F() A.1 B.3 C.5 D.7 5.(2024云南7月学业水平考试)已知i为虚数单位，则复数z=1+i在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.(2024云南1月学业水平考试)已知为虚数单位，设复数 =2+i=1-3i,则4-3=（） ,则 A.1+4i B.1-2i C.2+4i D.2-2i 7.(2024云南1月学业水平考试)已知i是虚数单位，则复数z=1-1在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.(22-23高二云南学业水平考试)若复数z=-1+2i,则z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 9.(22-23高二云南学业水平考试)1-（) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 3/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10,（2025云南学业水平合格考)已知为虚数单位，设复数=1-1，名=2+ ，则复数+的实部 为一 1.(2020云南1月学业水平考试)已知在数列a,}中，c是常数，a=1,20+3-a,+c-a=0 (1)若c=0」 02,a3 ，求 的值： (2)若0=1，求a的前”项和5 →2an（(an+l)+an+1-an+(an+1)=0 Sn=a1+a2+a3+…+an=2-1+22-1+23-1+…+2"-1 =2+22+23+…+2”-n= 21-2) -n=2m1-n-2 1-2 414