精品解析：云南省2025年秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试题

云南省2025年秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式： 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径. 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 选择题（共66分） 一、选择题：本题共22小题，每小题3分，共66分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集的概念和集合的表示方法求解即可. 【详解】因为集合，，则， 故选：C 2. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 3. 下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可. 【详解】对于A，在上单调递增，不符合题意； 对于B，在上单调递增，不符合题意； 对于C，在上单调递增，不符合题意； 对于D，在上单调递减，符合题意. 故选：D 4. 某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意可得手持弹力球的半径是， 故手持弹力球的体积为. 故选：B 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式直接计算即可. 【详解】由诱导公式知. 故选：A 6. 下列函数中，是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义或性质，逐一判断各选项，即可得答案. 【详解】函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，A错误； 的定义域为R，，则，故该函数为偶函数，B正确； 的定义域为R，令，则，函数不是偶函数，C错误； 的定义域为R，其图象为直线，不关于y轴对称，故函数不是偶函数，D错误， 故选：B 7. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】运用余弦定理进行求解即可. 【详解】. 故选：C 8. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为函数， 所以. 故选：D 9. 已知是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义：若是角终边上的一点，则，求解 【详解】是角终边上的一点，，. 故选：B. 10. （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据对数的运算法则，可得. 故选：A. 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】由题意得在中，，，， 由正弦定理得，解得，故C正确. 故选：C 12. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的最小正周期为. 故选：D. 13. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 14. 已知函数是定义域为的奇函数.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，可得， 又因为，可得. 故选：D. 15. 某校为纪念抗日战争胜利80周年举行了演讲比赛，8位评委对甲同学的演讲评分（单位：分）如下表： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7 评委8 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.2 9.9 将8位评委的评分去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下6位评委评分的平均数为甲同学的最终得分，则甲同学的最终得分为（ ） A. 8.1 B. 8.0 C. 7.9 D. 7.8 【答案】B 【解析】 【分析】首先去掉最低分和最高分，然后计算平均分. 【详解】在8位评委的评分中，最低分为7.5分，最高分为9.9分，去掉这两个分数后， 剩余的6个评分是：7.8、7.8、8.0、8.0、8.2、8.2， . 故选：B 16. 已知，若是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，再利用同角的平方关系化简即得解. 【详解】因为是第二象限角，所以. 故选：A. 17. 下列直线中，是函数图象对称轴的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最值点与对称轴之间的关系，直接代入检验即可. 【详解】对于选项A：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C：因为，为最大值， 所以是函数的对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故D错误； 故选：C. 18. 若向量，满足，，，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 则，所以. 故选：C. 19. 一种产品原来的年产量是件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合指数函数模型直接写出解析式即可. 【详解】由题意可得年产量关于经过的年数的函数解析式为. 故选：A 20. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案. 【详解】 ， 因为，所以  的值域为 ， 故选：B. 21. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方体的特征计算即可. 【详解】由正方体的特征可知侧棱垂直于底面， 又底面，所以，即异面直线与所成的角为. 故选：D 22. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为，再列举求概率即可． 【详解】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为， 从一箱中随机一次性抽出2罐饮料， 则有共6种情况， 符合题意的有5种， 抽出的饮料中有中奖饮料的概率． 故选：A． 非选择题（共34分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 23. 已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】利用复数的加法运算和复数的定义求解. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以复数的实部为3， 故答案为：3 24. 若与共线，则的值为________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示算出答案即可. 【详解】若与共线，则，得， 故答案为：4 25. 若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求得最小值. 【详解】∵，∴， ∴，当且仅当，即时，取等号， 故答案为：. 26. 某公司有员工50人，其中男员工30人，女员工20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该公司全体员工中抽出10人进行有关研究，设抽出男员工人，则_____. 【答案】6 【解析】 【分析】利用抽样比直接计算可得答案. 【详解】样本容量为 10 人， 男员工在总体中所占的比例为， 所以抽出男员工人数. 故答案为：6 三、解答题：本题共3小题，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 27. 2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. （1）求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； （2）求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件乘法公式求解； （2）利用对立事件的概率公式可求解. 【小问1详解】 设事件“甲地下雪”， 事件“乙地下雪”， 因为甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4，所以, 又两地是否下雪是相互独立的，所以甲、乙两地都下雪的概率为. 【小问2详解】 甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率为. 28. 如图，在四棱锥中，底面，，. （1）求证：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积. 【答案】（1） 因为底面，平面，所以可得， 而，且，平面,平面 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直，可以得到线线垂直，再根据线垂直于两条相交直线，即可证明线面垂直； （2）先求出底面面积，再根据四棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设底面的面积为，则， 又因，，所以， 根据四棱锥的体积公式，由题意知, 所以， 所以四棱锥的体积为. 29. 已知为实数，函数，,是函数的零点. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意可知为函数的一个零点，代入求值，即得答案； （2）假设存在满足题意的b，结合二次函数性质列出不等式组，即可得结论，求得答案. 【小问1详解】 由题意知，即为函数的一个零点， 则； 【小问2详解】 假设存在实数，使，， 则，解得， 即存在实数，使，，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省2025年秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式： 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径. 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 选择题（共66分） 一、选择题：本题共22小题，每小题3分，共66分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 4. 某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 7. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 8. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 4 9. 已知是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 10. （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 27 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 13. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数是定义域为的奇函数.若，则（ ） A. B. C. D. 15. 某校为纪念抗日战争胜利80周年举行了演讲比赛，8位评委对甲同学的演讲评分（单位：分）如下表： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7 评委8 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.2 9.9 将8位评委的评分去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下6位评委评分的平均数为甲同学的最终得分，则甲同学的最终得分为（ ） A. 8.1 B. 8.0 C. 7.9 D. 7.8 16. 已知，若是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 17. 下列直线中，是函数图象对称轴的为（ ） A. B. C. D. 18. 若向量，满足，，，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 19. 一种产品原来的年产量是件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 20. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 21. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 22. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（ ） A. B. C. D. 非选择题（共34分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 23. 已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为_____. 24. 若与共线，则的值为________ 25. 若，则的最小值为_____. 26. 某公司有员工50人，其中男员工30人，女员工20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该公司全体员工中抽出10人进行有关研究，设抽出男员工人，则_____. 三、解答题：本题共3小题，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 27. 2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. （1）求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； （2）求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 28. 如图，在四棱锥中，底面，，. （1）求证：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积. 29. 已知为实数，函数，,是函数的零点. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $