专题10 一元一次方程实际应用压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

专题10 一元一次方程实际应用压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、配套问题（高频压轴） 题型二、工程问题（压轴，常和方案结合） 题型三、行程压轴（相遇、追及、往返、分段） 题型四、利润打折销售压轴（期末热门） 题型五、分段计费 + 方案选择（最难一类压轴，必考分类讨论） 题型六、比赛积分问题 题型七、和差倍分问题 题型八、数字、日历问题（中档压轴） 题型九、几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一、列方程解应用题的六步通法 审——读清题意，划出已知量、未知量，找出隐含条件和要求的量； 设——设未知数，把待求量（或关键中间量）用字母表示； 列——根据等量关系列出方程，这是全题的核心； 解——按解方程的步骤求解，去分母、去括号、移项、合并、系数化为1； 验——把解代回原方程检验，同时检验是否符合实际意义（人数、件数是否为整数等）； 答——完整写出答案，注明单位。 六步中“列”最关键，而“列”的能力来源于对等量关系的敏感。所谓等量关系，就是题目中表示“相等”的句子或隐藏的数量关系，把它用代数式写出来，就得到了方程。 二、寻找等量关系的四大通法 关键词直译法：抓“共、和、差、倍、分、比、多、少、剩余、恰好、相等”等字眼。例如“桌面数×4＝桌腿数”“甲比乙多5件”，直接翻译成等式。这是最基础也最常用的一招。 总量守恒法：抓“总量不变”。如工程问题的总工作量、调配问题中调配前后总人数不变、和差倍分问题中部分之和等于整体。总量不变，则“变化前后相等”天然构成方程。 不变量法：抓题目中始终不变的量。例如行程中的“总路程”、配套中的“配比关系”、储蓄中的“本金”。以不变量为桥梁，把含未知数的两种表示联立。 图示/列表建模法：压轴题信息多、关系杂，先画线段图（行程）或用表格分列各对象的速度、时间、路程、单价、数量，把条件结构化，再找横纵的相等关系。这一步是解决复杂压轴题最有效的手段。 三、设元的三种策略 直接设元：题中问什么，就设什么为未知数，直来直去，适用于等量关系直接明显的题目。 间接设元：待求量不便直接表示时，先设一个关键中间量（如工效、单价、时间），求出后再推出待求量。工程问题设“效率”、行程问题设“时间”常更顺。 辅助设元：设一个“打酱油”的辅助未知数用于沟通关系，最后往往可以约去（设而不求）。例如等积变形中设底面积S、比例问题中设每份为k。 四、压轴题破题通法（综合流程） 压轴题往往把两到三个模型叠加（如行程＋相遇＋动点、分段计费＋方案选择）。破题时严格按以下流程走，就不会被题面吓住： 第一步　通读并标注：把每个已知量、每个条件标到图上或表里，明确“动的量”与“不变的量”。 第二步　选建模工具：行程、动点画数轴或线段图；工程、销售、方案选择列表格；连续数、数字写代数式。 第三步　定主元设未知：选择最能串起所有条件的一个量为未知数（常选时间t、调配量、打折数等）。 第四步　列一个（或多个）等量关系：把不变量翻译成方程；若涉及两种情形，就分类列两个方程再合并讨论。 第五步　解方程并双检验：代回原方程成立，且结果符合实际（非负、为整数、落在合理区间）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、配套问题（高频压轴） 【典例1】．（24-25七年级上·全国·单元复习）某车间有42名工人，每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母，1个螺钉配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？（   ） A．30名，12名 B．12名，30名 C．18名，24名 D．24名，18名 题型模版 题型特征：两种（或多种）部件按一定数量比组成一件成品，如“桌面1∶桌腿4”“上衣1∶裤子1”“螺钉1∶螺母2”。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）某车间有名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母构成的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，设应安排x人生产螺母，才能使每天生产出的螺栓和螺母刚好配套；则x应满足的方程是________． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）巢湖某工厂主要生产各种样式的包装盒，现收到一批糖果盒的订单，主管要安排工人即刻生产．已知该工厂共有84名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少36人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底110个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 题型二、工程问题（压轴，常和方案结合） 【典例2】．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合作，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间．设完成此项工程用了天，则下列方程正确的是 (   ) A． B． C． D． 题型模版 题型特征：出现“单独完成”“合作完成”“先做后做”“效率提高”等字眼，一般把总工作量看作单位“1”。 【变式1】．（2024七年级上·安徽六安·期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天维修12米，B工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则A工程队维修堤岸多少米？（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【变式3】．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 题型三、行程压轴（相遇、追及、往返、分段） 【典例3】．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，甲、乙两人沿着长为宽为的长方形按的路线行走，甲从点A出发，以的速度行走，同时乙从点B出发，以的速度行走，当乙第一次追上甲时，他们在长方形的（    ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 【典例4】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）甲、乙两人分别从两地同时相向而行，当甲走出千米时，乙恰好走完了两地之间距离的，此时两人相距千米，则两地之间距离为___________千米． 【典例5】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）已知数轴上点、所表示的数分别是、，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，当点遇到数轴上的点后立即原速返回点，总用时． (1)求点所表示的数； (2)设点运动时间为，当时，求的值； (3)若点出发的同时，线段也匀速向正方向运动，此时点用时返回点，求线段的运动速度； (4)在（3）的条件下，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度追上点后立即原速返回，当点与点重合时，求此时点所表示的数． 题型模版 题型特征：题中涉及两个运动对象，出现“相向而行”“同向而行”“追上”“相遇”“环形跑道”“顺水逆水”等字眼。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）《九章算术》中记载了这样一道数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安，同几何日相逢？其大意为：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发，问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某公路上有相距千米的，两站，甲，乙两车分别从，两站同时出发，同向而行，甲车的速度是，乙车的速度是．乙车在前，甲车在后． （1）经过________小时，甲车追上乙车； （2）经过________小时，两车相距千米． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与实践 某条城际铁路线从西往东依次有，，三个车站，每天上午均有两个车次的列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如下表所示．记次列车的行驶速度为，次列车的行驶速度为． 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 8：00 9：30 9：50 10：50 8：25 途经站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： 问题初探 (1)①次列车从站到站行驶了_____分钟；若千米/时，从站到站的距离为_____（用含的代数式表示）千米． ②求的值． 延伸拓展 (2)记次列车离站的路程为；次列车离A站的路程为．从上午8：00开始计时，时长记为分钟（如：上午9：15，则），且．已知千米/时． ①当时，次列车距站的路程为_____千米； ②若，求的值． 题型四、利润打折销售压轴（期中、末热门） 【典例6】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某商场把一个双肩包按进价提高标价，然后按九折出售，这样商场每卖出一个书包仍可盈利15元．设每个双肩书包的进价是元，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例7】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某宝“双十一”大促，某店铺一件标价为699元的羽绒服打八折出售，仍可盈利，若设这件羽绒服的成本是元，根据题意，可得到的方程是___________． 【典例8】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）辞旧迎新，岁在丙午马年，某若字号年货铺推出两款贺岁礼盒．已知：售出3盒A礼盒与2盒B礼盒，共得1700元；售出2盒A礼盒与3盒B礼盒，共得1800元．一位顾客备下3500元，欲为亲友置办年货，计划同时选购两款礼盒若干盒，恰好用完预算，且两款礼盒均须购买． 根据以上信息，解答下列问题： (1)A礼盒与B礼盒的单价分别是多少元？ (2)请你为这位顾客设计选购方案； (3)若A礼盒每盒成本为200元，B礼盒每盒成本为240元，请选出对店铺利润最高的选购方案，并求出最大利润． 题型模版 题型特征：出现“进价、售价、标价、折扣、利润、利润率、亏本、盈利”等词。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一双篮球鞋先按成本价提高标价，再以七五折（标价的）出售，结果获利40元．若设一双篮球鞋的成本价是x元，则根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某商场计划采购甲、乙两种商品，其中甲商品进价为40元/件，售价为60元/件；乙商品进价为50元/件，售价为80元/件． (1)若同时采购甲、乙两种商品共50件，总进价为2300元，求采购甲商品的件数； (2)元旦期间，商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 无 超过500元，但不超过800元 其中500元部分不打折，超过500元部分打9折 超过800元 其中800元部分打8.8折，超过800元部分打8折 小明一次性购买甲商品5件，乙商品若干件，实际付款752元，求小明购买乙商品的件数． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）怀远石榴是蚌埠市名优特产，其中“玉石籽”石榴和“玛瑙籽”石榴深受市场青睐．年怀远某石榴种植户科学种植了亩玉石籽石榴和亩玛瑙籽石榴，已知平均每亩玉石籽的产量是每亩玛瑙籽产量的倍，两种石榴总产量为千克．两种石榴的销售规格及售价如下表： 品种 包装规格 售价 玉石籽 千克/箱 元/箱 玛瑙籽 千克/箱 元/箱 根据以上信息，回答下列问题： (1)求该种植户收获玉石籽和玛瑙籽石榴各多少千克？ (2)若销售这两种石榴共m箱，总销售额为元，求销售玉石籽石榴的箱数（用含的代数式表示）． (3)该种植户分两次售完所有石榴：第一次销售两种石榴共箱，第二次销售时，对剩余的玉石籽石榴打八折促销，玛瑙籽石榴保持原价．已知第二次的销售额比第一次多元，求第一次销售玉石籽石榴多少箱？ 题型五、分段计费 + 方案选择（最难一类压轴，必考分类讨论） 【典例9】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【典例10】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某市城市居民用电收费方式有以下两种： 甲、普通电价：全天0.53元/度； 乙、峰谷电价：峰时（早8：00﹣晚21：00）0.56元/度；谷时（晚21：00﹣早8：00）0.36元/度． (1)小明家估计七月份总用电量为200度，其中峰时电量为50度，则小明家应选择哪种方式付电费比较合算？ (2)小明家八月份总用电量仍为200度，用峰谷电价付费方式比用普通电价付费方式省了14元，求八月份的峰时电量为多少度？ 【典例11】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）已知华夏超市酸奶的定价为40元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示．现某顾客需要购买30箱酸奶和个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 题型模版 题型特征：给出两种或多种方案（购票、租车、购月票、产品选择），要求比较费用、选择最合算的方案。 【变式1】．（2024七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小白兔和青蛙进行跳跃比赛，小白兔每次跳米，青蛙每次跳米，它们每秒钟都只能跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个饮水站，当它们之中有一个开始喝水时，另一个跳了( )米． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）“元旦”期间，甲、乙两家商场决定开展促销活动，甲商场的优惠方案是：累计购物超出了200元以后，超出部分按原价8折优惠；乙商场的优惠方案是：累计购物超出100元之后，超出部分按原价9折优惠．设丁丁在元旦这天预计累计购物元（其中）． (1)丁丁到甲商场购物需要支付___________元；丁丁到乙商场购物需要支付___________元（用含的代数式表示）． (2)当为何值时，丁丁到这两家商场购物实际支付的钱数一样？ (3)当时，丁丁到哪家商场购物更为优惠？ 题型六、比赛积分问题 【典例12】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）猜谜竞赛规则是猜对一题得5分，猜错一题倒扣3分．小敏猜了20题，得68分，她猜错( )题． 题型模版 题型特征：胜、平、负，积3分、1分、0分，问胜几场负几场。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）某足球预选赛中，一共有6支队伍，其中A、B、C、D、E五个队分别比赛了5、4、3、2、1场，则F队比赛了几场？（　　） A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 【变式2】．（2024七年级上·安徽六安·期中）开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 校篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分； (2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 题型七、和差倍分问题 【典例13】．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）妈妈买了一盒牛奶．妈妈和爸爸在早餐时喝了一半，明明喝了剩余部分的，这时还剩下，则这盒牛奶原来有（   ） A． B． C． D． 题型模版 题型特征：人数/货物调配使两处成倍数关系；“一个数增加它的几分之几”等。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）近年来，我国生态环境质量总体改善，生物多样性下降势头得到基本控制、根据2020年《中国生态环境状况公报》，我国列入国家重点保护野生动物名录的珍稀濒危水生和陆生野生动物有708种（类），其中大熊猫、金丝猴、扬子鳄等数百种动物为我国所特有；已知珍稀濒危水生野生动物比陆生野生动物的一半多99种（类）．我国珍稀濒危的陆生野生动物、水生野生动物各有多少种（类）？ 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）在清冰雪工作中，某武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街路和街路的清冰雪劳动，且参加街路清冰雪的人数是参加街路的清冰雪人数的． (1)求参加街路的清冰雪劳动有多少人？ (2)在街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【变式3】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）因为环保、节能、高效，新能源汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车贸易公司计划用355万元资金采购一批新能源汽车，其中甲型新能源汽车每辆的进价为10万元，乙型新能源汽车每辆的进价为15万元． (1)设采购甲型新能源汽车x辆，完成下列表格． 型号 进价（万元/辆） 数量（辆） 总价（万元） 甲 10 x 乙 15 (2)在（1）的条件下，若采购甲型新能源汽车的数量比乙型新能源汽车数量的3倍还多4辆，求甲、乙两种新能源汽车分别采购多少辆？ 题型八、数字、日历问题（中档压轴） 【典例14】．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，是一个由连续的正整数排成的“数阵”．用方框围住9个数，移动方框的位置，在给出的四个数144，387，504，658中，不可能是方框中9个数的和的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例15】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）小元同学在年月的日历上圈出了三个数，，，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 【典例16】．（26-27七年级上·安徽·期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上的数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位上的数字减去个位上的数字的差加上十位上的数字之和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． (1)计算______； (2)若是一个“互差数”，且，那么的值是______． 题型模版 题型特征：两位数、连续整数/连续奇数、数位调换等。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是a，第5次输出的结果是 6，则所有满足条件的a的值的总和为_____． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书．如下表，将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若，，，，分别表示其中的一个数．解决下列问题： （1）的值为________； （2）的值为________． 0 3 1 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）图是年月份的日历，用图所示的“九方格”框住图中的个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)_____（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，_____可得_____； (3)在图中选择“九方格”的位置使的值为，如若能，请框选；若不能，请说明理由． 题型九、几何问题 【典例17】．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 题型模版 题型特征：铁丝围长方形、剪拼图形、形状改变而周长/体积/面积不变（等积变形）。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 【变式2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为_____． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知数轴上两点，，其中表示的数为，表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点，的“和距离点”．如图，若点表示的数为0，有，则称点为点，的“5和距离点” (1)已知点为点，的“和距离点”，若点在数轴上表示的数为1，那么的值是______；若点在数轴上表示的数为，那么的值是______； (2)如果点是数轴上点，的“7和距离点”，那么点表示的数为______； (3)动点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，当点运动多少时间时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“8和距离点”？请写出计算过程． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．某件手工制品，甲单独做需1个小时完成，乙单独做需个小时完成．若甲先做20分钟，然后甲、乙合作完成了此手工制品，设乙做了x个小时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）某社区举办了消防知识竞赛．本次竞赛共20道题，每答对一道得5分，每答错或不答一道扣3分．小宇共得60分，设小宇共答对道题，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为，则大长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少颗．问这个班共有多少名小朋友？设这个班共有名小朋友，则列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码和校验码”．比如下图的13位数字“6901234567892”中，“690”为国家代码，“1234”为厂商代码，“56789”为产品代码，最后一位数字“2”为校验码． 其中校验码是按特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 若某正规商品条形码数字为“978720█356241”，其中有█处一个数字被污损了，则被污损的数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按的方向行走，甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 9．（24-25七年级上·上海·期中）如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 10．数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为2，1，1个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为（    ） A．2 B． C． D．或 二、填空题 11．（25-26七年级上·安徽六安·期末）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的0.5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒_______ 升． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为______． 13．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为_____． 14．（26-27七年级上·安徽合肥·阶段检测）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示的数是，点B表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为，，，其中为点A，B的“联盟点”的是______． （2）若点A表示的数是3，点B表示的数是30，点P在线段上，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数为______． 三、解答题 15．现有一项工程，甲队单独完成需10天，乙队单独完成需6天． （1）若甲队单独做2天后两队再合作，则甲、乙两队再合作多少天才能把该工程完成？ （2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为500元，乙队每天的施工费用为600元，则完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 16．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 17．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包； 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款________元（用含的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款________元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 18．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是求高铁列车的平均速度为多少？ 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是___________；式子的几何意义是___________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，___________； (3)若，求的值； (4)探究：的最小值是___________；此时满足的条件是___________． 20．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）综合与实践 【项目背景】“数形结合”指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【项目分析】 （1）点，在数轴上分别表示有理数，，且，两点之间的距离表示为．在数轴上，，两点之间的距离．数轴上表示2和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____． 【项目应用】 如图，在数轴上点表示有理数，点表示有理数2，点从点开始以每秒3个单位长度的速度向右运动，点从点开始以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动的时间为秒，，两点同时从点，出发． （2）秒后，点表示的有理数为_____，点表示的有理数为_____． （3）若，两点之间的距离为2，求的值． 21．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度不超过300度的部分 0.6 超过300度的部分 0.8 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 +15 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小明家某月用电量为x度（），请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为148元，请求出小明家12月份的用电量． 22．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、幸福、团圆、美满等美好的祝愿．劳动课上，王老师带领同学们编中国结．已知编一个大中国结比编一个小中国结需要多用的绳．王老师编3个大中国结和7个小中国结，共计用绳． (1)求王老师编一个大中国结和一个小中国结各需用绳多少m？ (2)按照王老师的方法，七1班40名同学快速行动起来，其中男生编小中国结，女生编大中国结，每位男生一节课可以编3个小中国结，每位女生一节课可以编2个大中国结，全班编完后发现小中国结的数量是大中国结的2.5倍．求七1班男生，女生各有多少人？ (3)王老师计划号召七年级同学们编500个中国结，其中大中国结个，并按照1个大中国结配2个流苏，1个小中国结配1个流苏的方式，配好后进行义卖．王老师去某商店采购绳子和流苏，其中绳子1元/米，流苏0.5元/个．店老板给出两种优惠方案： 方案一：超过1000元减220元． 方案二：一次性购物达到1000元，全场打九折． 请问：当的值为多少时，两种方案的费用相同． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元一次方程实际应用压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、配套问题（高频压轴） 题型二、工程问题（压轴，常和方案结合） 题型三、行程压轴（相遇、追及、往返、分段） 题型四、利润打折销售压轴（期末热门） 题型五、分段计费 + 方案选择（最难一类压轴，必考分类讨论） 题型六、比赛积分问题 题型七、和差倍分问题 题型八、数字、日历问题（中档压轴） 题型九、几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一、列方程解应用题的六步通法 审——读清题意，划出已知量、未知量，找出隐含条件和要求的量； 设——设未知数，把待求量（或关键中间量）用字母表示； 列——根据等量关系列出方程，这是全题的核心； 解——按解方程的步骤求解，去分母、去括号、移项、合并、系数化为1； 验——把解代回原方程检验，同时检验是否符合实际意义（人数、件数是否为整数等）； 答——完整写出答案，注明单位。 六步中“列”最关键，而“列”的能力来源于对等量关系的敏感。所谓等量关系，就是题目中表示“相等”的句子或隐藏的数量关系，把它用代数式写出来，就得到了方程。 二、寻找等量关系的四大通法 关键词直译法：抓“共、和、差、倍、分、比、多、少、剩余、恰好、相等”等字眼。例如“桌面数×4＝桌腿数”“甲比乙多5件”，直接翻译成等式。这是最基础也最常用的一招。 总量守恒法：抓“总量不变”。如工程问题的总工作量、调配问题中调配前后总人数不变、和差倍分问题中部分之和等于整体。总量不变，则“变化前后相等”天然构成方程。 不变量法：抓题目中始终不变的量。例如行程中的“总路程”、配套中的“配比关系”、储蓄中的“本金”。以不变量为桥梁，把含未知数的两种表示联立。 图示/列表建模法：压轴题信息多、关系杂，先画线段图（行程）或用表格分列各对象的速度、时间、路程、单价、数量，把条件结构化，再找横纵的相等关系。这一步是解决复杂压轴题最有效的手段。 三、设元的三种策略 直接设元：题中问什么，就设什么为未知数，直来直去，适用于等量关系直接明显的题目。 间接设元：待求量不便直接表示时，先设一个关键中间量（如工效、单价、时间），求出后再推出待求量。工程问题设“效率”、行程问题设“时间”常更顺。 辅助设元：设一个“打酱油”的辅助未知数用于沟通关系，最后往往可以约去（设而不求）。例如等积变形中设底面积S、比例问题中设每份为k。 四、压轴题破题通法（综合流程） 压轴题往往把两到三个模型叠加（如行程＋相遇＋动点、分段计费＋方案选择）。破题时严格按以下流程走，就不会被题面吓住： 第一步　通读并标注：把每个已知量、每个条件标到图上或表里，明确“动的量”与“不变的量”。 第二步　选建模工具：行程、动点画数轴或线段图；工程、销售、方案选择列表格；连续数、数字写代数式。 第三步　定主元设未知：选择最能串起所有条件的一个量为未知数（常选时间t、调配量、打折数等）。 第四步　列一个（或多个）等量关系：把不变量翻译成方程；若涉及两种情形，就分类列两个方程再合并讨论。 第五步　解方程并双检验：代回原方程成立，且结果符合实际（非负、为整数、落在合理区间）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、配套问题（高频压轴） 【典例1】．（24-25七年级上·全国·单元复习）某车间有42名工人，每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母，1个螺钉配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？（   ） A．30名，12名 B．12名，30名 C．18名，24名 D．24名，18名 【答案】C 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．设分配名工人生产螺母，则有名工人生产螺钉，由1个螺钉需要配2个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可列出方程求出即可． 【详解】解：设分配名工人生产螺母，则有名工人生产螺钉， 根据题意得：， 解得：， 则（人）， 则应安排生产螺母24人，生产螺钉18人． 故选：C． 题型模版 题型特征：两种（或多种）部件按一定数量比组成一件成品，如“桌面1∶桌腿4”“上衣1∶裤子1”“螺钉1∶螺母2”。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）某车间有名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母构成的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，设应安排x人生产螺母，才能使每天生产出的螺栓和螺母刚好配套；则x应满足的方程是________． 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，涉及配套问题中的数量关系，掌握相关知识是解决问题的关键．设安排x人生产螺母，则生产螺栓的人数为人．根据配套条件，每个产品需1个螺栓和2个螺母，因此螺母产量应为螺栓产量的2倍，从而列出方程． 【详解】解：设安排 x人生产螺母，则安排人生产螺栓． 生产螺栓的产量为个，生产螺母的产量为个．由一个螺栓配两个螺母，得螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，即 ， 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 【答案】安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意 ，正确确定等量关系是解题的关键；设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件，根据“每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品”，可列方程求解． 【详解】解：设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件， 根据题意列方程得：， 解得， ， 答：安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）巢湖某工厂主要生产各种样式的包装盒，现收到一批糖果盒的订单，主管要安排工人即刻生产．已知该工厂共有84名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少36人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底110个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工30人，有女工54人 (2)调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，根据“男工人数女工人数”列出方程并解答； （2）首先设设调名女工帮男工制作盒身，根据题意可得等量关系：盒身数量盒底数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工30人，有女工54人； （2）解：设调名女工帮男工制作盒身， 由题意得：， 解得：， 答：调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 题型二、工程问题（压轴，常和方案结合） 【典例2】．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合作，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间．设完成此项工程用了天，则下列方程正确的是 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设完成此项工程用了天，根据“甲完成工作量乙完成工作量1”列出方程即可． 【详解】解：设完成此项工程用了天， 根据题意，可得． 故选：A． 题型模版 题型特征：出现“单独完成”“合作完成”“先做后做”“效率提高”等字眼，一般把总工作量看作单位“1”。 【变式1】．（2024七年级上·安徽六安·期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天维修12米，B工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则A工程队维修堤岸多少米？（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 【答案】C 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程与工程问题．正确理解题意是关键． 设A工程队维修堤岸x米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：设A工程队维修堤岸x米， 根据题意得：， 解得． 答：设A工程队维修堤岸180米． 故选：C． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【答案】(1)6 (2)18000 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，再根据工作总量等于1列出方程，求出解即可； 对于（2），根据甲队需支付工资加上乙队需支付工资可得答案． 【详解】（1）解：甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，根据题意，得 ， 解得， 所以甲乙两工程队还需要合作6天才能完成； （2）解：， 所以完成这项工程需要支付两队工资一共18000元． 题型三、行程压轴（相遇、追及、往返、分段） 【典例3】．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，甲、乙两人沿着长为宽为的长方形按的路线行走，甲从点A出发，以的速度行走，同时乙从点B出发，以的速度行走，当乙第一次追上甲时，他们在长方形的（    ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用；理解题意，根据已知列出一元一次方程，再结合长方形的性质解题是关键．设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意列出方程，求出相遇时间；再由相遇时间确定乙的位置． 【详解】解：设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意得： 甲的行走路程为，乙的行走路程， 当乙第一次追上甲时，， 解得， 此时乙所在位置为：， ， ∴当乙第一次追上甲时，在长方形的边处． 故选：A． 【典例4】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）甲、乙两人分别从两地同时相向而行，当甲走出千米时，乙恰好走完了两地之间距离的，此时两人相距千米，则两地之间距离为___________千米． 【答案】或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．分两人未相遇和相遇后相距千米两种情况，设、两地距离为千米，根据题意列方程求解． 【详解】解：设、两地之间距离为千米． ①当两人未相遇时，甲走的路程与乙走的路程之和加上相距距离等于总距离，即，解得． ②当两人相遇后相距千米时，甲走的路程与乙走的路程之和减去总距离等于相距距离，即，解得． 故、两地之间距离为千米或千米． 故答案为：或． 【典例5】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）已知数轴上点、所表示的数分别是、，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，当点遇到数轴上的点后立即原速返回点，总用时． (1)求点所表示的数； (2)设点运动时间为，当时，求的值； (3)若点出发的同时，线段也匀速向正方向运动，此时点用时返回点，求线段的运动速度； (4)在（3）的条件下，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度追上点后立即原速返回，当点与点重合时，求此时点所表示的数． 【答案】(1)点表示的数为 (2)的值为或 (3)速度为每秒 个单位长度 (4) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）设点表示的数为，根据“点从点沿正方向到点后立即原速返回点，总用时”建立方程求解即可； （2）讨论当在整个运动过程中，从点沿正方向到点（向右）和从点返回到点（向左）运动满足两种情况，建立方程求解即可； （3）由题意得此时点移动的距离加上点移动的距离等于点从点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，当点遇到数轴上的点后立即原速返回点移动的总距离，由此建立方程求解即可； （4）设秒时点与点重合，由追击问题列方程可求出，然后可求出此时点、表示的数，再由相遇问题列方程求解即可； 本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程与动点问题，行程问题，熟练掌握数轴上两点之间的距离和行程问题中的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 依题意得， 解得． ∴点表示的数为； （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 当点从点沿正方向到点，即向右运动满足时，，， ∴， 解得； 当从点返回到点，即向左运动满足时，，， ∴， 解得； 故的值为． （3）解：设运动的速度为， 依题意得 解得； 答：速度为每秒 个单位长度； （4）解：设秒时点与点重合， 依题意得， 解得； 此时点表示的数为， 点表示的数为． 设返回秒后与相遇， 依题意得． 解得， 此时表示的数为． 题型模版 题型特征：题中涉及两个运动对象，出现“相向而行”“同向而行”“追上”“相遇”“环形跑道”“顺水逆水”等字眼。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）《九章算术》中记载了这样一道数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安，同几何日相逢？其大意为：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发，问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． 根据相遇问题中总路程等于甲、乙所走路程之和建立方程即可． 【详解】解：设总路程为1，则甲速为，乙速为， 乙先出发2日，已走路程， 设甲出发后x日相遇， 则甲走路程，乙走路程， ∴， 即， 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某公路上有相距千米的，两站，甲，乙两车分别从，两站同时出发，同向而行，甲车的速度是，乙车的速度是．乙车在前，甲车在后． （1）经过________小时，甲车追上乙车； （2）经过________小时，两车相距千米． 【答案】 或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查行程问题，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）根据追及问题公式，用路程差千米除以速度差，得到追及时间； （2）分甲车追上乙车前和甲车追上乙车后两种情况，分别计算路程差为千米和千米时的时间． 【详解】（1）解：由题可知，当甲车追上乙车时，甲车比乙车多行驶千米，速度差为（）， 则追及时间为（小时）． 故答案为：． （2）解： ①甲车追上乙车前：甲车比乙车多行驶（千米），速度差为，则所需时间为（小时）； ②甲车追上乙车后：甲车比乙车多行驶（千米），速度差为，则所需时间为（小时）． 故答案为：或． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与实践 某条城际铁路线从西往东依次有，，三个车站，每天上午均有两个车次的列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如下表所示．记次列车的行驶速度为，次列车的行驶速度为． 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 8：00 9：30 9：50 10：50 8：25 途经站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： 问题初探 (1)①次列车从站到站行驶了_____分钟；若千米/时，从站到站的距离为_____（用含的代数式表示）千米． ②求的值． 延伸拓展 (2)记次列车离站的路程为；次列车离A站的路程为．从上午8：00开始计时，时长记为分钟（如：上午9：15，则），且．已知千米/时． ①当时，次列车距站的路程为_____千米； ②若，求的值． 【答案】(1)①90，；② (2)①240；②的值为67.5或132.5 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）①直接根据表中数据解答即可；②分别求出次列车、次列车从站到站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可； （2）①先求出站到站的距离，再求出当时，次列车行走的路程，相减即可求解；②先求出，与站之间的路程，次列车经过站时，对应的值，从而得出当时，次列车在站停车，次列车经过站时，次列车正在站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：①次列车从站到站行驶了，即； 次列车从站到站行驶了，即， ∴从站到站的距离为千米． 故答案为：90，． ②根据题意得：次列车从站到站共需， 次列车从站到站共需， ，即 ． （2）①次列车从站到站共需， ∴站到站的距离为． 次列车从站到站行驶了，在站停留了， ∴当时，次列车在站停留． ， ， ． 故答案为：240． ②，， ． ，， ∴当时，次列车经过站． 由题意可知，当时，次列车在站停车， 当时，， ，即，解得． 当时，， ，即，解得（不符合题意，舍去）． 当时，， ，即，解得（不符合题意，舍去）． 当时，， ， 即，解得． 综上所述，当的值为67.5或132.5时，． 题型四、利润打折销售压轴（期中、末热门） 【典例6】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某商场把一个双肩包按进价提高标价，然后按九折出售，这样商场每卖出一个书包仍可盈利15元．设每个双肩书包的进价是元，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设每个双肩书包的进价是元，则每个双肩书包的标价是元，根据“利润售价进价”列出关于的一元一次方程即可解答；本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设每个双肩书包的进价是元， ∴标价为元，售价为，盈利为， 故选：B． 【典例7】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某宝“双十一”大促，某店铺一件标价为699元的羽绒服打八折出售，仍可盈利，若设这件羽绒服的成本是元，根据题意，可得到的方程是___________． 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列一元一次方程．设这件羽绒服的成本是元，售价为元，利润为元，根据“利润售价成本”即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得，即． 故答案为：． 【典例8】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）辞旧迎新，岁在丙午马年，某若字号年货铺推出两款贺岁礼盒．已知：售出3盒A礼盒与2盒B礼盒，共得1700元；售出2盒A礼盒与3盒B礼盒，共得1800元．一位顾客备下3500元，欲为亲友置办年货，计划同时选购两款礼盒若干盒，恰好用完预算，且两款礼盒均须购买． 根据以上信息，解答下列问题： (1)A礼盒与B礼盒的单价分别是多少元？ (2)请你为这位顾客设计选购方案； (3)若A礼盒每盒成本为200元，B礼盒每盒成本为240元，请选出对店铺利润最高的选购方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A礼盒单价300元，B礼盒单价400元 (2)选购方案有三种：①1盒A和8盒B；②5盒A和5盒B；③9盒A和2盒B (3)利润最高的选购方案是1盒A和8盒B，最大利润为1380元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A礼盒的单价为x元，由题意得B礼盒的单价为元，然后可列方程，进而求解即可； （2）设购买A礼盒m盒，则由（1）可知：购买A礼盒所需费用为元，然后可得购买B礼盒为盒，进而根据盒数都为整数可进行求解； （3）由（2）分别算出各个方案的利润，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设A礼盒的单价为x元，由题意得B礼盒的单价为元，则有： ， 解得：， ∴， 答：A礼盒单价300元，B礼盒单价400元． （2）解：设购买A礼盒m盒，则由（1）可知：购买A礼盒所需费用为元， ∴购买B礼盒为盒， ∵盒数为整数，且， ∴当时，则；当时，则；当时，则； 综上所述：购买方案为①1盒A和8盒B；②5盒A和5盒B；③9盒A和2盒B； （3）解：由（2）可知： ①号方案的利润为（元）； ②号方案的利润为（元）； ③号方案的利润为（元）； ∵， ∴利润最高的选购方案是1盒A和8盒B，最大利润为1380元． 题型模版 题型特征：出现“进价、售价、标价、折扣、利润、利润率、亏本、盈利”等词。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一双篮球鞋先按成本价提高标价，再以七五折（标价的）出售，结果获利40元．若设一双篮球鞋的成本价是x元，则根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设一双篮球鞋的成本价是x元，根据一双鞋获利40元，列出方程即可． 【详解】解：设一双篮球鞋的成本价是x元，根据题意得： ． 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某商场计划采购甲、乙两种商品，其中甲商品进价为40元/件，售价为60元/件；乙商品进价为50元/件，售价为80元/件． (1)若同时采购甲、乙两种商品共50件，总进价为2300元，求采购甲商品的件数； (2)元旦期间，商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 无 超过500元，但不超过800元 其中500元部分不打折，超过500元部分打9折 超过800元 其中800元部分打8.8折，超过800元部分打8折 小明一次性购买甲商品5件，乙商品若干件，实际付款752元，求小明购买乙商品的件数． 【答案】(1)采购甲商品20件； (2)小明购买乙商品6件或7件 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）设采购甲商品件，则采购乙商品件，根据总进价为2300元，建立一元一次方程求解即可解答； （2）设小明购买乙商品件，分小明实际消费超过500元，不超过800元，和小明实际消费超过800元，两种情况讨论，根据实际付款752元，列出一元一次方程求解即可解答． 【详解】（1）解：设采购甲商品件，则采购乙商品件， 根据题意，得， 解得， 答：采购甲商品20件； （2）解：设小明购买乙商品件， 当小明实际消费超过500元，不超过800元时，， 解得， ，符合题意； 当小明实际消费超过800元时，则， 解得， ，符合题意； 答：小明购买乙商品件或件． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）怀远石榴是蚌埠市名优特产，其中“玉石籽”石榴和“玛瑙籽”石榴深受市场青睐．年怀远某石榴种植户科学种植了亩玉石籽石榴和亩玛瑙籽石榴，已知平均每亩玉石籽的产量是每亩玛瑙籽产量的倍，两种石榴总产量为千克．两种石榴的销售规格及售价如下表： 品种 包装规格 售价 玉石籽 千克/箱 元/箱 玛瑙籽 千克/箱 元/箱 根据以上信息，回答下列问题： (1)求该种植户收获玉石籽和玛瑙籽石榴各多少千克？ (2)若销售这两种石榴共m箱，总销售额为元，求销售玉石籽石榴的箱数（用含的代数式表示）． (3)该种植户分两次售完所有石榴：第一次销售两种石榴共箱，第二次销售时，对剩余的玉石籽石榴打八折促销，玛瑙籽石榴保持原价．已知第二次的销售额比第一次多元，求第一次销售玉石籽石榴多少箱？ 【答案】(1)玉石籽石榴千克，玛瑙籽石榴千克 (2) (3)箱 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程求解． （1）设每亩玛瑙籽石榴的产量为千克，则每亩玉石籽石榴的产量为千克，再根据“两种石榴总产量为千克”列方程求解即可； （2）设销售玉石籽石榴的箱数为箱，则销售玛瑙籽石榴的箱数为箱，可列方程求解即可； （3）先计算两种石榴的总箱数，设第一次销售玉石籽石榴箱，则第一次销售玛瑙籽石榴箱，分别表示第一次和第二次(玉石籽打八折，玛瑙籽原价)的销售额，根据“第二次销售额比第一次多元”建立等式，求解得到第一次销售玉石籽石榴的箱数． 【详解】（1）解：设每亩玛瑙籽石榴的产量为千克，则每亩玉石籽石榴的产量为千克， 由题可得，， 解得，， 答：该种植户收获玉石籽石榴千克，玛瑙籽石榴千克； （2）设销售玉石籽石榴的箱数为箱，则销售玛瑙籽石榴的箱数为箱， 由题可得，， 化简得， 即， 答：销售玉石籽石榴的箱数为箱； （3）根据题意得，玉石籽石榴总箱数为箱，玛瑙籽石榴总箱数为箱，故总箱数为箱， 设第一次销售玉石籽石榴箱，则第一次销售玛瑙籽石榴箱， 第一次销售额：（元）， 第二次销售玉石籽石榴箱(打八折，每箱元)，第二次销售玛瑙籽石榴（原价，每箱元）， 第二次销售额：， 根据题意列方程： ， 解得， 答：第一次销售玉石籽石榴箱． 题型五、分段计费 + 方案选择（最难一类压轴，必考分类讨论） 【典例9】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出一元一次方程是解题的关键． 通过列代数式，表示出两种方案的费用，当两种费用相等时，解方程求出x即可． 【详解】解：设购买x本图书时方案和方案费用相等， 方案费用：元， 方案费用：元， ， ， ， ． 当时，两种方案费用相等． 故选：C． 【典例10】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某市城市居民用电收费方式有以下两种： 甲、普通电价：全天0.53元/度； 乙、峰谷电价：峰时（早8：00﹣晚21：00）0.56元/度；谷时（晚21：00﹣早8：00）0.36元/度． (1)小明家估计七月份总用电量为200度，其中峰时电量为50度，则小明家应选择哪种方式付电费比较合算？ (2)小明家八月份总用电量仍为200度，用峰谷电价付费方式比用普通电价付费方式省了14元，求八月份的峰时电量为多少度？ 【答案】(1)按峰谷电价付电费合算 (2)八月份的峰时电量为100度 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据两种收费标准，分别计算出每种需要的钱数，然后判断即可． （2）设八月份的峰时电量为度，根据用峰谷电价付费方式比普通电价付费方式省了14元，建立方程后求解即可． 【详解】（1）按普通电价付费：（元， 按峰谷电价付费：（元， ， 所以按峰谷电价付电费合算； （2）设八月份的峰时电量为度， 根据题意得：， 解得． 答：八月份的峰时电量为100度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【典例11】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）已知华夏超市酸奶的定价为40元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示．现某顾客需要购买30箱酸奶和个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 【答案】(1)按方案一购买时所需的费用为元；按方案二购买时所需的费用为元； (2)当购买60个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程是解题的关键： （1）根据两种方案，分别列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：按方案一购买时所需的费用为元； 按方案二购买时所需的费用为元； （2）解：令，解得． 答：当购买60个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多． 题型模版 题型特征：给出两种或多种方案（购票、租车、购月票、产品选择），要求比较费用、选择最合算的方案。 【变式1】．（2024七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可． 【详解】解：， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：D． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小白兔和青蛙进行跳跃比赛，小白兔每次跳米，青蛙每次跳米，它们每秒钟都只能跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个饮水站，当它们之中有一个开始喝水时，另一个跳了( )米． 【答案】 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题需先求出小白兔和青蛙第一次到达饮水站时各自需要跳的次数，对比得到先开始喝水的一方，再计算此时另一方跳跃的总路程即可． 【详解】解：先将各数化为假分数：，，， 到达饮水站时，跳跃总路程为饮水站间隔的正整数倍， 设小白兔跳次第一次到达饮水站，可得： ，其中为正整数， 整理得， 可得满足条件的最小正整数，即小白兔第一次到达饮水站需要跳次， 设青蛙跳次第一次到达饮水站，可得： ， 其中为正整数 整理得， 可得满足条件的最小正整数，即青蛙第一次到达饮水站需要跳次， 因为，所以青蛙先到达饮水站开始喝水， 此时小白兔跳的总路程为：． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）“元旦”期间，甲、乙两家商场决定开展促销活动，甲商场的优惠方案是：累计购物超出了200元以后，超出部分按原价8折优惠；乙商场的优惠方案是：累计购物超出100元之后，超出部分按原价9折优惠．设丁丁在元旦这天预计累计购物元（其中）． (1)丁丁到甲商场购物需要支付___________元；丁丁到乙商场购物需要支付___________元（用含的代数式表示）． (2)当为何值时，丁丁到这两家商场购物实际支付的钱数一样？ (3)当时，丁丁到哪家商场购物更为优惠？ 【答案】(1)， (2) (3)甲商场购物更为优惠 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值． （1）根据两个商场的优惠方案分别求得需要支付的金额； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）将分别代入（1）中代数式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，丁丁到甲商场购物需要支付元； 丁丁到乙商场购物需要支付元； 故答案为：，． （2）解：依题意，， 解这个方程，得． 答：当时，丁丁到这两家商场购物实际支付的钱数一样． （3）解：当时，到甲商场需支付：（元）； 到乙商场需支付：（元）． 因为， 所以丁丁到甲商场购物更为优惠． 题型六、比赛积分问题 【典例12】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）猜谜竞赛规则是猜对一题得5分，猜错一题倒扣3分．小敏猜了20题，得68分，她猜错( )题． 【答案】4 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小敏猜错题，则猜对题，根据得分规则建立一元一次方程，求解得出猜错题数，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设小敏猜错题，则猜对题， 由题意可得：， 解得：， ∴小敏猜错题， 故答案为：． 题型模版 题型特征：胜、平、负，积3分、1分、0分，问胜几场负几场。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）某足球预选赛中，一共有6支队伍，其中A、B、C、D、E五个队分别比赛了5、4、3、2、1场，则F队比赛了几场？（　　） A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 【答案】C 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可知，每2个队赛一场，A赛5场，所以A和B、C、D、E、F各赛1场．由于E只赛1场，所以B没有和E比赛，所以B和A、C、D、F各赛一场，共4场．然后再进一步推断就容易了． 【详解】因为每2个队赛一场， A赛5场， 所以A和B、C、D、E、F各赛1场． 由于E只赛1场， 所以B没有和E比赛，B和A、C、D、F各赛一场，共4场． D只赛2场，根据上述，只能和A、B各赛一场，共2场． C只赛3场，C不能和D、E比赛，只能和A、B、F各赛一场，共3场． 所以F共赛3场． 故答案为：C． 【变式2】．（2024七年级上·安徽六安·期中）开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】(1)分 (2)小明在竞赛中答对了24道题 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键． （1）小明共答对了x道题，则不答或答错了道题，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了道题， 根据题意：他的成绩为：分， 故答案为：分； （2）根据题意：， 解得：， 答：小明在竞赛中答对了24道题． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 校篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分； (2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 【答案】(1)1，2； (2)不可能胜场总积分能等于负场总积分 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】（1）仔细观察表格中的数据发现规律并计算即可； （2）仔细观察表格中的数据发现规律并设出未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）由题意可得， 负一场积分为：（分， 胜一场的积分为：（分， 故答案为：1，2； （2）设胜场，负场， 由题知， 解得． ∴不可能胜场总积分能等于负场总积分． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解． 题型七、和差倍分问题 【典例13】．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）妈妈买了一盒牛奶．妈妈和爸爸在早餐时喝了一半，明明喝了剩余部分的，这时还剩下，则这盒牛奶原来有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原来牛奶量为，根据题意逐步计算剩余量，最后利用剩余建立方程求解． 【详解】解：设原来牛奶量为， ∵妈妈和爸爸喝了一半， ∴剩余量为， ∵明明喝了剩余部分的， ∴明明喝了， ∴此时剩余量为， ∵剩余， ∴， ∴， 故原来牛奶量为． 故选：A． 题型模版 题型特征：人数/货物调配使两处成倍数关系；“一个数增加它的几分之几”等。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）近年来，我国生态环境质量总体改善，生物多样性下降势头得到基本控制、根据2020年《中国生态环境状况公报》，我国列入国家重点保护野生动物名录的珍稀濒危水生和陆生野生动物有708种（类），其中大熊猫、金丝猴、扬子鳄等数百种动物为我国所特有；已知珍稀濒危水生野生动物比陆生野生动物的一半多99种（类）．我国珍稀濒危的陆生野生动物、水生野生动物各有多少种（类）？ 【答案】我国珍稀濒危的陆生野生动物有406种，水生野生动物有302种 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设我国珍稀濒危的陆生野生动物有x种，则我国珍稀濒危的水生野生动物有种，根据珍稀濒危水生和陆生野生动物有708种建立方程求解即可． 【详解】解：设我国珍稀濒危的陆生野生动物有x种，则我国珍稀濒危的水生野生动物有种， 由题意得，， 解得， ∴， 答：我国珍稀濒危的陆生野生动物有406种，水生野生动物有302种． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）在清冰雪工作中，某武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街路和街路的清冰雪劳动，且参加街路清冰雪的人数是参加街路的清冰雪人数的． (1)求参加街路的清冰雪劳动有多少人？ (2)在街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【答案】(1)216人 (2)72人 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）参加街路的清冰雪劳动有人，参加街路清冰雪的人数为，参加街路清冰雪的人数为人，根据总数为600人列方程，即可求解； （2）调走了街路清冰雪的人数的后，剩余武警官兵人，根据“在街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人”列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设参加街路的清冰雪劳动有人， 由题意得，， 解得， 答：参加街路的清冰雪劳动有216人． （2）解：设参加清冰雪劳动的居民有人， 由题意得，， 解得， 答：参加清冰雪劳动的居民有72人． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）因为环保、节能、高效，新能源汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车贸易公司计划用355万元资金采购一批新能源汽车，其中甲型新能源汽车每辆的进价为10万元，乙型新能源汽车每辆的进价为15万元． (1)设采购甲型新能源汽车x辆，完成下列表格． 型号 进价（万元/辆） 数量（辆） 总价（万元） 甲 10 x 乙 15 (2)在（1）的条件下，若采购甲型新能源汽车的数量比乙型新能源汽车数量的3倍还多4辆，求甲、乙两种新能源汽车分别采购多少辆？ 【答案】(1) 填表如下： 型号 进价（万元/辆） 数量（辆） 总价（万元） 甲 10 x 乙 15 (2)采购辆甲种新能源汽车，辆乙种新能源汽车． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）利用总价＝进价×数量，求出采购甲型汽车的总价，再用计划资金减去采购甲型汽车的总价，得到采购乙型汽车的总价，再利用数量＝总价÷进价，求出采购乙型汽车的数量，填表即可； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：采购甲型汽车的总价为：万元，则：采购乙型汽车的总价为：（万元）， ∴采购乙型汽车的数量为：辆 （2）解：由题意，得： ， 解得：； ∴辆， 即：采购辆甲种新能源汽车，辆乙种新能源汽车． 答：采购辆甲种新能源汽车，辆乙种新能源汽车． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键． 题型八、数字、日历问题（中档压轴） 【典例14】．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，是一个由连续的正整数排成的“数阵”．用方框围住9个数，移动方框的位置，在给出的四个数144，387，504，658中，不可能是方框中9个数的和的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、数字类规律探索 【分析】首先得到每行第一列的数字表示为，最后一列的数字表示为，设最中间的数字为，进而求出9个数字的和为，令分别等于给出的四个数，求解后，进行判断即可． 【详解】解：观察可知：每行第一列的数字分别为，即； 最后一列的数字为，即； 设最中间的数字为，则9个数的和为， 当时，解得，144可以是方框中9个数的和，不符合题意； 当时，解得，43是第8行第1个数，387不可能是方框中9个数的和，符合题意； 当时，解得，56是第10行第2个数，504可以是方框中9个数的和，不符合题意； 当时，解得，不是整数，658不可能是方框中9个数的和，符合题意； 综上所述，不可能是方框中9个数的和的个数是2个． 【典例15】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）小元同学在年月的日历上圈出了三个数，，，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．关键知道日历中的每个数都是整数且上下相邻的差是，左右相邻相差是，掌握以上知识是解答本题的关键；本题根据日历中的每个数都是整数且上下相邻的差是，左右相邻相差是，根据题意可列方程求解． 【详解】解：A、设最小的数是，，解得，观察日历可知存在，故本选项不合题意； B、设最小的数是，，解得，观察日历可知存在，故本选项不符合题意； C、设最小的数是，，解得，观察日历可知存在，故本选项不合题意； D、设最小的数是，，解得，观察日历可知不存在，故本选项合题意． 故选：D． 【典例16】．（26-27七年级上·安徽·期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上的数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位上的数字减去个位上的数字的差加上十位上的数字之和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． (1)计算______； (2)若是一个“互差数”，且，那么的值是______． 【答案】(1)3 (2)或840 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、数字类规律探索、有理数的加减混合运算 【分析】（1）根据的定义求解即可； （2）设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为，再根据题意可得，，求解得出，进而可得，列出符合题意的情况即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为， 依题意得，，， ∴，， ∴ 解得， ∴， ∴，即， ∵互不相等，且当时，， ∴此时不符合百位数字是一位数的要求，舍去， ∴，或，， ∴或840． 题型模版 题型特征：两位数、连续整数/连续奇数、数位调换等。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是a，第5次输出的结果是 6，则所有满足条件的a的值的总和为_____． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设第n次输出的数为，第4次输出有奇数和偶数两种情况，根据流程图建立方程求出，同理求出，进而分a为奇数和偶数两种情况，根据的值建立方程求解即可． 【详解】解：设第n次输出的数为， 当第4次输出为偶数时，则，解得， 当第4次输出为奇数时，则，解得； 综上所述，或； 当第3次输出为奇数时，则或，解得（舍去）或（舍去）； 当第3次输出为偶数时，则或，解得或； 综上所述，或； 当第2次输出为奇数时，则或，解得（舍去）或（舍去）； 当第2次输出为偶数时，则或，解得或； 综上所述，或； 当第1次输出为奇数时，则或，解得（舍去）或（舍去）； 当第1次输出为偶数时，则或，解得或； 综上所述，或； 当a为奇数时，则或，解得或（舍去）， 当a为偶数时，则或，解得或， 综上所述，或或， ∴所有满足条件的a的值的总和为， 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书．如下表，将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若，，，，分别表示其中的一个数．解决下列问题： （1）的值为________； （2）的值为________． 0 3 1 【答案】 6 15 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值．利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，多次建立方程求解是解题的关键； （1）根据即可得解； （2）根据可求出b，根据可求出a，根据可求出c，根据可求出e，再代入求值即可得解． 【详解】（1）解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ， ， 故答案为：6； （2）解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ，，， ， ， 故答案为：15． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）图是年月份的日历，用图所示的“九方格”框住图中的个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)_____（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，_____可得_____； (3)在图中选择“九方格”的位置使的值为，如若能，请框选；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3) 解：不能，理由， 由（）得，，，，， ∴， 整理得：， 解得， ∵在月历表中第二行最后一个数， ∴无法框出九方格， ∴不能． 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （）设，则，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （）设，则，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （）设，则，，，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设，则，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则，，， 由（）得，， ∴． 故答案为：，； （3）略 题型九、几何问题 【典例17】．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设正方形D，正方形E的边长为x，则正方形C的边长为，正方形B的边长为，正方形A的边长为，根据大长方形的对边相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设正方形D，正方形E的边长为x，则正方形C的边长为，正方形B的边长为，正方形A的边长为， ∴， 解得． ∴这个长方形的长为， 宽为． ∴这个长方形的周长为． 故选：D． 题型模版 题型特征：铁丝围长方形、剪拼图形、形状改变而周长/体积/面积不变（等积变形）。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 【答案】C 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为6或9； 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为_____． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的实际应用．设小长方形木块的长为，宽为，由题意列出二元一次方程组，再根据长方形面积长宽即可得解． 【详解】解：设小长方形木块的长为，宽为， 依题意得：， 解得， 则每块小长方形木块的面积为． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知数轴上两点，，其中表示的数为，表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点，的“和距离点”．如图，若点表示的数为0，有，则称点为点，的“5和距离点” (1)已知点为点，的“和距离点”，若点在数轴上表示的数为1，那么的值是______；若点在数轴上表示的数为，那么的值是______； (2)如果点是数轴上点，的“7和距离点”，那么点表示的数为______； (3)动点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，当点运动多少时间时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“8和距离点”？请写出计算过程． 【答案】(1)5；7 (2)点D表示的数为或3 (3)当点运动1秒或0.5秒时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“8和距离点” 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列出方程． （1）计算出、，根据“和距离点”定义求解即可； （2）设点D表示的数为x，根据题意得，解方程可得的值，从而可得结论； （3）设P运动的时间为t秒，此时P表示的数为，，分是的“8和距离点”、 是的“8和距离点”、 是的“8和距离点”三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵表示的数为，表示的数为2．点在数轴上表示的数为1， ∴，， ∴； 当点在数轴上表示的数为时， ∴，， ∴； 故答案为：5；7； （2）解：设点D表示的数为x，根据题意得， 即： 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 综上，点D表示的数为或3； （3）解：设P运动的时间为t秒，此时P表示的数为，， 当是的“8和距离点”时、则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）； 当是的“8和距离点”时，则, ∵，， ∴， 解得； 当是的“8和距离点”时，， ∵， ， 又，， ∴， 解得： 综上，当点运动1秒或0.5秒时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“8和距离点”． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．某件手工制品，甲单独做需1个小时完成，乙单独做需个小时完成．若甲先做20分钟，然后甲、乙合作完成了此手工制品，设乙做了x个小时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系式解答的关键．设工程总量为1，先求出甲的工作时间，以及甲乙的工作效率，再根据工作效率工作时间工作量列出方程即可． 【详解】解：设乙做了x个小时，则甲一共做了小时，根据题意得： ， 故选：B． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）某社区举办了消防知识竞赛．本次竞赛共20道题，每答对一道得5分，每答错或不答一道扣3分．小宇共得60分，设小宇共答对道题，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 设答对x道题，则答错或不答道题，根据总得分为答对得分减去扣分列方程即可． 【详解】解：答对x道题，得分；答错或不答道题，扣分． 由题意得，，即． 故选C． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为，则大长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小长方形的宽为，由图可得小长方形的长为cm，再根据大长方形的周长即可列方程求解． 【详解】解：设小长方形的宽为，由图可得小长方形的长为cm， 依题意，得：， 解得：， ∴小长方形的宽为，长为， ∴大长方形的宽为，长为， ∴大长方形的面积是； 故选：D． 4．将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少颗．问这个班共有多少名小朋友？设这个班共有名小朋友，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系式． 设这个班共有x名小朋友，根据糖总数不变列式求解即可得到答案． 【详解】解：设这个班共有名小朋友，由题意可得， 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳， ， 故选：B． 6．一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元， 根据题意得：． 故选：C． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码和校验码”．比如下图的13位数字“6901234567892”中，“690”为国家代码，“1234”为厂商代码，“56789”为产品代码，最后一位数字“2”为校验码． 其中校验码是按特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 若某正规商品条形码数字为“978720█356241”，其中有█处一个数字被污损了，则被污损的数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据特定算法进行数字推理和一元一次方程的应用，熟练掌握校验码的计算步骤，并能根据题意建立方程求解是解题的关键． 设被污损的数字为，根据校验码算法，分别计算前12位数字中偶数位和奇数位的和、，再代入公式，结合校验码为1，反推出，从而建立方程求解． 【详解】解：设被污损的数字为， ∵前12位数字为“978720356241”， ∴偶数位数字和， 奇数位数字和， ∴， ∵校验码， ∴， ∵是大于或等于且为10的整数倍的最小数， ∴是10的倍数，且， ∴， 故选：B． 8．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按的方向行走，甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． 设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为，乙追上甲时，乙比甲多走，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为． 当乙第一次追上甲时，， 解得． ∴此时乙行走的路程为 ∵， ∴当乙第一次追上甲时，共走了3圈多90米，即在正方形的点C处乙第一次追上甲， 故选：C． 9．（24-25七年级上·上海·期中）如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的运动规律，根据计算可得每次运动后点距原点的距离是上一个点距原点距离的一半，据此即可求解，根据计算找到点的运动规律是解题的关键． 【详解】解：第一次跳动到的中点处，得， 第二次从跳到的中点处，得， 第三次从点跳到的中点处，得， ， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∵， ∴， 故选：． 10．数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为2，1，1个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，秒后，点表示的数为，点表示的数为， 设点表示的数为，根据题意得出，然后根据当，时，分类讨论，得出点，表示的数，列出方程即可求解． 【详解】解：依题意，秒后，点表示的数为，点表示的数为， 设点表示的数为， 当相遇时，，解得， ∴相遇点在， ∴当点为线段的中点时，点在点的右侧， ∴ 解得： ∵点从出发，在线段上往返运动 ∴ ∴ 当时，此时点从2往3运动， ∴点表示的数为 ∴ 解得：（舍去） 当时，此时点从3往2运动， ∴点表示的数为 ∴ 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，一元一次方程的应用，求得点表示的数是解题的关键． 二、填空题 11．（25-26七年级上·安徽六安·期末）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的0.5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒_______ 升． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出一元一次方程是解此题的关键．设壶中原来有酒升，根据遇见朋友后的操作规则，列出方程并求解． 【详解】解：设壶中原来有酒升， 遇见第一个朋友后，酒变为升； 遇见第二个朋友后，酒变为升； 遇见第三个朋友后，酒变为升， 此时酒喝光，故， 解得， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为______． 【答案】270 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设小长方形的长为，根据大长方形的长和宽，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则：小长方形的宽为， 由图可知：， 解得：， ∴； ∴小长方形的面积为：； 故答案为：270 13．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为_____． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，分和两种情况，分别用含t的式子表示出点P和点Q表示的数，进而表示出线段的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：2或． 14．（26-27七年级上·安徽合肥·阶段检测）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示的数是，点B表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为，，，其中为点A，B的“联盟点”的是______． （2）若点A表示的数是3，点B表示的数是30，点P在线段上，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数为______． 【答案】 ， 或 【分析】（1）根据“联盟点”定义，计算各点到点、点的距离，判断是否满足2倍数量关系； （2）设点表示的数为，根据定义分两种情况列一元一次方程求解。 【详解】解：（1）∵点表示数，点表示数，，，分别对应数，，， ∴，，不存在2倍数量关系，因此不是点，的“联盟点”； ∵，， ∴，满足定义，因此是点，的“联盟点”； ∵，， ∴，满足定义，因此是点，的“联盟点”； （2）设点表示的数为， ∵点在线段上，点表示，点表示， ∴，， 分两种情况讨论：当时， 解得， 当时，， 解得， 综上，点表示的数为或． 三、解答题 15．现有一项工程，甲队单独完成需10天，乙队单独完成需6天． （1）若甲队单独做2天后两队再合作，则甲、乙两队再合作多少天才能把该工程完成？ （2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为500元，乙队每天的施工费用为600元，则完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【答案】（1）3天；（2）4300元 【分析】（1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总施工费用=甲队每天的施工费用×甲队工作的时间+乙队每天的施工费用×乙队工作的时间，即可求出结论． 【详解】解：（1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成， 依题意，得：，解得：x=3． 答：甲乙再合作3天才能把该工程完成． （2）500×（3+2）+600×3=4300（元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共4300元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 17．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包； 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款________元（用含的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款________元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【答案】(1)； (2)方案一更优惠，理由： 当时，按方案一购买，需付款（元， 按方案二购买，需付款 （元， 因为 ，所以方案一更优惠； (3) 【分析】本题主要考查列代数式及代数式求值，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）将分别代入（1）中代数式，在进行比较即可； （3）根据已知条件可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：该客户按方案一购买，需付款元， 该客户按方案二购买，需付款元． 故答案为：；； （2）解：略． （3）解：， 解得：， 答：当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 18．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是求高铁列车的平均速度为多少？ 【答案】(1)， (2)这列普通列车的长为 (3)高铁列车的平均速度为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）列车所走路程为隧道长与车身长之和，所走路程除以通过时间可得平均速度； （2）根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解； （3）设高铁列车速度是，根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：列车所走的路程为，这段时间内列车的平均速度为， 故答案为：，； （2）解：由题意可得，， 解得：， 答：这列普通列车的长为； （3）解：设高铁列车速度是， 普通列车的速度是， 依题意得：， 解得： 答：高铁列车的平均速度为． 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是___________；式子的几何意义是___________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，___________； (3)若，求的值； (4)探究：的最小值是___________；此时满足的条件是___________． 【答案】(1)，数轴上表示的点与表示的点之间的距离 (2)或 (3)或 (4)， 【分析】本题考查新定义题型，读懂题意，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）由题意直接求解即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义得到一元一次方程求解即可得到答案； （3）由绝对值的意义得到一元一次方程求解即可得到答案； （4）由绝对值的几何意义分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， 则或； 故答案为：或； （3）解：， 或， 解得或； （4）解：当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 综上所述，的最小值是；此时满足的条件是； 故答案为：，． 20．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）综合与实践 【项目背景】“数形结合”指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【项目分析】 （1）点，在数轴上分别表示有理数，，且，两点之间的距离表示为．在数轴上，，两点之间的距离．数轴上表示2和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____． 【项目应用】 如图，在数轴上点表示有理数，点表示有理数2，点从点开始以每秒3个单位长度的速度向右运动，点从点开始以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动的时间为秒，，两点同时从点，出发． （2）秒后，点表示的有理数为_____，点表示的有理数为_____． （3）若，两点之间的距离为2，求的值． 【答案】（1），（2），（3）或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移，一元一次方程的应用；能用一元一次方程进行求解是解题的关键． （1）由数轴上两点之间的距离得，，即可求解； （2）由数轴上点的平移得，，即可求解； （3）由数轴上两点之间的距离得，去绝对值，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：2和的两点之间的距离是， 和的两点之间的距离是， 故答案为：，； （2）解：秒后，点表示的有理数为， 点表示的有理数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得 ， 整理得， ， 解得或； 故的值为或． 21．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度不超过300度的部分 0.6 超过300度的部分 0.8 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 +15 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小明家某月用电量为x度（），请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为148元，请求出小明家12月份的用电量． 【答案】(1)六，228 (2)当时，小明家该月的电费为元；当时，小明家该月的电费为元 (3)小明家12月份的用电量为280度 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“阶梯价格”． （1）把超过标准的数进行大小比较，即可求解； （2）分两种情况：当时，当时，根据阶梯价格列出代数式，即可求解； （3）设小明家12月份的用电量为y度，根据“阶梯价格”，结合小明家12月份的电费为148元，即可求解． 【详解】（1）解：， 小明家用电量最多的是六月份，实际用电量为（度）； （2）当时，小明家该月的电费为：元； 当时，小明家该月的电费为：元； （3）（元），（元）， 小明家12月份的用电量超过200度，不足300度， 设小明家12月份的用电量为y度，根据题意得： ， 解得， 小明家12月份的用电量为280度． 22．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、幸福、团圆、美满等美好的祝愿．劳动课上，王老师带领同学们编中国结．已知编一个大中国结比编一个小中国结需要多用的绳．王老师编3个大中国结和7个小中国结，共计用绳． (1)求王老师编一个大中国结和一个小中国结各需用绳多少m？ (2)按照王老师的方法，七1班40名同学快速行动起来，其中男生编小中国结，女生编大中国结，每位男生一节课可以编3个小中国结，每位女生一节课可以编2个大中国结，全班编完后发现小中国结的数量是大中国结的2.5倍．求七1班男生，女生各有多少人？ (3)王老师计划号召七年级同学们编500个中国结，其中大中国结个，并按照1个大中国结配2个流苏，1个小中国结配1个流苏的方式，配好后进行义卖．王老师去某商店采购绳子和流苏，其中绳子1元/米，流苏0.5元/个．店老板给出两种优惠方案： 方案一：超过1000元减220元． 方案二：一次性购物达到1000元，全场打九折． 请问：当的值为多少时，两种方案的费用相同． 【答案】(1) 王老师编一个大中国结需用绳，一个小中国结需用绳 (2) 七1班男生有25人，女生有15人 (3) 当m的值为300时，两种方案的费用相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；能找出等量关系式是解题的关键． （1）设王老师编一个小中国结需用绳，则编一个大中国结需用绳，根据“王老师编3个大中国结和7个小中国结，共计用绳”可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即王老师编一个小中国结所需绳长），再将其代入中，即可求出王老师编一个大中国结所需绳长； （2）设班男生有y人，则女生有人，根据全班编完后发现小中国结的数量是大中国结的2.5倍，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值（即七1班男生人数），再将其代入中，即可求出七1班女生人数； （3）利用总价=单价×数量，结合店老板给出的两种优惠方案，可用含m的代数式表示出选择各方案所需费用，令其相等，可求出m的值即可． 【详解】（1）解：设王老师编一个小中国结用绳，编一个大中国结用绳， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：王老师编一个大中国结和一个小中国结各需用绳和． （2）解：设七1班男生有人，则女生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：七1班男生，女生各有25人，15人． （3）解：无优惠费用： 方案一费用：． 方案二费用：． 当两种方案的费用相同时， ， 解得， 答：当的值为300时，两种方案的费用相同． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $