专题09 含参一元一次方程压轴（★★★ 培优必考）（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

专题09 含参一元一次方程压轴（★★★ 培优必考） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知方程解的情况，求参数值（基础压轴） 题型二、已知方程的解，代入求参数（高频基础） 题型三、含参方程整数解问题（重难点压轴） 题型四、恒成立问题（无论参数取何值，方程恒成立） 题型五、同解方程问题（双方程含参压轴） 题型六、含参绝对值一元一次方程压轴 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 所有含参一元一次方程压轴题，均可按以下固定步骤解题，杜绝思路混乱、漏解、错解。 步骤1：标准化整理 按照解方程常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，将原方程化简为 最简形式（A为x的系数，B为常数项，均含参数）。 步骤2：定位参数与变量 区分：x是未知数，剩余字母均为参数，不混淆变量与参数。 步骤3：分类列式（核心） 根据题干条件（唯一解、无解、无数解、整数解等），结合 三种模型，列出参数满足的等式/不等式。 步骤4：求解参数范围/数值 解关于参数的方程或不等式，注意参数取值限制（如保证一元一次方程次数为1）。 步骤5：检验取舍 验证参数值是否符合题意，排除增根、漏根，尤其注意系数不为0的隐藏条件。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知方程解的情况，求参数值（基础压轴） 【典例1】．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若方程无解，方程有一个解，方程有两个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值方程、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，绝对值的性质，根据解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：， ， 无解， ； 同理方程有一个解，即； 同理方程有两个解，； ， 故选：A． 题型模版 题干给出：方程有唯一解/无解/无数解，求参数a、k、m的值。 易错点：无数解、无解必须同时验证系数和常数项，只看系数必错。 【变式1】．若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则、、的关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】比较a、b、c的大小，只有从给出已知条件中，算出其值，比较它们的大小，就会迎刃而解了． 【详解】∵有两个解， ∴a＞0； ∵只有一个解， ∴b=0； ∵无解， ∴c＜0; 从而可知，. 故选D. 【点睛】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的拓展计算题，要充分利用已知条件，确定字母的值的范围．难易适中． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若关于的方程有两个解，无解，只有一个解，则的大小关系是________用“”连接）． 【答案】 【知识点】绝对值方程 【分析】根据绝对值的意义可知，，，即可获得答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个解， ∴， ∵无解， ∴， ∵只有一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题关键． 【变式3】．已知关于x的一元一次方程与方程的解互为相反数，求a的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】由解得，根据题意方程的解为：，把代入方程，就得到关于a的方程，从而可以求出a的值． 【详解】由解得， 的相反数是， 一元一次方程的解为， 把代入方程，得， 解得． 【点睛】本题考查了一元一次方程同解问题，解题的关键是能够求解关于的方程，要正确理解方程解的含义． 题型二、已知方程的解，代入求参数（高频基础） 【典例2】．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知是方程的解，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 解得： 故选：D 题型模版 题干给出方程的解（如x=2、解为正数/负数），求参数的值或范围。 【变式1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知是关于的方程的解，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念，将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值 【详解】解：是方程的解， 把代入方程，得， ， 故选：C 【变式2】．已知 是关于 x 的方程 ：的解，则a的值为_______． 【答案】5 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是方程成立的未知数的值，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：； 故答案为：5． 【变式3】．（2024七年级上·安徽淮南·阶段检测）如果是方程的解，则__________． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查已知一元一次方程的解，求参数；把代入方程中，计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ， ， ． 故答案为：． 题型三、含参方程整数解问题（重难点压轴） 【典例3】．（2024七年级上·安徽亳州·期中）方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数m的值有 个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】方程的解 【分析】根据方程的解是正整数，可得（m+2）是12的约数，根据12的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】由， 得， ∵方程是关于的一元一次方程，此方程的解为正整数，m是正整数， ∴m+2=3或4或6或12， 解得m=1或2或4或10， ∴正整数m的值有4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m+2=3或4或6或12是关键． 【典例4】．（2024七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的方程mx＝2﹣x的解为整数，且m为负整数，求代数式5m2﹣[m2﹣（6m﹣5m2）﹣2（m2﹣3m）]的值． 【答案】m2，4或9． 【知识点】整式的加减中的化简求值、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】先求出方程的解，根据方程的解为整数且m为负整数求出m的值，再化简代数式，最后代入求值即可． 【详解】解：解方程mx＝2﹣x 得：x＝， ∵关于x的方程mx＝2﹣x的解为整数， ∴1+m＝±2或±1， 解得：m＝1或﹣3或0或﹣2， ∵m为负整数， ∴m＝1和m＝0舍去（不是负整数）， 即m＝﹣3或﹣2； 5m2﹣[m2﹣（6m﹣5m2）﹣2（m2﹣3m）] ＝5m2﹣[m2﹣6m+5m2﹣2m2+6m] ＝5m2﹣m2+6m﹣5m2+2m2﹣6m ＝m2， 当m＝﹣2时，原式＝（﹣2）2＝4； 当m＝﹣3时，原式＝（﹣3）2＝9， 所以代数式5m2﹣[m2﹣（6m﹣5m2）﹣2（m2﹣3m）]的值是4或9． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和整式的化简求值，求出m的值和能根据整式的运用法则进行化简是解此题的关键． 题型模版 方程的解为正整数、负整数、整数，求参数的整数值，期末必考压轴。 技巧点拨：正整数解找正约数，负整数解找负约数，切勿漏找正负约数。 【变式1】．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关． (1)求a的值； (2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】整式加减中的无关型问题、一元一次方程解的综合应用 【分析】（1）把M与N代入2M+N中，去括号合并得到最简结果，由2M+N的值与x无关，确定出a的值即可； （2）方程移项，x系数化为1，表示出解，根据解为正整数且b为整数，确定出b的值，进而求出所求． 【详解】（1）解：∵，N=， ∴2M+N=2（）+（） = =（16a-8）x+6， ∵2M+N的值与x无关， ∴16a-8=0， 解得：a=； （2）解：方程bx-b-3=0， 整理得：x=1+， ∵解是正整数， ∴b=1或3， 当b=1时，=； 当b=3时，． 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将代入，求出m的值，然后代入求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求出，再根据已知得的值可能为，，1，2，进而即可得出m的值． 【详解】（1）解：根据题意，将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得； （2） 去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1：， 该方程的解为整数，且m为整数， 的值可能为，，1，2， m的值可能为：0，1，3，4． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽六安·期中）我们规定一种运算：，（注意：它不是绝对值运算！）． (1)计算：_________； (2)若关于的方程的解为整数，求符合条件的所有正整数的值． 【答案】(1)7 (2)1，3，5 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是新定义，有理数的混合运算及解一元一次方程，正确理解新定义、掌握解一元一次方程步骤是解题的关键． （1）根据新定义列出算式，根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：7； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程的解为整数，所以3能被整除，即 或， 解得或或或． 因为为正整数， 所以，符合条件的所有正整数的值为1，3，5． 题型四、恒成立问题（无论参数取何值，方程恒成立） 【典例5】．如果是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是那么的值是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了方程的解的定义、代数式的值等知识点，理解方程的解的定义成为解题的关键． 根据解的定义，把方程转化为关于k的一元一次方程，根据方程解的条件求解即可． 【详解】解：将代入， ， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 故选C． 题型模版 题干：无论k、m取何值，方程恒成立，求参数的值。 解题核心：构造 0×参数=0 模型：含参数的项系数为0，常数项同时为0。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如方程和方程互为“和谐方程”．若无论取何值时，关于的方程（，为常数）与方程都是互为“和谐方程”，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．7 【答案】B 【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求出的解，根据“和谐方程”的定义，两个解互为相反数，可得，将代入可得，再根据无论取何值，等式都成立，可列，，分别求出，的值，进而得到的值． 【详解】解：∵， ∴方程的解为：； ∵两个方程互为“和谐方程”， ∴关于的方程的解为：， 将代入得：， 化简得：， ∵无论取何值，等式都成立， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】．（2024七年级上·安徽六安·期末）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则______． 【答案】1 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】根据一元一次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解：将代入方程， ， ， ， ， 由题意可知，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义． 【变式3】．已知a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则ab的值为______． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了方程的解的定义、方程无数解的条件等知识点，正确得到a和b的值是解题的关键． 把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，进而求得a和b的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 化简得：， 由于k可以取任意值，则，解得：， ∴． 故答案为：． 题型五、同解方程问题（双方程含参压轴） 【典例6】．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】此题考查同解方程，先解方程 得到 的值，再代入方程 求解 ． 【详解】∵ 方程 ， ∴ 展开得 ， ∴ 移项得 ， ∴ ， ∵ 两方程解相同， ∴ 将 代入 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故 的值为 ， 故选 C． 题型模版 两个含参一元一次方程解相同，求参数值或代数式的值。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）关于x的方程与的解相同，则k的值为_________． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】先求出第一个一元一次方程的解，再将解代入第二个方程， 即可求出的值． 【详解】解：解方程， 移项得，， 系数化为，得 ， 因为两个方程的解相同，把代入得， 整理，得， 移项，得， 系数化为，得． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，再把解代入，求出k的值，即可． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程，得：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 题型六、含参绝对值一元一次方程压轴 【典例7】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则______， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______． 【答案】 或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数、绝对值方程 【分析】（）求出两个方程的解，再根据定义解答即可； （）求出两个方程的解，再根据定义解答即可； 本题考查了解一元一次方程，绝对值的意义，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）解方程，得；解方程，得， ∵与是“差解方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （）解方程，得；解方程，得， ∵方程与方程是“差解方程”， ∴， 即， 解得或， 故答案为：或． 【典例8】．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为，我们称这两个方程为“值方程”．例如：方程的解是，方程的解是，，∴方程与方程是“值3方程”． (1)方程与方程是“值_____方程”； (2)若关于的一元一次方程和是“值3方程”，求的值； (3)无论取任何数，关于的方程与关于的方程是“值5方程”，求的值． 【答案】(1)1 (2)14或38 (3)或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，正确理解“值方程”的定义是解题的关键． （1）解方程求出两个方程的解，再求出两个方程的解的差的绝对值即可得到答案； （2）解方程求出两个方程的解，再根据“值3方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （3）解方程得到，则可得到，解得或；再把和分别代入到方程中，去分母，然后合并同类项，令含k的项的系数为0，则不含k的项的和为0，由此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵， ∴方程与方程是“值1方程”； （2）解：解方程得， 解方程 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的一元一次方程和是“值3方程”， ∴， ∴或， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得； ∵关于的方程与关于的方程是“值5方程”， ∴， ∴或， 解得或； 当时，则， ∴， ∴， ∵无论取任何数，关于的方程与关于的方程是“值5方程”， ∴，且， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∵无论取任何数，关于的方程与关于的方程是“值5方程”， ∴，且， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 题型模版 方程含绝对值+参数，求解的个数、参数范围，属于期末难题。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）阅读与思考： 定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为，我们称这两个方程为“值方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值5方程”（填写序号）． (2)若关于的一元一次方程和是“值2方程”，求的值． 【答案】(1)①和②，②和③ (2)或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解，绝对值，掌握一元一次方程的解法，理解一元一次方程解的定义是正确解答的关键． （1）先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值Q方程”的定义得出，即或即可求出a的值． 【详解】（1）解：方程①的解为；方程②的解为；方程③的解为， ∵，， ∴方程①和②是“值1方程”；方程②与方程③是“值5方程”， 故答案为：①，②；②，③； （2）解：∵关于的一元一次方程和是“值2方程”， 又的解为，的解为， ∴， ∴或， 解得或． 【变式2】．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下两个问题： （1）解方程：； （2）试说明关于的方程解的情况． 【答案】（1）x=-1或x=；（2）当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解 【知识点】绝对值方程、一元一次方程解的综合应用 【分析】（1）分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案． （2）分类讨论：x＜-3，-3≤x≤1，x＞1，分别求解方程，再根据x的范围算出a的取值，从而分类讨论得出解的情况． 【详解】解：（1）当x＜1时，方程可化为：， 解得x=-1，符合题意． 当x≥1时，方程可化为：， 解得x=，符合题意． 所以，原方程的解为：x=-1或x=； （2）当x＜-3时，方程可化为： ， 解得：， 则，解得：， 当-3≤x≤1时，方程可化为： ， 当x＞1时，方程可化为：， 解得：， 则，解得：， 综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 【变式3】．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 【答案】或=-2 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】按照所给解法，结合绝对值的意义解方程即可． 【详解】解：当时，方程可化为： 符合题意 当<1时，方程可化为： -2=4 =-2符合题意 所以原方程的解为：或=-2． 【点睛】本题考查了绝对值方程，解决可化为一元一次方程的绝对值方程，其最基本的套路是：将方程中的绝对值符号去掉，转化为括号即可，不过，括号里面的代数式，视原绝对值里面代数式的符号而定：如果原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；如果原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知是关于的方程的解，则的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了方程解的定义，已知是方程的解实际就是得到了一个关于的方程．将代入方程中，直接求解的值． 【详解】是方程的解， ， 即， ． 因此，的值为， 故选：A． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的概念，解题关键是将方程的解代入方程，得到关于的关系式，再整体代入求值． 将 代入方程 ，得到 ，从而 ，再代入所求表达式计算即可． 【详解】∵ 是方程 的解， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选B． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的方程的解，则多项式的值是（   ） A．1011 B．1015 C．2021 D．2029 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．根据方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得 ， ， ． 故选：C． 4．（2025七年级上·安徽安庆·期末）关于x的两个方程5x+4＝3x与ax﹣3＝0的解相同，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 【答案】C 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】先解方程5x+4=3x，得x=-2，因为这个解也是方程ax-3=0的解，根据方程的解的定义，把x代入方程ax-3=0中求出a的值． 【详解】5x+4=3x，解得：x=-2. 把x=-2代入方程ax-3=0， 得：-2a-3=0， 解得：a=−. 故答案选:C. 【点睛】本题考查的知识点是同解方程，解题的关键是熟练的掌握同解方程. 5．已知关于的方程与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了同解方程，熟知同解方程的定义是解题的关键． 先求出方程的解，再代入方程得到关于m的方程，即可． 【详解】解：∵方程， 解得：． 将代入第一个方程 ，得： ， 解得：． 故选：A 6．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的绝对值为（    ） A．－26 B．26 C．14 D．－14 【答案】B 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查解一元一次方程，相反数，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键．先解方程 得的值，根据解互为相反数，得第二个方程的解，代入求，再求的绝对值 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ∵ 两个方程的解互为相反数， ∴ 方程 的解为 将 代入： ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26七年级上·安徽六安·期末）关于x的方程的解为，则a的值是________． 【答案】3 【分析】把代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】1 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，将代入方程 ，得到，即可求出． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以， 所以， 故答案为： 1． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的方程的解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、一元一次方程的解，由题意可得，将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知是关于x的方程的解，则代数式的值为________． 【答案】10 【分析】根据题意，是关于x的方程的解，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于x的方程是解题关键． 根据方程的解满足方程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：设常数为x，由题意，得 解得， 故答案为：3． 12．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________． 【答案】1 【分析】本题考查整体代入法求方程的解，通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知方程相同的形式，利用已知方程的解求解． 【详解】解：令，则原方程化为 ． 由得 ， 代入得 ． 整理得． 已知方程的解为， 因此． 即， 解得． 故答案为1． 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）关于x的一元一次方程有正整数解，则 （1）此方程的解为______（用含a的代数式表示）； （2）整数a的值为______． 【答案】 1或 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）将方程化简，用含的代数式表示即可； （2）根据为正整数的条件，确定整数的可能取值即可． 【详解】解：（1）解方程， 展开得：， 移项得：， 合并得：， 解得：（其中）， 故答案为：； （2）由为正整数，且为整数，得 设，则，且为整数，， 由于，故，且为整数， 因此为5的正因数，即或， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，；当时，，均为正整数， 故整数的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】相反数的定义、方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程以及方程的解的应用，先解出的解，再化简，得出，则，再把代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 ∵ 解得， ∵方程的解与关于的方程的解互为相反数， ∴把代入 得 15．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）关于x方程与方程有相同的解，求m的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义以及解法．先解出第二个方程的解，再将x的值代入第一个方程求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 由题意得，是关于的方程的解， 则， 两边同乘以12去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知是关于的方程的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，已知一元一次方程的解求参数，熟练掌握解一元一次方程的方法，是解题的关键． （1）把代入关于的方程，解关于m的方程即可； （2）将代入关于的方程，解关于y的方程即可． 【详解】（1）解：将代入方程，可得： ， 解得：． （2）解：由（1），于是， 解得． 17．（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值． (2)若上述方程的解比方程的解小3，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解的关系，熟练掌握相关知识点，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）根据一元一次方程的定义，得到，进行求解即可； （2）先求出的解，根据解的关系，得到的解，代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知方程为， 解得； ∵上述方程的解比方程的解小3， ∴的解为， ∴， ∴． 18．已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【答案】(1) (2)， (3)方程的整数解为或或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）将方程变形得，因为方程有无数个解，所以且； （3）方程变形可得，因为为正整数，方程的解为整数，所以是的因数． 【详解】（1）解：等量代换，得 移项，得 合并同类项，得 因为， 所以 系数化为，得； （2）解：将方程变形，得 因为方程有无数个解， 所以且． 解得，； （3）解：将代入方程，得 移项，得 合并同类项，得 因为为正整数，方程的解为整数， 所以是的因数． 因为的因数为，， 当时，可得，则． 当时，可得 ，则． 当时，可得，则． 当时，可得，不符合为正整数，舍去． 综上所述，方程的整数解为或或． 19．（25-26七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)判断方程与是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为9，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)是“美好方程” (2)或； (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】（1）分别求出方程与的解，然后根据“美好方程”的定义判断； （2）首先得到另一个解为或，然后根据“美好方程”的定义列方程求解； （3）首先求出方程的解为，然后根据“美好方程”的定义求出方程的解，然后将方程整理成方程的形式，进而求解即可． 【详解】（1）解：解方程得，， 解方程得，， ∵ ∴方程与是“美好方程”； （2）解：∵“美好方程”的两个解的差为9，其中一个解为n， ∴另一个解为或 ∵是“美好方程” ∴或 ∴或； （3）解：解方程得，， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 20．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 【答案】(1)是； (2)； (3)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“仁爱”方程的定义是解题的关键． （）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）先解出由的解为，再根据“仁爱”方程的定义，得关于的一元一次方程的解为，由得，然后对比即可求解； 【详解】（1）解：由， ， ∴， 即的解是； 由 ， ， ∴， 即的解是； ∵， ∴方程和是“仁爱”方程， 故答案为：是； （2）解：由，得； 由， ， ， ∴， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴， 解得：； （3）解：由得， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴关于的一元一次方程的解为， ∵由得， ∴， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 含参一元一次方程压轴（★★★ 培优必考） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知方程解的情况，求参数值（基础压轴） 题型二、已知方程的解，代入求参数（高频基础） 题型三、含参方程整数解问题（重难点压轴） 题型四、恒成立问题（无论参数取何值，方程恒成立） 题型五、同解方程问题（双方程含参压轴） 题型六、含参绝对值一元一次方程压轴 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 所有含参一元一次方程压轴题，均可按以下固定步骤解题，杜绝思路混乱、漏解、错解。 步骤1：标准化整理 按照解方程常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，将原方程化简为 最简形式（A为x的系数，B为常数项，均含参数）。 步骤2：定位参数与变量 区分：x是未知数，剩余字母均为参数，不混淆变量与参数。 步骤3：分类列式（核心） 根据题干条件（唯一解、无解、无数解、整数解等），结合 三种模型，列出参数满足的等式/不等式。 步骤4：求解参数范围/数值 解关于参数的方程或不等式，注意参数取值限制（如保证一元一次方程次数为1）。 步骤5：检验取舍 验证参数值是否符合题意，排除增根、漏根，尤其注意系数不为0的隐藏条件。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知方程解的情况，求参数值（基础压轴） 【典例1】．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若方程无解，方程有一个解，方程有两个解，则（    ） A． B． C． D． 题型模版 题干给出：方程有唯一解/无解/无数解，求参数a、k、m的值。 易错点：无数解、无解必须同时验证系数和常数项，只看系数必错。 【变式1】．若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则、、的关系是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若关于的方程有两个解，无解，只有一个解，则的大小关系是________用“”连接）． 【变式3】．已知关于x的一元一次方程与方程的解互为相反数，求a的值． 题型二、已知方程的解，代入求参数（高频基础） 【典例2】．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知是方程的解，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型模版 题干给出方程的解（如x=2、解为正数/负数），求参数的值或范围。 【变式1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知是关于的方程的解，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【变式2】．已知 是关于 x 的方程 ：的解，则a的值为_______． 【变式3】．（2024七年级上·安徽淮南·阶段检测）如果是方程的解，则__________． 题型三、含参方程整数解问题（重难点压轴） 【典例3】．（2024七年级上·安徽亳州·期中）方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数m的值有 个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例4】．（2024七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的方程mx＝2﹣x的解为整数，且m为负整数，求代数式5m2﹣[m2﹣（6m﹣5m2）﹣2（m2﹣3m）]的值． 题型模版 方程的解为正整数、负整数、整数，求参数的整数值，期末必考压轴。 技巧点拨：正整数解找正约数，负整数解找负约数，切勿漏找正负约数。 【变式1】．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关． (1)求a的值； (2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽六安·期中）我们规定一种运算：，（注意：它不是绝对值运算！）． (1)计算：_________； (2)若关于的方程的解为整数，求符合条件的所有正整数的值． 题型四、恒成立问题（无论参数取何值，方程恒成立） 【典例5】．如果是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是那么的值是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 题型模版 题干：无论k、m取何值，方程恒成立，求参数的值。 解题核心：构造 0×参数=0 模型：含参数的项系数为0，常数项同时为0。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如方程和方程互为“和谐方程”．若无论取何值时，关于的方程（，为常数）与方程都是互为“和谐方程”，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．7 【变式2】．（2024七年级上·安徽六安·期末）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则______． 【变式3】．已知a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则ab的值为______． 题型五、同解方程问题（双方程含参压轴） 【典例6】．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型模版 两个含参一元一次方程解相同，求参数值或代数式的值。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）关于x的方程与的解相同，则k的值为_________． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 题型六、含参绝对值一元一次方程压轴 【典例7】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则______， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______． 【典例8】．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为，我们称这两个方程为“值方程”．例如：方程的解是，方程的解是，，∴方程与方程是“值3方程”． (1)方程与方程是“值_____方程”； (2)若关于的一元一次方程和是“值3方程”，求的值； (3)无论取任何数，关于的方程与关于的方程是“值5方程”，求的值． 题型模版 方程含绝对值+参数，求解的个数、参数范围，属于期末难题。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）阅读与思考： 定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为，我们称这两个方程为“值方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值5方程”（填写序号）． (2)若关于的一元一次方程和是“值2方程”，求的值． 【变式2】．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下两个问题： （1）解方程：； （2）试说明关于的方程解的情况． 【变式3】．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知是关于的方程的解，则的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的方程的解，则多项式的值是（   ） A．1011 B．1015 C．2021 D．2029 4．（2025七年级上·安徽安庆·期末）关于x的两个方程5x+4＝3x与ax﹣3＝0的解相同，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 5．已知关于的方程与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．3 6．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的绝对值为（    ） A．－26 B．26 C．14 D．－14 二、填空题 7．（25-26七年级上·安徽六安·期末）关于x的方程的解为，则a的值是________． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的方程的解，则的值为________． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的方程的解，则的值是______． 10．已知是关于x的方程的解，则代数式的值为________． 11．有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是_______． 12．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________． 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）关于x的一元一次方程有正整数解，则 （1）此方程的解为______（用含a的代数式表示）； （2）整数a的值为______． 三、解答题 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 15．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）关于x方程与方程有相同的解，求m的值． 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知是关于的方程的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 17．（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值． (2)若上述方程的解比方程的解小3，求k的值． 18．已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 19．（25-26七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)判断方程与是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为9，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 20．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $