专题10 一元一次方程应用的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

专题10 一元一次方程应用的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 题型五、利用一元一次方程解决几何问题 题型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：以销售利润、配套生产、工程效率、积分胜负为主，均含“总量=各部分之和”或“单价×数量=总价”等核心等量关系。 - 解题方法：审题圈关键词→设未知数（直接或间接）→依等量关系列方程→解方程→检验实际意义。 - 易错提醒：利润率分母是进价非标价；配套问题注意比例方向；检验须符合实际（人数、场次为正整数）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 典例1 （25-26七年级上·河北唐山·期末）为增强学生体质，丰富校园体育活动，某校计划购买一批篮球和足球供学生使用．已知购买1个篮球的费用比1个足球多元，且购买2个篮球和3个足球共花费元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元？(列一元一次方程解答) (2)若该校购买篮球和足球共个，用去元，求该校购买篮球和足球各多少个？ 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、利润、折扣等量，常以利润或销售额列等量关系。 2.方法：设未知数，用售价减进价表示利润，找等量关系列一元一次方程求解。 变式1-1（25-26七年级上·江苏扬州·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共100个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费4080元． (1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个？ (2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为元/个、元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的九折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个？ 变式1-2（25-26七年级上·广东深圳·期末）由于电影《哪吒2》角色深受大家喜爱，某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，已知“哪吒”款手办每个进价为80元，售价为100元；“敖丙”款手办每个售价为130元，可盈利． (1)“哪吒”款手办每个的利润率是_____，“敖丙”款手办每个进价为_____元． (2)该商家两款手办分别购进多少个？（用一元一次方程解答） (3)当“敖丙”款手办卖掉20个之后，为了回馈广大国产动漫爱好者，该商家决定对“敖丙”款手办打折销售，“哪吒”款手办按原价销售．两款手办全部销售完毕后该商家共获利2140元，请问“敖丙”款手办打了几折？（用一元一次方程解答） 变式1-3（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 典例2 （25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 题型模版 1.特征：实际问题中数量关系可化为ax+b=0形式，求未知量。 2.方法：设未知数，找等量关系列方程，解方程并检验作答。 变式2-1（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元．如果直接由厂家门市销售，每件产品售价为40元，同时每月还要支出其他费用2000元；如果委托商场销售，那么出厂价为每件36元． (1)若用表示每月销售该种玩具的件数，请你用含的式子分别表示这两种销售方式所得的利润． (2)在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？ (3)若每个月的销售量为600件时，采用哪种销售方式获得利润较多？其利润是多少？ 变式2-2（25-26七年级上·河南周口·期末）某商场开展春节促销活动出售两种商品，活动方案如下两种：方案一：商品每件进价元，售价每件元；商品每件进价元，售价每件元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买商品件，商品件，选用何种方案划算？能便宜多少钱? (2)某单位购买商品x件（x为正整数），购买商品的件数是商品件数的倍多件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 变式2-3（25-26七年级上·河南南阳·期末）随着旅游业的发展，乡村旅游已成为旅行新潮流，乡村旅游产品也逐渐受到游客青睐．某村的文创商店制作了一批民族手工艺品作为旅游商品售卖，该手工艺品的标价为50元/件．某旅游公司准备购买件这种手工艺品当作纪念品送给游客． 该商店提供了两种优惠方案： 方案一：当购买的手工艺品不超过5件时，按原价付费；当购买的手工艺品超过5件时，超过的部分打七折； 方案二：购买的手工艺品全部打八折． (1)当时，若按照方案一购买，需支付_____元；若按照方案二购买，需支付 元；（用含的代数式表示） (2)假如你是旅游公司负责人，要购买10件该手工艺品，请你通过计算说明选择哪种优惠方案更合算； (3)该怎样根据自己想买的数量来选择更省钱的方案？说说你的建议．（一条即可） 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 典例3 （25-26七年级上·北京·期末）探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 题型模版 1.特征：总量按固定比例分配，配套数量间成倍数关系。 2.方法：设未知数，按配套比例列等量关系，解方程。 变式3-1（25-26七年级上·吉林·期末）某包装车间有21名工人，每人每天可以包装120个甲商品或180个乙商品，按照1个甲商品搭配2个乙商品装箱，要使每天包装的甲商品和乙商品刚好配套，应安排包装甲商品和乙商品的工人各多少名？ 变式3-2（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）元旦期间，七年级（3）班同学去某新能源汽车厂研学，顺便慰问节假日期间还工作在岗位上的某车间职工，给他们带去了一些礼品，如果每人3件，则剩下7件，如果每人4件，则还少15件，请应用一元一次方程解答下列问题． (1)求该车间一共有多少名职工？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1500个螺钉或2500个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 变式3-3（25-26七年级上·甘肃武威·期末）一套某种精密仪器由一个A部件和两个B部件制成，用钢材可以做40个A部件或240个B部件，现在要用钢材制作这种仪器． (1)请问用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件可以恰好制成整套的仪器？可以制成仪器多少套？ (2)现在某公司要租赁这批仪器a套，每天的付费方案有两种选择： 方案一：当a不超过50时，每套支付租金100元；当a超过50时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当时，请回答下列问题： ①用含a的式子分别表示出公司每天需支付方案一和方案二的租金 ②公司负责人说，“无论我们选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道他们租赁了多少套吗？ ③某公司要租赁这批仪器110套，请你谋划一下，选择哪种租赁方案更合算？ 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 典例4 （24-25七年级上·吉林·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 题型模版 1.特征：文言表述含数量关系，可译为现代数学问题建模求解。 2.方法：读懂题意译成白话，设未知数列方程，解后还原作答。 变式4-1（24-25九年级下·陕西西安·期中）《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问：人、银各几何？题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两，问有多少个人？多少两银子？ 变式4-2（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？ 变式4-3（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价． 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题． 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六． 问：人数，鸡价各几何？ 题型五、利用一元一次方程解决几何问题 典例5 （25-26七年级上·陕西汉中·期末）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号3的大桌子可以坐___________个人． (2)型号n的大桌子可以坐___________个人． (3)如果有40人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明理由． 题型模版 1.特征：几何量间存在等量关系，可化为一元一次方程求解。 2.方法：设几何量为未知数，依图形性质列方程，解后检验。 变式5-1（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某体育馆在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池（阴影部分），如图所示，两个游泳池之间的空地上铺上五彩石．（单位：米） (1)请用含a，b的代数式表示铺五彩石的空地的面积；（结果保留π） (2)为了便于施工，用高为2米长为116米的围挡把该施工地段围成一个无盖的长方体，如果该长方体的长比宽多8米，那么此时长方体的长、宽各为多少米？ 变式5-2（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，在数轴上，点O为原点，点A对应的数为10，长度为4的线段在数轴上移动，其中点C在点B右侧，点B对应的数为．（若两点重合，我们就称它们之间的距离为0，如：点M与点N重合，则） (1)线段在移动过程中，若B为线段的中点，求此时b的值及线段的长度； (2)线段在移动过程中，若点B在点A左侧，且，求此时b的值； (3)线段在移动过程中，若使，请直接写出b的取值范围． 变式5-3（25-26七年级上·广西河池·期末）为响应国家“强化青少年体育锻炼，提升学生体质健康水平”的号召，教育部联合国家体育总局推行青少年体育锻炼提升行动，要求中小学生保证每天校内、校外各1小时体育活动时间，熟练掌握至少2项终身受益的体育技能．我县为给学生提供足够的运动场地，每个学校都修建了田径运动场．如图是某校田径运动场的平面图，中间长方形的长为a米，两端是半径为r米的两个半圆，每条跑道的宽为1.2米，共4个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题： (1)第1跑道的周长为 米；第4跑道的周长为 米．（用含字母a，r的代数式表示） (2)若，且要求第1跑道总长度为200米．（取3） ①求r的值；（结果精确到个位） ②在①的条件下，在200米比赛中，若4条跑道上的同学并排在同一起跑线起跑，公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请计算出第2道的起跑线应在第1道起跑线前面多少米的位置？ ③在①的条件下，若操场中心（除跑道外）需铺设塑胶和人工草，单价为100元/平方米，则学校共需付多少铺设费用？ 题型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 典例6 （25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 题型模版 1.特征：分段计费，不同用量区间单价不同，总量对应总费用。 2.方法：设用量为x，判断所属区间，按对应单价列方程求解。 变式6-1（24-25七年级上·山东临沂·期末）居民生活用电通常按户计费．下表是某城市居民生活用电的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 月用电量/度 费用/（元/度） 第一阶梯 0~180 0.50 第二阶梯 181~240 0.80 第三阶梯 240以上 1.20 (1)设某户居民的月用电量为度（是正整数）．当在第二阶梯时，费用是多少? (2)已知某户居民11月份的电费为210元，试求这户居民11月份的用电量是多少度? 变式6-2（24-25七年级上·湖北荆州·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民4月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费多少元？（结果需化简） (3)若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为多少立方米？ 变式6-3（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 二、填空题 5．（25-26七年级上·福建宁德·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 7．（25-26七年级上·全国·期末）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 8．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 三、解答题 9．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某商店销售甲、乙两种商品，其中甲商品的进价为50元/件，售价为70元/件，乙商品的进价为60元/件，售价为90元/件．若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，总进价为5400元． (1)该商店购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中甲商品打9折，乙商品打折，若销售完甲、乙这两种商品，甲商品的总利润比乙商品的总利润多300元，求的值． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 (1)若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； (2)若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 11．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年，乌兰察布市首次征战蒙超联赛便斩获季军佳绩，尽显黑马风采．某玩具生产商敏锐捕捉赛事热度，计划推出同款主题玩偶，并为每个玩偶配2只手套．如果该车间共有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个玩偶． (1)那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩偶，才能使当天生产的手套和玩偶刚好配套？ (2)如果生产一套玩偶成本为100元，商家将进价提高进行标价，若商家要获得的利润，应打几折出售？ 12．（25-26八年级上·全国·期末）跨学科  成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限制猴子的粮食，分早晚两次投喂，早上投喂的粮食是晚上的，猴子对于这个安排很不满意，于是老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂，这样早上投喂的粮食是晚上的，猴子很满意这样的安排．则调整前早上和晚上分别投喂多少粮食？ 13．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，当阳市城区采用价格调控的手段以达到节水的目的，居民生活用水收费的价目表如下：(注：水费按月计算，用水量单位：) 收费方式 月用水量() 费用(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 (1)若小关家10月份用水，则应交水费多少元？ (2)小云家某月用水量为，则应交水费多少元？(用含x的式子表示) (3)若小雅家11月、12月用水量共．(11月份用水量小于12月份用水量)，这两个月共交水费158元，小雅家11月、12月用水量分别为多少？ 14．（25-26七年级上·广东珠海·期末）珠海市夏季天气炎热，空调用电量较大，因此电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，实施居民阶梯电价，收费标准划分如下： 夏季标准（5月~10月） 非夏季标准（1月~4月，11月~12月） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 260及以下 0.6 第一档 200及以下 0.6 第二档 261~600 0.65 第二档 201~400 0.65 第三档 601及以上 0.9 第三档 401及以上 0.9 例如：按夏季标准，用电量600度时，其中260度按0.6元/度收费，超出260度的部分按0.65元/度收费． (1)在用电量同为600度的情况下，非夏季电费___________夏季电费（填选项）． A．大于        B．小于        C．大于等于        D．小于等于 (2)珠海的中学生小周发现家里1月份用电410度，请计算小周家1月份总电费． (3)已知小周家7月份缴纳电费312元，请通过计算求出小周家7月份的用电量． 15．（25-26七年级上·河北张家口·期末）【观察思考】一段墙体是由同一规格的方砖按照一定规律组合砌成的，图1给出了每层的组合方式：当中竖放1块方砖，就横放6块方砖（如图2）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图3）；以此类推． 【规律发现】已知方砖的长为，宽为．设一层里竖放的方砖有（为正整数）块． （1）这一层横放方砖的块数为_____________（用含的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1块时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2块时，墙体的长度为；…当竖放的方砖为块时，墙体的长度为___________m； 【规律应用】 （3）若需要砌一段长为的一层墙体，按照图中规律，求需要方砖多少块． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元一次方程应用的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 题型五、利用一元一次方程解决几何问题 题型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：以销售利润、配套生产、工程效率、积分胜负为主，均含“总量=各部分之和”或“单价×数量=总价”等核心等量关系。 - 解题方法：审题圈关键词→设未知数（直接或间接）→依等量关系列方程→解方程→检验实际意义。 - 易错提醒：利润率分母是进价非标价；配套问题注意比例方向；检验须符合实际（人数、场次为正整数）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 典例1 （25-26七年级上·河北唐山·期末）为增强学生体质，丰富校园体育活动，某校计划购买一批篮球和足球供学生使用．已知购买1个篮球的费用比1个足球多元，且购买2个篮球和3个足球共花费元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元？(列一元一次方程解答) (2)若该校购买篮球和足球共个，用去元，求该校购买篮球和足球各多少个？ 【答案】(1)篮球单价为元，足球单价为元； (2)购买篮球个，足球个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是找准题目中的等量关系来构建方程． （1）设足球单价为未知数，利用篮球与足球单价的差表示出篮球单价，再根据“2个篮球的总费用+3个足球的总费用=290元”这一等量关系列方程求解； （2）设篮球的购买数量为未知数，根据总购买数量表示出足球的数量，再根据“篮球的总费用+足球的总费用=3100元”这一等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元． 根据题意列方程得：， 解得：， 则篮球的单价为(元)； 答：篮球的单价为元，足球的单价为元． （2）解：设该校购买篮球个，则购买足球个． 根据题意列方程得：， 解得：， 则购买足球的数量为(个)； 答：该校购买篮球个，足球个． 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、利润、折扣等量，常以利润或销售额列等量关系。 2.方法：设未知数，用售价减进价表示利润，找等量关系列一元一次方程求解。 变式1-1（25-26七年级上·江苏扬州·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共100个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费4080元． (1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个？ (2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为元/个、元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的九折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个 (2)“乐融融”玩偶打折前卖出30个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， （1）设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个，根据题意列出方程，求出解即可； （2）设“乐融融”玩偶打折前卖出个 ，根据题意列出方程求出解即可． 【详解】（1）解：设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个， 根据题意，得       解得：， 则， 答：购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个； （2）解：设“乐融融”玩偶打折前卖出个 ， 根据题意，得， 解得，     答：“乐融融”玩偶打折前卖出30个． 变式1-2（25-26七年级上·广东深圳·期末）由于电影《哪吒2》角色深受大家喜爱，某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，已知“哪吒”款手办每个进价为80元，售价为100元；“敖丙”款手办每个售价为130元，可盈利． (1)“哪吒”款手办每个的利润率是_____，“敖丙”款手办每个进价为_____元． (2)该商家两款手办分别购进多少个？（用一元一次方程解答） (3)当“敖丙”款手办卖掉20个之后，为了回馈广大国产动漫爱好者，该商家决定对“敖丙”款手办打折销售，“哪吒”款手办按原价销售．两款手办全部销售完毕后该商家共获利2140元，请问“敖丙”款手办打了几折？（用一元一次方程解答） 【答案】(1)，100 (2)商家购进“哪吒”款手办60个，“敖丙”款手办40个 (3)“敖丙”款手办打了九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据利润率利润原价解答即可； （2）设商家购进“哪吒”款手办个，“敖丙”款手办个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可； （3）设“敖丙”款手办打了折，根据题意列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：“哪吒”款手办每个的利润率是，“敖丙”款手办每个进价为元； 故答案为：，100 （2）解：设商家购进“哪吒”款手办个，“敖丙”款手办个， 由题意得： 解得， 答：商家购进“哪吒”款手办60个，“敖丙”款手办40个； （3）解：设“敖丙”款手办打了折， 由题意得： 解得： 答：“敖丙”款手办打了九折． 变式1-3（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 【答案】(1)首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克. (2)共获利3300元. (3)糯米糍荔枝是按原价打八五折销售 【分析】（1）设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先计算妃子笑和糯米糍每千克利润，然后进一步求解即可； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售，结合题意可知第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为千克，且第二次总利润为元，然后根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克， 根据题意列方程得：， 整理得：，解得（千克）， ∴（千克）， 答：首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克； （2）妃子笑每千克利润为（元），糯米糍每千克利润为（元）， 则总利润为：（元）， 答：共获利3300元； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售， 第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为（千克）， 第二次总利润为（元）， 根据题意列方程得：， 解得， 答：糯米糍荔枝是打八五折销售． 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 典例2 （25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 【答案】(1)8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠 (2)学生14人，非学生游客16人 【分析】本题考查一次函数的实际应用，有理数的混合运算，利用方程解决问题是解题的关键； （1）让非学生游客享受8折优惠的同时，使尽量多的学生享受6折优惠即可； （2）设学生有x人，非学生游客有人，列方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知家长买团体票可以享受优惠， 因为团体购票需要10人以上（含10人）， 则方案一：8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案二：8位家长和3位学生购买团体票，剩余1位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案三：8位家长和4位学生购买团体票， 需付款（元）； ， 所以8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠； （2）解：设学生有x人，非学生游客有人， 即， 解得， ， 答：学生14人，非学生游客16人． 题型模版 1.特征：实际问题中数量关系可化为ax+b=0形式，求未知量。 2.方法：设未知数，找等量关系列方程，解方程并检验作答。 变式2-1（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元．如果直接由厂家门市销售，每件产品售价为40元，同时每月还要支出其他费用2000元；如果委托商场销售，那么出厂价为每件36元． (1)若用表示每月销售该种玩具的件数，请你用含的式子分别表示这两种销售方式所得的利润． (2)在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？ (3)若每个月的销售量为600件时，采用哪种销售方式获得利润较多？其利润是多少？ 【答案】(1)厂家门市销售的利润为元，委托商场销售的利润为元 (2)在两种销售方式下，每个月销售500件，所得利润相等 (3)当每个月的销售量为600件时，直接由厂家门市销售获得的利润较多，利润为5200元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）借助（1）中的式子，根据题意列方程即可； （3）代入，分别计算不同销售方式的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得厂家门市销售的利润为（元）， 委托商场销售的利润为（元）； （2）解：由题意，得， 解得． 答：在两种销售方式下，每个月销售500件，所得利润相等． （3）解：当时， （元）， （元）， ， ∴当每个月的销售量为600件时，直接由厂家门市销售获得的利润较多，利润为5200元． 变式2-2（25-26七年级上·河南周口·期末）某商场开展春节促销活动出售两种商品，活动方案如下两种：方案一：商品每件进价元，售价每件元；商品每件进价元，售价每件元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买商品件，商品件，选用何种方案划算？能便宜多少钱? (2)某单位购买商品x件（x为正整数），购买商品的件数是商品件数的倍多件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)选用方案二划算，能便宜元 (2) 选择方案二更合算； 理由：方案一费用： (元)， 方案二费用： (元) ， 当时， (不符合题意) ， 当时，， ∵为正整数， ∴恒成立， ∴该单位选择方案二更合算． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分别计算两种方案的价格，令两者比较并相减即可求解． （2）分别计算两种方案的价格，列出代数式，当时，无解；当时，恒成立，故该单位选择方案二更合算． 【详解】（1）解：方案一费用：(元)， 方案二费用： (元)， ∵ (元)， ∴选用方案二划算，能便宜元． （2）略 变式2-3（25-26七年级上·河南南阳·期末）随着旅游业的发展，乡村旅游已成为旅行新潮流，乡村旅游产品也逐渐受到游客青睐．某村的文创商店制作了一批民族手工艺品作为旅游商品售卖，该手工艺品的标价为50元/件．某旅游公司准备购买件这种手工艺品当作纪念品送给游客． 该商店提供了两种优惠方案： 方案一：当购买的手工艺品不超过5件时，按原价付费；当购买的手工艺品超过5件时，超过的部分打七折； 方案二：购买的手工艺品全部打八折． (1)当时，若按照方案一购买，需支付_____元；若按照方案二购买，需支付 元；（用含的代数式表示） (2)假如你是旅游公司负责人，要购买10件该手工艺品，请你通过计算说明选择哪种优惠方案更合算； (3)该怎样根据自己想买的数量来选择更省钱的方案？说说你的建议．（一条即可） 【答案】(1)； (2)选择方案二更合算 (3)当购买数量小于15件时，选择方案二更省钱；当购买数量等于15件时，两种方案费用相同；当购买数量大于15件时，选择方案一更省钱． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及一元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列代数式和利用方程解决方案选择问题的方法是解题的关键． （1）当时，方案一需分两部分计算费用：前5件按原价，超过5件的部分按七折；方案二则直接按八折计算总价，据此列出含的代数式． （2）将分别代入（1）中得到的两个代数式，计算两种方案的费用并比较大小，判断哪种方案更合算． （3）通过列方程求出两种方案费用相等时的购买数量，再分情况讨论不同购买数量下更省钱的方案． 【详解】（1）解：∵方案一：前5件费用为元，超过5件的件费用为元， ∴方案一需支付： ， ∵方案二：全部八折，每件价格为元， ∴方案二需支付：， 故答案为：； （2）解：当时，方案一：， ∴方案一需支付425元． ∵方案二：， ∴方案二需支付400元． ∵， ∴选择方案二更合算． （3）解：令， 解得． 当时，方案一费用为，方案二费用为，此时方案二更省钱． 当时，，方案二更省钱． 当时，两种方案费用相同． 当时，，方案一更省钱． 故当购买数量小于15件时，选择方案二更省钱； 当购买数量等于15件时，两种方案费用相同； 当购买数量大于15件时，选择方案一更省钱． 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 典例3 （25-26七年级上·北京·期末）探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 【答案】应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 首先设安排x名成员制作机身部件，则安排名成员制作机翼部件，再根据题中等量关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排x名成员制作机身部件，则安排名成员制作机翼部件， ∴根据题意得：，解得：， ∴制作机翼部件的成员数为名， ∴应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件． 题型模版 1.特征：总量按固定比例分配，配套数量间成倍数关系。 2.方法：设未知数，按配套比例列等量关系，解方程。 变式3-1（25-26七年级上·吉林·期末）某包装车间有21名工人，每人每天可以包装120个甲商品或180个乙商品，按照1个甲商品搭配2个乙商品装箱，要使每天包装的甲商品和乙商品刚好配套，应安排包装甲商品和乙商品的工人各多少名？ 【答案】 应安排包装甲商品的工人9名，包装乙商品的工人12名 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键找出题目中的数量关系．设应安排包装甲商品的工人有x名，则安排包装乙商品的工人有名，根据题意表示出加工的甲商品、乙商品的数量，然后列方程求解即可． 【详解】解：设应安排包装甲商品的工人x名，则安排包装乙商品的工人有名， 根据题意，得， 解得，则（名）． 答：应安排包装甲商品的工人9名，包装乙商品的工人12名． 变式3-2（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）元旦期间，七年级（3）班同学去某新能源汽车厂研学，顺便慰问节假日期间还工作在岗位上的某车间职工，给他们带去了一些礼品，如果每人3件，则剩下7件，如果每人4件，则还少15件，请应用一元一次方程解答下列问题． (1)求该车间一共有多少名职工？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1500个螺钉或2500个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)22名 (2)生产螺钉的工人10名，生产螺母的工人12名 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． （1）根据礼品数量不变，由分配情况列方程求职工人数； （2）根据1个螺钉需要配2个螺母，即螺母个数应是螺钉个数的2倍列方程求生产螺钉和螺母的工人人数． 【详解】（1）解：设该车间一共有名职工根据题意，得 ， 解得， 答：该车间一共有名职工． （2）解：设应安排生产螺钉的工人y名，则生产螺母的工人为名，依题意得： 解得， ∴生产螺母的工人为（名） 答：应安排生产螺钉的工人10名，生产螺母的工人12名． 变式3-3（25-26七年级上·甘肃武威·期末）一套某种精密仪器由一个A部件和两个B部件制成，用钢材可以做40个A部件或240个B部件，现在要用钢材制作这种仪器． (1)请问用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件可以恰好制成整套的仪器？可以制成仪器多少套？ (2)现在某公司要租赁这批仪器a套，每天的付费方案有两种选择： 方案一：当a不超过50时，每套支付租金100元；当a超过50时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当时，请回答下列问题： ①用含a的式子分别表示出公司每天需支付方案一和方案二的租金 ②公司负责人说，“无论我们选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道他们租赁了多少套吗？ ③某公司要租赁这批仪器110套，请你谋划一下，选择哪种租赁方案更合算？ 【答案】(1)用钢材做A部件，钢材做B部件，可以恰好制成120套仪器． (2)①方案一的租金为元，方案二的租金元；②他们租赁了100套；③租赁这批仪器110套，选择方案一更合算 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，正确理解题意列出方程或列式计算是解题的关键． （1）设用钢材做部件，用钢材做部件，根据共有钢材，一个部件和两个部件刚好配成套，列方程组求解．根据部件的数量即可得到制作套数； （2）①方案一租金根据当a超过50套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得； ②根据，得到； ③当时，代入和计算出结果，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设用钢材做部件，用钢材做部件，则 ， 解得：， 则． （套）． 答：用钢材做部件，用钢材做部件，可以恰好制成仪器120套； （2）解：①方案一：元， 方案二：元； 答：方案一的租金为元，方案二的租金元； ②依题意有：， 解得． 答：他们租赁了100套； ③当时，（元） （元） ∵， ∴租赁这批仪器110套，选择方案一更合算． 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 典例4 （24-25七年级上·吉林·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 【答案】孩童人数为6人，梨的数量为36个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（盈亏问题），熟练掌握“根据不变量（梨的数量）列方程”是解题的关键． 设孩童人数为未知数，根据梨的数量不变列方程，求解后再计算梨的数量． 【详解】解：设庭前孩童有人，由题意可得 ， ， ， ， 梨的数量：（个）， 答：孩童人数为6人，梨的数量为36个． 题型模版 1.特征：文言表述含数量关系，可译为现代数学问题建模求解。 2.方法：读懂题意译成白话，设未知数列方程，解后还原作答。 变式4-1（24-25九年级下·陕西西安·期中）《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问：人、银各几何？题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两，问有多少个人？多少两银子？ 【答案】有6个人，46两银子 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设有个人，根据银子的量是一定的，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设有个人，由题意，得：， 解得：， （两）； 答：有6个人，46两银子． 变式4-2（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，买鸡的价格为70文钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设买鸡的人数为x人，根据“每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱”列方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为x人， 由题意列方程，得． 解得，， 鸡的价钱为（文钱）． 答：买鸡的人数为9人，则买鸡的价格为70文钱． 变式4-3（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价． 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题． 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六． 问：人数，鸡价各几何？ 【答案】共有9人，鸡价70钱 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程． 盈不足术：根据题意可知人数=盈余数与不足数的和÷两次每人出的钱数的差，进而计算鸡价即可； 方程的方法：设有x人，根据鸡价不变列方程求解即可． 【详解】解：盈不足术：人数=盈余数与不足数的和÷两次每人出的钱数的差， 鸡价； 方程的方法：设有x人，根据题意，得， 解得， ， 答：共有9人，鸡价70钱． 题型五、利用一元一次方程解决几何问题 典例5 （25-26七年级上·陕西汉中·期末）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号3的大桌子可以坐___________个人． (2)型号n的大桌子可以坐___________个人． (3)如果有40人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 型号8的大桌子恰好可以坐下，理由如下: ， 解得，， ∴有人参会，型号8的大桌子恰好可以坐下． 【分析】本题主要考查图形规律，一元一次方程的应用，理解图示中的数量关系，找出规律是解题的关键． （1）根据图形中的数量关系即可求解； （2）由数量关系，找出规律即可求解； （3）根据（2）中的规律列方程求解即可． 【详解】（1）解：型号1坐了：（人）， 型号2坐了：（人）， ∴型号3可以坐：（人）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得型号的大桌子可以坐人， 故答案为：； （3）略 题型模版 1.特征：几何量间存在等量关系，可化为一元一次方程求解。 2.方法：设几何量为未知数，依图形性质列方程，解后检验。 变式5-1（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某体育馆在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池（阴影部分），如图所示，两个游泳池之间的空地上铺上五彩石．（单位：米） (1)请用含a，b的代数式表示铺五彩石的空地的面积；（结果保留π） (2)为了便于施工，用高为2米长为116米的围挡把该施工地段围成一个无盖的长方体，如果该长方体的长比宽多8米，那么此时长方体的长、宽各为多少米？ 【答案】(1)米 (2)长为33米，宽为25米 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，根据题意找到数量关系是解题关键． （1）根据图象，五彩石的面积为长方形空地的面积减去两个四分之一圆的面积，作差法求解即可； （2）根据题意，长方体底面长方形的周长为米，根据长与宽之间的数量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得，铺五彩石的空地的面积是米； （2）解：设此长方体的宽为x米，则此长方体的长为米， 根据题意得：， 解得， ∴（米）． 答：此长方体的长为33米，宽为25米． 变式5-2（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，在数轴上，点O为原点，点A对应的数为10，长度为4的线段在数轴上移动，其中点C在点B右侧，点B对应的数为．（若两点重合，我们就称它们之间的距离为0，如：点M与点N重合，则） (1)线段在移动过程中，若B为线段的中点，求此时b的值及线段的长度； (2)线段在移动过程中，若点B在点A左侧，且，求此时b的值； (3)线段在移动过程中，若使，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由题意可知，即可解答． （2）分别用b表示出、、，进一步利用，分情况讨论点C在点A左侧和点C在点A左侧，建立方程求得答案即可； （3）分别用b表示出AC、、、，进一步利用建立方程求得答案即可． 本题考查了一元一次方程的应用，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的长度是解题的关键． 【详解】（1）解:∵B为线段的中点， ∴， ∴，． （2）由题意可知点C对应的数为，， ∴，，， ∵点B在点A左侧，且， ∴，， ∴当时，即点C在点A左侧，， 解得：（舍去）， 当时，即点C在点A右侧， 解得：， 综上所述b的值为． （3）①当时，，,，，， ， ， ∴恒成立； ②时， ， ， 解得：（舍去），（舍去） ③时， ， ， 解得：． 综上，b的取值范围是或． 变式5-3（25-26七年级上·广西河池·期末）为响应国家“强化青少年体育锻炼，提升学生体质健康水平”的号召，教育部联合国家体育总局推行青少年体育锻炼提升行动，要求中小学生保证每天校内、校外各1小时体育活动时间，熟练掌握至少2项终身受益的体育技能．我县为给学生提供足够的运动场地，每个学校都修建了田径运动场．如图是某校田径运动场的平面图，中间长方形的长为a米，两端是半径为r米的两个半圆，每条跑道的宽为1.2米，共4个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题： (1)第1跑道的周长为 米；第4跑道的周长为 米．（用含字母a，r的代数式表示） (2)若，且要求第1跑道总长度为200米．（取3） ①求r的值；（结果精确到个位） ②在①的条件下，在200米比赛中，若4条跑道上的同学并排在同一起跑线起跑，公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请计算出第2道的起跑线应在第1道起跑线前面多少米的位置？ ③在①的条件下，若操场中心（除跑道外）需铺设塑胶和人工草，单价为100元/平方米，则学校共需付多少铺设费用？ 【答案】(1)， (2)①；②不公平，第2道的起跑线应在第1道起跑线前面约9.2米的位置；③学校共需付256700元铺设费用 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用； （1）根据第1跑道的总长度为直跑道加上半径为米的圆形跑道长即可；第4跑道的总长度为直跑道加上半径为米的圆形跑道长即可； （2）①由题意建立方程，再解方程即可；②计算第1跑道和第2跑道的总长度，即可得出起跑线应该提前的位置，③计算操场中心（除跑道外）的面积，再根据总价等于面积乘以单价即可求解. 【详解】（1）解：由题意可得：第1跑道的总长度为米； 第4跑道的总长度为米； （2）①当，时，依题意得，， 解得，， ②第1跑道的总长度为米；第2跑道的总长度为米； ∵（米）， ∴并排在同一起跑线起跑不公平，第2道的起跑线应在第1道起跑线前面约米的位置． ③（平方米）， （元）， 答：学校共需付256700元铺设费用． 题型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 典例6 （25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．根据题意得到小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”，然后列出方程求解即可． 【详解】解：（元） （元） （元） ， 小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”这种情况． 设小亮家去年实际用水量为，根据题意可知： 解得 答：小亮家去年的实际用水量是． 题型模版 1.特征：分段计费，不同用量区间单价不同，总量对应总费用。 2.方法：设用量为x，判断所属区间，按对应单价列方程求解。 变式6-1（24-25七年级上·山东临沂·期末）居民生活用电通常按户计费．下表是某城市居民生活用电的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 月用电量/度 费用/（元/度） 第一阶梯 0~180 0.50 第二阶梯 181~240 0.80 第三阶梯 240以上 1.20 (1)设某户居民的月用电量为度（是正整数）．当在第二阶梯时，费用是多少? (2)已知某户居民11月份的电费为210元，试求这户居民11月份的用电量是多少度? 【答案】(1)（）元 (2)该户居民在11月份的用电量为300度 【分析】本题考查列代数式及一元一次方程解应用题，读懂题意，根据阶梯计价方式准确列出代数式及方程求解是解决问题的关键． （1）由题意，结合表中第二阶梯数据列式表示即可得到答案； （2）先由题中的阶梯计价方式计算第二阶段所交电费，比较已知210元电费，从而确定该户居民在11月份的用电量大于240度，设该户居民在11月份的用电量为度，且，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当在第二阶梯时， 费用为：元； （2）解：若某户居民在11月份用了240度电， 则所交的电费为， 该户居民在11月份的用电量大于240度， 设该户居民在11月份的用电量为度，且， 由题意可得，， 解得， 答：该户居民在11月份的用电量为300度． 变式6-2（24-25七年级上·湖北荆州·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民4月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费多少元？（结果需化简） (3)若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为多少立方米？ 【答案】(1)16元 (2)元 (3)该居民3月份用水量为立方米 【分析】本题主要考查列一元一次方程解实际问题，有理数混合运算的应用，列代数式，读懂题意是解题的关键． （1）根据题目规定进行计算； （2）利用用水量的范围确定单价计算出结果即可； （3）设3月份用水量为立方米，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：某户居民2月份用水7立方米，则应收水费为： （元）； （2）解：某户居民4月份用水a立方米（其中），则应该收水费为： 元； （3）解：（元）， ∵， ∴该居民3月份用水量超过10立方米， 设3月份用水量为立方米，根据题意得： ， 解得． 答：该居民3月份用水量为立方米． 变式6-3（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配套规则确定螺栓和螺母总数的等量关系，列出方程． 【详解】解：由题意知，加工螺母的人数为人， ∴每天加工螺栓总数为个，每天加工螺母总数为个， 列方程得 ，故选项B符合题意． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系，利润售价进价，利润进价利润率，列方程即可． 【详解】解：设这种商品的标价为每件元， ∵商品按标价的9折销售， ∴实际售价为元， 根据题意列方程得：． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 4．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据图形剪切前后周长的变化规律列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，原正方形的周长为 ， 观察图形可知，剪掉两个小正方形后，图形的周长比原正方形的周长增加了4条长为的边， 图2中图形的周长为， 图2中图形的周长为18， ，解得 ． 二、填空题 5．（25-26七年级上·福建宁德·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据题意用含的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程. 【详解】解：设牧童有人，根据题意，每人竿多竿，可得竹竿总数为， 每人竿少竿，可得竹竿总数为， 因为竹竿总数不变， 因此可列方程：. 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 【答案】150 【分析】设这款服装每件的标价为x元，根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设这款服装每件的标价为x元， ， 解得， 答：这款服装每件的标价为150元． 7．（25-26七年级上·全国·期末）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 【答案】63人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得：， 解方程得：． 故答案为：人 8．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 【答案】 360 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．先判断出该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，再设该居民家12月份的用电量为x，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度， 设该居民家12月份的用电量为x，则 ， 解得：． 该居民家12月份用电360度． 故答案为：360． 三、解答题 9．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某商店销售甲、乙两种商品，其中甲商品的进价为50元/件，售价为70元/件，乙商品的进价为60元/件，售价为90元/件．若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，总进价为5400元． (1)该商店购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中甲商品打9折，乙商品打折，若销售完甲、乙这两种商品，甲商品的总利润比乙商品的总利润多300元，求的值． 【答案】(1)该商店购进甲商品60件，购进乙商品40件 (2)8 【分析】（1）设该商店购进甲商品件，则购进乙商品件，根据“总进价为5400元”列方程求解即可． （2）表示出甲商品和乙商品的总利润，根据“甲商品的总利润比乙商品的总利润多300元”，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该商店购进甲商品件，则购进乙商品件． 根据题意，得，解得． （件）． 答：该商店购进甲商品60件，购进乙商品40件． （2）解：根据题意，得， 解得：． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 (1)若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； (2)若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 【答案】(1) 解：选择方案二更省钱，理由如下： 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案二更省钱． (2)二班有36人 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算以及一元一次方程的应用，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答； （2）先设二班有人，再列出方程，然后解方程，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设二班有人， 根据题意得，， 解得， 答：二班有36人． 11．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年，乌兰察布市首次征战蒙超联赛便斩获季军佳绩，尽显黑马风采．某玩具生产商敏锐捕捉赛事热度，计划推出同款主题玩偶，并为每个玩偶配2只手套．如果该车间共有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个玩偶． (1)那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩偶，才能使当天生产的手套和玩偶刚好配套？ (2)如果生产一套玩偶成本为100元，商家将进价提高进行标价，若商家要获得的利润，应打几折出售？ 【答案】(1)9人生产手套，6人生产玩偶 (2)打8折 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和玩偶的等量关系是解决本题的关键． （1）设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩偶，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据题意得到标价为，再结合利润即可得到折扣． 【详解】（1）解：设人生产手套，则人生产玩偶： ，即， 解得， ， 答：9人生产手套，6人生产玩偶． （2）解：成本100元，标价元，目标利润即售价120元： 折扣． 答：打8折． 12．（25-26八年级上·全国·期末）跨学科  成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限制猴子的粮食，分早晚两次投喂，早上投喂的粮食是晚上的，猴子对于这个安排很不满意，于是老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂，这样早上投喂的粮食是晚上的，猴子很满意这样的安排．则调整前早上和晚上分别投喂多少粮食？ 【答案】调整前早上投喂粮食6千克，晚上投喂粮食8千克 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设调整前晚上喂食千克，则早上喂食是千克，根据调整后早上的粮食是晚上的列出一元一次方程求解． 【详解】解：设调整前晚上投喂粮食千克，早上投喂粮食千克， 老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂后，则晚上投喂粮食千克，早上投喂粮食千克． 根据题意得， 解得， 调整前早上投喂粮食（千克）， 答：调整前早上投喂粮食6千克，晚上投喂粮食8千克． 13．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，当阳市城区采用价格调控的手段以达到节水的目的，居民生活用水收费的价目表如下：(注：水费按月计算，用水量单位：) 收费方式 月用水量() 费用(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 (1)若小关家10月份用水，则应交水费多少元？ (2)小云家某月用水量为，则应交水费多少元？(用含x的式子表示) (3)若小雅家11月、12月用水量共．(11月份用水量小于12月份用水量)，这两个月共交水费158元，小雅家11月、12月用水量分别为多少？ 【答案】(1)小关家月份应交水费元 (2)当时，应交水费元；当时，应交水费元；当时，应交水费元 (3)小雅家月用水量为，月用水量为44 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，有理数的混合运算． （1）利用应交水费超过的部分，即可求出结论； （2）分三个阶段分别用x表示出应交水费，即可得出结论； （3）设小雅家11月份用水量为，则12月份的用水量为，根据“11月份用水量小于12月份用水量”，得出，分及两种情况，根据这两个月共交水费 元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解： 元，即小关家月份应交水费元． （2）解：当时，应交水费元； 当时，应交水费元 当时，应交水费元． （3）解：设小雅家月用水量为，则月用水量为，且， 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得不符合题意，舍去． 答：小雅家月用水量为，月用水量为． 14．（25-26七年级上·广东珠海·期末）珠海市夏季天气炎热，空调用电量较大，因此电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，实施居民阶梯电价，收费标准划分如下： 夏季标准（5月~10月） 非夏季标准（1月~4月，11月~12月） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 260及以下 0.6 第一档 200及以下 0.6 第二档 261~600 0.65 第二档 201~400 0.65 第三档 601及以上 0.9 第三档 401及以上 0.9 例如：按夏季标准，用电量600度时，其中260度按0.6元/度收费，超出260度的部分按0.65元/度收费． (1)在用电量同为600度的情况下，非夏季电费___________夏季电费（填选项）． A．大于        B．小于        C．大于等于        D．小于等于 (2)珠海的中学生小周发现家里1月份用电410度，请计算小周家1月份总电费． (3)已知小周家7月份缴纳电费312元，请通过计算求出小周家7月份的用电量． 【答案】(1)A (2)259元 (3)500度 【分析】本题考查有理数运算的运用，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于理解阶梯电价夏季收费标准，根据标准列式计算． （1）直接利用表格数据判断即可； （2）根据表格进行计算，即可解题； （3）先计算出第一档电费和第二档电费，确定档次，再设该月用电量为度，列出方程计算． 【详解】（1）夏季标准电费为（元）； 非夏季标准电费为（元）， 因为，所以非夏季电费大于夏季电费， 故答案为A； （2） （元） 答：小周家1月份总电费为259元； （3）元，； 元， 因为，所以小周家7月份的用电量属于第二档， 设小周家7月份用电量为度，则 解得． 答：小周家7月份的用电量为500度． 15．（25-26七年级上·河北张家口·期末）【观察思考】一段墙体是由同一规格的方砖按照一定规律组合砌成的，图1给出了每层的组合方式：当中竖放1块方砖，就横放6块方砖（如图2）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图3）；以此类推． 【规律发现】已知方砖的长为，宽为．设一层里竖放的方砖有（为正整数）块． （1）这一层横放方砖的块数为_____________（用含的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1块时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2块时，墙体的长度为；…当竖放的方砖为块时，墙体的长度为___________m； 【规律应用】 （3）若需要砌一段长为的一层墙体，按照图中规律，求需要方砖多少块． 【答案】（1）；（2）；（3）需要方砖423块 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用． （1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放块方砖； （2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； （3）根据（2）所求得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为：； （3）当时， 解得， ∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为（块）， ∴方砖的总数为（块）， 答：需要方砖423块． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $