江西省南昌市第二中学2026-2027学年高二上学期月考（一）数学试题

南昌二中高二上学期第一次月考数学试卷 命题人：龙光鹏 审题人：张婷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.圆x2+y2-2x+4y-1=0的圆心坐标为() A.(1,2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(-1,-2) 【答案】B 2.已知A(2,3,0),B1,3,3)两点，则|AB=（) A.V3 B.3 C.√10 D.10 【答案】C 【详解】|AB=V(2-1)2+3-3)2+(0-3)2=√10 3.已知直线1经过点A(0,2),B(3,-1),则直线1的倾斜角为() B. C.2n D.3π 3 【答案】D 【详解】太一，-1，所以候斜角为买 3-0 4.若直线x+y+1=0与直线2x+(a+1)y+2=0平行，则() A.a=-2 B.a=1 C.a=-2或a=1 D.a=-2或a=-1 【答案】A 【详解】由题意知a(a+1)=1×2,所以a=-2或a=1, 当a=1时，两直线重合，不符合题意： 当a=-2时，两直线平行，符合题意 5.已知空间中A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,3),D1,-1,)四点共面，则元=() A B.1 C.2 D.9 2 【答案】D 【详解】由题意可得AB=(-2,1,0),AC=(-2,0,3),AD=(1,-1,), 因为A,B,C,D四点共面，且AB,AC不共线，设AD=AB+nAC(,n∈R), 即(-1，-1,2)=m(-2,1,0)+n(-2,0,3),所以-2m-2n=-1,m=-1,3n=元， 3 9 解得m=-1,n= 2=2 6.在直三棱柱ABC-AB,C,中，∠ACB=90°，CA=CC=2CB,则直线BC与 直线AB,夹角的余弦值为() A.⑤ B. 2w5 c.5 D. √6 3 3 【答案】A 【详解】如图，以CA,CB,CC,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 令CB=1,则CA=CC,=2CB=2, 所以A(2,0,0),B(0,1,0),B(0,1,2),C1(0,0,2), 则AB,=（-2,1,2),BC1=(0,-1,2), 设直线BC与直线AB,的夹角为0， cos0-CO<AB,BC>-1+415 3x5 51 所以直线C,与直线B夹角的余弦值为5 7.直线1：x-y+1-2k=0分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴相交于A,B两点， 若P(2,1),则|PAPB|的最小值为() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 详解】令x=0,则y=12k,令y=0,则x=2子 所以42-0，B0,1-2,由题意知友<0，且直线相过代2， 所以P4PB=-P4.PB=2+2(-利≥4，当且仅当k=-1时等号成立. -k 8.如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面 正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方 形边长为2，该几何体的高为√3，则该几何体外接球的 表面积为( A.In B. 25π 3 3 c 28π D. 49元 【答案】C 【详解】取正方形ABCD,EFGH的中心分别为M,N,由题意知球心O在线段 MN上，连接MA,NE,OE,OA, 设ON=x,则OM=√3-x,设半径为R, 则 [2+(5-x)2=R 1+x2=R2 ,则 故几何体的外接球的表面积S=4R2=4元×7-28m 33 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.如图，平行六面体ABCD-AB,CD,中，AB=AD=AA=1,且 ∠A,AB=∠AAD=∠BAD=60°，下列说法中正确的是（) A.AC-AB+AD D B.BD=AB-AD C.A,C⊥BD D.IAC}=√万 【答案】AC 【详解】对于A,AC=AB+AD,故A正确： 对于B,BD=AD-AB=AD,-AB,故B错误： 对于C,因为AC·BD=(AB+AD-A4)(AD-AB） =AB.AD-AB+AD'-AD.AB-A4AD+A4 AB 安11片-0，所以衣1历，c正确 对于D,因为AC=(A4+AB+ADj =AA+AB+AD+2AA·AB+2AB·AD+2AA·AD =1+1+1+2x1x1×+2x1x1×+2×1x1x1=6, ”2 即AC=√6，故D错误 10.已知直线1：(m-2)x+(m+1)y-3m+1=0,则下列说法正确的是() A直线过定点等 B.直线1表示过直线x+y-3=0和直线2x-y-1=0交点的所有直线 C.若直线1不经过第二象限，则-1≤m兮 D.坐标原点到直线1的距离可能为2 【答案】ACD 【详解】对于A,因为(m-2)x+(m+1)y-3m+1=0, x= 所以mx+y-3)-2x+y41=0,则r+y3=0 则/ 3, -2x+y+1=0' 恒过： y= 3 对于B,因为m(x+y-3)-2x+y+1=0,所以直线1不能表示直线x+y-3=0, 故B错误； 对于C当直线斜幸有在时，则m≠-1，令x=0,则y-m,因为相过点3， m+1 所以当y= 37m-1 m+1 0时，直线1不经过第二象限，则-1<m≤3 当直线斜率不存在时，m=-1,符合题意，则-1≤m<，故C正确： 对丁D因为原点到点写多的距离为d 16,25 99 >2,故坐标原点到直线1的 距离可能为2，所以D正确. 11.在正三棱柱ABC-AB,C中，点P满足AP=xAB+yAC+zAA, x,y,z∈[0,1]，AB=A4=1,则（) A.当x=y=z≠0时，AP⊥BC B.当x+y+z=1时，AP与BB异面 C.若BC⊥平面APA,则x=y D.若点P在平面BAC内，则x+z=1 【答案】ACD 【解析】对于A,绘制图形可知，AP⊥BC,故A正确： 对于B,当x=y=O时，AP与BB,共面，故B错误； 对于C,因为BC⊥AA,所以BC·AP=0时，即可得到出BC⊥平面APA, 则Bc.(Ga8+aC+)=0,所以-+=0，则=y:故c正确： 对于D,AP=xAB+yAC+zAA=xAB+y(AC+CC)+zAA, 所以AP=xAB+yAC+zAA=xAB+yAC+(红-y)AA, 因为点P在平面BA,C内，所以x+y+z-y=1,则x+z=1,故D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线1：3x-4y-6=0截圆C:(x+1)2+(y+1)2=5的弦长为 【答案】4 【详解】由题知圆C:(x+1)2+(y+1)=5的圆心坐标为(-1，-1)，半径r=√5 设圆心到直线1的距离为d,则d- 3x(-4x()-6-1 V32+43 所以弦长为2√r2-d=25-1=4, 13.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线1,1，相交于点B,直线1与x轴相交于 点A,直线1，与y轴相交于点C,直线1，的斜率分别为k,k(飞1>0)，若k=2, ∠ABC=45°，则k= 【答案】月 【解析】设直线1，的倾斜角为， 则k=tan(a-459)=ana-1_1」 1+tana 3 14.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA⊥平面ABC,点E为 线段BC上的动点，点F在PE上，且AF⊥PE,PA=1,AB=2,则|CF|的最小 值为 【答案】651 44 【解析】设BC的中点为E,AF⊥PE,取PA中点T, 过点T作平面PBC垂线，垂足为H,·:PA⊥PF且F∈平面PBC, ·.F点的轨迹为以PA为直径，即R=一的球与平面PBC的相交圆弧， 由(1)可知，40 , 4平面Pe-V 相交圆半径r 2 ·.F点轨迹为在平面PBC中的以H为圆心，一为半径的圆弧， ac.cw-4iceT(eT-4 E B 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 聚 15.（13分)如图，在直四棱柱ABCD-A,B,CD中，底面ABCD是矩形， AA=AD=2AB,点E,F分别是棱AD,BC的中点. 4 C (1)求证：BD∥平面ABE: (2)求直线AF与平面ABE所成角的正弦值. 【解析】(1)如图，连接AB,交AB于点G,连接EG 在直四棱柱ABCD-AB,CD,中，四边形AB,BA是矩形， D C 因为对角线AB与AB交于点G,所以G为AB的中点， 又点E是棱AD的中点，所以GE∥B,D, 又GEC平面ABE,B,D丈平面ABE, 所以BD∥平面ABE: (2)设AB=1,以AB,AD,A4为x,y,=轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,2),B1,0,0),E(0,1,0),F1,1,0), 所以AB=1,0,-2),BE=(-1,1,0),AF=(1,1,-2), 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z), 则 B1=0,所以Y2:=0 BE.n=0 -x+y=0 令：=1，则x=2,y=2,所以n=(2,2,1) 所以co8<4r>-4Fn=2V6 |AF||nV6×39 则直线4P与平面4BE所成角的正弦值为V6 16.(15分)已知△ABC的顶点A(4,1),AB边上的中线CM所在的直线方程为 1:2x-y-6=0,∠ABC的角平分线所在的直线方程为1：2x+y-3=0. (1)求顶点B的坐标： (2)求边BC所在的直线方程. 【解析】(1)由题意，可设点BG,3-20,则边AB的中点M,,2-) 代入2x-y-6=0,有t+4-(2-)-6=0,解得t=2,所以B(2,-1); (2)由题意知，点A关于角平分线2x+y-3=0的对称点A在直线BC上， 2×m+4+n+1-3=0 4 12= 设A(m,m,则22 ,解得{ n-11 m-42 n=-5 7 -1+ 得到直线BC的斜率k=5=I 47 2+ 5 所以边BC所在的直线方程为y-(←1)=K-2),即x-7y-9=0. 17.（15分)已知点A(1,3),B(4,2),直线1：x+y-3=0. (1)若直线1过点A,且直线1与直线1垂直，求直线1的方程： (2)若直线1，过点B,且横截距是纵截距的2倍，求直线1，的方程； (3)若圆心C在直线1上，且圆C经过A,B两点，求圆C的方程， 【解析】(1)因为直线1：x+y-3=0,所以设直线1的方程为x-y+m=0, 又因为过点AL,3),所以m=2,即直线1的方程为x-y+2=0; (2)若横截距和纵截距都为0，则直线1，的方程为x-2y=0: 若横截距和纵截距不为0，设横截距为2b,纵截距为b, 则，的方程为x+￥=1，又因为过点B(4,2),所以b=4, 2b b 则直线1，的方程为x+y=1,即x+2y-8=0, 84 综上，直线1，的方程为x-2y=0或x+2y-8=0: (3)设圆C的方程为x2+y+Dx+Ey+F=0, 1+9+D+3E+F=0 [D=-4 则16+4+4D+2E+F=0,解得 E=-2,则圆C的方程为x2+y2-4x-2y=0. DE-3=0 F=0 22 18.(17分)在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点M为底面 半圆弧AD上的动点（点M不与点A,D重合）· (1)求证：DM⊥平面ABM: (2)当三棱锥D-MAB体积最大时. (i)求平面MBC与平面MAB所成角的余弦值： (i)点N在线段MB上运动，求(AN+DW)的最小值， 【详解】（1)因为AD是直径，所以DM⊥AM, 因为圆柱体，所以BA⊥平面ADM, 所以BA⊥DM,又因为AM∩BA=A, 所以DM⊥平面ABM: (2a。=Km号mh, 又：S。MD是定值，∴当三棱锥体积'MD最大时即高h最大， 即点为半圆弧AD的中点， 设线段的中点为O,以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O0,0,0),A(0,-2,0),B(0,-2,4),M(2,0,0),C(0,2,4),D(0,2,0), 所以BC=(0,4,0),BM=(2,2,-4), 设平面BMC的法向量为n=(x,y,z). BM.=0 则 则 [2x+2y-4z=0 BC.n=0 4y=0 令z=1,得-’1，-，则n=(2,0,). 因为AB⊥平面MAD,MDc平面MAD,MD⊥AB, 又：MA⊥MD,MA∩AB=A,MA,ABc平面MAB, ∴MD⊥平面MAB,MD=(-2,2,0O)是平面MAB的法向量. MD.n√1o 设平面MBC与平面MAB所成角的平面角为O,则cos0 MD州i 5 平面MBC与平面MAB所成角的余弦值为iO (i)将面MAB与面MBD绕MB旋转，展开成平面图，连接A, 如图所示，此时AN+DN最小，即为A长， 由题意可知MA=MD=22,MB=2√6，BD=4v2, MD2+BM2=32=BD所以∠BD-子 cos∠AMD=cos(∠AMB+∠BMD)=-Sin∠AMB=-V6 ， 再由余弦定理可知AD2=MP+MD2-2MA,MDcos∠AMD=16+166 即(iW+DMP的最小值为16+166 3 19.(17分)如图，直三棱柱AB,C-ABC中，AB=2,A4=3,AC=V5,点D在 AA上，且A,D=1,点P是线段AC,上异于端点的动点. (1)若DC,⊥AB,三棱锥P-ABD的各个顶点都在球O的球面上. (i)求证：平面DAC1⊥平面DAB; （i)若球O的半径为，求CP: 3 (2)若AP=PC,求二面角A-DP-B的正弦值的最大值. 【解析】(1)(i)因为直三棱柱AB,C1-ABC, 所以AA⊥AB,又因为DC1⊥AB,DC,∩AA,=D, 所以AB⊥平面ACCA,所以平面DAC⊥平面DAB; (i)因为AB⊥平面ACC,A,建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,3),B(2,0,3),D(0,0,1),设球心O(xy,z), r+y+(e-3)=7 3 x=1 则-2+)+e一驴-子解符= 3, dy4e-或-号 2=2 由题意知球心o1, 32), 设AP=AC=(0,V32,-3),所以P(0,V3,3-32), B1 则01-5-90-3-子则a号战=0舍 则1CP4C2 (2)以AC,AA分别为y,=轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设∠B1C=9,则40,0，)D0,0,P053 22, B(2sin0,2 cos0,3), 设平面DPB的法向量为h=(x,y,), 5v+2=0 则2y+ 2 ，令：=V5,则y=-1,x-cosg-5 sinθ xsin0+ycos+z=0 e 所以4-8。 m9,-人v, 平面ADP的法向量n,=(1,0,0), cose-3 所以c0s<h,n,>= n'n sina |h2 4+ cos 0-132 sine 2 则二面角A-DP-B的正弦值为sma= 14+(c0s0-5 sin0 令t=cos8-V 2,则t√2，所以ima= s VG 2 sinθ V4+3 即二面角4-DP-B的正弦值的最大值为 3 南昌二中2026-2027学年度上学期高二数学月考（一） 命题人：龙光鹏 审题人：张婷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆的圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 2. 已知两点，则（ ） A． B． C． D． 3．已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 4．若直线与直线平行，则（ ） A． B． C．或 D． 5．已知空间中,,,四点共面，则（    ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．直线分别与轴的正半轴、轴的正半轴相交于两点，若，则的最小值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，平行六面体中，，且，下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线表示过直线和直线交点的所有直线 C．若直线不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线的距离可能为 11．在正三棱柱中，点满足， ，，则（ ） A．当时， B．当时，与异面 C．若平面，则 D．若点在平面内，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．直线截圆的弦长为__________． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，直线的斜率分别为， 若，，则__________． 14．如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段上的动点，点在上，且，，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15．（13分）如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求边所在的直线方程． 17．（15分）已知点，，直线． （1）若直线过点，且直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线过点，且横截距是纵截距的2倍，求直线的方程； （3）若圆心在直线上，且圆经过两点，求圆的方程． 18．（17分）在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点重合）. （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求的最小值． 19．（17分）如图，直三棱柱中，，点在上，且，点是线段上异于端点的动点． （1）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）若球的半径为，求； （2）若，求二面角的正弦值的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $