2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中阶段复习能力提升卷一（第1章～4章）

期中阶段复习能力提升卷一（第1章～4章） 一、选择题（共16分） 1．如图所示的几何体，其左视图为（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．2 5．如图，四边形是矩形，为对角线，点、分别在边、上，连接交于点．若点为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．妮妮和盼盼玩猜数游戏，妮妮说：“我手中卡片上的数的平方比该数的5倍大6”． 盼盼思考后正确地说出了卡片上的数，则盼盼给出的答案是（     ） A．2或3 B．或 C．1或 D．或6 7．如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是___________．（结果保留π） 10．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 11．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 12．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形：①矩形；②矩形；③矩形；④矩形中，是黄金矩形的是________（填序号）． 13．关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是______． 14．如图是一幅矩形画卷，其面积为，在画卷背面恰好镶嵌有三块相同的矩形纸片（图中的阴影部分）．已知矩形纸片宽与长的比是，则矩形画卷的长为________． 15．如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为___________． 16．如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点M，N分别为，的中点，则的周长为______． 17．如图，在中，为边上一点（不与点，重合）．按如下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点，作射线交于点； ③分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，分别交，于点M，N，连接，． 根据以上作图，可判断四边形的形状是__________． 18．如图，在中，点D、E在、边上，连接并延长交延长线于点G．过D作于点F．若，，，，，则的长度为___________． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程： (1)； (2)； (3)； 20．如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 21．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． (1)若，则与是否相似？为什么？ (2)若，则与是否相似？为什么？ 22．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，已知，，求： (1)的长； (2)的长． 23．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 24．在矩形中，，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿，，，的方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，． (1)当x为何值时，点P与点N重合； (2)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 25．阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点． (1)小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________． (2)参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值； ②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值． 26．综合探究： 如图，在正方形和正方形中，若，，连接，是的中点． (1)如图1，当顶点、、在同一直线上，求长； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，．猜想线段，的关系，并说明理由． (3)如图3，正方形绕点旋转，使得点在延长线上，连接，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷一（第1章～4章） 一、选择题（共16分） 1．如图所示的几何体，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】左视图是从几何体的左侧向右侧正投影得到的视图，看得见的轮廓线用实线表示，被遮挡、看不见的轮廓线用虚线表示．根据几何体的左视图画法即可得出答案． 【详解】 解：这个几何体的左视图为 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排除含两个未知数的选项，再排除未知数最高次数为1的选项，即可得到答案． 【详解】解： A选项中含两个未知数，不是一元二次方程． B选项中整理为，只含一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程． C、D选项中的方程整理后未知数最高次数均为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 3．已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵、、、四条线段成比例， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：， ， ，，， ， 解得． 5．如图，四边形是矩形，为对角线，点、分别在边、上，连接交于点．若点为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得，，即得，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半及等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，∵点为的中点， ∴， ∴． 6．妮妮和盼盼玩猜数游戏，妮妮说：“我手中卡片上的数的平方比该数的5倍大6”． 盼盼思考后正确地说出了卡片上的数，则盼盼给出的答案是（     ） A．2或3 B．或 C．1或 D．或6 【答案】D 【分析】设卡片上的数为，根据题目中的等量关系列一元二次方程，求解后匹配选项． 【详解】解：设卡片上的数为，根据题意得 ， 整理得， 因式分解得， 解得，． 7．如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ． 8．如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得的长，再由面积公式求得的长． 【详解】解：菱形中，有，， ， ． ， ， ，， ， ． 二、填空题（共20分） 9．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是___________．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据三视图判断该几何体为圆柱，确定底面直径和高，利用圆柱侧面积公式求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆柱．底面圆的直径为，高为．圆柱的侧面积底面周长高． 该几何体的侧面积． 10．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 【答案】， 【分析】明确投影的分类，投影分为平行投影和中心投影， 再根据各字母投影的光线特征，确定与字母“”投影类型相同的字母． 【详解】平行投影时光线是平行的，光线之间互不相交，如太阳光；中心投影时光线从同一个点发射出来，光线交汇于一点，离光源越近，影子越大，灯光、手电筒等． 观察字母“”的投影，其光线呈现平行特征，因此字母“”的投影属于平行投影； 观察字母“”的投影，其光线交于一点，符合中心投影的特征，故字母“”的投影为中心投影； 观察字母“ ”和“ ”的投影，其光线互相平行，符合平行投影的特征，故字母“ ”和“ ”的投影为平行投影； ∴与字母“”属于同一种投影的字母是，． 11．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质，可得与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ． 12．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形：①矩形；②矩形；③矩形；④矩形中，是黄金矩形的是________（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】设正方形的边长为，利用勾股定理求出的长，根据作图过程表示出、等线段的长，分别计算四个矩形宽与长的比值，符合的即为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、分别是、的中点， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∵以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点， ∴， ，， 对于矩形：宽，长，，是黄金矩形； 对于②矩形：宽，长，，不是黄金矩形； 对于③矩形：宽，长，，是黄金矩形； 对于④矩形：宽，长，，不是黄金矩形； 综上所述，是黄金矩形的是①③． 13．关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴， ∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， ∴m的取值范围是． 14．如图是一幅矩形画卷，其面积为，在画卷背面恰好镶嵌有三块相同的矩形纸片（图中的阴影部分）．已知矩形纸片宽与长的比是，则矩形画卷的长为________． 【答案】 【分析】设矩形纸片的宽为，则长为，根据图形拼接关系表示出矩形画卷的长和宽，利用面积公式列方程求解即可 【详解】解：设矩形纸片的宽为， ∵矩形纸片宽与长的比是， ∴矩形纸片的长为， 由图可知，矩形画卷的长为，宽为， ∵矩形画卷的面积为， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴，即矩形画卷的长为． 15．如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为___________． 【答案】/ 【分析】根据正八边形的性质求出其内角度数，从而确定剪去的四个小三角形是等腰直角三角形，利用勾股定理求出小等腰直角三角形的直角边长，根据正方形边长与正八边形边长及三角形直角边之间的数量关系即可求解． 【详解】解：∵正八边形的内角和为， ∴正八边形的每个内角为， ∵正方形的四个角均为， ∴剪去的小三角形的锐角均为，即剪去的是等腰直角三角形． 已知正八边形的边长为，所以剪去的等腰直角三角形的斜边长为， 设剪去的等腰直角三角形的直角边长为x，根据勾股定理， 可得 解得： 因为边长为正数，所以解得：， 观察图形可知，正方形的边长由三部分组成：左边剪去的直角边、中间正八边形的边长、右边剪去的直角边，代入数值计算：． 16．如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点M，N分别为，的中点，则的周长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质求出对角线的长，进而得到的长，利用中点定义求出的长，利用三角形中位线定理求出的长，最后求和即可； 【详解】解： ∵四边形是矩形， ∴，，，，， 在中，， ∴， ∵分别为的中点， ∴，，是的中位线， ∴， ∴的周长． 17．如图，在中，为边上一点（不与点，重合）．按如下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点，作射线交于点； ③分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，分别交，于点M，N，连接，． 根据以上作图，可判断四边形的形状是__________． 【答案】菱形 【分析】根据作图步骤①②可得同位角相等，从而判定 ；根据步骤③可得是线段的垂直平分线；结合平行线的性质和垂直平分线的性质，通过证明对角线互相垂直平分来判定四边形的形状． 【详解】解：由作图步骤①②可知，， ， ， 设与相交于点，如图， 由作图步骤③可知，是线段的垂直平分线， ，． ， ， 在和中， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， 又 ， 平行四边形是菱形． 18．如图，在中，点D、E在、边上，连接并延长交延长线于点G．过D作于点F．若，，，，，则的长度为___________． 【答案】9 【分析】设，利用三角形内角和及已知条件推导，判定为等腰三角形；利用勾股定理求出及的长，进而求得；过点作交于点，利用相似三角形性质求，再证即可求解 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，，， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，过点作交于点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ． 20．如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了相似多边形的性质； 根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等，以及四边形内角和定理计算即可． 【详解】解：四边形与四边形相似， ， ，， 又， ， 即． 21．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． (1)若，则与是否相似？为什么？ (2)若，则与是否相似？为什么？ 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据两角相等，两三角形相似证明即可； （2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，已知，，求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理即可求得的长； （2）设，则，，在中利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，， 在中，，， 由勾股定理得：， 即的长为． （2）解：设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 展开得， 化简得，， 解得， 即的长为． 23．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 【答案】(1)圆柱；圆锥 (2) 【分析】（1）根据三视图判断几何体的组成； （2）根据圆柱和圆锥的体积公式分别计算出圆柱、圆锥的体积，再将两者相加得到“粮仓”的体积． 【详解】（1）解：根据所给三视图，可以判断“粮仓”近似由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱在下，圆锥在上． （2）解：由题意可知，圆柱的底面直径为，高为，圆锥的底面直径为，高为（）， （）， （）， （）． 答：它的体积为． 24．在矩形中，，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿，，，的方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，． (1)当x为何值时，点P与点N重合； (2)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)当x为4时，点P与点N重合； (2)当x为0或2或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）矩形的对边相等，若点P与点N重合，则，用因式分解法解一元二次方程； （2）当点N到达点A时，，此时点Q只能在点M左侧，分为点P在点N左侧和点P在点N右侧两种情况讨论，根据已知条件和平行四边形性质，列一元二次方程，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：若点P与点N重合，则， 四边形是矩形， ， ， 即， ， ，（舍去）， 所以，当x为4时，点P与点N重合； （2）当点N到达点A时，， 解得：，（舍去）， ，， ， 所以，此时点Q和点M还没有相遇，点Q只能在点M左侧， 当点P在点N左侧时，如图1， 则，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， 解得：，， 当点P在点N右侧时，如图2， 则，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 解得：，（舍去）， 综上所述，当x为0或2或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 25．阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点． (1)小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________． (2)参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值； ②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）证明，得到， 再利用，即可得到结论； （2）①过点作，交延长线于点， 证明和，列比例式可得， ； ②过点作交于，证明和，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图3，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图4，过点作交于， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．综合探究： 如图，在正方形和正方形中，若，，连接，是的中点． (1)如图1，当顶点、、在同一直线上，求长； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，．猜想线段，的关系，并说明理由． (3)如图3，正方形绕点旋转，使得点在延长线上，连接，直接写出的长． 【答案】(1) (2)且，理由如下： 如图，连接交于点，连接交于点，则，， 由（1）得，，， 点是的中点， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用正方形对角线公式，分别算出两个正方形的对角线、，因为点B、点D、点F共线，所以； （2）分别取两个正方形对角线中点，构造直角三角形，通过证明，得到，再通过角度转化推导出，即； （3）过点F作，先证、，结合等腰直角、勾股计算，再证，得到． 【详解】（1）解：在正方形和正方形中，若，， ，， ，， 当顶点、、在同一直线上时，； （2）略 （3）解：如图，过点作于点，连接、、， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在中，，，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $