精品解析：山西省定襄县定襄中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期月考试题 高二数学 满分150分，时间120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 2. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 若方程表示圆，则实数的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A. 或1 B. C. D. 1 5. 正方体的棱长为2，是棱的中点，是棱上一点（含端点），且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知且．则的最小值（ ） A. B. C. D. 7. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 二、多选题（3小题，共18分） 9. 已知四面体的所有棱长都为分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. 的长为 B. 到平面的距离为 C. 当线段最长时，的最大值为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 10. 已知圆：，直线：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 圆与圆恰有三条公切线 11. 已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ） A. 当或时， B. 当时， C. 直线过定点，直线过定点 D. 当，平行时，两直线的距离为 三、填空题（3小题，共15分） 12. 已知，则的最小值为_____． 13. 写出与直线和轴都相切，半径为的一个圆的方程：______． 14. 已知直线的一个方向向量为且过点，则直线的方程为______. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆． （1）若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程； （2）若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 17. 已知的顶点坐标为. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 18. 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. （1）若∥，∥，证明:∥； （2）若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，三角形为等边三角形，点分别为的中点. （1）证明：直线平面PAD； （2）当二面角为时，求直线与平面所成的角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期月考试题 高二数学 满分150分，时间120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】由两圆圆心间距离与半径和差关系即可判断. 【详解】圆的圆心，半径为6，圆的圆心，半径为1， 所以，所以，两圆位置关系为内切， 故选：A. 2. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 3. 若方程表示圆，则实数的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的要求列出不等式，求出的范围，逐一判断即可. 【详解】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 4. 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A. 或1 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 5. 正方体的棱长为2，是棱的中点，是棱上一点（含端点），且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量数量积确定位置，再由体积公式即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则，设， 则：， 所以，又是棱上一点，所以， 即是棱的中点， 所以三棱锥的体积为， 故选： 6. 已知且．则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将的最小值转化为线段上一点到原点的距离与到轴的距离之和最小，根据最短路径问题求解. 【详解】 设原点关于直线的对称点为，过点向轴做垂线，垂足为， 与直线交于点，由的几何意义可知， 该式表示线段上一点到原点的距离与到轴的距离之和最小， 由平面几何知识可知，该点取点的时候，最小， 最小值为，即点的纵坐标， 由点与原点关于直线对称可知， 所以的最小值为. 故选：C 7. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题可知， 故选：A 8. 已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的一般方程及性质即可求解. 【详解】由圆，得圆的圆心坐标为， 因为圆被直线分成弧长相等的两部分， 所以直线过圆心，代入得，解得. 故选：C. 二、多选题（3小题，共18分） 9. 已知四面体的所有棱长都为分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. 的长为 B. 到平面的距离为 C. 当线段最长时，的最大值为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，将四面体补形并建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式判断A，利用空间向量法的点面距离公式判断B，利用空间向量数量积的运算律，结合内切球半径的求法判断C，利用空间向量法求异面直线所成角判断D，从而得解. 【详解】依题意，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，如图， 因为四面体的所有棱长都为，则正方体的棱长为， 则， 又分别是的中点，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 所以到平面的距离为，故B正确； 对于C，设是四面体内切球的球心，其半径为，则， 当线段最长时，为内切球的直径，是的中点，则， 所以， 因为该四面体的体积为， 表面积为， 所以，解得，则， 因为是该四面体表面上的动点，当为正四体的顶点时，最大， 其最大值为， 所以的最大值为，故C正确； 对于D，， 所以，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，从而得解. 10. 已知圆：，直线：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 圆与圆恰有三条公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】A，将直线变形，即可得到直线过的定点；B，结合点到直线的距离公式，可得到结果；C，由定点在圆内，即可判断；D，利用圆心距与两圆半径之间的关系即可判断. 【详解】对于A，直线 ，所以， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线为：， 则圆心到直线的距离为，， 所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B错误； 对于C，因为直线过定点，所以， 所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确； 对于D，由圆的方程可得，， 所以圆心为，半径为， 此时两圆圆心距为， 所以两圆的位置关系为外切，则两圆恰有三条公切线，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ） A. 当或时， B. 当时， C. 直线过定点，直线过定点 D. 当，平行时，两直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件即可判断A；根据两直线垂直的充要条件即可判断B；根据直线过定点的定义即可判断C；根据两平行直线间的距离公式即可判断D. 【详解】对于A，若，则，解得或， 经检验当时，两直线重合，所以，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，由直线， 令，解得， 所以直线过定点，故C错误； 对于D，当，平行时，， 直线，直线，即， 所以两直线的距离为，故D错误. 故选：ACD. 三、填空题（3小题，共15分） 12. 已知，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将所求式子看成圆上的点到直线距离的5倍，进而转化为圆到直线的距离可得. 【详解】由，表示圆上的点到直线的距离的5倍. 圆的圆心，半径，如图： 由圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，且圆上点到直线距离的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：3. 13. 写出与直线和轴都相切，半径为的一个圆的方程：______． 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】由题意可得圆心为，再由圆心到直线的距离为半径，求解即可得出答案. 【详解】因为直线和轴都相切，所以圆心为， 当圆心为时，，解得或； 当圆心为时，，解得或． 所以圆的方程为或 或或． 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知直线的一个方向向量为且过点，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据方向向量求出斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 又因为直线过点， 所以直线的方程为，整理得， 故答案为： 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆． （1）若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程； （2）若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意所求直线方程即公共弦方程，两个圆方程相减即可求解. （2）将原问题转换为圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式即可得解. 【小问1详解】 由题意圆O：和圆即关于直线l对称． 两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为. 【小问2详解】 圆O：的圆心为，半径为， 若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1， 则圆心到直线的距离等于1， 所以，解得. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 假设在棱上存在点，使得平面， 设， 设，由， 所以，即 所以，所以， 因为平面为平面的法向量， 所以，即，所以，而， 所以，在棱上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案； （2）设，求出向量的坐标，根据，求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 选取中点为，连结，因为，所以，因为，所以，又因为平面平面，所以平面， 以为原点，分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 所以， 则， 设为平面的法向量，令. ，设与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 略 17. 已知的顶点坐标为. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）; （2）5. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出边的方程. （2）求出直线的方程，由点到直线的距离求解三角形的高，进而求出面积. 【小问1详解】 直线的斜率为，因此边上的直线方程为，所以边上的直线方程为：. 【小问2详解】 直线的方程为， 于是点到直线的距离为：，而， 所以的面积. 18. 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. （1）若∥，∥，证明:∥； （2）若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）若∥ ，平面， 平面，所以∥平面； 若∥，平面，平面，所以∥平面. 因为平面，所以平面∥平面. 又平面平面，平面平面， 所以∥. （2）存在, 或 【解析】 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面∥平面，再由面面平行的性质定理证明∥； （2）由面面垂直的性质定理证明 平面，建立空间直角坐标系，设棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ，由面面角的向量求法列出关于的方程，求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，所以.  因为平面 ⊥平面，平面 平面 ，平面 ，所以 平面. 过作 ，垂足为，则. 所以. 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ， 则，所以. 设平面的法向量为， 则. 令，则. 所以平面的法向量为. 由 平面，知平面的一个法向量为. 所以， 即，化简得，解得或. 故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时 或. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，三角形为等边三角形，点分别为的中点. （1）证明：直线平面PAD； （2）当二面角为时，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，因为分别是的中点， 所以且，又且， 所以且，故四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据中位线的性质可得且，进而可证，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，则，利用余弦定理求得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得， 又，所以，得. 取的中点，连接，因为底面为菱形，为正三角形， 所以，故为二面角的平面角，即. 又平面，所以平面， 而平面，所以平面平面， 过O作平面的垂线，记为z轴，则OP与z轴正方向得夹角为， 以O为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 因为菱形的边长为2，所以， 所以， 得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $