精品解析：山东临沂市第一中学北校区2026-2027学年高一上学期10月阶段性检测数学试卷

山东省临沂市第一中学北校区2026~2027学年高一上学期阶段性检测 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（　　） A. B. C. D. 3. 设，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 5. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 6. 已知实数，满足，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知表示不超过的最大整数，例如 ，，，集合 ，，且，则集合 的真子集个数为（　　） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设集合，，则（ ） A. 当时， B. 当时，有4个元素 C. 当时， D. 11. 已知，并且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则ab的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为9 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知 ，，设 ，则 的取值范围是 ______． 13. 振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 14. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15. 已知全集，若集合，． （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 16. 设命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 （1）求函数的零点； （2）解关于x的不等式． 18. 为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ （2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 19. 19 世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩． 例如：已知 为正实数，且 ，求 的最大值．可作如下处理：，当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立． 根据以上信息解决以下问题：已知 ，． （1）若 ，证明：． （2）若 恒成立，求参数的取值范围； （3）若 ，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市第一中学北校区2026~2027学年高一上学期阶段性检测 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举法表示出集合B，再由集合的交运算求即可. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C 2. 已知命题，则是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题 ：．其否定为 3. 设，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 4. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【详解】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 5. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 6. 已知实数，满足，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 7. 已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围. 【详解】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 8. 已知表示不超过的最大整数，例如 ，，，集合 ，，且，则集合 的真子集个数为（　　） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 即，先化简，再由确定，最后数元素个数． 【详解】． 由得，即，． ∵ 方程的两根之和为 ，∴ 该方程不可能同时以为根． ∴ 中必有一个是的根，另一个是的根． 若分别是，的根， 则，，此时，共4个元素； 若分别是，的根， 则，，此时，共4个元素； ∴ 集合有 4 个元素，其真子集个数为 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，利用作差法判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 10. 设集合，，则（ ） A. 当时， B. 当时，有4个元素 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据交集和并集运算判断AB，举反例判断C，结合元素的互异性和子集关系，分类讨论判断不成立，即可判断D. 【详解】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD 11. 已知，并且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则ab的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为9 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式 求解判断AB；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，， ，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，而，则， 于是，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知 ，，设 ，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 【详解】把 用 与 线性表示（待定系数法），再用同向不等式的性质． 【解答】设 ，则 ，，解得 ，． ∴ ． ∵ ，∴ ；∵ ，∴ ． 两式相加得 ，即 的取值范围是 ． 13. 振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 【答案】1 【解析】 【分析】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意得出关于的等式即可求解． 【详解】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人， 由题意作出韦恩图如图所示： 由图可得，解得． 故同时参加200m比赛和400m比赛的有1人． 故答案为：1． 14. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15. 已知全集，若集合，． （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；或 （2） 【解析】 【分析】（1）将集合化简，再由集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由可得，解得或， 所以或， 当时，， 则或. 【小问2详解】 当时，，即， 此时满足； 当时，要使， 则，解得； 综上所述，实数的取值范围. 16. 设命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由全称命题为真，即恒有成立，求出左侧最小值，应用一元二次不等式求参数范围； （2）由特称命题为真，即使能成立，求出左侧最小值求得参数，再由有且仅有一个真命题确定参数范围. 【小问1详解】 若为真命题，即恒有成立， 所以恒成立，故， 所以； 【小问2详解】 若为真，即使能成立， 所以，当时最小为， 所以，故为假，则， 结合（1），若为真，则，故为假，则或， 所以真假，则，假真，则， 综上，若有且只有一个是真命题，只需或. 17. 已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 （1）求函数的零点； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）1和2 （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. 【小问2详解】 由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 18. 为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ （2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）75人 （2）存在，7 【解析】 【分析】（1）由题意列不等式，求解即可； （2）由技术人员的年人均投入始终不减少得，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入得，综合得，根据的范围由不等式恒成立求得值. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则， 解得， 又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人; 【小问2详解】 假设存在实数满足条件. 由技术人员年人均投入不减少得, 解得. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 , 两边同除以得, 整理得, 故有, 因为, 当且仅当时等号成立, 所以, 又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以, ，即存在这样的m满足条件，其值为7. 19. 19 世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩． 例如：已知 为正实数，且 ，求 的最大值．可作如下处理：，当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立． 根据以上信息解决以下问题：已知 ，． （1）若 ，证明：． （2）若 恒成立，求参数的取值范围； （3）若 ，，求的最小值． 【答案】（1）∵已知 ，，若 ，则 ， ∴ ． 所以， 当且仅当，即， 时取等号， ∴ ． （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）将代换为并凑出的形式，直接利用基本不等式求得最小值，并验证等号成立的条件； （2）先通过配凑得出，将恒成立问题转化为解一元二次不等式，从而求出参数范围； （3）利用恒等式配方，结合实数的平方非负性直接得出最小值，并代回验证等号成立的条件. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ∵ ， ∴，等号当且仅当时成立． ∴要使对任意恒成立，必须且只需， 即，解得 或，即． 【小问3详解】 ∵ ， ∴， ∴， 当且仅当 且（由约束条件可解出唯一的）时取等号， ∴ 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $