《第三章勾股定理第三节勾股定理的简单应用》提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第三章勾股定理第三节勾股定理的简单应用》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.能从生活、科技、几何情境中抽象出直角三角形模型，区分可直接求解、需构造直角三角形两类应用场景，建立勾股定理建模思维。 2.熟练结合勾股定理及其逆定理，推理线段长度、垂直关系、路径长短，掌握 “ 先判定、再计算 ” 的解题逻辑。 3.熟练运用勾股定理列方程求解未知边长，精准处理折叠、梯子、航海、立体最短路径等计算题型，提升含根式运算准确率。 4.掌握勾股定理八大经典实际模型，能解决生活测量、几何折叠、立体爬行、动静结合的综合性实际问题。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.直接利用勾股定理求解实际问题中的线段长度、高度、距离。 2.利用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形、判定垂直关系。 3.掌握基础经典模型：梯子滑动、台风影响、测距测高、折叠边长计算。 4.学会方程思想：在边长未知、存在数量关系时，设未知数利用勾股列方程解题。 （二）难点 1.无直角三角形场景：需要通过作垂线、作高构造直角三角形解题。 2.立体图形（长方体、圆柱）表面最短路径的平面展开转化思想。 3.动态变化问题（梯子滑动、船只航行）中，抓不变量建立等式。 4.复杂折叠问题中，利用折叠全等、边长相等关系，结合勾股列方程。 5.区分勾股定理与逆定理的使用场景，避免判定与计算混淆。 ) 三．知识梳理 （一）核心公式回顾 1.勾股定理（用于计算） 在Rt△中，直角边a、b，斜边c：a2+b2=c2，适用：已知直角，求边长。 2.勾股定理逆定理（用于判定） 若三角形三边长满足 a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，c边所对为直角。适用：未知直角，先证垂直。 （二）勾股定理应用题通用解题四步法 1.建模：把实际图形转化为平面几何图形，找出或构造直角三角形； 2.定边：分清直角边、斜边，梳理已知边长、未知边长； 3.列式：直接代入公式或设未知数，利用勾股定理列方程； 4.验答：边长为正数，舍去不合理负值，规范作答。 （三）八大必考经典应用模型（期中期末高频） 模型1：分段路程、折返问题 行走路线为折线，构造直角三角形求直线距离。 例1.（2026春·泰州姜堰一模改编） 测绘小组从O点出发，向南行走16km，再向东行走12km到达监测点，求监测点与出发点O之间的直线距离。 解：正南方向与正东方向互相垂直，两条直角边16km、12km。 直线距离=20km 答案：20 km 模型2：勾股逆定理实际判定 判断场地、支架、三角形结构是否垂直、是否为直角结构。 例2. （2026春·淮安清江浦二模改编） 为检测校园长方形花坛的墙角∠B是否为直角，测量人员在BA边上取点E，BC边上取点F，测得BE=9m，BF=12m，EF=15m，判断∠B是不是直角。 解：最长边EF=15，BE2+BF2=92+122=81+144=225，EF2=152=225，∴BE2+BF2=EF2，由勾股逆定理可知∠B=90°。答案：∠B是直角，花坛墙角垂直 模型3：测量高度、深度（测高测深） 场景：大树高度、竹竿水深、建筑物高度。 核心：竖直方向与水平方向天然垂直，直接构成直角三角形，斜边为倾斜距离。 例3.九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 解：如图， 我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB来表示竹梢触地处离竹根的距离．设OA＝x，则AB＝10－x．∵∠AOB＝90°， ∴OA2＋OB2＝AB2，∴x2＋32＝（10－x）2．x=；答：折断处离地面尺高。 模型4：梯子滑动模型（动态不变量） 核心：梯子长度（斜边）始终不变。梯子底部滑动、顶部下滑，始终依托勾股定理列等式，常结合方程求解滑动距离。 例4. 如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m. (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m至点C处,那么梯子的底端B也外移0.4 m吗?请通过计算说明. (2)点P为AB的中点,小明将一根绳子的一端固定在点P处,拉直后将另一端固定在点O处.你觉得这样能防止梯子顶端下滑吗?简要说明理由. 解:(1)在Rt△AOB中, OB2=AB2-AO2=2.52-2.42=0.49,∴OB=0.7 m.∵AO=2.4 m,AC=0.4 m, ∴CO=2 m.在Rt△DOC中, DO2=CD2-CO2=2.52-22=2.25,∴DO=1.5 m,∴BD=DO-BO=1.5-0.7 =0.8 m,故梯子的底端B外移了0.8 m. (2)不能防止梯子下滑.理由:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,梯子顶端若下滑,绳子的长度不变,并不拉伸,不能防止梯子下滑. 模型5：航海、方位角问题 场景：东南、东北、南北、东西航行。 核心：正南正北、正东正西互相垂直，自动构成直角三角形，求直线距离。 例5.如图，甲船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一半小时后分别到达B、A两处，且知AB长为30海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解：甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，，甲轮船以16海里小时的速度航行了一个半小时，海里，海里，在中，，乙轮船每小时航行海里． 模型6：折叠几何模型（提优必考） 折叠：折叠前后对应边相等、对应角相等。 技巧：在折叠后的直角三角形中，设最短未知边为x，其余边长用含x代数式表示，利用勾股定理列一元一次方程求解。 例6.如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处． （1）试说明B'E＝BF； （2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． 解：（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF，∠B'FE＝∠BFE，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，∴∠B'EF＝∠BFE，∴∠B'FE＝∠B'EF，∴B'F＝B'E，∴B'E＝BF． （2）a，b，c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c，由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°，A'E＝AE＝a，A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中，∵∠A'＝90°，∴A'E2+A'B'2＝B'E2，∴a2+b2＝c2． 模型7：立体图形最短路径（中考热点） 核心：立体转平面，两点之间线段最短 （1）圆柱侧面：展开为长方形，对角线为最短路径； （2）长方体表面：分三种展开方式，计算后取最小值。 例7.如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁沿圆柱侧面从点A爬到点B处吃食，蚂蚁要爬行的最短路程（ π 取3）是多少？ 解：如图所示：可以把和展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长，矩形的宽，在直角三角形中，，，根据勾股定理得：． 模型8：台风、爆破影响范围 圆形影响区域，判断点到圆心距离与半径大小：利用勾股求最短距离，判定是否受影响。 例8.如图，有两条公路OM、ON相交成30度角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 解：（1）作于，，，， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离．（2）如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，，，在中，， ，重型运输卡车的速度为18千米时米分钟，重型运输卡车经过的时间分钟秒，答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． （四）提优核心思想：方程思想 绝大多数中档、压轴应用题不能直接求出边长，必须用方程： 1.设未知线段为x； 2.根据题意用x表示出Rt△三边； 3.由勾股定理：直角边2+直角边2=斜边2列方程； 4.解方程求值。 （五）特殊提速结论 1.常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13（可直接口算，无需计算） 2.所有实际应用题，边长结果必须为正数。 3.立体最短路径，必须展开平面，曲面不能直接连线。 （六）易错分析（考试高频扣分陷阱） 1.乱用勾股定理，非直角三角形直接套用 【误区】：任意三角形都用a2+b2=c2 【纠正】：只有直角三角形可用，无直角必须先构造高、作垂线。 2.斜边、直角边判断颠倒（最致命错误） 【误区】：短边平方+长边平方=中边平方 【纠正】：最大边一定是斜边，永远是「两短边平方和=最长边平方」。 3.立体最短路径不展开，直接在曲面连线 【误区】：圆柱、长方体表面直接连曲线 【纠正】：立体图形最短路径必须平面展开，用平面线段求解。 4.动态模型找不准不变量 【误区】：梯子滑动后乱代数据，忽略梯子长度不变 【纠正】：梯子、绳长、斜拉长度斜边恒定不变，是列方程关键。 5.折叠问题不会设元、不会转化边长 【误区】：看不出折叠相等边，无法列方程 【纠正】：折叠题必有相等边，优先把隐藏相等边长转化为代数式。 6.逆定理使用混乱 【误区】：已知直角去用逆定理证明 【纠正】：（1）已知直角→用勾股定理求边长 （2）未知直角→用逆定理判直角 7.忽略实际意义，保留负数解 解方程出现负数边长，不舍去、直接作答，全部扣分。 8.方位角问题找错垂直关系 分不清东南、东北夹角，无法构造标准直角三角形，导致列式错误。 9.计算平方、根式化简出错 常见：52=10、平方和算错、开方不化简，基础运算失分。 10.不画图、不建模 复杂文字题不画图，凭想象找边长关系，极易找错边、找错直角。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025秋·盐城亭湖期末）台风后一棵大树在距离地面5m处折断，树顶落地点距离树根水平12m，则折断部分树干长度为（ ） A.11m B.12m C.13m D.14m 【答案】C 【解析】竖直树干与地面垂直，构成直角三角形，两条直角边为5m、12m，斜边==13m 2.（2026春·苏州姑苏月考）一架长10m的梯子斜靠竖直墙面，梯子底部距离墙6m，梯子顶端离地高度是（ ） A.6m B.7m C.8m D.9m 【答案】C 【解析】梯子为斜边，h==8m。 3.（2025秋·泰州姜堰期中）甲从观测点向正北走8km，乙同时从观测点向正东走6km，两人直线距离为（ ） A.10km B.11km C.12km D.14km 【答案】A 【解析】正东正北互相垂直，d==10km。 4.（2025秋·宿迁宿豫月考）长方形纸片长8，宽6，将纸片折叠，使顶点重合，利用勾股计算，折叠形成直角三角形的斜边为（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】B 【解析】长方形对角线=10。 5．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面高度为x尺，则列方程为（　　） A．x2−3＝（10−x）2 B．x2−32＝（10−x）2 C．x2+3＝（10−x）2 D．x2+32＝（10−x）2 【答案】D 【解析】设折断处离地面x尺，根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故选：D． 6．如图在离地面高度3m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（　） A．6 m B． m C．2m D．3m 【答案】C 【解析】由题意得：CD＝3m，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∴∠DCA＝30°，∴AC＝2AD，∴AD＝AC，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝（AC）2+32， 解得：AC＝2（负值已舍去），∴拉线AC的长是2m，故选：C． 7．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（　 ） A．3米 B．5米 C．7米 D．9米 【答案】A 【解析】如图 m， m， m， m， 在 中， m， 在 中， m，∴ m， 故答案为：A． 8.如图，AB为某河流的宽，为了估测河流的宽，在笔直的河岸上依此取点C，E，B，F，使DE⊥CF，且DA∥CF，测得CE＝2米，EB＝4米，BF＝7米，且∠C＝∠FDC，则AB的长为（　　）米． A． B．6.9 C．4 D．7 【答案】C 【解析】∵DE⊥CF，DA∥CF，∴∠ADE＝∠DEB＝90°，由题意得AB⊥CF，∴四边形ABED是矩形，∴DE＝AB，∵∠C＝∠FDC，∴DF＝CF＝CE+BE+BF＝13米，∵EF＝BE+BF＝11米， ∴DE＝＝4（米），答：AB的长为4米．故选：C． 9．如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB＝∠CBD＝90°，AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm，则CD长为（　　）cm． A．5 B．13 C． D．15 【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2＝42+32＝25，在 Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2＝25+122＝169，∴CD＝13（cm）．故选：B． 10．如图一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A．5≤a≤6 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2 【答案】A 【解析】如图，BC为饮料罐的底面直径，D为底面圆心，A为上底面中心，作射线BA、射线DA，∴AD⊥BC，AD＝4cm，BD＝CD＝3cm，∵∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝5（cm），当吸管底端与点B重合时，则露在罐外部分a最短，此时a＝10﹣5＝5（cm）； 当吸管底端与点D重合时，则露在罐外部分a最长，此时a＝10﹣4＝6（cm），∴a的取值范围是5≤a≤6，故选：A． 二．填空题（共30分） 11.（2025秋·盐城大丰期末）水池中有芦苇，水面以上芦苇高1m，拉到岸边，水平距离3m刚好碰到水面，则水深为______m。 【答案】4 【解析】设水深x，芦苇总长x+1，x2+32=(x+1)2，解得x=4。 12.（2026·镇江京口月考）长25m云梯，底端离墙7m，云梯顶端距离地面高度为______m。 【答案】24 【解析】h==24。 13.（2025秋·无锡梁溪期中）一艘船向东北航行8km，另一船向东南航行6km，两船相距______km。 【答案】10 【解析】东北、东南夹角90°，=10。 14.（2025秋·淮安淮阴期中）三角形支架三边6、8、10，最长边上的高等于______。 【答案】4.8 【解析】62+82=102，直角三角形；面积S=×6×8=×10×h，h=4.8。 15．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．这根芦苇的长度是 　 　尺． 【答案】13 【解析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2， 解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），故答案为：13． 16．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为_____. 【答案】12 【解析】过点A作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝18＝9，∴AD＝＝12（cm），∴它底边上的高为12cm； 17.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿　　　　方向航行。 【答案】北偏东50° 【解析】　由题意可知 AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里.∵122+162=202,∴△APB是直角三角形,∴∠APB=90°,由题意知∠1=40°,∴∠2=90°-∠1=90°-40°=50°,即乙船沿北偏东50°方向航行.故答案为北偏东50°. 18.如图直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和1 ，则的面积为______ 【答案】16 【解析】由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+ ∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=11+5=16． 19．如图，是一个有盖的盒子，长宽高如图中标注，若在盒中放一根细棒，则细棒的最大长度是 　 　． 【答案】17 【解析】由勾股定理得，B′C＝＝15，A′C＝＝17，细棒的最大长度是17． 20、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行_________. 【答案】：10米 【解析】：如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米， 在Rt△AEC中，（米）． 三．解答题（共60分） 21.如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线DE与AB，AC分别交于点D，E，且CB2＝AE2－CE2. (1) 求证：∠C＝90°； (2) 若AC＝4，BC＝3，求CE的长． 解： (1) 证明：连接BE.因为边AB上的垂直平分线为DE，所以AE＝BE.因为CB2＝AE2－CE2，所以CB2＝BE2－CE2，所以CB2＋CE2＝BE2，所以∠C＝90°. (2) 设CE＝x，则AE＝BE＝4－x，在Rt△BCE中，BE2－CE2＝BC2，所以(4－x)2－x2＝32，解得x＝，所以CE的长为. 22.如图，四边形ABCD是公园中的一块空地，∠B＝90°，AB＝6 m，BC＝8 m，CD＝24 m，AD＝26 m． (1) 连接AC，判断△ACD的形状并说明理由； (2) 为美化公园环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？ 解：(1) △ACD是直角三角形．理由如下：连接AC. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 m，BC＝8 m，根据勾股定理，得AC＝＝＝10(m).在△ACD中，AC＝10 m，CD＝24 m，AD＝26 m，因为102＋242＝262，所以AC2＋CD2＝AD2，所以△ACD是直角三角形． (2) 由题意可得S△ABC＝×6×8＝24(m2)，S△ACD＝×10×24＝120(m2)，所以S四边形ABCD＝24＋120＝144(m2)，所以144×80＝11 520(元)，即铺满这块空地共需费用11 520元． 23．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 解：（1）如图1，过点A作于点E，则， 在中，由勾股定理得： ，∴； （2）不能成功，理由如下：假设能上升，如图2，延长至点F，使，连接，∴，在中， ， ∵，余线仅剩，∴，∴不能上升，即不能成功． 24．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 解：（1）设旗杆的高度为，则，在中，，由勾股定理得：，即，解得：，答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为，则，∴四边形为长方形，∴，∵，∴ 在中，，由勾股定理得：， ∴．答：小明需后退． 25．如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 解：（1）如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．∵，∴，又∵，， ∴．∵∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响．∵，，∴．由（1）知， ∴．∴．卡车速度为 24 千米/时，折合为米/秒。∴影响时间为：．答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为 26.（2024南通海门期末）满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． (1) 请把下列三组勾股数补充完整： ①　　　　，8，10；②5，　　　　，13；③8，15，　　　　； (2) 小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn（m，n均为正整数），那么另外两个数可以写成m2＋n2，m2－n2，如4＝2×2×1，5＝22＋12，3＝22－12.请你帮小敏证明这三个数2mn，m2＋n2，m2－n2是勾股数； (3) 如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数，求m＋n的值． 解：(1) ①6　②12　③17 (2) 证明：因为(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2＝m4＋n4＋2m2n2，(m2＋n2)2＝m4＋n4＋2m2n2，所以(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2.又2mn，m2＋n2，m2－n2是正整数，所以2mn，m2＋n2，m2－n2是勾股数． (3) 约去公因数，得7，24，25，因为偶数24＝2×3×4，25＝42＋32，7＝42－32， 所以m＝4，n＝3，所以m＋n＝7. 27．如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 解：（1），设，，，，，，，，； （2）连接，，当、、三点共线时，的值最小． 故点满足的条件为、、三点共线； （3）如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，，，，，即的最小值为． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·盐城盐都二模）矩形纸片ABCD，AB=8，AD=10，折叠使D落在BC边上F处，则BF长（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】折叠AF=AD=10，Rt△ABF，BF==6。 2.（2025秋·苏州工业园区期末）爆破点C，△ABC中∠C=90°，AC=8m，BC=6m，C到AB的距离为（ ） A.4.8m B.5m C.6m D.7.2m 【答案】A 【解析】AB=10，面积法h==4.8。 3.（2026·镇江润州月考）圆柱高8cm，底面周长30cm，蚂蚁从底面一点爬到上底正对侧面点，最短路径长（ ） A.15cm B.17cm C.18cm D.20cm 【答案】B 【解析】展开长方形，直角边15、8，=17。 4.（2026·南通海门一模）台风中心沿直线移动，村庄A到台风路径的垂直距离9km，台风影响半径15km，则A到台风中心初始交点距离为（ ） A.10km B.12km C.14km D.16km 【答案】B 【解析】直角三角形，一条直角边9，斜边15，另一条直角边=12。 5．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【解析】由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，由勾股定理得AC＝＝＝5（m），故离门4米远的地方门铃恰好自动响起．故选：C． 6.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为(　　) A.2.2米　　　　B.2.3米　　　　C.2.4米　　　　D.2.5米 【答案】A　 【解析】如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42=6.25. 在Rt△A'BD中,∠A'DB=90°,A'D=2米,A'B2=AB2,∴BD2=A'B2-A'D2=2.25.∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故选A. 7．如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（　　） A．10km B．15km C．20km D．25km 【答案】A 【解析】设，则， 由勾股定理得：在中， ，在中，， 由题意可知：，∴，解得：，∴BE=10km． 故答案为：A. 8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A．m B．m C．6m D．m 【答案】A 【解析】由题意知∠ADC=90°，DE=CF=4cm，∵BE=1cm，∴DB=DE-BE=4-1=3cm，设AC=x，则AD=AB=x-3，∴（x-3）2+62=x2， 解得：x= m ，即AC= m ；故答案为：A. 9．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【解析】∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝ ＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故答案为：C． 10.福州以著名的坊巷文化而闻名，美丽的三牧坊宽不足4米，长不到240米，从卫前街进入三牧坊，走不到百米，便能看到一所百年学府——福州一中，它是众多福州人的记忆所在．位于三牧坊内的福州一中的侧门保留了中国古代典型的双开木门结构，如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为0.08米，点C和点D到门槛AB的距离都为0.28米，则AB的长是（　　） A．1.8米 B．2米 C．2.2米 D．2.4米 【答案】B 【解析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r米，则AB＝2r（米），DE＝0.28米，OE＝CD＝0.04米，∴AE＝（r﹣0.04）米，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣0.04）2+0.282＝r2，解得：r＝1，∴2r＝2米∴AB＝2米，故选：B． 二．填空题（共30分） 11.（2026·盐城大丰二模）小明从营地先向东走9m，再向北走12m，再向西走4m，此时离营地直线距离______m。 【答案】13 【解析】水平位移9-4=5，竖直位移12，=13。 12.（2025秋·泰州海陵期末）长方体长5，宽4，高3，蚂蚁在表面爬行，两点最短距离的平方等于______。 【答案】74 【解析】三种展开：(5+4)2+32=90；(5+3)2+42=80；(4+3)2+52=74，最小值74。 13.（2025秋·南京鼓楼期中）折叠直角三角形纸片，∠C=90°，AC=8，BC=6，折叠A、B重合，则折痕相关线段长度，设未知数得到的方程，求得CD=______。 【答案】 【解析】设CD=x，AD=BD=8-x；x2+62=(8-x)2，解得x=。 14.（2026·徐州云龙期末）三角形三边9、12、15，该三角形面积等于______。 【答案】54 【解析】92+122=152，直角三角形，面积=×9×12=54。 15．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为　 　m．（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】20 【解析】如图是其侧面展开图：AD= =16（m），AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m），在Rt△ADE中，AE= （m）．故他滑行的最短距离约为20m．故答案为：20． 16．如图AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的火柴棒，其中，BC⊥CD，点A，C，E共线．若AC＝6cm，则线段CE的长度是 　 　cm． 【答案】8 【解析】作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分别为G、H，∴∠BGC＝∠DHC＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCG+∠DCH＝90°，∴∠CBG＝∠DCH，在△BCG和△CDH中，，∴△BCG≌△CDH（AAS），∴BG＝CH，∵AB＝BC，BG⊥AC，AC＝6，∴CG＝AC＝3，∴BM＝CN，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG＝， ∴CH＝4，∵CD＝DE，DH⊥CE，∴CH＝EH，∴CE＝CH+EH＝8，故答案为：8． 17．长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是　 　． 【答案】25cm 【解析】只要将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB= =25； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB= ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= ∵∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，故答案为：25cm． 18.一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD的长为 　 　． 【答案】4． 【解析】如图所示：设DE＝x，则AD＝16﹣x，根据题意得：（16﹣x+16）×4×4＝4×4×10，解得：x＝12，∴DE＝12，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝＝＝4．即：CD的长4．故答案是：4． 19．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为________. 【答案】 【解析】根据题意，画出图形，BC=5m，如下图： 设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ，在 中，由勾股定理得： ，即 解得： ，即旗杆的高为12m． 20.图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为 　 　． 【答案】 【解答】如图，过点A作AM⊥EG的延长线于点M，过点F作FR⊥GH于点R，过点B作BN⊥GH，过点F作FN∥GH，延长GH交CK于K，∵四边形AGFL、DEGH、BCHF均为正方形， ∴AG＝FG，BF＝FH＝CH，EG＝GH，∠AGF＝∠BFH＝90°＝∠AMG＝∠FRG＝∠BNF＝∠CKH， ∴∠AGM+∠FGM＝∠FGR+∠FGM，∴∠AGM＝∠FGR，∴△AGM≌△FGR（AAS），∴AM＝FR，GM＝GR，同理，△BFN≌△HFR≌△CHK（AAS），∴FR＝FN＝HK＝AM，BN＝HR，设AM＝x，BN＝y，AM＝FR＝z，则FR＝FN＝HK＝AM＝x，BN＝HR＝y，由勾股定理得：FH2＝x2+y2，FG2＝x2+z2，GH＝y+z，根据题意，得：FH2+FG2＝GH2，∴x2+z2+x2+y2＝（y+z）2，∴x2＝yz①，∵AM+GR+RH+HK＝9，BN+FR+EG＝11，∴2x+y+z＝9②，x+2y+z＝11③，②﹣③，得：x﹣y＝﹣2，即y＝x+2④，②×2﹣③，得：3x+z＝7，即z＝7﹣3x⑤，将④⑤代入①，得：x2＝（x+2）（7﹣3x），解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去），∴y＝4，z＝1，∴GH＝5，FG2＝5，FH2＝20，∴勾股定理演示教具的正面面积为：S＝25+5+20+××2＝55， ∵教具的厚度等于木盒的内高，∴盒子的空间利用率为：＝，故答案为：． 三．解答题（共60分） 21.如图，某块四边形的实验田ABCD，经测量可知∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，CD＝15米，AD＝20米． （1）判断∠D是否为直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积． 解：（1）∠D是直角， 理由：连接AC，∵∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，∴AC＝（米），∵CD＝15米，AD＝20米，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ACD为直角三角形，∠D＝90°； （2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝＝＝234． 22. （1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是 　 　； （2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点C1以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿C1→C向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？ 解：（1）如图1中，连接AC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝3， ∴AC＝＝＝．故答案为：． （2）把长方体展开，如图3中，t＝5秒时，C1P＝5，∴CP＝CC1﹣C1P＝6，∵AC＝AB+BC＝5+3＝8，∴AP＝＝＝10，∴点Q是运动速度为＝2单位/秒． 23.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B， 求：（1）旗杆的高度OM （2）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 解：（1）如图：作AE⊥OM，BF⊥OM，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE＝BF，AE＝OF 即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），∴2EO+EF＝17， 则2×EO＝10，∴OE＝5m，OF＝12m，∴OM＝OF+FM＝15m， （2）由勾股定理得OB＝OA＝ON＝13，∴MN＝15﹣13＝2（m）． 答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米， 24．【问题提出】： （1）如图1，直线AB，CD被EG所截，且AB∥CD，GF平分∠EGC，EF平分∠AEG．求∠EFG的度数． 【问题解决】： （2）如图2，某中学有一块四边形ABCD的空地，其中AD∥BC，DC⊥BC，∠ABC与∠BAD的平分线交于点P，且PA＝6m，CD＝PB＝6m，AB＝BC＝12m，且AD的长度是点P到AB距离的倍．为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该四边形空地改造成多功能区域，现要求将三角形APB区域设计成手工制作区，五边形ADCBP设计成健身区，求健身区的面积． 解：（1）∵AB∥CD，∴∠EGC＝∠BEG，∵GF平分∠EGC，EF平分∠AEG， ∴∠FEG+∠FGE＝∠AEG+∠EGC＝（∠AEG+BEG）＝＝90°， ∴∠EFG＝180°﹣（∠FEG+∠FGE）＝180°﹣90°＝90°； （2）由（1）知∠P＝90°，即△ABP是直角三角形，∴S△ABP＝＝×6×＝18（m2）∴点P到AB距离为：18×2÷12＝3（m），∵AD的长度是点P到AB距离的倍，∴AD＝3×＝9（m），∴S梯形ABCD＝（AD+BC）×CD＝×（6+12）×6＝54（m2），∴健身区的面积为54﹣18＝36（m2）， 答：健身区的面积为36m2． 25．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积； （3）求线段AM的长度． 解：（1）由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，又∵CE=DC＝4cm，∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，即CN＝3cm； (2)在Rt△DCE中，CE＝4cm，CD＝8cm，由勾股定理得DE2=CD2+CE2=82+42=80cm2， 如图，过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知AM＝DG，MG＝BC＝CD．连接DE，交MG于点I．由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+∠MIE＝90°，∵∠DIG+∠EDC＝90°，∠MIE＝∠DIG（对顶角相等），∴∠NMG＝∠EDC．在△MNG与△DEC中，，∴△MNG≌△DEC（ASA）．∴MN＝DE，∴MN2＝DE2=80cm2，∴以MN为边长的正方形的面积＝80cm2． （3）∵△MNG≌△DEC∴GN＝CE＝4cm，∴DG＝CD﹣CN﹣GN＝8﹣3﹣4＝1cm．∴AM＝DG＝1cm． 26．我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'． 【尝试解决】： （1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长． （2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG． ①求证：PE＝DF； ②求AP的长度。 解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，∵将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，∴△ADC≌△ADC'．∴CD＝C'D，∠AC'D＝∠ACD＝90°，即∠DC'B＝180°﹣∠AC'D＝180°﹣90°＝90°，AC＝AC'＝6，∴BC'＝AB﹣AC'＝10﹣6＝4，∴△DC'B为直角三角形，且∠DC'B＝90°，∴C'D2+C'B2＝DB2，即CD2+42＝（8﹣CD）2，∴CD＝3； （2）①由折叠可知△PAB≌△PEB，∴PE＝PE，∠A＝∠E＝90°，在△DPG和△EFG中，，∴△DPG≌△EFG（ASA），∴PG＝FG，∴PG+GE＝FG+GD，即PE＝DF； ②∵△PAB≌△PEB，△DPG≌△EFG，AB＝8，AD＝6，∴PE＝DF＝PA，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，∴EF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣EF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，∵∠C＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，∴AP=4.8. 27.在△ABC中，AB，BC，AC边的长分别为，，，求这个三角形的面积．晓辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长都为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)△ABC的面积为________； (2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC的三边长分别为a，2 a，a(a>0)，请利用图②中的正方形网格(每个小正方形的边长都为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积； (3)若△ABC的三边长分别为，，2 (m>0，n>0，且m≠n)，试运用构图法(自己重新设计一个符合结构特征的网格)求出这个三角形的面积． 解：（1） （2）△ABC如图①所示(字母位置不唯一)．S△ABC＝2a×4a－×a×2a－×2a×2a－×a×4a＝3a2. （3）构造△ABC如图②所示(构造方法与字母位置均不唯一)． S△ABC＝3m×4n－×m×4n－×3m×2n－×2m×2n＝12mn－2mn－3mn－2mn＝5mn. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第三章勾股定理第三节勾股定理的简单应用》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.能从生活、科技、几何情境中抽象出直角三角形模型，区分可直接求解、需构造直角三角形两类应用场景，建立勾股定理建模思维。 2.熟练结合勾股定理及其逆定理，推理线段长度、垂直关系、路径长短，掌握 “ 先判定、再计算 ” 的解题逻辑。 3.熟练运用勾股定理列方程求解未知边长，精准处理折叠、梯子、航海、立体最短路径等计算题型，提升含根式运算准确率。 4.掌握勾股定理八大经典实际模型，能解决生活测量、几何折叠、立体爬行、动静结合的综合性实际问题。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.直接利用勾股定理求解实际问题中的线段长度、高度、距离。 2.利用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形、判定垂直关系。 3.掌握基础经典模型：梯子滑动、台风影响、测距测高、折叠边长计算。 4.学会方程思想：在边长未知、存在数量关系时，设未知数利用勾股列方程解题。 （二）难点 1.无直角三角形场景：需要通过作垂线、作高构造直角三角形解题。 2.立体图形（长方体、圆柱）表面最短路径的平面展开转化思想。 3.动态变化问题（梯子滑动、船只航行）中，抓不变量建立等式。 4.复杂折叠问题中，利用折叠全等、边长相等关系，结合勾股列方程。 5.区分勾股定理与逆定理的使用场景，避免判定与计算混淆。 ) 三．知识梳理 （一）核心公式回顾 1.勾股定理（用于计算） 在Rt△中，直角边a、b，斜边c：a2+b2=c2，适用：已知直角，求边长。 2.勾股定理逆定理（用于判定） 若三角形三边长满足 a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，c边所对为直角。适用：未知直角，先证垂直。 （二）勾股定理应用题通用解题四步法 1.建模：把实际图形转化为平面几何图形，找出或构造直角三角形； 2.定边：分清直角边、斜边，梳理已知边长、未知边长； 3.列式：直接代入公式或设未知数，利用勾股定理列方程； 4.验答：边长为正数，舍去不合理负值，规范作答。 （三）八大必考经典应用模型（期中期末高频） 模型1：分段路程、折返问题 行走路线为折线，构造直角三角形求直线距离。 例1.（2026春·泰州姜堰一模改编） 测绘小组从O点出发，向南行走16km，再向东行走12km到达监测点，求监测点与出发点O之间的直线距离。 模型2：勾股逆定理实际判定 判断场地、支架、三角形结构是否垂直、是否为直角结构。 例2. （2026春·淮安清江浦二模改编） 为检测校园长方形花坛的墙角∠B是否为直角，测量人员在BA边上取点E，BC边上取点F，测得BE=9m，BF=12m，EF=15m，判断∠B是不是直角。 模型3：测量高度、深度（测高测深） 场景：大树高度、竹竿水深、建筑物高度。 核心：竖直方向与水平方向天然垂直，直接构成直角三角形，斜边为倾斜距离。 例3.九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 模型4：梯子滑动模型（动态不变量） 核心：梯子长度（斜边）始终不变。梯子底部滑动、顶部下滑，始终依托勾股定理列等式，常结合方程求解滑动距离。 例4. 如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m. (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m至点C处,那么梯子的底端B也外移0.4 m吗?请通过计算说明. (2)点P为AB的中点,小明将一根绳子的一端固定在点P处,拉直后将另一端固定在点O处.你觉得这样能防止梯子顶端下滑吗?简要说明理由. 模型5：航海、方位角问题 场景：东南、东北、南北、东西航行。 核心：正南正北、正东正西互相垂直，自动构成直角三角形，求直线距离。 例5.如图，甲船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一半小时后分别到达B、A两处，且知AB长为30海里，问乙船每小时航行多少海里？ 模型6：折叠几何模型（提优必考） 折叠：折叠前后对应边相等、对应角相等。 技巧：在折叠后的直角三角形中，设最短未知边为x，其余边长用含x代数式表示，利用勾股定理列一元一次方程求解。 例6.如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处． （1）试说明B'E＝BF； （2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． 模型7：立体图形最短路径（中考热点） 核心：立体转平面，两点之间线段最短 （1）圆柱侧面：展开为长方形，对角线为最短路径； （2）长方体表面：分三种展开方式，计算后取最小值。 例7.如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁沿圆柱侧面从点A爬到点B处吃食，蚂蚁要爬行的最短路程（ π 取3）是多少？ 模型8：台风、爆破影响范围 圆形影响区域，判断点到圆心距离与半径大小：利用勾股求最短距离，判定是否受影响。 例8.如图，有两条公路OM、ON相交成30度角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． （四）提优核心思想：方程思想 绝大多数中档、压轴应用题不能直接求出边长，必须用方程： 1.设未知线段为x； 2.根据题意用x表示出Rt△三边； 3.由勾股定理：直角边2+直角边2=斜边2列方程； 4.解方程求值。 （五）特殊提速结论 1.常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13（可直接口算，无需计算） 2.所有实际应用题，边长结果必须为正数。 3.立体最短路径，必须展开平面，曲面不能直接连线。 （六）易错分析（考试高频扣分陷阱） 1.乱用勾股定理，非直角三角形直接套用 【误区】：任意三角形都用a2+b2=c2 【纠正】：只有直角三角形可用，无直角必须先构造高、作垂线。 2.斜边、直角边判断颠倒（最致命错误） 【误区】：短边平方+长边平方=中边平方 【纠正】：最大边一定是斜边，永远是「两短边平方和=最长边平方」。 3.立体最短路径不展开，直接在曲面连线 【误区】：圆柱、长方体表面直接连曲线 【纠正】：立体图形最短路径必须平面展开，用平面线段求解。 4.动态模型找不准不变量 【误区】：梯子滑动后乱代数据，忽略梯子长度不变 【纠正】：梯子、绳长、斜拉长度斜边恒定不变，是列方程关键。 5.折叠问题不会设元、不会转化边长 【误区】：看不出折叠相等边，无法列方程 【纠正】：折叠题必有相等边，优先把隐藏相等边长转化为代数式。 6.逆定理使用混乱 【误区】：已知直角去用逆定理证明 【纠正】：（1）已知直角→用勾股定理求边长 （2）未知直角→用逆定理判直角 7.忽略实际意义，保留负数解 解方程出现负数边长，不舍去、直接作答，全部扣分。 8.方位角问题找错垂直关系 分不清东南、东北夹角，无法构造标准直角三角形，导致列式错误。 9.计算平方、根式化简出错 常见：52=10、平方和算错、开方不化简，基础运算失分。 10.不画图、不建模 复杂文字题不画图，凭想象找边长关系，极易找错边、找错直角。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025秋·盐城亭湖期末）台风后一棵大树在距离地面5m处折断，树顶落地点距离树根水平12m，则折断部分树干长度为（ ） A.11m B.12m C.13m D.14m 2.（2026春·苏州姑苏月考）一架长10m的梯子斜靠竖直墙面，梯子底部距离墙6m，梯子顶端离地高度是（ ） A.6m B.7m C.8m D.9m 3.（2025秋·泰州姜堰期中）甲从观测点向正北走8km，乙同时从观测点向正东走6km，两人直线距离为（ ） A.10km B.11km C.12km D.14km 4.（2025秋·宿迁宿豫月考）长方形纸片长8，宽6，将纸片折叠，使顶点重合，利用勾股计算，折叠形成直角三角形的斜边为（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 5．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面高度为x尺，则列方程为（　　） A．x2−3＝（10−x）2 B．x2−32＝（10−x）2 C．x2+3＝（10−x）2 D．x2+32＝（10−x）2 6．如图在离地面高度3m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（　） A．6 m B． m C．2m D．3m 7．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（　 ） A．3米 B．5米 C．7米 D．9米 8.如图，AB为某河流的宽，为了估测河流的宽，在笔直的河岸上依此取点C，E，B，F，使DE⊥CF，且DA∥CF，测得CE＝2米，EB＝4米，BF＝7米，且∠C＝∠FDC，则AB的长为（　　）米． A． B．6.9 C．4 D．7 9．如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB＝∠CBD＝90°，AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm，则CD长为（　　）cm． A．5 B．13 C． D．15 10．如图一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A．5≤a≤6 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2 二．填空题（共30分） 11.（2025秋·盐城大丰期末）水池中有芦苇，水面以上芦苇高1m，拉到岸边，水平距离3m刚好碰到水面，则水深为______m。 12.（2026·镇江京口月考）长25m云梯，底端离墙7m，云梯顶端距离地面高度为______m。 13.（2025秋·无锡梁溪期中）一艘船向东北航行8km，另一船向东南航行6km，两船相距______km。 14.（2025秋·淮安淮阴期中）三角形支架三边6、8、10，最长边上的高等于______。 15．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．这根芦苇的长度是 　 　尺． 16．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为_____. 17.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿　　　　方向航行。 18.如图直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和1 ，则的面积为______ 19．如图，是一个有盖的盒子，长宽高如图中标注，若在盒中放一根细棒，则细棒的最大长度是 　 　． 20、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行_________. 三．解答题（共60分） 21.如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线DE与AB，AC分别交于点D，E，且CB2＝AE2－CE2. (1) 求证：∠C＝90°； (2) 若AC＝4，BC＝3，求CE的长． 22.如图，四边形ABCD是公园中的一块空地，∠B＝90°，AB＝6 m，BC＝8 m，CD＝24 m，AD＝26 m． (1) 连接AC，判断△ACD的形状并说明理由； (2) 为美化公园环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？ 23．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 24．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 25．如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 26.（2024南通海门期末）满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． (1) 请把下列三组勾股数补充完整： ①　　　　，8，10；②5，　　　　，13；③8，15，　　　　； (2) 小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn（m，n均为正整数），那么另外两个数可以写成m2＋n2，m2－n2，如4＝2×2×1，5＝22＋12，3＝22－12.请你帮小敏证明这三个数2mn，m2＋n2，m2－n2是勾股数； (3) 如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数，求m＋n的值． 27．如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·盐城盐都二模）矩形纸片ABCD，AB=8，AD=10，折叠使D落在BC边上F处，则BF长（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 2.（2025秋·苏州工业园区期末）爆破点C，△ABC中∠C=90°，AC=8m，BC=6m，C到AB的距离为（ ） A.4.8m B.5m C.6m D.7.2m 3.（2026·镇江润州月考）圆柱高8cm，底面周长30cm，蚂蚁从底面一点爬到上底正对侧面点，最短路径长（ ） A.15cm B.17cm C.18cm D.20cm 4.（2026·南通海门一模）台风中心沿直线移动，村庄A到台风路径的垂直距离9km，台风影响半径15km，则A到台风中心初始交点距离为（ ） A.10km B.12km C.14km D.16km 5．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 6.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为(　　) A.2.2米　　　　B.2.3米　　　　C.2.4米　　　　D.2.5米 7．如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（　　） A．10km B．15km C．20km D．25km 8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A．m B．m C．6m D．m 9．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 10.福州以著名的坊巷文化而闻名，美丽的三牧坊宽不足4米，长不到240米，从卫前街进入三牧坊，走不到百米，便能看到一所百年学府——福州一中，它是众多福州人的记忆所在．位于三牧坊内的福州一中的侧门保留了中国古代典型的双开木门结构，如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为0.08米，点C和点D到门槛AB的距离都为0.28米，则AB的长是（　　） A．1.8米 B．2米 C．2.2米 D．2.4米 二．填空题（共30分） 11.（2026·盐城大丰二模）小明从营地先向东走9m，再向北走12m，再向西走4m，此时离营地直线距离______m。 12.（2025秋·泰州海陵期末）长方体长5，宽4，高3，蚂蚁在表面爬行，两点最短距离的平方等于______。 13.（2025秋·南京鼓楼期中）折叠直角三角形纸片，∠C=90°，AC=8，BC=6，折叠A、B重合，则折痕相关线段长度，设未知数得到的方程，求得CD=______。 14.（2026·徐州云龙期末）三角形三边9、12、15，该三角形面积等于______。 15．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为　 　m．（边缘部分的厚度忽略不计） 16．如图AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的火柴棒，其中，BC⊥CD，点A，C，E共线．若AC＝6cm，则线段CE的长度是 　 　cm． 17．长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是　 　． 18.一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD的长为 　 　． 19．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为________. 20.图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为 　 　． 三．解答题（共60分） 21.如图，某块四边形的实验田ABCD，经测量可知∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，CD＝15米，AD＝20米． （1）判断∠D是否为直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积． 22. （1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是 　 　； （2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点C1以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿C1→C向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？ 23.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B， 求：（1）旗杆的高度OM （2）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 24．【问题提出】： （1）如图1，直线AB，CD被EG所截，且AB∥CD，GF平分∠EGC，EF平分∠AEG．求∠EFG的度数． 【问题解决】： （2）如图2，某中学有一块四边形ABCD的空地，其中AD∥BC，DC⊥BC，∠ABC与∠BAD的平分线交于点P，且PA＝6m，CD＝PB＝6m，AB＝BC＝12m，且AD的长度是点P到AB距离的倍．为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该四边形空地改造成多功能区域，现要求将三角形APB区域设计成手工制作区，五边形ADCBP设计成健身区，求健身区的面积． 25．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积； （3）求线段AM的长度． 26．我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'． 【尝试解决】： （1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长． （2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG． ①求证：PE＝DF； ②求AP的长度。 27.在△ABC中，AB，BC，AC边的长分别为，，，求这个三角形的面积．晓辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长都为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)△ABC的面积为________； (2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC的三边长分别为a，2 a，a(a>0)，请利用图②中的正方形网格(每个小正方形的边长都为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积； (3)若△ABC的三边长分别为，，2 (m>0，n>0，且m≠n)，试运用构图法(自己重新设计一个符合结构特征的网格)求出这个三角形的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $