精品解析：甘肃省天水市第一中学秦州分校2026-2027学年高二上第一次阶段考试数学试卷（10月8日）

天水一中秦州分校 2026-2027 学年上学期第一次阶段考试 高二数学 第Ⅰ部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填在答题纸上) 1. 已知直线的倾斜角为，方向向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 等比数列中，，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，且，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 5. 已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 在数列中，，且，则数列的前2025项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.) 9. 直线过点与，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最大 11. 已知数列满足，数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前2026项和为 第Ⅱ部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填写在答题纸上) 12. 已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 13. 已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 14. 设函数，则__________． 四、解答题：(本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若，，求a1和公比q. 16. 已知数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知等差数列 的前 项和为 ，，． （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 18. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 19. 已知数列的满足. （1）求数列的通项公式. （2）设数列前项和为，求. （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中秦州分校 2026-2027 学年上学期第一次阶段考试 高二数学 第Ⅰ部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填在答题纸上) 1. 已知直线的倾斜角为，方向向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率建立方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，故. 故选：B. 2. 等比数列中，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 3. 等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列通项公式可得，结合等差数列前n项和公式判断各项是否为常数. 【详解】若等差数列公差为，则为常数， 所以为常数， 而，，均不确定为常数. 故选：C 4. 已知数列满足，且，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算可得，故数列是以周期为6的周期数列，借助周期性计算即可得. 【详解】因为，所以 ， 故数列是以周期为6的周期数列， 而2025除以6余3，故. 故选：B. 5. 已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等差数列中 ，把“项之比”化成“和之比”． 【详解】，， 所以 ． 6. 已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】解：由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 7. 已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件作图并求出直线的定点，然后分别求出直线和直线的斜率，结合图像求解即可. 【详解】由直线：可知直线必过定点，且直线的斜率为，如下图所示： 由斜率公式可知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 若与线段相交，只需要或， 故实数a的取值范围是或. 故选：D. 8. 在数列中，，且，则数列的前2025项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把变形成，利用累加法求数列的通项公式，再用裂项求和法求数列的前项和，把代入即可. 【详解】由，可得， 所以， ， … . 以上各式相加得：， 所以， 而也符合该式，故. 则. 设的前项和为，则， 从而. 故选：B 二、多选题：(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.) 9. 直线过点与，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程的五种形式分别判断各选项. 【详解】由直线过点与， 则直线的斜率， 则直线方程的点斜式为，C选项正确； 其一般式为，即，A选项正确； 截距式为，B选项错误； 斜截式为，D选项错误； 故选：AC. 10. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，根据等差数列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 由于，所以，，， 所以A，D选项错误，B选项正确. 因为，故C选项正确. 故选：BC. 11. 已知数列满足，数列的前项和为，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前2026项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，用递推公式求解； B选项，利用A选项求解； C选项，利用等差数列前项和公式求解； D选项，用裂项相消法求解. 【详解】A选项， ①， 时， ②， 得：，即：（）， 又 ，故 对一切成立，所以，所以A 选项正确； B选项，由A选项解析得：是首项为2，公差为1的等差数列，所以B选项正确； C选项，由等差数列前项和公式得：，得，，，而 ，所以C 选项错误； D选项，，前 2026 项和为 ，所以D 选项正确． 第Ⅱ部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填写在答题纸上) 12. 已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据两点斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知，解之得. 故答案为： 13. 已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和公式计算. 【详解】等比数列的前项和，所以常数项与的系数互为相反数，又因为，所以． 验证：时，，，，确为等比数列，所以. 14. 设函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知解析式得、，进而求目标式的值即可. 【详解】由，且， 所以 . 故答案为： 四、解答题：(本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若，，求a1和公比q. 【答案】（1）6；（2）或 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式以及求和公式列关于首项与项数的方程组，解方程组可得结果（2）先根据等比数列通项公式以及求和公式列关于首项与公比的方程组，解方程组可得结果，注意对等比数列求和公式的讨论 试题解析：(1)由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得 ∴a1·2n＝192，∴2n＝， ∴189＝a1(2n－1)＝a1，∴a1＝3. 又∵2n－1＝＝32，∴n＝6. (2)①当q≠1时，S3＝＝， 又a3＝a1·q2＝，∴a1(1＋q＋q2)＝， 即 (1＋q＋q2)＝， 解得q＝－ (q＝1舍去)，∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝. 综上得或 16. 已知数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三项成等比列式计算得出，再结合计算求出通项公式； （2）结合（1）应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 由成等比数列，得，所以． 当时，，而满足上式， 所以的通项公式是． 【小问2详解】 由（1）知， 则 则 17. 已知等差数列 的前 项和为 ，，． （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 求公差，再由基本量法可得； （2）由分组求和（等差数列＋等比数列）可得. 【小问1详解】 由 得 ， 设公差为 ，则 ，解得 ， 所以 ． 【小问2详解】 由 (1) 得 ， 而 的前 项和为 ， 所以 ． 18. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】（1）证明：由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 19. 已知数列的满足. （1）求数列的通项公式. （2）设数列前项和为，求. （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3） ， 当时，， 当时，， 当时， . 【解析】 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由错位相减法和等比数列求和公式即可求解； （3）分三种情况证明即可，注意到，由此即可顺利得证. 【小问1详解】 ， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由题意， 从而 ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $