精品解析：甘肃省天水市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

天水一中高二级2025-2026学年度第一学期第一学段中考试数学试题 （满分：150分时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知等比数列，则（ ） A. 14 B. 32 C. 16 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【详解】由题意可知. 故选：B 2. 过点，且法向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的点法式方程即可得出正确答案. 【详解】由直线的点法式方程可得所求直线方程为：， 即. 故选：A. 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知数列是一个公差为，首项为的等差数列，再等差数列算得前项和. 【详解】由，得， 所以故数列是一个公差为，首项为的等差数列. ，. 故选：A 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 5. 已知数列中，且，则（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到数列是周期为的数列，结合，即可求解. 【详解】由题意知，数列满足且， 则， 所以数列是周期为的数列，则. 故选：A. 6. 已知是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设先求出等比数列的公比，再结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由，，则， 因为是等比数列，所以公比为， 则. 故选：C. 7. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 8. 记数列的前n项和为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标作差得出数列从第项起为等比数列，再利用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】因，则当时，， 两式作差得，即， 因，，则，不满足， 则数列从第项起为等比数列，则， . 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中.有多选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.） 9. 已知直线的方程为，则下列选项正确的有（ ） A. 的斜率为 B. 的一个方向向量为 C. 在轴上的截距为5 D. 在轴上的截距为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】化直线的方程为斜截式方程，结合直线的斜率与直线方向向量的关系，即可判断A、B、C，令，解出即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，即， 所以直线的斜率为，A正确； 对于B，根据直线的斜率，可以确定为直线的一个方向向量，B正确； 对于C，根据直线的斜截式方程，可知在轴上的截距为5，C正确； 对于D，令，解得，所以在轴上的截距为，D错误. 故选：ABC 10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是公差为2的等差数列 C. D. 数列是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意计算出，求出通项及前项和，再依次判断选项即可. 【详解】由题意可得：，解得或, 因为等比数列的公比为整数，所以，所以等比数列的通项公式为：.故A正确； 选项B:因为, 所以,且当时，,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以选项B错误； 选项C:因为所以等比数列的其前项和所以所以选项C正确. 选项D:由选项C得,所以且当时，,所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.所以选项D正确. 故选：ACD 11. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式和前项和公式，结合等差数列下标性质逐一判断即可. 【详解】A：因为数列是等差数列， 所以，因此本选项正确； B：因为数列是等差数列， 所以由，而， 所以，因此本选项正确； C：由上可知：，且，设等差数列公差为，所以， 而且从首项到第六项均为负，从第七项起，均为正数，因此前六项和最小，故，因此本选项不正确； D：由上可知首项到第六项均为负，从第七项起，均为正数，且， 可得，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等比数列，若分别是方程的两个根，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数关系及等比数列性质可得，再由等比数列性质可知奇数项同号，得． 【详解】因为分别是方程的两个根，则，所以， 又因为， 再由，知同号，又因为，所以,故. 故答案为： 13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= ____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质计算即可. 【详解】由题意得 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知、为直线上两点，直线． （1）求直线的方程； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）两点式求斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据直线垂直的判定列方程求参数. 【小问1详解】 由题设，则， 故； 【小问2详解】 由，则， 可得. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 所以. 17. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 18. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 因为， 所以. 19. 已知数列的前项和为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. （1）求，； （2）当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 由，正项等比数列的首项为1， 当公比时，，，不满足； 当公比，且时，，解得，此时. 综上所述，. 【小问2详解】 由，，则， 即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 而，则，此时取得最小值， 由于，即， 则实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中高二级2025-2026学年度第一学期第一学段中考试数学试题 （满分：150分时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知等比数列，则（ ） A. 14 B. 32 C. 16 D. 54 2. 过点，且法向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 5. 已知数列中，且，则（    ） A. B. 2 C. D. 6. 已知是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 记数列的前n项和为，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中.有多选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.） 9. 已知直线的方程为，则下列选项正确的有（ ） A. 的斜率为 B. 的一个方向向量为 C. 在轴上的截距为5 D. 在轴上的截距为5 10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是公差为2的等差数列 C. D. 数列是等比数列 11. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等比数列，若分别是方程的两个根，则___________. 13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 14. 设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= ____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知、为直线上两点，直线． （1）求直线的方程； （2）若，求实数的值． 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 17. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 18. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知数列的前项和为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. （1）求，； （2）当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $