四川泸州市泸县二中实验学校2026-2027学年高二上学期第一次学月考试数学试题

泸县二中实验学校高2028届2026年秋期第一次学月考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷 （选择题 共58分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（     ） A．20 B．30 C．35 D．40 2．某家庭去年一年的各种费用的占比如图1所示，已知去年一年“衣食住”的费用分别如图2所示，则该家庭去年一年教育费用为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 3．在四面体ABCD中，E是CD的中点，G是BE靠近点B的三等分点，则＝（    ） A． B． C． D． 4．在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（   ） A．或 B．或与相交 C．或与相交 D．或或与相交 5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为4，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． B． C． D． 8．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为　　 A． B． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（     ） A． B． C． D． 10．新能源汽车具有环保、效率高、使用成本低等优点，国家对新能源汽车提供了多种政策支持．有7种新能源汽车在2024年12月的销售量（单位：千辆）如下：31，6，12，19，17，16，11，则该组数据的（   ） A．极差为27 B．75%分位数为19 C．平均数为16 D．中位数为16 11．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（   ） A．不存在点，使得直线与所成的角为 B．存在点，使得平面平面 C．三棱锥的体积为 D．存在点，使得直线平面 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： (1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． (2)本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，向量，若，则__________． 13．某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，按男、女生比例进行分层随机抽样，样本量为50，进行身高测量，男生样本的身高平均数为170厘米，女生样本的身高平均数为160厘米，则可估计该校高一年级学生的平均身高为__________厘米. 14．如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________． 4、 解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； 16．年月日是第个世界环境日，某高校学生会在这一天随机抽取了名大学生，进行环保知识比赛．比赛以考试的形式进行，满分为分，考后搜集所有参赛大学生的比赛分数，将所得数据分为、、、、、六组，绘制得到如图所示的频率分布直方图．已知这名大学生中只有人获得满分，得满分者获得一等奖，得分不低于分且未获得满分者获得二等奖． (1) 求的值； (2) 求获得二等奖的人数； (3)按比例用分层随机抽样的方式从比赛分数在、、 内的大学生中抽取人，试问应抽取比赛分数在 内的大学生多少人？ 17．如图，在长方体中，是AB的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 18．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若点在上，平分，，，求的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围. 19．如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 泸县二中实验学校高2028届2026年秋期第一次学月考试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D D B A A BC BCD 题号 11 答案 BCD 1．B【详解】由分层抽样的等比例性质，应抽取高一年级的人数为人. 2．C【详解】该家庭去年一年衣、食、住的开支和为（万元）， 所以，该家庭去年一年的总开支为（万元）， 结合饼图可知，该家庭去年一年教育费用为（万元）. 3．C【详解】在四面体ABCD中，E是CD的中点，G是BE的靠近点B的三等分点，则 故选：C. 4．D【详解】由直线是异面直线，且直线平行于平面， 根据直线与平面的位置关系，可得直线与平面可能平行，相交或在平面内. 5．D【详解】已知空间向量，， 向量在向量上的投影向量为： 6．B【详解】圆台的表面积. 7．A【详解】在中，， 由正弦定理， 得. 在中，，， 所以. 8．A 【详解】 如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则0，，， 平面ABC的一个法向量为0， 设直线PN与平面ABC所成的角为 ， 当时，，此时角最大． 9．BC【详解】对于A项，，故A错误； 对于B项， 由于，所以，故B正确； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，故D错误. 10．BCD【详解】对于A，该组数据的极差为，A错误. 对于B，该组数据由小到大排列为：，由， 所以该组数据的第75百分位数为，B正确； 对于C，该组数据的平均数，C正确； 对于D，该组数据由小到大排列为：，中位数为16，D正确； 11．BCD【详解】对于A：当点为线段上靠近的四等分点时， 如图，连接,过点作，交于， 则,又正方体中，， 所以，则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故A错误； 对于B，当点为中点时，有，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 且，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C：三棱锥的体积， 故C正确； 对于D：当点为中点时，有，又， 所以平面即平面， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确. 12．4【详解】，，， ，即， 解得． 13．【详解】按男、女生比例进行分层随机抽样，男生抽30人，女生抽20人， 样本的平均身高为厘米. 所以估计该校高一年级学生的平均身高为166厘米. 14．【详解】在图1的中： 由​，，可得， 即是等腰直角三角形， 又因为是中点，因此，且. 因为翻折后长度不变：，仍满足，. 因为，即，结合，， 可知、、三条线段两两垂直，长度均为. 因此可将三棱锥补形成一个棱长为的正方体， 该正方体的外接球与三棱锥的外接球完全相同，如图： 正方体的体对角线就是外接球的直径： ​，得外接球半径. 由球体积公式， 因此三棱锥外接球的体积为. 15．【详解】（1）因为，， 所以，. （2），， ，所以与的夹角为； 16．【详解】（1）因为在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 由题意可知，解得． （2）因为分数在内的人数为， 所以获得二等奖的人数为． （3）由频率分布直方图知，比赛分数在内的大学生人数与比赛分数在、 、内的大学生人数之比为． 因为从比赛分数在、、内的大学生中抽取人， 所以应抽取比赛分数在内的大学生人． 17．(1)建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； （2）由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 18．【详解】（1）依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以，则，即， 即，所以． 又，则，所以； （2）在中，根据余弦定理，得， 即，解得或（舍去）， 依题意，，即， 化简得，则，所以； （3）依题意，的面积，所以． 又为锐角三角形，且，则，所以． 又，则，所以．由正弦定理，得， 所以，所以，即， 所以a的取值范围为． 19．(1)证明：因，且，则四边形是平行四边形.， 则，又四边形为等腰梯形，则， 结合可得是等边三角形.又为中点，则； 如图连接，注意到，，则四边形是平行四边形. 结合是等边三角形，可得四边形是菱形， 则是等边三角形，又为中点，则. 因为平面，，所以； （2）因平面平面，平面平面， 平面，，则平面. 又由（1）可得，则如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则. 则. 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则； （3）假设存在满足条件的点，设，则. 又，得，则. 又由题可得，结合， 为的中点，可得. 则，设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 要使平面，则，又， 则.故在侧棱上存在点，使得平面，且. 学科网（北京）股份有限公司 $