专题04 有理数的乘方及混合运算 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题04有理数的乘方及混合运算期中复习讲义 ✵复习目标 理解有理数乘方的意义，掌握幂、底数、指数等相关概念，能准确进行有理数乘方运算，清晰辨析(−a)ⁿ与−aⁿ的区别。 熟练掌握科学记数法的规范形式，能够将大数用科学记数法表示，也能还原科学记数法对应的原数。 牢记有理数混合运算的运算顺序，规范书写解题步骤，能够灵活选用运算律简化运算，提高运算准确率。 了解近似数、准确数的概念，会判断近似数的精确度；掌握乘方与非负数性质结合题型的解题思路，形成 “先定符号、再算绝对值、最后检验” 的习惯。 ✵高频题型梳理 题型1.有理数幂的概念理解、乘方运算 题型2.乘方运算的符号规律 题型3.有理数乘方逆运算、乘方的应用 题型4.科学记数法表示绝对值大于1的数 题型5.将科学记数法表示的数还原成原数 题型6.求一个数的近似数、近似数的精确度 题型7.含乘方的有理数混合运算 题型8.程序流程图与有理数计算 题型9.近似数推断取值范围 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、有理数的乘方 1.求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，结果称为幂，记作an，a为底数，n为指数，读作a的n次方或a的n次幂。 规定：一个数的一次方，指数 1 省略不写。 2.乘方的运算：乘方运算转化为乘法进行：先确定符号，再计算绝对值。 符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是 0。 特殊幂：1ⁿ＝1；(−1)ⁿ 中，n 为奇数时等于−1，n 为偶数时等于 1。 底数为分数时须加括号，如 (−)²＝。 3. (−a)ⁿ与 −aⁿ的区别 (−a)ⁿ 表示n个 (−a) 相乘，如 (−2)⁴＝16；−aⁿ 表示aⁿ的相反数，如 −2⁴＝−16。底数为负数或分数时，须用括号括起来再乘方。 知识点二、科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（1≤a<10，n 为正整数），这种记数法叫做科学记数法。负数可类似表示，如 −6500000＝−6.5×10⁶；还原时把 a 的小数点向右移动 n 位。 知识点三、有理数的混合运算 1.运算顺序 ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号时，先算括号里面的，按小、中、大括号依次进行； ③同级运算，从左到右依次进行。 2.运算律的运用 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律在有理数范围内仍然成立，可用于简化计算。 3.常用运算技巧 ①先确定符号，再计算绝对值； ②乘除混合运算先统一为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数），再确定符号、约分； ③运用运算律凑整：互为倒数、互为相反数或能凑成整十、整百的数先结合； ④灵活运用分配律 a (b＋c)＝ab＋ac（正用、逆用）。 知识点四、近似数 1.准确数与近似数 准确数：与实际数量完全相符的数，一般由计数或设定得到，没有误差， 如"某班有50名学生"。 近似数：与实际数值接近但不完全相等的数，一般由测量或估算得到，常带"约、大约"等字样。 如"身高 1.65 m"。判断方法：看该数是否与实际情况完全相符，与数的大小无关。 2.精确度与四舍五入 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 常见要求：精确到个位（保留整数）、精确到十分位（0.1）、精确到百分位（0.01）等。 取近似值方法：看精确位的后一位，满5进1，不满5舍去。大数精确到十位、百位、千位时，结果用科学记数法书写，如40353精确到百位约为4.04×10⁴。 ✵易错提醒 1.分清(−a)ⁿ与−aⁿ：(−a)ⁿ底数是-a，−aⁿ底数是a；负数、分数乘方，一定要加括号。 2.注意-14≠ (-1)4，-14的底数是1，不是-1。 3.混合运算严格遵循顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左往右计算；使用分配律时防止漏乘、符号出错。 4.科学记数法中a满足1≤a<10，还原原数时小数点向右移动n位。 5.近似数精确到哪一位，要看四舍五入到哪一位；大数取精确度一般写成科学记数法。 ✵典例精讲 题型1.有理数幂的概念理解及乘方运算 1．表示的意义是（     ） A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘 C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘 2．_______；_______；的底数是_______，指数是______． 3．小明有张写着不同数的卡片，请按要求选取卡片，回答下列各问题（不需要写理由）： (1)从中选取张卡片，使这张卡片上的数的乘积最小，应如何选取？最小乘积是多少？ (2)从中选取张卡片，用这张卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方中的一种运算，结果最大是多少？写出结果最大时的算式． 题型2.乘方运算的符号规律 1．平方等于它的立方的数是（     ）． A．0，1 B．0， C． D．0， 2．若，则______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3.有理数乘方逆运算、乘方的应用 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．若，则________． 3．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂3次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求2小时后的数量是1小时后的多少倍？ 题型4.科学记数法表示绝对值大于1的数 1．光在真空中的速度约为 300000000 米/秒，把它写成 （，n为整数）的形式是（     ） A． B． C． D． 2．太阳的半径约为 696000 千米，写成 （）形式是__________千米． 3．已知光在真空中的传播速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多少米？（结果请用科学记数法表示） 题型5.将科学记数法表示的数还原成原数 1．一个数用科学记数法表示为，则这个数是（     ） A． B． C． D． 2．山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 3．下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 题型6.求一个数的近似数、近似数的精确度 1．吸烟不仅有害健康而且花钱．如果一位吸烟者每天吸一包元的香烟，那么他每年花在吸烟上的钱大约要（   ）元 A． B． C． D． 2．请把四舍五入精确到是________． 3．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： （1）___（精确到百分位）； （2）___（精确到）． （3）近似数精确到___位，有___个有效数字． （4）所有绝对值小于4的整数的积是___，和是___． 题型7.含乘方的有理数混合运算 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．现规定一种新的运算：，则_________． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8.程序流程图与有理数计算 1．按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（     ） A．6 B．26 C．106 D．426 2．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是________． 3．如图，这是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为6，求输出的结果； (2)若输入x的值为4，输出的结果为，则输入y的值为______． 题型9.近似数推断取值范围 1．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A．B．C． D． 2．规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则的值是_______． 3．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ ✵分层专项训练 一、单选题 1．盐城拥有江苏省最长的海岸线，全长582000米，数据582000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，相等的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 4．下列关于亿的说法正确的是（     ） A．亿是精确到亿位 B．亿是精确到十亿位 C．亿用科学记数法表示为，则， D．亿用科学记数法表示为，则， 二、填空题 5．已知是一个正整数，那么__________． 6．用四舍五入法对下列各数取近似数： （精确到）________；（精确到百分位）________． 7．下列说法： ①正整数和负整数统称为整数；②若满足，则；③倒数等于它本身的数只有；④的底数为；⑤若，则或．其中一定正确的是_____．（只需填写序号） 8．现有四个有理数3，4，，10，将这4个数（每个数要用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，例如：；请你写出不同的算式____________． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 10．把一张厚度为0.1毫米的长方形纸对折，每对折一次，纸的厚度就变为原来的2倍，如图所示． (1)对折6次后，纸的厚度是多少毫米？（先列出乘方算式，再写出结果） (2)对折10次后，纸的厚度是多少厘米？ (3)有人说“一张纸对折20次后，它的厚度会超过100米”，你认为这可能吗？请结合计算与生活经验说明理由． 11．数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： (1)填空：_________，________； (2)计算：； (3)若，求的值． 12．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入两个数时，则两次输出的结果分别是_________、_________； (2)你认为当输入_________数时（写出两个即可），其输出结果是0 (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出_________数 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的乘方及混合运算期中复习讲义 ✵复习目标 理解有理数乘方的意义，掌握幂、底数、指数等相关概念，能准确进行有理数乘方运算，清晰辨析(−a)ⁿ与−aⁿ的区别。 熟练掌握科学记数法的规范形式，能够将大数用科学记数法表示，也能还原科学记数法对应的原数。 牢记有理数混合运算的运算顺序，规范书写解题步骤，能够灵活选用运算律简化运算，提高运算准确率。 了解近似数、准确数的概念，会判断近似数的精确度；掌握乘方与非负数性质结合题型的解题思路，形成 “先定符号、再算绝对值、最后检验” 的习惯。 ✵高频题型梳理 题型1.有理数幂的概念理解、乘方运算 题型2.乘方运算的符号规律 题型3.有理数乘方逆运算、乘方的应用 题型4.科学记数法表示绝对值大于1的数 题型5.将科学记数法表示的数还原成原数 题型6.求一个数的近似数、近似数的精确度 题型7.含乘方的有理数混合运算 题型8.程序流程图与有理数计算 题型9.近似数推断取值范围 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、有理数的乘方 1.求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，结果称为幂，记作an，a为底数，n为指数，读作a的n次方或a的n次幂。 规定：一个数的一次方，指数 1 省略不写。 2.乘方的运算：乘方运算转化为乘法进行：先确定符号，再计算绝对值。 符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是 0。 特殊幂：1ⁿ＝1；(−1)ⁿ 中，n 为奇数时等于−1，n 为偶数时等于 1。 底数为分数时须加括号，如 (−)²＝。 3. (−a)ⁿ 与 −aⁿ 的区别 (−a)ⁿ 表示n个 (−a) 相乘，如 (−2)⁴＝16；−aⁿ 表示aⁿ的相反数，如 −2⁴＝−16。底数为负数或分数时，须用括号括起来再乘方。 知识点二、科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（1≤a<10，n 为正整数），这种记数法叫做科学记数法。负数可类似表示，如 −6500000＝−6.5×10⁶；还原时把 a 的小数点向右移动 n 位。 知识点三、有理数的混合运算 1.运算顺序 ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号时，先算括号里面的，按小、中、大括号依次进行； ③同级运算，从左到右依次进行。 2.运算律的运用 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律在有理数范围内仍然成立，可用于简化计算。 3.常用运算技巧 ①先确定符号，再计算绝对值； ②乘除混合运算先统一为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数），再确定符号、约分； ③运用运算律凑整：互为倒数、互为相反数或能凑成整十、整百的数先结合； ④灵活运用分配律 a (b＋c)＝ab＋ac（正用、逆用）。 知识点四、近似数 1.准确数与近似数 准确数：与实际数量完全相符的数，一般由计数或设定得到，没有误差， 如"某班有50名学生"。 近似数：与实际数值接近但不完全相等的数，一般由测量或估算得到，常带"约、大约"等字样。 如"身高 1.65 m"。判断方法：看该数是否与实际情况完全相符，与数的大小无关。 2.精确度与四舍五入 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 常见要求：精确到个位（保留整数）、精确到十分位（0.1）、精确到百分位（0.01）等。 取近似值方法：看精确位的后一位，满5进1，不满5舍去。大数精确到十位、百位、千位时，结果用科学记数法书写，如40353精确到百位约为4.04×10⁴。 ✵易错提醒 1.分清(−a)ⁿ与−aⁿ：(−a)ⁿ底数是-a，−aⁿ底数是a；负数、分数乘方，一定要加括号。 2.注意-14≠ (-1)4，-14的底数是1，不是-1。 3.混合运算严格遵循顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左往右计算；使用分配律时防止漏乘、符号出错。 4.科学记数法中a满足1≤a<10，还原原数时小数点向右移动n位。 5.近似数精确到哪一位，要看四舍五入到哪一位；大数取精确度一般写成科学记数法。 ✵典例精讲 题型1.有理数幂的概念理解及乘方运算 1．表示的意义是（     ） A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘 C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方定义进行判断即可． 【详解】解：的底数是，指数是，表示6个相乘． 2．_______；_______；的底数是_______，指数是______． 【答案】 【分析】乘方是几个相同数的乘积的运算，相同的因数是底数，因数的个数叫指数． 【详解】解：； ； 表示个相乘，所以底数是，指数是． 3．小明有张写着不同数的卡片，请按要求选取卡片，回答下列各问题（不需要写理由）： (1)从中选取张卡片，使这张卡片上的数的乘积最小，应如何选取？最小乘积是多少？ (2)从中选取张卡片，用这张卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方中的一种运算，结果最大是多少？写出结果最大时的算式． 【答案】(1)应选取，，乘积为 (2)， 【分析】（1）因为要选2张卡片乘积最小，乘积最小为负数且绝对值最大，所以先找符号为异号、绝对值最大的两个数，根据有理数乘法法则计算乘积． （2）因为要选2张卡片做一种运算使结果最大，所以分别枚举加、减、乘、除、乘方运算下的所有可能结果，比较后取最大值，列出对应算式． 【详解】（1）解：∵这张卡片上的数的乘积最小， ∴这两个数异号且绝对值最大， ∵，，，，， ∴应选取，，乘积为； （2）解：要使张卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方中的一种运算，结果最大， ∴应进行乘方运算，指数可以是或． 当指数为时，底数应为最大的正数，即， 当指数为时，底数应为绝对值最大的数，即， ∴结果最大是625，． 题型2.乘方运算的符号规律 1．平方等于它的立方的数是（     ）． A．0，1 B．0， C． D．0， 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ 0满足条件. ∵，， ∴1满足条件. ∵，， ∴不满足条件. 2．若，则______． 【答案】 / 【分析】利用绝对值和平方数的非负性求出和的值，再代入计算． 【详解】解：由题意得，，，且， ∴， 解得，， ∴． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型3.有理数乘方逆运算、乘方的应用 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．若，则________． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 3．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂3次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求2小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1)8 (2)32000 (3)32倍 【分析】（1）利用细菌分裂每次数量翻倍的规律，计算即可． （2）先计算1小时内的分裂次数，再用初始数量乘的对应次方． （3）通过两小时与1小时的分裂次数差，计算的次数差次方得到倍数． 【详解】（1）解：∵ 1个细菌每次分裂为2个，共分裂3次． ∴ 分裂后数量为（个）． （2）解：∵ 1小时分钟，细菌每12分钟分裂1次． ∴ 1小时内分裂次数为（次）． ∵ 初始有1000个细菌． ∴ 1小时后细菌数量为（个）． （3）解：∵ 2小时分钟． ∴ 2小时内分裂次数为（次）． 2小时后细菌数量为个，1小时后为个． ∴ 倍数为． 答：2小时后的数量是1小时后的32倍． 题型4.科学记数法表示绝对值大于1的数 1．光在真空中的速度约为 300000000 米/秒，把它写成 （，n为整数）的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：． 2．太阳的半径约为 696000 千米，写成 （）形式是__________千米． 【答案】. 【详解】解：太阳的半径约为 696000 千米，写成 （）形式是千米． 3．已知光在真空中的传播速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多少米？（结果请用科学记数法表示） 【答案】 地球距离太阳大约有米 【分析】根据路程速度时间的数量关系列式，计算后将结果化为科学记数法的标准形式． 【详解】解：由题意得： （米） ， 答：地球距离太阳大约有米． 题型5.将科学记数法表示的数还原成原数 1．一个数用科学记数法表示为，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将的小数点向右移动位即可． 【详解】解：． 2．山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 【答案】150000 【详解】解：． 3．下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 【答案】，，，， 【分析】将科学记数法（，为正整数）还原为原数，只需将的小数点向右移动位，依次计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型6.求一个数的近似数、近似数的精确度 1．吸烟不仅有害健康而且花钱．如果一位吸烟者每天吸一包元的香烟，那么他每年花在吸烟上的钱大约要（   ）元 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一年按天计算，（元）． 2．请把四舍五入精确到是________． 【答案】 【详解】解：精确到，需观察千分位的数字，因为 的千分位数字是，，所以向百分位进， 因此四舍五入精确到是． 3．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： （1）___（精确到百分位）； （2）___（精确到）． （3）近似数精确到___位，有___个有效数字． （4）所有绝对值小于4的整数的积是___，和是___． 【答案】 千 3 0 0 【分析】本题考查了近似数的取法、精确度与有效数字的判定，以及绝对值的整数运算，解题的关键是掌握四舍五入规则、科学记数法下近似数的精确度判定方法，及正确找出符合条件的整数． （1）精确到百分位看千分位进行四舍五入； （2）精确到看万分位进行四舍五入； （3）将科学记数法表示的数还原，确定精确度，有效数字看前面的数字部分； （4）找出所有绝对值小于4的整数，计算其积与和． 【详解】（1）解：精确到百分位，看千分位数字，，舍去，故． 故答案为：． （2）解：精确到，看万分位数字，，进，故． 故答案为：． （3）解：，数字在千位，故精确到千位；有效数字是、、，共个． 故答案依次为：千；． （4）解：绝对值小于的整数有、、、、、、， 其积为，和为． 故答案依次为：；． 题型7.含乘方的有理数混合运算 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．现规定一种新的运算：，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 题型8.程序流程图与有理数计算 1．按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（     ） A．6 B．26 C．106 D．426 【答案】D 【详解】解：当时，，，不满足大于，继续； 当时，，，不满足大于，继续； 当时，，，不满足大于，继续； 当时，，，满足大于，输出． 2．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查的是结合程序框图的含义进行有理数的混合运算，先理解框图的含义是一个数，再把结果与比较大小，满足小于则输出，否则按程序框图的含义进行计算，再比较，从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴不能输出，继续计算， ∴当时，， ∵， ∴输出的数是． 3．如图，这是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为6，求输出的结果； (2)若输入x的值为4，输出的结果为，则输入y的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图列出算式进行计算即可； （2）根据流程图逆推进行计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴. 题型9.近似数推断取值范围 1．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据四舍五入的法则解答即可． 【详解】解：近似数精确到百分位， ∵ 当千分位数字时，向百分位进1可得到， ∴ 的最小值为， ∵ 当千分位数字时，舍去千分位及后续数位可得到， ∴ ， ∴  ． 2．规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵ 表示不超过的最大整数，且， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 3．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． ✵分层专项训练 一、单选题 1．盐城拥有江苏省最长的海岸线，全长582000米，数据582000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：． 2．下列各组数中，相等的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】注意乘方运算中底数是否包含负号，分别计算各选项两数的值后比较． 【详解】解：A选项：，，两数不相等． B选项：，，两数不相等． C选项：，与不相等． D选项：，，两数相等． 3．下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，即最小的数是． 4．下列关于亿的说法正确的是（     ） A．亿是精确到亿位 B．亿是精确到十亿位 C．亿用科学记数法表示为，则， D．亿用科学记数法表示为，则， 【答案】C 【分析】将原数用科学记数法表示后即可确定正确的选项． 【详解】解：亿． ∵亿的末位数字对应百万位， ∴亿精确到百万位，A，B错误． ， 即，，C正确，D错误． 二、填空题 5．已知是一个正整数，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算，先结合是一个正整数，得出是一个奇数，根据负数的奇数次幂是负数，则，即可作答． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个偶数，是一个奇数， ∵负数的奇数次幂是负数， 即， 故答案为： 6．用四舍五入法对下列各数取近似数： （精确到）________；（精确到百分位）________． 【答案】 【分析】根据给定的精确要求定位对应数位，对该数位的下一位数字执行四舍五入操作，注意精确到的数位上的0不可随意省略． 【详解】解：精确到即保留小数点后第四位， ∵小数点后第四位的下一位数字为7，大于5， ∴需向第四位进1，得， 精确到百分位即保留小数点后第二位， ∵小数点后第二位的下一位数字为7，大于5， ∴需向第二位进1，此时第二位的9加1满10，向十分位进1，最终得． 7．下列说法： ①正整数和负整数统称为整数；②若满足，则；③倒数等于它本身的数只有；④的底数为；⑤若，则或．其中一定正确的是_____．（只需填写序号） 【答案】②③⑤ 【详解】解：整数包括正整数，零和负整数，则说法①错误； 若满足，则，即一个数的绝对值等于它的相反数， ∴，则说法②正确； 倒数等于它本身的数只有，则说法③正确； 的底数为2，则说法④错误； ∵， ∴若全为正数，则； 若为一正两负，不妨设，则； ∴若，则或，说法⑤正确； 综上，说法一定正确的是②③⑤． 8．现有四个有理数3，4，，10，将这4个数（每个数要用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，例如：；请你写出不同的算式____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算规则并尝试不同组合是解题的关键．尝试不同的四则运算组合，利用有理数的运算规则，构造出结果为24的算式． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一，如等）． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．把一张厚度为0.1毫米的长方形纸对折，每对折一次，纸的厚度就变为原来的2倍，如图所示． (1)对折6次后，纸的厚度是多少毫米？（先列出乘方算式，再写出结果） (2)对折10次后，纸的厚度是多少厘米？ (3)有人说“一张纸对折20次后，它的厚度会超过100米”，你认为这可能吗？请结合计算与生活经验说明理由． 【答案】(1)6.4毫米 (2)10.24厘米 (3)计算上会超过100米，实际上不可能实现 【详解】（1）解：∵纸的厚度是0.1毫米， ∴对折1次，厚度为：毫米， 对折2次，厚度为：毫米， 对折3次，厚度为：毫米， … 则对折次，厚度为：毫米， 那么对折6次，厚度为 （毫米）． （2）解：由（1）可知，对折10次，厚度为（毫米）（厘米）． （3）解：由（1）可知，若对折20次，厚度为 （毫米） （米），确实超过100米．但在实际生活中，纸对折到一定次数后就不能再对折了（一般不超过七八次），所以实际上不可能对折20次． 11．数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： (1)填空：_________，________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)3；2； (2)； (3)2． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算： （1）根据结合新定义即可得到答案； （2）根据新定义分别求出和的值即可得到答案； （3）根据新定义分别求出a、b的值，进而求出的值，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：3；2； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴． ∴． 12．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入两个数时，则两次输出的结果分别是_________、_________； (2)你认为当输入_________数时（写出两个即可），其输出结果是0 (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出_________数 【答案】(1)； (2)，（答案不唯一，如，均可） (3)负 【分析】（1）把代入转换器，判断不大于 2，算出相反数 3，3 为正，取倒数得到；把代入转换器，判断不大于 2，算出相反数，非正，取绝对值得到． （2）根据输出为 0 倒推，只有绝对值能得到 0，可得输入 0 或者 5 这类 5 的正整数倍的数字，经过转换器运算后输出 0． （3）分析转换器两条输出线路，输出只能是正数或者 0，判断这个有理数转换器不可能输出负数． 【详解】（1）解：当输入： ∵， ∴的相反数为， ，取倒数， ∴输出． 当输入： ∵，， ∴的相反数为， ∵，取绝对值， ∴输出． （2）解：输出结果为 0： 输出为 0，只能由 “相反数非正，取绝对值” 得到，即相反数为 0，原数为 0． ①输入：，相反数是，非正，，输出 0． ②输入：，；，相反数是，非正，，输出 0． 可填写：，（答案不唯一，如均可）． （3）解：情况一：相反数为正，输出倒数，结果是正数； 情况二：相反数非正，输出绝对值，结果是非负数． 因此输出只能是正数或 0，不可能输出负数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $