专题01 丰富的图形世界 期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题01丰富的图形世界期中复习讲义 ✵复习目标 会识别、分类常见几何体，能分析组合几何体的构成。 理解点、线、面、体的关系，掌握棱柱顶点、棱、面的数量规律。 理解面动成体，能判断平面旋转后形成的立体图形。 会识别三视图，能结合三视图分析小正方体组合体。 掌握正方体 11 种展开图，快速找相对面；会辨析带图案的展开图。 会利用展开图求表面积、体积；会补面，使之围成正方体。 能判断截面形状；了解折叠后沿棱两点距离、七巧板拓展问题。 ✵高频题型梳理 题型1.常见几何体识别、立体图形分类 题型2.组合几何体的构成分析 题型3.几何体中点、棱、面的认识，点线面体的关系 题型4.平面图形旋转得到立体图形 题型5.从不同方向观察几何体 题型6.正方体展开图识别、找相对面文字 题型7.含图案的正方体展开图辨析 题型8.由展开图计算几何体表面积、体积 题型9.补面围成正方体 题型10.截几何体，识别截面形状 题型11.求展开图上两点折叠后的距离 题型12.七巧板拼图形 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、生活中的立体图形 1.立体图形定义：各部分不都在同一平面内的图形叫做立体图形。 2.常见几何体特征：圆柱：上下底面是大小相等的圆，侧面是曲面，无棱、无顶点。 棱柱：上下底面是形状、大小完全相同的多边形，侧面为长方形，所有侧棱平行且相等。底面是几边形，就叫几棱柱。 圆锥：底面是圆，侧面为曲面，只有一个顶点，无棱。 棱锥：底面是多边形，侧面是三角形，所有侧面交于同一个顶点。 球体：表面是曲面，无棱、无顶点。 3.n棱柱数量规律：n棱柱有(n+2)个面，2n个顶点，3n条棱。 补充：棱柱的侧棱都相等，但底面的棱不一定与侧棱相等。 几何图形分类：按形状分为柱体、锥体、球体。 知识点二、点、线、面、体 1.点、线、面、体是构成几何图形的基本要素。几何中的点无大小，线无粗细，面无厚薄。 2.静态关系：面与面相交得到线，线与线相交得到点。 3.动态规律：点动成线、线动成面、面动成体。 知识点三、几何体的展开与折叠 常见几何体展开图 圆柱：两个全等圆形底面 + 长方形侧面 棱柱：两个全等多边形底面 + 若干长方形侧面 圆锥：一个圆形底面 + 扇形侧面 棱锥：一个多边形底面 + 若干三角形侧面 正方体展开图：正方体共有 11 种展开图，分为一四一型、一三二型、二二二型、三三型。正方体展开图中，相对的面没有公共边、公共顶点，互不相邻。判断技巧：相间、Z 端是对面。 知识点四、截一个几何体 截面定义：用一个平面去截几何体，截出的平面图形叫做截面。截面形状由几何体本身和截取角度决定。 常见几何体截面规律 正方体：可以截出三角形、四边形、五边形、六边形，不能截出七边形及边数更多的图形。 圆柱：平行底面截取得到圆，垂直于底面截取得到长方形，倾斜截取得到曲线围成的封闭图形。 圆锥：平行底面截取得到圆，过顶点竖直截取得到三角形，倾斜截取得到曲线围成的封闭图形。 球体：无论从任何角度截取，截面都是圆。 知识点五、从三个方向看物体的形状 从正面看到的形状图（主视图）：从几何体正面观察得到的图形。 从左面看到的形状图（左视图）：从几何体左面观察得到的图形。 从上面看到的形状图（俯视图）：从几何体上方观察得到的图形。 ✵易错提醒 1.区分柱、锥：柱体上下两底相同；锥体只有一个底面。 2.面动成体，一定要看清绕哪条边旋转。 3.三视图方向不能混；看得见的棱画实线。 4.正方体展开图：田、凹不行；相对面一定不相邻。 5.正方体截面最多六边形，出不来七边形。 6.带图案展开图，重点盯相邻面的位置，不要乱转图案。 7.折叠求距离，只算棱上长度，不考虑空间斜线。 ✵典例精讲 题型1.常见几何体识别、立体图形分类 1．如图为小敏同学的几何体素描作品，该作品中不包含的几何体为（     ） A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱 【答案】D 【分析】识别几何体要抓住特征：正方体、六棱柱的底面都是多边形，都属于棱柱；球是球体；圆锥的底面是圆、侧面是曲面，整体呈锥形．将素描作品中的几何体与四个选项逐一对照即可判断． 【详解】解：观察素描作品可知，作品中含有球、六棱柱、正方体和圆锥四个几何体． 因为正方体和六棱柱的底面都是多边形，所以它们都是棱柱，即作品中包含棱柱、球和圆锥；而圆柱的上、下底面是圆，侧面是曲面，作品中没有这样的几何体． 所以该作品中不包含的几何体为圆柱． 【点睛】易错点：一看到选项是“棱柱”，容易觉得图中没有直接画出“棱柱”而错选A．实际上，正方体、长方体、六棱柱等底面是多边形、侧面是四边形的几何体都属于棱柱；而圆柱的底面是圆，不属于棱柱．判断几何体不能只凭外观名称，要抓住“底面形状”这一本质特征． 2．下列几何体中，棱柱有_________个． 【答案】 【详解】解：第一个几何体为四棱柱，第二个几何体为圆柱，第三个几何体为圆锥，第四个几何体为球，第五个几何体为三棱柱， ∴棱柱有个． 3．将下图中的立体图形按照柱体、锥体、球进行分类． 【答案】①②⑤⑦⑧是柱体，④⑥是锥体，③是球． 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 题型2.组合几何体的构成分析 1．用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 【答案】A 【分析】 本题考查正方体的体积，根据正方体的体积公式解答即可． 【详解】 解：∵，，， ∴可以用8个小正方体拼成棱长2分米的大正方形， 可以用27个小正方体拼成棱长3分米的大正方形， 可以用64个小正方体拼成棱长4分米的大正方形， ∴用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是4立方分米． 故选：A． 2．如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是______．（结果保留）    【答案】/ 【分析】本题考查长方体体积和圆柱的体积，根据零件的体积长方体体积圆柱体积，列式求解即可，注意圆孔选择面积最小的一个面，即圆柱的高为． 【详解】解：由题知，零件的体积． 故答案为：． 3．如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 【答案】解：图①是由底面完全重合的圆锥和圆柱组合而成的； 图②是由底面完全重合的两个圆锥组合而成的； 图③是由完全相同的四个正方体组合而成的． 【分析】根据生活中常见的几何体的特征进行求解即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了立体图形中的几何体，解题的关键在于能够熟练掌握常见的几何体的特征． 题型3.几何体中点、棱、面的认识，点线面体的关系 1．下列说法错误的是（     ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 【答案】C 【详解】A．长方体、正方体都有6个面，说法正确，不符合题意； B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点，说法正确，不符合题意； C．三棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，说法错误，符合题意； D．圆锥由一个平面和一个曲面围成，说法正确，不符合题意． 2．中国是茶的故乡，茶文化源远流长，融合了历史、哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．如图是一个茶叶盒，它的形状可近似看作几何体，若这个几何体有8个面，则它有________条棱． 【答案】 【分析】根据图形特征判断该几何体为棱柱，利用棱柱的面数公式确定底面边数，进而根据棱柱的棱数特征求解． 【详解】解：由图可知，该几何体近似看作一个棱柱， 棱柱有两个底面和若干个侧面，且侧面数等于底面边数，该几何体有个面， 棱柱有两个底面和6个侧面， 即该几何体是六棱柱. 六棱柱有 条侧棱，上、下底面各有 条棱， 棱的总数为． 3．如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形．把有对应关系的线与平面图形用线连起来． 【答案】 连线如下： 【分析】根据线的特征（直线、射线、曲线等）以及平移、旋转的性质，判断线经过相应变换后得到的平面图形，然后进行连线．本题主要考查点、线、面之间的关系，以及平移和旋转的性质，熟练掌握线经过平移、旋转后形成平面图形的规律是解题的关键． 【详解】解：竖直的直线，平移后得到矩形（长方形）；斜向的直线，平移后得到平行四边形；曲线（类似“S”形 ），平移后得到与之形状匹配的曲线图形；线段旋转后得到扇形． 题型4.平面图形旋转得到立体图形 1．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察立体图形的侧面特征，结合面动成体的原理进行判断． 【详解】解：观察立体图形可知，该几何体侧面中间细、上头没有下头粗，但是都比中间粗， A、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； B、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； C、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，符合题意 2．如图所示平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆锥的是_____．（填“①”或“②”） 【答案】 ② 【分析】识别平面图形形状及旋转轴，根据面动成体原理判断旋转后的几何体名称； 【详解】解： 观察图形可知： 图①是半圆，且直径在旋转轴（虚线）上，绕该边旋转一周，得到的几何体是球体；图②是直角三角形，且一条直角边在旋转轴（虚线）上，绕该直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥； 故可以得到圆锥的是②． 3．如图所示，有一个长为、宽为的长方形，若绕它的长边所在直线旋转一周，求出几何体的体积．（结果保留π） 【答案】得到圆柱体体积是 【分析】根据旋转后的图形是圆柱体；并根据长方形的长和宽成为圆柱的高或半径；最后用圆柱的体积公式来解答． 【详解】解：圆柱体积： 答：得到圆柱体体积是． 题型5.从不同方向观察几何体 1．如图，这是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从正面、上面看到的形状，那么构成这个立体图形的小正方体的个数最少为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由俯视图确定底层小正方体个数，由主视图确定第二层最少小正方体个数． 【详解】解：由俯视图可知，该立体图形最底层有4个小正方体， ∵主视图显示左边一列最高为2层，右边一列最高为1层，第二层最少有1个小正方体， ∴构成这个立体图形的小正方体的个数最少为（个）． 2．由一些大小相同的小正方体组成的几何体从正面和上面看到的形状图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为n，则n的值为______． 【答案】7 【分析】由“从上面看”的图形可知，底层共有个小正方体，由“从前面看”的图形可知，从左到右三列分别为：第1列共1层，第2列共2层，第3列共2层，为了使组成这个几何体的小正方体的个数最少，则第2列中至少1个为2层，另一个最少1层，第3列中至少1个为2层，另一个最少1层，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由“从上面看”的图形可知，底层共有个小正方体， 由“从前面看”的图形可知，从左到右三列分别为：第1列共1层，第2列共2层，第3列共2层， ∵为了使组成这个几何体的小正方体的个数最少， ∴第2列中至少1个为2层，另一个最少1层，第3列中至少1个为2层，另一个最少1层， ∴小正方体的个数最少为， 即． 3．用相同的小立方块搭一个几何体．从正面看到的几何体的形状图如图1所示；从上面看到的几何体的形状图如图2所示，其中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数．请解答下列问题： (1)______，______，______； (2)这个几何体最多由______个小立方块搭成； (3)当，时，在图3中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)3；1；1 (2)11 (3) 【分析】（1）根据从正面看，a列有3个小正方体，判断a值；b，c列有一个小正方体，从而判定b、c的值； （2）当时，最多； （3）根据从上面看的图形，结合小正方体的数目画出即可． 【详解】（1）解：由从正面、上面看到的形状图，以及从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数可知， ，； （2）解：如图所示： 最多时正方体的个数为（个）； （3）略 题型6.正方体展开图识别、找相对面文字 1．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是（     ） A．太 B．原 C．欢 D．迎 【答案】C 【分析】根据正方体的展开图隔一相对的原则，裁剪即可． 【详解】解：根据隔一相对的原则，大和原相对，美和迎相对，太和您相对， 故剪去欢字． 2．如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是______． 【答案】c 【分析】本题考查了正方体平面展开图与立体图形的棱的对应关系，解题的关键是掌握正方体展开图还原立体图的棱对应规律． 还原正方体平面展开图，根据相对面、相邻棱的位置关系确定与棱对应的线段． 【详解】解：将正方体展开图按对应顶点还原，棱在立体图中对应的相邻棱关系与线段完全匹配． 故答案为：． 3．综合与实践 【问题情景】七（1）班图书角需要整理书籍，同学们计划用旧纸箱制作无盖长方体图书整理盒，方便分类存放图书． 【操作实践】 (1)若要制作一个无盖的长方体纸盒（长、宽、高不完全相等），图1中的________图形经过折叠能围成无盖的长方体纸盒（图中每个小长方形长和宽对应相等）． (2)图2是小宇的设计图，把它折成无盖的长方体纸盒后，与“图”字相对的字是________． (3)如图3，有一张长为，宽为的长方形旧纸箱，小佳准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖的长方体图书整理盒． ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，折成无盖的长方体图书整理盒，如果把这个无盖的图书整理盒沿某些棱重新剪开，可以得到周长最大的展开图，则周长最大为________． 【答案】(1)B (2)盒 (3)解：①根据题意，画示意图如下： ；②240 【分析】（1）根据题意，无盖的盒子有5个面，结合几何体的展开图解答即可． （2）根据展开图的相对面隔一相对的原则，判断解答即可． （3）①根据题意，画出示意图即可． ②首先计算无盖长方体的长，宽，高，要让展开图周长最大，需要保留尽可能长的棱不剪，剪开所有的短棱，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得，无盖的盒子有5个面，A有6个面，有盖，不符合要求；B符合要求；C不符合展开图的要求． （2）解：根据题意，与“图”字相对的字是“盒”． （3）①解：略． ②解：四角各剪去了一个边长为的小正方形，折成无盖的长方体的长，宽，高为： ，，； 要让展开图周长最大，需要保留尽可能长的棱不剪，剪开所有的短棱： 故展开图的最大周长为：． 题型7.含图案的正方体展开图辨析 1．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，带阴影的三面两两相邻，A，C，D选项中都有两个阴影面在相对面上，不符合题意， 只有选项B的图形，折叠后满足题意. 2．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是________，最小是________． 【答案】 51 26 【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值； 要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值． 【详解】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51， 最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26， 故答案为：51，26． 故答案为：51，26． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力． 3．图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 【答案】(1) 如图所示： (2)48 【分析】此题考查了几何体的展开图，掌握立体和平面的关系及矩形的面积公式是解题的关键， （1）根据几何体的展开图求解； （2）根据矩形的面积公式求解． 【详解】（1）略 （2） （平方分米）． 题型8.由展开图计算几何体表面积、体积 1．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 2．图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 【答案】 7 /128立方厘米 【分析】根据总棱数为12，展开图相连的还有5条棱，得出剪开的是7条棱即可；根据题中数据求出原四棱柱的高即可得出原四棱柱的体积． 【详解】解：∵四棱柱共12条棱，展开图相连的还有5条棱， ∴一共剪开了7条棱； 由题意得，四棱柱的高为， 体积为， ∴这个四棱柱的体积是． 3．如图，这是一个几何体的表面展开图． (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______填序号． ①三角形②四边形③六边形④七边形 (2)求该几何体的体积． 【答案】(1)①②③ (2)立方米 【分析】（1）先根据展开图确定该几何体是长方体，再根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，即可得出结果； （2）利用长方体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：根据几何体的展开图共有个面，且各面有长方形， 此几何体为长方体． 长方体有六个面， 用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、六边形． （3） 解：立方米． 题型9.补面围成正方体 1．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 2．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 【答案】 【分析】根据正方体展开图的特征，展开图中不能出现“田”字形结构，观察图形中各位置补充后的形状进行判断． 【详解】解： ∵正方体的表面展开图中不能出现“田”字形结构， ∴若将正方形补充在②处，则“天”“②”“链”“二”四个正方形组成“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 而补充在①、③、④处均能折叠成正方体． 3．综合与实践： 小明在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图3），可是他一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】 (1)小明一共剪开了_____条棱； 【动手操作】 (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（图3），一共有_____种不同的还原方法，请你帮助小明在图1中补全其中一种图形，并求出图3纸盒的体积； 【解决问题】 (3)小明爷爷的生日即将到来，小明给爷爷准备了4份小礼物，分别放进了4个这样的长方体纸盒．现在小明打算用一张包装纸把4个纸盒包装在一起作为一个大礼物送给爷爷，请你说出这4个纸盒应该如何摆放才能使得包装纸材料最少，并计算出最少需要多少包装纸材料？（忽略重合粘贴部分） 【答案】(1)8 (2)4， (3)摆放，最少 【分析】（1）根据图形回答即可； （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； （3）根据题意得，装4个这样的长方体纸盒，重叠在一起面越多，表面积越小，且尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，即可． 【详解】（1）解：小明一共剪开了条棱； （2）解：如图，在图1中补全图形，如下： 一共有4种不同的还原方法， 图3纸盒的体积为； （3）解：因为长方体的高为，宽为，长为，所以装4个这样的长方体纸盒，重叠在一起面越多，表面积越小，且尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，如图，叠放即可， 此时纸盒的表面积为： 题型10.截几何体，识别截面形状 1．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水完成后将容器任意放置，水平面形状可能是(     ) A．八边形 B．圆 C．七边形 D．三角形 【答案】D 【分析】正方体有6个面，平面截正方体所得截面边数最多为6，最少为3，据此判断即可． 【详解】解：正方体有6个面，水平面相当于一个平面截正方体， ∵平面与正方体的面相交得到线段， ∴截面多边形的边数等于平面与正方体相交的面数， ∵正方体只有6个面， ∴截面最多有6条边，即最多是六边形， ∴水平面形状可能是三角形、四边形、五边形或六边形，不可能是七边形、八边形或圆， 故D选项符合题意． 2．若用一个平面去截棱柱，最多可以截得八边形，则被截的几何体是_______棱柱；若用一个平面去截（为大于的自然数）棱柱，截面形状的边数最多可以是_______． 【答案】 六 / 【分析】棱柱的面数与其截面的边数的关系：用一个平面去截棱柱时，一个棱柱有几个面，截面形状的边数最多为几，用一个平面去截棱柱，最多可以截得八边形，则这个棱柱最多有八个面，去掉两个底面，还剩下六个侧面，所以这个几何体是六棱柱；n棱柱有个面，所以截面形状的边数最多有条边． 【详解】解：用一个平面去截棱柱，最多可以截得八边形，则被截的几何体是六棱柱； 用一个平面去截（为大于的自然数）棱柱，截面形状的边数最多可以是． 3．如图，长方形中， ，，是的中点，分别是的四等分点，为上任意一点，求阴影部分面积． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了组合图形的面积计算，连接，将阴影部分分成了三个三角形，求出这三个三角形面积的和即可求解， 利用转化思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 因为长方形，所以厘米，厘米， 因为分别是的四等分点， 所以厘米，厘米， 所以， 平方厘米， 因为是的中点， 所以厘米， 所以平方厘米， 所以平方厘米， 答：阴影部分的面积为平方厘米． 题型11.求展开图上两点折叠后的距离 1．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 2．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 【答案】和 【分析】根据正方体展开图的特征，确定各面的相对位置，通过折叠想象或标记法找出与点M重合的顶点． 【详解】解：设含点M的正方形为前面，则其上方的正方形为上面，左边的正方形为左面，右边的第一个正方形为右面，右面的第二个正方形为后面，后面下方的正方形为下面， ∵点M位于前面的左下角， ∴与点M重合的点应位于左面的左下角或下面的右下角， ∵左面的左下角为点A，下面的右下角为点D， ∴与点M重合的点是点A和点D． 3．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】 如答图，点D为所求．    【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求． 题型12.七巧板拼图形 1．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题考查了利用七巧板拼图形，由七巧板的规律可得，，，由此计算即可得出答案，熟练掌握七巧板的规律是解此题的关键． 【详解】解：由七巧板的规律可得： ，，， ∵左边图形中正方形的面积为32， ∴， 故选：A． 2．七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．下面的图是小明同学由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形（如图①）的边长为2，则拼成的“小天鹅”图案（如图②）阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了七巧板问题． 用正方形的面积减去白色三角形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键． （1）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的面积为2，由此可得到剪拼方法； （2）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】（1）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线剪刀，再将剪下的①②部分拼到如图①②的位置，得到一个正方形； （2）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线各剪刀，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 2．先把直角三角形按放大，若都以直角边所在的直线为轴旋转一周，放大后旋转形成的立体图形体积是原来三角形旋转形成的立体图形体积的（     ）倍． A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【详解】解：直角三角形以直角边为轴旋转一周得到圆锥，其中为圆锥的高，另一条直角边为圆锥的底面半径， 按放大后，三角形的各边均变为原来的3倍，即圆锥的底面半径和高均变为原来的3倍， 由圆锥体积公式，得体积变为原来的倍． 3．如图，把一个圆柱切拼成一个长方体后，长方体的表面积和体积与圆柱的相比，（    ） A．都不变 B．体积不变，表面积变小 C．都变大 D．体积不变，表面积变大 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱与正方体的表面积及体积计算公式，解题的关键是正确表示出长方体的长宽及高．设圆柱的底面半径是r，圆柱的高为h，根据拼成长方体的高等于圆柱的高是h，再根据长方体的表面积和体积公式与圆柱的表面积和体积公式列式表示出长方体的表面积和体积与原来圆柱的表面积和体积，由此即可进行比较选择． 【详解】解：设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h， 则长方体的高等于圆柱的高是h，长方体的长为，宽为r， 圆柱的表面积为：； 圆柱的体积为：； 长方体的表面积为：； 长方体的体积为：； 所以，这个长方体和原来的圆柱体比较表面积变大了，体积没变， 故答案为：D 4．小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体对面图案全部相同，利用正方体展开图“相间是对面，字两端是对面”的规律，逐一判断每个选项中相对两个面的图案，筛选出三组对面图案均相同的选项． 【详解】解：正方体平面展开图中，相对的面不相邻，满足“相间、端是对面”． 选项A：第一与第三面相对，图案相同；第二与第四面相对，图案相同；上下两面相对，图案相同，符合题意； 选项B：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项C：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项D：第二与第四面相对，图案不相同，不符合题意． 二、填空题 5．如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有______个顶点． 【答案】 【分析】本题主要考查棱柱的定义及面、棱、顶点的个数之间的关系，根据点、面、棱的关系进行求解即可，熟练掌握棱柱的基本性质是解题关键． 【详解】解：∵棱柱有个面，有条棱，有个顶点， ∴当棱柱总共有条棱， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 6．用若干个相同的小正方体搭建一个几何体，从前看、从上看和从左看均如图所示．搭建这个几何体需要__________个小正方体． 【答案】 【分析】根据从前看，从上看和从左看的图形即可得出． 【详解】解：从前看可知组合体有3列，左侧最高列有3个小正方体，其余2列只有1个正方体；从左看可得该组合体有3行，左侧最高列有3个小正方体，其余2列只有1个正方体；从上看，该几何体最底层有5个小正方体， 所以该几何体从上看每列的个数如图： ， 所以搭建这个几何体需要（个）小正方体． 7．如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是______． 【答案】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．牢记正方体的种展开图的模型是解题的关键． 【详解】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是． 故答案为：． 8．已知一个棱长为20的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为2，3，4，5，6，7，8，9的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和为 ________ ． 【答案】504 【分析】根据截去小正方体后棱长变化求出棱长和． 【详解】解：∵在每个顶点处截去一个小正方体，原正方体棱数会多，原正方体棱长之和多出6个小正方体棱长， ∴八个顶点处分别截去棱长为2，3，4，5，6，7，8，9的小正方体后， 棱长和为：． 三、解答题 9．不透明袋子中装有一个棱柱，小金告诉小林关于这个棱柱的一些信息：这是一个直棱柱；共有个顶点；所有侧棱长的和为．请解答以下问题： (1)该棱柱是________棱柱（根据底面图形的边数分），该棱柱每条侧棱的长为________． (2)若该棱柱的底面图形的边长都为，求这个棱柱的侧面积． 【答案】(1)九， (2) 【分析】（1）根据直棱柱特点判断是九棱柱，直接计算棱长即可． （2）根据棱柱侧面是长方形，根据长方形面积公式直接计算即可． 【详解】（1）解：该棱柱为直棱柱，共有个顶点，则上下两个底面各有个顶点，所以是九棱柱， 该棱柱每条侧棱的长为． （2）解：该棱柱共有个侧面，都为长方形， 根据题意可知棱柱侧面积为， 答：这个棱柱的侧面积为． 10．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是______棱柱，共有______个面； (2)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六，8 (2)所需丝带的长为 【分析】（1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）棱长总和为底面棱总长与侧棱总长的和，分别计算两类棱的长度和再求和，即可求解． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共有个面； （2）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为：， 答：所需丝带的长为． 11．小明在学习了立体图形的展开图后，尝试用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明共剪开了______条棱； (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有______种方法． (3)经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）长方体共12条棱，根据平面图形中没有剪开的棱的条数，即可求出剪开了几条棱； （2）根据长方体展开图的情况可知，有四种情况； （3）先求出长方体的高，再根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1中没有剪开的棱有4条，所以小明共剪开了条棱； （2）解：如图所示： 故小明在图1中补全图形有种方法； （3）解：长方体的高为：, ∴这个长方体纸盒的体积为． 12．【问题背景】六（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 （填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 (2)图2是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是“ ”． 【实践操作】 (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 【答案】(1)C (2)保 (3) 【分析】（1）无盖正方体有五个面，的组合不能折叠成立方体，据此解答； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：无盖正方体有五个面， ∴B和D不符合题意， 的组合不能折叠成立方体， ∴A不符合题意； （2）解：图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的字是保； （3）解： ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01丰富的图形世界期中复习讲义 ✵复习目标 · 会识别、分类常见几何体，能分析组合几何体的构成。 · 理解点、线、面、体的关系，掌握棱柱顶点、棱、面的数量规律。 · 理解面动成体，能判断平面旋转后形成的立体图形。 · 会识别三视图，能结合三视图分析小正方体组合体。 · 掌握正方体 11 种展开图，快速找相对面；会辨析带图案的展开图。 · 会利用展开图求表面积、体积；会补面，使之围成正方体。 · 能判断截面形状；了解折叠后沿棱两点距离、七巧板拓展问题。 ✵高频题型梳理 题型1.常见几何体识别、立体图形分类 题型2.组合几何体的构成分析 题型3.几何体中点、棱、面的认识，点线面体的关系 题型4.平面图形旋转得到立体图形 题型5.从不同方向观察几何体 题型6.正方体展开图识别、找相对面文字 题型7.含图案的正方体展开图辨析 题型8.由展开图计算几何体表面积、体积 题型9.补面围成正方体 题型10.截几何体，识别截面形状 题型11.求展开图上两点折叠后的距离 题型12.七巧板拼图形 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、生活中的立体图形 1.立体图形定义：各部分不都在同一平面内的图形叫做立体图形。 2.常见几何体特征：圆柱：上下底面是大小相等的圆，侧面是曲面，无棱、无顶点。 棱柱：上下底面是形状、大小完全相同的多边形，侧面为长方形，所有侧棱平行且相等。底面是几边形，就叫几棱柱。 圆锥：底面是圆，侧面为曲面，只有一个顶点，无棱。 棱锥：底面是多边形，侧面是三角形，所有侧面交于同一个顶点。 球体：表面是曲面，无棱、无顶点。 3.n棱柱数量规律：n棱柱有(n+2)个面，2n个顶点，3n条棱。 补充：棱柱的侧棱都相等，但底面的棱不一定与侧棱相等。 几何图形分类：按形状分为柱体、锥体、球体。 知识点二、点、线、面、体 1.点、线、面、体是构成几何图形的基本要素。几何中的点无大小，线无粗细，面无厚薄。 2.静态关系：面与面相交得到线，线与线相交得到点。 3.动态规律：点动成线、线动成面、面动成体。 知识点三、几何体的展开与折叠 常见几何体展开图 圆柱：两个全等圆形底面 + 长方形侧面 棱柱：两个全等多边形底面 + 若干长方形侧面 圆锥：一个圆形底面 + 扇形侧面 棱锥：一个多边形底面 + 若干三角形侧面 正方体展开图：正方体共有 11 种展开图，分为一四一型、一三二型、二二二型、三三型。正方体展开图中，相对的面没有公共边、公共顶点，互不相邻。判断技巧：相间、Z 端是对面。 知识点四、截一个几何体 截面定义：用一个平面去截几何体，截出的平面图形叫做截面。截面形状由几何体本身和截取角度决定。 常见几何体截面规律 正方体：可以截出三角形、四边形、五边形、六边形，不能截出七边形及边数更多的图形。 圆柱：平行底面截取得到圆，垂直于底面截取得到长方形，倾斜截取得到曲线围成的封闭图形。 圆锥：平行底面截取得到圆，过顶点竖直截取得到三角形，倾斜截取得到曲线围成的封闭图形。 球体：无论从任何角度截取，截面都是圆。 知识点五、从三个方向看物体的形状 从正面看到的形状图（主视图）：从几何体正面观察得到的图形。 从左面看到的形状图（左视图）：从几何体左面观察得到的图形。 从上面看到的形状图（俯视图）：从几何体上方观察得到的图形。 ✵易错提醒 1.区分柱、锥：柱体上下两底相同；锥体只有一个底面。 2.面动成体，一定要看清绕哪条边旋转。 3.三视图方向不能混；看得见的棱画实线。 4.正方体展开图：田、凹不行；相对面一定不相邻。 5.正方体截面最多六边形，出不来七边形。 6.带图案展开图，重点盯相邻面的位置，不要乱转图案。 7.折叠求距离，只算棱上长度，不考虑空间斜线。 ✵典例精讲 题型1.常见几何体识别、立体图形分类 1．如图为小敏同学的几何体素描作品，该作品中不包含的几何体为（     ） A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱 2．下列几何体中，棱柱有_________个． 3．将下图中的立体图形按照柱体、锥体、球进行分类． 题型2.组合几何体的构成分析 1．用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 2．如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是______．（结果保留）    3．如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 题型3.几何体中点、棱、面的认识，点线面体的关系 1．下列说法错误的是（     ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 2．中国是茶的故乡，茶文化源远流长，融合了历史、哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．如图是一个茶叶盒，它的形状可近似看作几何体，若这个几何体有8个面，则它有________条棱． 3．如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形．把有对应关系的线与平面图形用线连起来． 题型4.平面图形旋转得到立体图形 1．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆锥的是_____．（填“①”或“②”） 3．如图所示，有一个长为、宽为的长方形，若绕它的长边所在直线旋转一周，求出几何体的体积．（结果保留π） 题型5.从不同方向观察几何体 1．如图，这是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从正面、上面看到的形状，那么构成这个立体图形的小正方体的个数最少为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．由一些大小相同的小正方体组成的几何体从正面和上面看到的形状图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为n，则n的值为______． 3．用相同的小立方块搭一个几何体．从正面看到的几何体的形状图如图1所示；从上面看到的几何体的形状图如图2所示，其中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数．请解答下列问题： (1)______，______，______； (2)这个几何体最多由______个小立方块搭成； (3)当，时，在图3中画出这个几何体从左面看到的形状图． 题型6.正方体展开图识别、找相对面文字 1．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是（     ） A．太 B．原 C．欢 D．迎 2．如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是______． 3．综合与实践 【问题情景】七（1）班图书角需要整理书籍，同学们计划用旧纸箱制作无盖长方体图书整理盒，方便分类存放图书． 【操作实践】 (1)若要制作一个无盖的长方体纸盒（长、宽、高不完全相等），图1中的________图形经过折叠能围成无盖的长方体纸盒（图中每个小长方形长和宽对应相等）． (2)图2是小宇的设计图，把它折成无盖的长方体纸盒后，与“图”字相对的字是________． (3)如图3，有一张长为，宽为的长方形旧纸箱，小佳准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖的长方体图书整理盒． ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，折成无盖的长方体图书整理盒，如果把这个无盖的图书整理盒沿某些棱重新剪开，可以得到周长最大的展开图，则周长最大为________． 题型7.含图案的正方体展开图辨析 1．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 2．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是________，最小是________． 3．图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 题型8.由展开图计算几何体表面积、体积 1．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 3．如图，这是一个几何体的表面展开图． (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______填序号． ①三角形②四边形③六边形④七边形 (2)求该几何体的体积． 题型9.补面围成正方体 1．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 3．综合与实践： 小明在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图3），可是他一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】 (1)小明一共剪开了_____条棱； 【动手操作】 (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（图3），一共有_____种不同的还原方法，请你帮助小明在图1中补全其中一种图形，并求出图3纸盒的体积； 【解决问题】 (3)小明爷爷的生日即将到来，小明给爷爷准备了4份小礼物，分别放进了4个这样的长方体纸盒．现在小明打算用一张包装纸把4个纸盒包装在一起作为一个大礼物送给爷爷，请你说出这4个纸盒应该如何摆放才能使得包装纸材料最少，并计算出最少需要多少包装纸材料？（忽略重合粘贴部分） 题型10.截几何体，识别截面形状 1．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水完成后将容器任意放置，水平面形状可能是(     ) A．八边形 B．圆 C．七边形 D．三角形 2．若用一个平面去截棱柱，最多可以截得八边形，则被截的几何体是_______棱柱；若用一个平面去截（为大于的自然数）棱柱，截面形状的边数最多可以是_______． 3．如图，长方形中， ，，是的中点，分别是的四等分点，为上任意一点，求阴影部分面积． 题型11.求展开图上两点折叠后的距离 1．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 3．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    题型12.七巧板拼图形 1．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．下面的图是小明同学由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形（如图①）的边长为2，则拼成的“小天鹅”图案（如图②）阴影部分的面积为________． 3．剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．先把直角三角形按放大，若都以直角边所在的直线为轴旋转一周，放大后旋转形成的立体图形体积是原来三角形旋转形成的立体图形体积的（     ）倍． A．3 B．6 C．9 D．27 3．如图，把一个圆柱切拼成一个长方体后，长方体的表面积和体积与圆柱的相比，（    ） A．都不变 B．体积不变，表面积变小 C．都变大 D．体积不变，表面积变大 4．小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有______个顶点． 6．用若干个相同的小正方体搭建一个几何体，从前看、从上看和从左看均如图所示．搭建这个几何体需要__________个小正方体． 7．如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是______． 8．已知一个棱长为20的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为2，3，4，5，6，7，8，9的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和为 ________ ． 三、解答题 9．不透明袋子中装有一个棱柱，小金告诉小林关于这个棱柱的一些信息：这是一个直棱柱；共有个顶点；所有侧棱长的和为．请解答以下问题： (1)该棱柱是________棱柱（根据底面图形的边数分），该棱柱每条侧棱的长为________． (2)若该棱柱的底面图形的边长都为，求这个棱柱的侧面积． 10．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是______棱柱，共有______个面； (2)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 11．小明在学习了立体图形的展开图后，尝试用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明共剪开了______条棱； (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有______种方法． (3)经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 12．【问题背景】六（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 （填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 (2)图2是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是“ ”． 【实践操作】 (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $