专题02全等三角形判定与构造模型9大题型47题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题02 全等三角形判定与构造模型 基础·固本强基 题型1 全等三角形的性质与对应关系 题型2 三角形全等判定及条件补全 题型3 直接利用全等证明线段或角相等 提升·进阶突破 题型4 平行线与全等三角形综合 题型5 延长线或截取等长线段构造全等（重点） 题型6 多组全等三角形的连续证明（重难点） 拔高·压轴破难 题型7 旋转型图形中的全等关系（重难点） 题型8 截长补短与巧添辅助线（重难点） 题型9 全等与动点位置变化的问题证明（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 全等三角形的性质与对应关系（共6小题） 【模型】全等三角形对应边相等、对应角相等——先找准"对应"，再写结论。 【步骤】① 按"≌"中的顶点顺序确定对应顶点；② 逐一写出对应边、对应角；③ 用性质求未知边、角。 【易错】"≌"中字母顺序必须一一对应，写反则对应关系全错；对应边是"相等角所对的边"，不能按图形位置想当然。 1．（26-27八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形对应角相等这一性质，找出与对应的角，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 由图可知， ． 2．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，已知，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形对应角相等得到，再借助三角形内角和，计算． 【详解】 在中， ． 3．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找准全等三角形的对应角，将求转化为求中的度数，结合三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． ∵在中，，，， ∴ ， ∴ ． 4．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，的周长是20，面积是12，则的周长和面积分别是（     ） A．20，6 B．10，6 C．20，12 D．10，12 【答案】C 【详解】解：全等三角形的周长和面积分别相等，故的周长为20，面积为12． 5．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，点，在上，且．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】首先利用全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 6．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，，的周长为21，，则____． 【答案】6 【分析】全等三角形对应边相等：，再根据即可求的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的周长为21，即，， ∴． 题型2 三角形全等判定及条件补全（共7小题） 【模型】四种判定：三边(SSS)、两边及其夹角(SAS)、两角及其夹边(ASA)、两角及一角的对边(AAS)。 【步骤】① 找出已知的三组条件；② 对照判定看缺什么（缺边找公共边，缺角找公共角、对顶角）；③ 补全后规范书写证明。 【易错】"SSA"（两边及一边的对角）和"AAA"都不能判定全等，这是最高频陷阱；SAS 必须是两边的"夹角" 7．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是（     ） A．三条边分别相等 B．两边和它们的夹角分别相等 C．两角和其中一角的对边分别相等 D．三个角分别相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； B、符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； C、符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； D、若三个角分别相等，则不能推出两三角形全等，故本选项符合题意． 8．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再定出的垂线，使，，在一条直线上，可以证明，得到，因此测得的长就是的长（如图），判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义得出，结合对顶角及已知，利用全等三角形判定定理分析即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，在一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴． 9．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）如图，，，，添加一个条件____，即可证明．下列添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， 添加， 在和中，， ， 添加可以证明， 故A选项不符合题意； 是的边，不是中的边， 添加不能证明， 故B选项符合题意； 添加， 在和中，， ， 添加可以证明， 故C选项不符合题意； 添加， 在和中，， ， 添加可以证明， 故D选项不符合题意． 10．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知，，添加下列条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴添加，利用能证明，选项A不符合题意； 添加，利用能证明，选项B不符合题意； 添加，利用能证明，选项C不符合题意； 添加，利用不能证明，选项D符合题意． 11．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，相交于点． (1)求证：； (2)时，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ； (2) 【分析】（1）根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质、三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， ， ． 12．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴， 即． 在与中， ， ∴； (2)． 理由：由（1） ∴， ∴（同位角相等，两直线平行） 【分析】（1）根据平行条件得到，再由等式的性质得到，可利用“”证明全等； （2）由（1）结论可得，进而得到AC∥DF． 【详解】（1）略 （2）略 13．（26-27八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，，求证：． 【答案】证明：， ， 即， 在与中， ， ． 【分析】根据证明即可． 【详解】略 题型3 直接利用全等证明线段或角相等（共6小题） 【模型】要证两条线段（或两个角）相等 → 把它们分别放进两个三角形，证这两个三角形全等。 【步骤】① 选定包含目标边（角）的两个三角形；② 找齐三组条件（公共边、公共角优先）；③ 判全等后由对应边（角）相等得结论。 【易错】证完全等必须接着写"所以……=……"的结论，只证全等不算做完；结论中的对应要写准。 14．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，D、F是线段上的两点，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【分析】首先证明，再证明即可． 【详解】证明：略． 15．（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，，，求证：． 【答案】在和中， ， ∴． ∴ 【分析】由是和的公共边，根据全等三角形的判定定理“”证明，即可证明． 【详解】略 16．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)探究线段的位置关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴； (2) 解：,理由如下： 如图，设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 17．（26-27八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，D是上一点，，E是外一点，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴． 【分析】先根据角的和差关系推出，进而利用“角边角”（）证明三角形全等，根据全等三角形性质即可推出结论． 【详解】略 18．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，点为外一点，，，过点作于点，延长交于点．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， 在和中， ． 【分析】根据题意证明三角形全等即可． 【详解】略． 19．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知：点、、、在同一条直线上，，．求证：． 【答案】证明：因为， 所以，即． 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）； 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）； 在与中，，，， 所以， 故． 【分析】根据证明，即可得证. 【详解】略 提升·进阶突破 题型4 平行线与全等三角形综合（共6小题） 【模型】平行提供一组角相等（同位角、内错角）→ 与已知边组合，凑出 ASA 或 AAS（也可凑 SAS）。 【步骤】① 由平行得一组角相等；② 再找公共边或已知相等的边；③ 判定全等后推出要证的结论。 【易错】平行得到的角必须是这两个三角形中的角；同旁内角是互补，别当成相等用。 20．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：如图，线段相交于点．从①，②，③中选出两个作为补充条件，余下的一个作为结论，组成一个真命题． (1)你选择的条件是___________，结论是___________（均填写序号）；写出结论成立的证明过程： (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)解：选择条件①②，结论③，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 选择条件①③，结论②，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）选择条件①②，结论③，选择条件①③，结论②，两种情况分别证明，结合全等三角形的性质可证明对应的结论； （2）由三角形内角和定理求出的度数，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴． 21．（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：点，，，在同一直线上，， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【分析】先由，两边同时加上公共线段，推导出，再结合已知三组边相等，用证明，得到对应角，利用内错角相等，两直线平行证得． 【详解】略 22．（26-27八年级上·四川广安·阶段检测）如图，点A，B，D，E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：点A，B，D，E在同一直线上，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由，得到内错角，结合条件，，利用证明； （2）先求出，再根据全等三角形对应边相等得，由算出线段长． 【详解】（1）略 （2）解：点A，B，D，E在同一直线上，，， ， ， ， ． 23．（26-27七年级上·重庆开州·阶段检测）如图，点B，F，E，C在同一直线上，点A，D在的异侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质并结合线段的和差计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图：，若是的中点，连接，并延长交于点， (1)求证； (2)连接，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：是的中点， ， ， ， 在和中， ， ； (2)解：， 理由：如图，连接，， ， ， ， 在和中， ， ， . 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 25．（26-27八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知A、E、B、F共线，，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵，BCDE， ∴，， 又∵， ∴； (2)3 【分析】（1）利用平行线的性质及角角边即可证明； （2）由全等三角形的性质及即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型5 延长线段或截取等长线段构造全等（共6小题） 【模型】图形中缺三角形时，延长某条线或在一条线上截取等长线段，人为"造"出一对全等三角形。 【步骤】① 明确要证的等长（等角）关系；② 延长或截取，构造出三角形；③ 找齐条件判定全等。 【易错】辅助线要在证明开头写明"延长……至……，使……等于……"；截取的长度必须有依据，不能凭空相等。 26．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)解：为的中点， ． 在与中， ． (2)． 【分析】（1）采用“中线倍长”法：延长中线至使，连接，以证； （2）由全等得，在中用三边关系把转化为的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ． 在中，，，． 由三角形三边关系得， 代入数值得， 即， ． 27．（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是6 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长交于点F，证明，得到，最后利用全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 又， ， 由已知和作图能得到的理由是； （2）， ， 在中，， ； （3）如下图，延长交于点F， ， ， 是的中线， ， 又， ， ， , ， ． 28．（2026八年级上·全国·专题练习）【初步探索】 (1)如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是___________ 【灵活运用】 (2)如图2，是的中线，E、F分别在、上，且，求证：． 【拓展延伸】 (3)如图3，为的角平分线，直线于点A．点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)证明：延长至G，使得，连接，，如图： 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ； (3)①点E在点A右侧时，延长到F，使，连接，如图： 由图可得，， 在和中， ， ， ， ，，为三边， ， ， ， ，即； ②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，如图： 由图可得，， 在和中， ， ， ， 为三边， ， ， ， ，即， 综上所述，． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长至G，使得，连接，，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图： 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 29．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1) 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 30．（2026八年级上·全国·专题练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图①，延长至点，使，连接． 是边上的中点， ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． 在和中， ， ， 即平分． (2)解：．理由如下： 如图②，延长至点，使，连接． ． 由（1）可知，， ． ， ． 平分， ． ， ， ， ． 【分析】（1）延长至点，使，连接．在和中，用SAS证，得、．使用了三角形外角定理，在和中，由SAS证，得，则问题可证． (2)延长至点使，连接，由SAS证，得．在和中，由AAS证，得． 【详解】（1）略 （2）略 题型6 多组全等三角形的连续证明（共5小题） 【模型】先证一对三角形全等 → 用它的结论（某边或某角相等）作为下一对的条件，链式推进（二次全等）。 【步骤】① 证第一组全等；② 显式写出得到的边（角）相等；③ 用它作条件证第二组全等。 【易错】第一步的结论不写出来，第二步就没有依据；连续全等时对应顶点逐次核对，顺序错则全错。 31．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）在中，,，D点为射线上一动点，连接，过点B作且（点E在直线BC下方）． (1)当点D在线段上时，如图1，过E点作交于点G，求证：； (2)如图2，当点D在的延长线上时，连接，与的延长线交于点M，求与的大小关系． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）运用即可证明结论； （2）如图：过E作交延长线于H，再运用证明可得，进而得到，再证明可得，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图：过E作交延长线于H， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的和差、同角的余角相等等知识点，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． 32．（2026八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，，，直线l经过点C，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． (1)求证：，； (2)如图2，延长至，连接，过点C作，且，连接交直线l于点N． ①求证：； ②当，直接写出的长． 【答案】(1)证明：，， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，； (2)①证明：过点作于点， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； ②的长为6． 【分析】（1）根据，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明，然后可得，； （2）①过点作于点，先证，再证即可求解； ②由，则，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为6． 33．（2026八年级上·全国·专题练习）解答下列各题 (1)如图1，的角平分线，相交于点O，． ①求的度数； ②在上截取，使，连接，补全图形并求证：； (2)如图2，点D是外一点，平分，交于点O，平分，，，，，求的长． 【答案】(1)①；②证明：补图如图1， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2)1 【分析】（1）①利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可；②先证明，可得，，进而可证，由此可得； （2）在上截取，使，连接，根据②中的方法分别证明和，即可得出答案． 【详解】（1）①解：，是的角平分线， ∴，， ，， ， ， ； ②略 （2）解：如图2，在上截取，使，连接， 平分， ∴， ∵， ， ，， 平分， ， ， ， ， ∵， ， ； ， ． 34．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，，且，． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设与交于点，连接．若，求． 【答案】(1)证明： ， ， 又 ， ，即， ， ． (2)证明：如图，连接、， 在和中， ， ， ． (3) 【分析】（1）先证明，再由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”可证． （2）连接后，可由“边角边”证明与全等，进而证明． （3）作交的延长线于点，连接，先证明和全等，由此可推断出和全等，进而得到与的关系，最后以为底、为高，即可得到的面积． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：如图，作交的延长线于点，与交于点，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 35．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）综合探究 【探究学习】 (1)如图1，在中，，、是的角平分线，、交于点，为探究、与之间的数量关系，小阳在上取了一点，使，连接． ①求的度数； ②请写出、与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，两条笔直的公路、相交于点，且，公路、上分别有一个小区、，为连接两个小区的公路，另有一条公路交公路于点，且平分，现计划在的延长线上再新建一个小区，连接并延长，交公路于点，修建新的公路且使得平分，若，，求小区和小区之间的距离．（小区的大小与公路的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①； ②，理由如下： 由①得，， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）①由三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再由三角形外角的性质可得答案；②求出，证明，得到，再证明，得到，则可得到； （2）在上截取，连接，证明，得到；证明，得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：小区和小区之间的距离为． 拔高·压轴破难 题型7 旋转型图形中的全等关系（共4小题） 【模型】一个三角形绕某点旋转 → 旋转前后图形全等，对应边相等，且对应线段的夹角等于旋转角。 【步骤】① 确定旋转中心、方向与角度；② 找出旋转前后的对应顶点、对应边；③ 用全等（或旋转性质）得边角相等。 【易错】旋转角是"对应点与中心连线"的夹角，对应边找错则角度错；旋转只改变位置，不改变形状与大小。 36．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）英歌舞中的“转槌”动作可抽象为图形的旋转．已知和都是等腰直角三角形，，，． (1)如图，当点D在上时，求证：； (2)将绕点A按顺时针方向旋转到如图的位置（点D落在内部），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)在绕点A旋转的过程中，点D到点B的距离不断变化．请直接写出长的最大值与最小值，并简要说明理由． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴． (2)解：不成立， 理由如下：连接，， ， ， 即． 在和中 ， ， 此时为锐角，为钝角，两角不相等， ∴与不全等， ∴． (3)解：长的最大值为，最小值为． 理由：由（2）可知． ∵，，绕点旋转，、长度始终不变． 根据三角形三边关系：在中， ∴，即 当三点共线，点在线段的延长线上时，， 此时最大，为； 当三点共线，且点在线段上时，， 此时最小，最小为． ∴长的最大值是，最小值是． 【分析】（1）用证三角形全等，得到线段相等； （2）旋转之后，利用等式性质，给两个直角同时加上，推导出，用证明，得到；而与一个锐角、一个钝角，角度不等，无法证明与全等，因此． （3）利用三角形三边关系，三点共线时取到最值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 37．（25-26八年级上·河北·单元复习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 【答案】 (1)证明：如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． (2)图2成立，图3不成立． 证明：如图2，延长到K使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 如图3，如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 【分析】（1）延长到Q使，连接，先证明，证出得到，；再证，得到，证出，即 （2）在图2仿照（1）的解法证明即可，图3也可以仿照（1）证明，只是结论不成立． 本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 38．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，其中．    (1)如图1，点在边上，若，求的长． (2)若等腰绕点C旋转后得到等腰，如图2所示，连接，交于点O，求证：． (3)若等腰绕点旋转后得到等腰，如图3所示，连接，点是中点，连接并延长交于． ①求证：； ②若，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：， 即 在和中 ∴ 过点作，则， ∴ 是的平分线 故    (3) ①证明：延长至使，连接， ∵ ∴ 又， 在和中 即 ② 【分析】（1）求证，进一步可证，于是； （2）求证，进一步可证，过点作，则，得是的平分线，求证，于是，得． （3）①延长至使，连接，可证，得，进一步求证，于是，得，可证；②由①知：，得，而，于是 【详解】（1） ， 在和中 （2）略 （3）①略 ②由①知： 故    【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 39．（21-22八年级上·河南南阳·期末）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 【答案】 【探究】AM＋BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中 ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE. ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN， ∴AM＋BN＝MN． （1）AM＋BN＝MN. 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，，。 ∠MDN＋∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠DBE＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠MDN＝∠BDC， ∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB. 在△DAM和△DBE中, ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE. ∵∠MDN＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE. ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中, ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN， ∴AM＋BN＝MN． （2）BN−AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，， ∠MDN＋∠ACD＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN. ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°. 在△DAM和△DBE中 ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE. ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN. 在△MDN和△EDN中, ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BN−BE＝BN−AM， ∴BN−AM＝MN． 【分析】探究：延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （2）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可． 【详解】探究：略 （1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等是解题的关键． 题型8 截长补短与巧添辅助线（共4小题） 【模型】证"两线段之和等于第三线段"（a+b=c）→ 截长：在长线段 c 上取一段等于 a，证余下那段等于 b；补短：延长 a 使延长部分等于 b，证整体等于 c。 【步骤】① 明确要证的和差关系；② 选截长或补短作辅助线；③ 证新出现的两个三角形全等，合并得结论。 【易错】必须先说明"截取（延长）使……等于……"的依据；截长补短往往需要两次全等，第一次的结论要写出来再用。 40．（19-20八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】 （1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）证明：如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 41．（21-22八年级上·河北沧州·期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1) 证明：根据题意得：AD=BD， 延长到E，使，连接 ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． (2) (3) ， 证明：在截取，连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明； （2）证明方法与（1）一致，证明即可；     （3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°， 证明方法同（1）类似， ∴； （3）略 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键． 42．（2026八年级上·全国·专题练习）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点．求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 【答案】解：方法一：如图①，在上截取，使，连接． 在和中， ， ． 在中，，即， ． 方法二：如图②，延长到，使，连接． 在和中， ， ． 在中，， 即， ． 【分析】（1）截长法：在上截取，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． （2）补短法：延长至点使，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． 【详解】略 43．（25-26七年级下·四川成都·期中）小成在探究线段之间的和、差问题时，发现了一种添加辅助线的方法：截长补短．“截长”，即在某条线段上截取一条线段与已知线段相等；“补短”，即通过延长某条线段，使其与已知线段相等．再利用全等三角形的性质、判定等相关知识来解决数学问题． 【探究学习】 (1)已知中，，若，分别平分和，、交于点，则____________度．在线段上取一点，使，连接，可以证明，再通过全等三角形判定依据______来证明，得出线段、、之间存在数量关系：________________________． 【解决问题】 (2)如图2，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点，延长交的延长线于点，延长交延长线于点．请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【迁移运用】 (3)已知“等腰三角形的两个底角相等”．如图3，在中，，，．的角平分线交于点，、为线段、上的动点，且，连接、，当取得最小值时，求的度数． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）证明，可得，由，可得，进一步可得，可得. （2）如图，在上截取，证明，，进一步可得结论. （3）如图，作，，证明，可得当三点共线时，，此时最小，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： 如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当三点共线时，，此时最小， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 题型9 全等与动点位置变化的问题证明（共4小题） 【模型】“以静制动”：把动点看成停在线段（或射线）上的某个一般位置，用一条线段长（如设 AP=x）表示它的位置，再找出一对始终满足 SAS（或 ASA、AAS）的全等三角形；只要全等关系与位置无关，结论（线段相等、和为定值等）就恒成立。 【步骤】① 设出动点的位置：如“设 AP=x”，并写出 x 的取值范围（不与端点重合等）；② 选一对含目标边（角）的三角形，凑齐三组条件（等边：已知边、公共边、都用 x 表示后相等的线段；等角：固定的夹角、直角、平行或旋转得到的角）；③ 判定全等，由对应边（角）相等写出与 x 无关的结论；④ 回检端点、两点重合、三点共线等临界位置。 【易错】① 拿一个特殊位置（中点、端点）代替一般位置就下结论；② 没验证夹角是否恒定就用 SAS；③ 忘记写 x 的取值范围，或漏掉端点、重合、共线等临界情形；④ 对应顶点顺序随位置改变却不分段说明；⑤ 过程跳步，只写“同理可得”却不给全等依据。 44．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． AI (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：． (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 【答案】(1) 证明：，， ， ，， ， 又， ， ， ， ； (2) 证明：如图2，过点作交延长线于N， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）结合已知得，结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可证明结论； （3）当点在延长线上时，连接交直线于，过点E作交的延长线于，设，，证明和证明，可求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；当点在线段上过点E作于G，同理可证明，得到，再证明，得到；可证明，设，则，分别表示出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，当点在延长线上时，连接交直线于，过点E作交的延长线于， ， ∴可设，， ，， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，过点E作于G， 同理可证明， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ， ， ∵， ， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 45．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，点D是边上一动点，连接，，，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，求的长； (3)在（2）的条件下，与交于点M，设的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）因为，所以可推出；又因为，所以可利用定理证明． （2）先由（1）的全等结论得到，结合的条件，可得；因为，所以可证明，得到；再根据，算出的长度，进而得到的长度，最后求出的长． （3）利用 ，， 面积关系，可计算的最终差值． 【详解】（1）证明：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴ （）． （2）解：由全等得：，， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ （）， 得 ， ∵ ， ∴ ． （3）解：∵ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 46．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明：作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； (3)或6 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分3类情况讨论：①点在线段上，②点在射线上，点在线段上；③点在射线上，点在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）略 （3）解：由图可知，点在射线运动过程中，点在射线上运动， 下面分3类情况讨论： ①点在线段上，作交于，则， 由（1）得，， 同理， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， (舍去)； ②点在射线上，点在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ③点在线段延长线上，点在延长线上，同（2）作辅助线， 同②可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 47．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，点E为射线上一动点，连结，作且． (1)如图1，过点作交于点，求证：； (2)如图2，连结交于点，若，求证：点为中点； (3)当点在射线上，连结与直线交于点，若，则_______（直接写出结果） 【答案】(1)证明：如图过点作于点， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：过点作于点，则， 由（1）可知： ∴，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点． (3)或 【分析】（1）过点作于点，先证，再依据“”判定和全等，从而得； （2）由（1）可知：，，再证和全等得，然后由 ，则，，进而可得，据此可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当点在线段上时，过点作于，②当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质分别求得的长，再求比值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解点在射线上， 有以下两种情况： ①当点在线段上时，过点作于，如图所示： ， ， 由（2）可知：，则， 由（2）可知：，则， ， ． ②当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，如图所示： 同理可证，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 综上所述：的值为：或． $专题02 全等三角形判定与构造模型 基础·固本强基 题型1 全等三角形的性质与对应关系 题型2 三角形全等判定及条件补全 题型3 直接利用全等证明线段或角相等 提升·进阶突破 题型4 平行线与全等三角形综合 题型5 延长线或截取等长线段构造全等（重点） 题型6 多组全等三角形的连续证明（重难点） 拔高·压轴破难 题型7 旋转型图形中的全等关系（重难点） 题型8 截长补短与巧添辅助线（重难点） 题型9 全等与动点位置变化的问题证明（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 全等三角形的性质与对应关系（共6小题） 【模型】全等三角形对应边相等、对应角相等——先找准"对应"，再写结论。 【步骤】① 按"≌"中的顶点顺序确定对应顶点；② 逐一写出对应边、对应角；③ 用性质求未知边、角。 【易错】"≌"中字母顺序必须一一对应，写反则对应关系全错；对应边是"相等角所对的边"，不能按图形位置想当然。 1．（26-27八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，已知，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）若，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，的周长是20，面积是12，则的周长和面积分别是（     ） A．20，6 B．10，6 C．20，12 D．10，12 5．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，点，在上，且．若，，则的长为__________． 6．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，，的周长为21，，则____． 题型2 三角形全等判定及条件补全（共7小题） 【模型】四种判定：三边(SSS)、两边及其夹角(SAS)、两角及其夹边(ASA)、两角及一角的对边(AAS)。 【步骤】① 找出已知的三组条件；② 对照判定看缺什么（缺边找公共边，缺角找公共角、对顶角）；③ 补全后规范书写证明。 【易错】"SSA"（两边及一边的对角）和"AAA"都不能判定全等，这是最高频陷阱；SAS 必须是两边的"夹角" 7．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是（     ） A．三条边分别相等 B．两边和它们的夹角分别相等 C．两角和其中一角的对边分别相等 D．三个角分别相等 8．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再定出的垂线，使，，在一条直线上，可以证明，得到，因此测得的长就是的长（如图），判定的理由是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）如图，，，，添加一个条件____，即可证明．下列添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知，，添加下列条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 11．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，相交于点． (1)求证：； (2)时，求的度数． 12．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由． 13．（26-27八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，，求证：． 题型3 直接利用全等证明线段或角相等（共6小题） 【模型】要证两条线段（或两个角）相等 → 把它们分别放进两个三角形，证这两个三角形全等。 【步骤】① 选定包含目标边（角）的两个三角形；② 找齐三组条件（公共边、公共角优先）；③ 判全等后由对应边（角）相等得结论。 【易错】证完全等必须接着写"所以……=……"的结论，只证全等不算做完；结论中的对应要写准。 14．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，D、F是线段上的两点，，求证：． 15．（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，，，求证：． 16．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)探究线段的位置关系，并证明你的猜想． 17．（26-27八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，D是上一点，，E是外一点，，．求证：． 18．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，点为外一点，，，过点作于点，延长交于点．求证：． 19．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知：点、、、在同一条直线上，，．求证：． 提升·进阶突破 题型4 平行线与全等三角形综合（共6小题） 【模型】平行提供一组角相等（同位角、内错角）→ 与已知边组合，凑出 ASA 或 AAS（也可凑 SAS）。 【步骤】① 由平行得一组角相等；② 再找公共边或已知相等的边；③ 判定全等后推出要证的结论。 【易错】平行得到的角必须是这两个三角形中的角；同旁内角是互补，别当成相等用。 20．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：如图，线段相交于点．从①，②，③中选出两个作为补充条件，余下的一个作为结论，组成一个真命题． (1)你选择的条件是___________，结论是___________（均填写序号）；写出结论成立的证明过程： (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 21．（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 22．（26-27八年级上·四川广安·阶段检测）如图，点A，B，D，E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（26-27七年级上·重庆开州·阶段检测）如图，点B，F，E，C在同一直线上，点A，D在的异侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 24．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图：，若是的中点，连接，并延长交于点， (1)求证； (2)连接，判断与的大小关系，并说明理由． 25．（26-27八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知A、E、B、F共线，，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型5 延长线段或截取等长线段构造全等（共6小题） 【模型】图形中缺三角形时，延长某条线或在一条线上截取等长线段，人为"造"出一对全等三角形。 【步骤】① 明确要证的等长（等角）关系；② 延长或截取，构造出三角形；③ 找齐条件判定全等。 【易错】辅助线要在证明开头写明"延长……至……，使……等于……"；截取的长度必须有依据，不能凭空相等。 26．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 27．（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 28．（2026八年级上·全国·专题练习）【初步探索】 (1)如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是___________ 【灵活运用】 (2)如图2，是的中线，E、F分别在、上，且，求证：． 【拓展延伸】 (3)如图3，为的角平分线，直线于点A．点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 29．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 30．（2026八年级上·全国·专题练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 题型6 多组全等三角形的连续证明（共5小题） 【模型】先证一对三角形全等 → 用它的结论（某边或某角相等）作为下一对的条件，链式推进（二次全等）。 【步骤】① 证第一组全等；② 显式写出得到的边（角）相等；③ 用它作条件证第二组全等。 【易错】第一步的结论不写出来，第二步就没有依据；连续全等时对应顶点逐次核对，顺序错则全错。 31．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）在中，,，D点为射线上一动点，连接，过点B作且（点E在直线BC下方）． (1)当点D在线段上时，如图1，过E点作交于点G，求证：； (2)如图2，当点D在的延长线上时，连接，与的延长线交于点M，求与的大小关系． 32．（2026八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，，，直线l经过点C，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． (1)求证：，； (2)如图2，延长至，连接，过点C作，且，连接交直线l于点N． ①求证：； ②当，直接写出的长． 33．（2026八年级上·全国·专题练习）解答下列各题 (1)如图1，的角平分线，相交于点O，． ①求的度数； ②在上截取，使，连接，补全图形并求证：； (2)如图2，点D是外一点，平分，交于点O，平分，，，，，求的长． 34．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，，且，． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设与交于点，连接．若，求． 35．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）综合探究 【探究学习】 (1)如图1，在中，，、是的角平分线，、交于点，为探究、与之间的数量关系，小阳在上取了一点，使，连接． ①求的度数； ②请写出、与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，两条笔直的公路、相交于点，且，公路、上分别有一个小区、，为连接两个小区的公路，另有一条公路交公路于点，且平分，现计划在的延长线上再新建一个小区，连接并延长，交公路于点，修建新的公路且使得平分，若，，求小区和小区之间的距离．（小区的大小与公路的宽度均忽略不计） 拔高·压轴破难 题型7 旋转型图形中的全等关系（共4小题） 【模型】一个三角形绕某点旋转 → 旋转前后图形全等，对应边相等，且对应线段的夹角等于旋转角。 【步骤】① 确定旋转中心、方向与角度；② 找出旋转前后的对应顶点、对应边；③ 用全等（或旋转性质）得边角相等。 【易错】旋转角是"对应点与中心连线"的夹角，对应边找错则角度错；旋转只改变位置，不改变形状与大小。 36．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）英歌舞中的“转槌”动作可抽象为图形的旋转．已知和都是等腰直角三角形，，，． (1)如图，当点D在上时，求证：； (2)将绕点A按顺时针方向旋转到如图的位置（点D落在内部），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)在绕点A旋转的过程中，点D到点B的距离不断变化．请直接写出长的最大值与最小值，并简要说明理由． 37．（25-26八年级上·河北·单元复习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 38．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，其中．    (1)如图1，点在边上，若，求的长． (2)若等腰绕点C旋转后得到等腰，如图2所示，连接，交于点O，求证：． (3)若等腰绕点旋转后得到等腰，如图3所示，连接，点是中点，连接并延长交于． ①求证：； ②若，求的面积． 39．（21-22八年级上·河南南阳·期末）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 题型8 截长补短与巧添辅助线（共4小题） 【模型】证"两线段之和等于第三线段"（a+b=c）→ 截长：在长线段 c 上取一段等于 a，证余下那段等于 b；补短：延长 a 使延长部分等于 b，证整体等于 c。 【步骤】① 明确要证的和差关系；② 选截长或补短作辅助线；③ 证新出现的两个三角形全等，合并得结论。 【易错】必须先说明"截取（延长）使……等于……"的依据；截长补短往往需要两次全等，第一次的结论要写出来再用。 40．（19-20八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 41．（21-22八年级上·河北沧州·期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 42．（2026八年级上·全国·专题练习）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点．求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 43．（25-26七年级下·四川成都·期中）小成在探究线段之间的和、差问题时，发现了一种添加辅助线的方法：截长补短．“截长”，即在某条线段上截取一条线段与已知线段相等；“补短”，即通过延长某条线段，使其与已知线段相等．再利用全等三角形的性质、判定等相关知识来解决数学问题． 【探究学习】 (1)已知中，，若，分别平分和，、交于点，则____________度．在线段上取一点，使，连接，可以证明，再通过全等三角形判定依据______来证明，得出线段、、之间存在数量关系：________________________． 【解决问题】 (2)如图2，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点，延长交的延长线于点，延长交延长线于点．请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【迁移运用】 (3)已知“等腰三角形的两个底角相等”．如图3，在中，，，．的角平分线交于点，、为线段、上的动点，且，连接、，当取得最小值时，求的度数． 题型9 全等与动点位置变化的问题证明（共4小题） 【模型】“以静制动”：把动点看成停在线段（或射线）上的某个一般位置，用一条线段长（如设 AP=x）表示它的位置，再找出一对始终满足 SAS（或 ASA、AAS）的全等三角形；只要全等关系与位置无关，结论（线段相等、和为定值等）就恒成立。 【步骤】① 设出动点的位置：如“设 AP=x”，并写出 x 的取值范围（不与端点重合等）；② 选一对含目标边（角）的三角形，凑齐三组条件（等边：已知边、公共边、都用 x 表示后相等的线段；等角：固定的夹角、直角、平行或旋转得到的角）；③ 判定全等，由对应边（角）相等写出与 x 无关的结论；④ 回检端点、两点重合、三点共线等临界位置。 【易错】① 拿一个特殊位置（中点、端点）代替一般位置就下结论；② 没验证夹角是否恒定就用 SAS；③ 忘记写 x 的取值范围，或漏掉端点、重合、共线等临界情形；④ 对应顶点顺序随位置改变却不分段说明；⑤ 过程跳步，只写“同理可得”却不给全等依据。 44．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． AI (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：． (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 45．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，点D是边上一动点，连接，，，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，求的长； (3)在（2）的条件下，与交于点M，设的面积为，四边形的面积为，求的值． 46．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 47．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，点E为射线上一动点，连结，作且． (1)如图1，过点作交于点，求证：； (2)如图2，连结交于点，若，求证：点为中点； (3)当点在射线上，连结与直线交于点，若，则_______（直接写出结果） $