精品解析：广东东莞市东莞中学松山湖学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期第一次阶段考试 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：共10小题，满分30分，每小题3分 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 2. 下列各点中，在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 3. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 4. 已知是方程的解，则代数式的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程的根的定义得到关于的等式，再对所求代数式变形后整体代入求值． 【详解】解：是方程的解， ，即， 则． 5. 若抛物线的图象与轴有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与轴的交点个数、根的判别式，根据两个公共点列不等式求解即可． 【详解】解：抛物线的图象与轴有两个公共点， ， 解得：． 6. 已知，点，点，都在反比例函数的图象上，则的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：反比例函数，， 时，y随x增大而增大． ，点，点， ， ∴． 7. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 8. 已知二次函数（）中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程的一个根所在范围的是（ ） x y A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由表格数据可知，当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根在范围内． 9. 深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产水稻，到2025年平均每公顷产水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确2023年到2025年共经历2次年增长，结合基期产量、年平均增长率与现期产量的关系列方程． 【详解】解：∵2023年平均每公顷产，年平均增长率为． ∴2024年平均每公顷产量为． ∴2025年平均每公顷产量为． 又∵2025年平均每公顷产． ∴可列方程． 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 二、填空题：共5小题，满分15分，每小题3分 11. 已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 12. 反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 13. 皓轩同学参加体育课实心球测试，实心球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系为，则他的实心球测试成绩是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 实心球测试成绩即实心球落地时的水平距离，此时高度，代入到函数关系式中，求出对应的的值，即可解答． 【详解】解：当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴他的实心球测试成绩是． 故答案为：10． 14. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 15. 如图，P是反比例函数图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则k＝___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据“P是反比例函数图象上一点，矩形OAPB的面积是6”可得S矩形OAPB＝|k|＝6，由此可得k值． 【详解】解：∵P是反比例函数图象上一点，四边形OAPB是矩形， ∴S矩形OAPB＝|k|， ∵矩形OAPB的面积是6， ∴|k|＝6， 由图象可知，k＞0， ∴k＝6 故答案为6． 【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数k的几何含义． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 请从，，1中任选一个数作为的值，解关于的一元二次方程． 【答案】选取时，方程的解为（答案不唯一）． 【解析】 【详解】解：当时， 方程为：， 因式分解得：， 或， 解得：； 当时， 方程为：， 用配方法变形：，即， 开方得：， 解得：； 当时， 方程为：， 变形为完全平方式：， 解得：． 17. 如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形（墙足够长），已知篱笆的长度是，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当两边都为米时，面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】设矩形一边长为，表示出另一边长，列出面积的二次函数，配方后利用二次函数顶点式求面积最大值． 【详解】解：设矩形一边长为，另一边长为， 则矩形的面积， ∵，二次函数开口向下， ∴当时，取得最大值， 此时两条边长都为． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：k取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，满足，求k的值． 【答案】（1）证明： ∴无论k取何实数，方程总有两个不相等实数根． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴， ∵， 代入：， 整理得， 解得． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． （1）求、的值和反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）当时，关于的不等式的解集为____________． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把、两点代入一次函数求出坐标，再代入求反比例解析式； （2）求出直线与轴交点，将转化成求面积； （3）根据函数图象，在部分找反比例在一次函数上方对应的范围． 【小问1详解】 解：把代入，得， 则点的坐标为， 把代入，得，解得， 则点的坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：如图，设直线交轴于点， 当时，， 则的坐标为，即， 据（1）可知点的坐标为，点的坐标为， 故． 【小问3详解】 解：，即反比例函数图象在一次函数图象上方，且点的坐标为， 故当时，的解集为． 20. 综合与实践： 【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 （2）当水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）大孔的水面宽度 【解析】 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）求出水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），警戒水位的位置，再代入函数表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，设抛物线的解析式为， 由题意得，抛物线过， ∴ 解得， ∴解析式为； 【小问2详解】 解：正常水位时水面在处． 小孔顶点距水面，所以小孔顶点在处． 水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），警戒水位在处． 将代入可得， 解得 此时大孔的水面宽度为， 答：大孔的水面宽度． 21. 数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．” 请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． （1）我们在解方程时用到的数学思想方法是（ ）． A．数形结合的思想 B．整体的思想 C．分类讨论的思想 D．特殊到一般的思想 （2）解方程：． 【答案】（1）C （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：观察题目例题的解答过程，发现分或两种情况， ∴在解方程时用到的数学思想方法是：分类讨论的思想． 【小问2详解】 解：①当，即时，原方程可化为： ，解得：（舍去），． ②当，即时，原方程可化为： ，解得：，（舍去）， ∴原方程的解是，． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． （1）___________，___________（用含t的代数式表示） （2）记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】（1）， （2）①是，；② 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； 【小问2详解】 解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 23. 抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点．动点D在线段上（点D与点O不重合）． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； （3）如图3，在动点D的正上方有另一动点，且，当点D从点B开始运动时，点E以相同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动．连接，，求的最小值和此时p的值． 【答案】（1） （2）①；② （3）的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次阶段考试 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：共10小题，满分30分，每小题3分 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 下列各点中，在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 4. 已知是方程的解，则代数式的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 5. 若抛物线的图象与轴有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，点，点，都在反比例函数的图象上，则的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（）中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程的一个根所在范围的是（ ） x y A. B. C. D. 9. 深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产水稻，到2025年平均每公顷产水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题：共5小题，满分15分，每小题3分 11. 已知方程的一个根是1，则_____． 12. 反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 13. 皓轩同学参加体育课实心球测试，实心球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系为，则他的实心球测试成绩是_____． 14. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 15. 如图，P是反比例函数图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则k＝___． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 请从，，1中任选一个数作为的值，解关于的一元二次方程． 17. 如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形（墙足够长），已知篱笆的长度是，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？最大面积是多少？ 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：k取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，满足，求k的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． （1）求、的值和反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）当时，关于的不等式的解集为____________． 20. 综合与实践： 【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 （2）当水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 21. 数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．” 请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． （1）我们在解方程时用到的数学思想方法是（ ）． A．数形结合的思想 B．整体的思想 C．分类讨论的思想 D．特殊到一般的思想 （2）解方程：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． （1）___________，___________（用含t的代数式表示） （2）记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 23. 抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点．动点D在线段上（点D与点O不重合）． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； （3）如图3，在动点D的正上方有另一动点，且，当点D从点B开始运动时，点E以相同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动．连接，，求的最小值和此时p的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $