周周练16 30.1 直线和圆（数学新教材人教版九年级上册）

2026-2027学年九年级上学期数学周周测16 30.1 直线和圆 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离，然后比较即可求解． 【详解】解：根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离， ∵， ∴根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 4．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 6．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了外心的定义，正方形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握三角形的外心到三个顶点距离相等，正方形四条边都相等，四个角都是直角． 根据三角形外心的性质可得，根据正方形的性质可得，即可判断①；求出正方形对角线，即可判断②；根据切线的判定，即可判断③． 【详解】解：连接 ∵O为的外心， ∴， ①∵四边形为正方形． ∴， ∴， ∴O是的外心； 故①正确； ②连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴O不是的外心； 故②不正确； ③由①可得：， ∴点E在上， ∵四边形为正方形， ∴， ∴直线与的外接圆相切． 故③正确； 综上：正确的有①③． 故选：B． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接．由四边形是的内接四边形可得，得出．由切线的性质得，可得，根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴ ． ∴ ． ∴． ∵， ∴． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明得，根据圆周角定理求出，可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理，首先过点作，设，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可． 【详解】解：如下图所示， 过点作， 又∵， ∴四边形是矩形 ， ∵是的内切圆，半径为， ∴ ， 设， 则有， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴． 故选：B． 10．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 12．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 14．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一个球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆的半径是6，，则阴影部分的面积是___________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】证明，求出，分别计算四边形和扇形的面积，最后用四边形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ，分别与相切于点，， ，，即， ∴， ∵ ∴， ， 该圆的半径， ， ， ， ， ． 15．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是_______．    【答案】或 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在中，，，，以点为圆心，2.4为半径画圆．求： (1)的中点与的位置关系； (2)直线与的位置关系． 【答案】(1)点D在外 (2)相切 【分析】（1）根据题意建立图形，利用勾股定理算出的长，再结合直角三角形性质得到的长，比较与半径的大小，即可判断的中点与的位置关系；； （2）利用等面积法求出点到直线的距离，再与半径比较，即可判断直线与的位置关系． 【详解】（1）解：如图 ，，， ， 为的中点， ， 的半径为2.4，， 点D在外； （2）解：， 即， 解得， ， 直线与相切． 【点睛】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，直角三角形性质，解题的关键在于正确掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系． 18．（2026·山西运城·二模）如图，是的直径，C为上一点，，过点C与相切的直线交的延长线于点D，连接．请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径，C为上一点，， ∴， ∵， ∴， ∵，分别是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∵点D在的延长线上， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】根据弧与角的关系，平角的定义得到，根据圆周角定理得到，根据切线的性质、直角三角形两锐角互余得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 【详解】略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测16 30.1 直线和圆 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 2．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 4．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 6．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 10．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 12．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 13．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 14．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一个球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆的半径是6，，则阴影部分的面积是___________．（结果保留） 15．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是_______．    三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在中，，，，以点为圆心，2.4为半径画圆．求： (1)的中点与的位置关系； (2)直线与的位置关系． 18．（2026·山西运城·二模）如图，是的直径，C为上一点，，过点C与相切的直线交的延长线于点D，连接．请判断的形状，并说明理由． 19．（2026·江苏南通·中考真题）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 20．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 21．如图，是的外接圆，连接，过点C作一条射线． (1)请从以下条件中：①，；②；③平分．选择一组能证明是的切线的条件，并写出证明过程； (2)若，，，求的度数． 22．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，． (1)求证：； (2)①求的半径长；②求线段的长． 23．（2026·西藏拉萨·模拟预测）已知：如图，是的直径，点C在上，的外角平分线交于D，与相切，交的延长线于E． (1)判断直线和是否平行，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 24．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，在矩形中，边长，，其中a，b（）分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒．在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点Q． (1)______； (2)如图2，当t为多少时，点O运动到的角平分线上，此时，半圆O与有怎样的位置关系，并加以说明； (3)如图3，当且半圆O与的边有两个交点时，则t的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测16 30.1 直线和圆 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 2．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 4．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 6．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 10．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 12．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 13．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 14．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一个球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆的半径是6，，则阴影部分的面积是___________．（结果保留） 15．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是_______．    三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在中，，，，以点为圆心，2.4为半径画圆．求： (1)的中点与的位置关系； (2)直线与的位置关系． 18．（2026·山西运城·二模）如图，是的直径，C为上一点，，过点C与相切的直线交的延长线于点D，连接．请判断的形状，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测16 30.1 直线和圆 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离，然后比较即可求解． 【详解】解：根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离， ∵， ∴根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 4．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 6．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了外心的定义，正方形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握三角形的外心到三个顶点距离相等，正方形四条边都相等，四个角都是直角． 根据三角形外心的性质可得，根据正方形的性质可得，即可判断①；求出正方形对角线，即可判断②；根据切线的判定，即可判断③． 【详解】解：连接 ∵O为的外心， ∴， ①∵四边形为正方形． ∴， ∴， ∴O是的外心； 故①正确； ②连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴O不是的外心； 故②不正确； ③由①可得：， ∴点E在上， ∵四边形为正方形， ∴， ∴直线与的外接圆相切． 故③正确； 综上：正确的有①③． 故选：B． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接．由四边形是的内接四边形可得，得出．由切线的性质得，可得，根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴ ． ∴ ． ∴． ∵， ∴． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明得，根据圆周角定理求出，可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理，首先过点作，设，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可． 【详解】解：如下图所示， 过点作， 又∵， ∴四边形是矩形 ， ∵是的内切圆，半径为， ∴ ， 设， 则有， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴． 故选：B． 10．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 12．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 14．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一个球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆的半径是6，，则阴影部分的面积是___________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】证明，求出，分别计算四边形和扇形的面积，最后用四边形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ，分别与相切于点，， ，，即， ∴， ∵ ∴， ， 该圆的半径， ， ， ， ， ． 15．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是_______．    【答案】或 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在中，，，，以点为圆心，2.4为半径画圆．求： (1)的中点与的位置关系； (2)直线与的位置关系． 【答案】(1)点D在外 (2)相切 【分析】（1）根据题意建立图形，利用勾股定理算出的长，再结合直角三角形性质得到的长，比较与半径的大小，即可判断的中点与的位置关系；； （2）利用等面积法求出点到直线的距离，再与半径比较，即可判断直线与的位置关系． 【详解】（1）解：如图 ，，， ， 为的中点， ， 的半径为2.4，， 点D在外； （2）解：， 即， 解得， ， 直线与相切． 【点睛】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，直角三角形性质，解题的关键在于正确掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系． 18．（2026·山西运城·二模）如图，是的直径，C为上一点，，过点C与相切的直线交的延长线于点D，连接．请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径，C为上一点，， ∴， ∵， ∴， ∵，分别是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∵点D在的延长线上， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】根据弧与角的关系，平角的定义得到，根据圆周角定理得到，根据切线的性质、直角三角形两锐角互余得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 【详解】略 19．（2026·江苏南通·中考真题）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． (2)． 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 20．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 【答案】(1) 如图，点O即为的内切圆圆心， (2) (3)2 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，作图-复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点． （1）分别作和的平分线，它们相交于点O，则点O为内切圆圆心； （2）过点O作于F，然后以点O为圆心，为半径作圆；连接、，根据切线长定理得出，，从而可求出； （3）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得的内切圆的半径． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， 由切线长定理得，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：设内切圆的半径为r， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 21．如图，是的外接圆，连接，过点C作一条射线． (1)请从以下条件中：①，；②；③平分．选择一组能证明是的切线的条件，并写出证明过程； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)解：选择①，， 连接，如解①图； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线， 选择②， 如解②图，连接并延长交圆于点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∵是圆的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）选择①连接，由可得，由可得，进而可证明是的切线，选择②连接并延长交圆于点，证明，从而证明，即可得出结论，③平分，无法得出结论； （2）连接，，证明，求得，进而求出． 【详解】（1）略； （2）解：连接，． ∵， ∴， ，，， ， ， ． 22．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，． (1)求证：； (2)①求的半径长；②求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵，分别切于点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①3；② 【分析】（）利用切线长定理得到，利用切线的性质得，则，由于，，再根据等角的余角相等即可求证； （）①连接，由切线长定理得，，，则，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解； ②先由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：①连接， ∵，分别切于点，， ∴，，， ∴，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（2026·西藏拉萨·模拟预测）已知：如图，是的直径，点C在上，的外角平分线交于D，与相切，交的延长线于E． (1)判断直线和是否平行，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)平行，理由如下： 连接，如图， 与相切， ． 由图可得，， ． 是的平分线，即， ． ． ，即． 是的直径，点C在上， ， ； (2)的长 【分析】（1）连接，根据切线性质得；由得，结合平分，可推，可得，进而得．又是直径，得，进而即可证明； （2）先求出，在中，，故，可求出．由平分得，结合，可知中，根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴． 24．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，在矩形中，边长，，其中a，b（）分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒．在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点Q． (1)______； (2)如图2，当t为多少时，点O运动到的角平分线上，此时，半圆O与有怎样的位置关系，并加以说明； (3)如图3，当且半圆O与的边有两个交点时，则t的取值范围为 ． 【答案】(1)5 (2) ，半圆O与相切， 说明：如图，过点作，垂足为点， 是的平分线， 又在矩形中，，，， ， ， 是的切线，即与相切， 又， ， ，即， ， ； (3) 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，；根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角平分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）根据题意，分为当半圆与有2个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由，即， 解得：，， ，，其中，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 故答案为：5； （2）略 （3）解：如图，当半圆与相切时，此时半圆与的边有1个交点，即为切点，设切点为，连接， 由（2）知，， 如图，当点与点重合时，此时半圆与的边有2个交点， 此时，为半圆的直径，， ， 当时，半圆与有2个交点， 即半圆与的边有2个交点； 如图，此时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆与相切时，此时半圆与的边有3个交点，设与半圆的切点为，连接， ， ， 当时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 即半圆与的边有2个交点； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $