培优专题01 直线与圆的位置关系重难题型归纳(专项训练)数学新教材人教版九年级上册

专题01 直线与圆的位置关系重难题型归纳 常考题型·精准突破 题型1 判断直线与圆的位置关系及求值 题型2 切线的判定（高频） 题型3 利用切线的性质求值（高频） 题型4 应用切线长定理求解（重） 题型5 三角形内切圆与外接圆 题型6 正多边形与圆 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1判断直线与圆的位置关系及求值 1．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 2．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 3．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 4．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是_____，若⊙P与相离，则r满足的条件是_____． 【答案】 相离 【分析】过点P作，利用的直角边是斜边的一半，求出，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系进行判断即可． 【详解】解：过点P作，垂足为D，则， ∵，cm， ∴． 当cm时，， ∴⊙P与相离， 即⊙P与位置关系是相离． 当⊙P与相离时，， ∴r需满足的条件是：． 故答案为：相离；． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系，是解题的关键． 5．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)解：当时，直线与圆相离；理由如下： ∵， ∴， 作，则，即， ∴，即点到直线的距离为； ∵，即， ∴直线与圆相离； (2)解：当时，直线与圆相切；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为； ∴， ∴直线与圆相切； (3)解：当时，直线与圆相交；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为， ∵，即， ∴直线与圆相交. 【分析】勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据与的大小关系，判断位置即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型2 切线的判定 1．如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于、两点． 求证：是的切线； 【答案】证明：如图，过点作于， ，是的角平分线， ． 为圆心，为半径， 是的切线． 【分析】先过点作于，再根据角平分线的性质定理得，即可得出答案． 【详解】略． 2．如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角性质可以推出，判定，即可得到，从而由切线的判定即可得证； （2）连接，由（1）可知，，结合直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一性质求出，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ， 由（1）可知，， 为的直径， ， ， 在等腰中，由三线合一性质可得是边上的中线，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 3．如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； (2)5 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． 4．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 5．如图，在中，，以为直径的交于点M，于点N．求证：是的切线． 【答案】证明：连接， ∵， ∴， ∵以为直径的交于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】连接，证得，由，易得，可得结论． 【详解】略 ◆题型3 利用切线的性质求值 1．如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点，与y轴分别交于点与点，则的直径是（     ） A．10 B． C． D．20 【答案】D 【分析】连接，作于H．由相切及切点的坐标得，再证明四边形是矩形，则有，由点B、C的坐标及垂径定理得的长，从而求得圆的半径，即可求得直径． 【详解】解：如图，连接，作于H． ∵与x轴相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的直径是20． 2．如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，连接，根据切线的性质和平行线的性质可知，由垂径定理可知，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， 的半径为， ， ， ， ． 3．如图，在中，，，圆心在上的半圆与斜边相切于点，则的度数是_____度． 【答案】25 【分析】先求出，连接，则，求出，最后再由圆周角定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，连接， ∵圆心在上的半圆与斜边相切于点， ∴， ∴， ∴． 4．如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 【答案】/50度 【分析】连接，由圆周角定理可得的度数，由切线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴ ． 5．如图，在中，，是上的一点，以为直径的圆与相切于点，连接，．求证：平分． 【答案】证明：连接， 是的切线， ，即， ， ， ， ， ， ，即平分． 【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义证明结论． 【详解】略 ◆题型4应用切线长定理求解 1．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 2．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 3．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 4．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 5．已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求出的长． 【答案】(1)证明：连接， 直线，分别切于点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ∴； (2)的长． 【分析】（1）连接，根据切线长定理可知，证明，可知，根据圆周角定理得到，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，可知，进而得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴ ， ， ， ， 的长． ◆题型5 三角形内切圆与外接圆 1．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 2．如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，连接，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点O是的外心， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 4．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 _______． 【答案】 【分析】根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，则有，，由几何图形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，切线长定理，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 5．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1) 证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． (2) 证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． (3) 证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. ◆题型6 正多边形与圆 1．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 2．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 3．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【答案】 36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 4．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 5．如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形的性质与扇形面积公式． （1）由正五边形的性质，可得，即可解答； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内接于， ； （2）由（1）得， 的半径为， 扇形（阴影部分）的面积为：． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 2．如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，再根据切线的性质得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 3．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 4．如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 5．如图，、与半径为2的相切于、两点，是的直径，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由圆周角定理得，得，证明是等边三角形，得，，由勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又、是的切线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 6．如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 7．如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 【答案】/40 【分析】根据切线长定理得到，，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是的内切圆，与，，的切点分别为，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 8．是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为______ ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：设半径为r，由题意得，， 解得， 六边形是的内接正六边形， ， ， 是正三角形， ， 弦所对应的弦心距为， 故答案为： 10．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ，为中点， ， 又以为圆心的圆过点， 为圆的半径， ∴与相切． (2) 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质证明后得证． （2）阴影部分面积为面积减去扇形面积，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度及的度数，而后代入扇形面积公式计算． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ，， ∴ ． 点是的中点， ， ， 又，， ，即， ， ． 12．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 13．如图，内接于，是的直径，点P是延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求由线段及围成的图形的面积（结果保留）． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据可得，进而得出，再根据等边对等角得出，即可得，则此题可证； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴，， 即，又， 解得， ∴， 根据勾股定理，得． ∴线段及围成图形的面积是． 14．如图，为的直径，点、在上，且点是的中点，过点作的垂线交直线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，由圆周角定理求出，由弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：连接，如图， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，为的直径，，，是上的点，四边形为菱形． (1)求的长； (2)延长到点，使得，求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图2，连接． 由（1）可得，， ∴， ， 是等边三角形， ，． ， ， ． ， 又∵是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接．首先，证得是等边三角形，得，，然后，求得，最后，再代入弧长公式计算即可； （2）连接．先证得是等边三角形，得，，再由，得，进而得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图1，连接． ∵四边形为菱形， ，． 又， 是等边三角形． ， ． ∵， ， 的长为； （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01直线与圆的位置关系重难题型归纳 内容概览 目常考题型·精准突破 题型1判断直线与圆的位置关系及求值 题型2切线的判定（高频） 题型3利用切线的性质求值（高频） 题型4应用切线长定理求解（重) 题型5三角形内切圆与外接圆 题型6正多边形与圆 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1判断直线与圆的位置关系及求值 1.圆的半径为4cm,圆心与直线上某一点距离为4cm,则直线与圆的位置关系不可能是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 2.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，己知EF=CD=6cm,则球的半径为 E 15 A.4cm B.4cm C.om D.5cm 3.如图，Rt△ABC中，以点A为圆心作OA,与BC,AC有交点（不经过点B,C两点），∠B=90°， ∠C=30°，若AB=3,则⊙A的半径r的取值范围是 1/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.已知LAOB=30°，P是OA上的一点，OP=4cm,以r为半径作⊙P,若r=V5cm,则⊙P与OB的位 置关系是一， 若⊙P与OB相离，则r满足的条件是 A ◇ 0130 D B 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6.以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作 圆，试问所作的圆与斜边AB所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由。 D C B (1)r=4: (2r=4.8; (3)r=5. ◆题型2切线的判定 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙0与直线 AO交于E、D两点. A 求证：AB是OO的切线： 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠ACB=9O°，以CD为直径作⊙O,分别交AC,BC于点 M,V,过点M作ME⊥AB于点E. M (1)求证：ME是O0的切线： (2)若CD=5,AC=8,求ME的长. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作OO交BC于点D.过点D作EF L AC,垂足为E,且 交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是OO的切线： (2)若AB=10,∠A=60°，求BD的长. 4.如图，直线AB经过⊙0上的点C,并且OA=OB,CA=CB. C B (1)求证：直线AB是⊙0的切线， (2)若∠A0B=90°，0A=2,求阴影部分的面积. 5.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0交BC于点M,MN L AC于点N.求证：MN是 ⊙O的切线. 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O。 M ◆题型3利用切线的性质求值 1.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(⑧，0)，与y轴分别交于点B(0,4)与点C(0,16),则 ⊙M的直径是() y个 •M B A A.10 B.2√41 c.4v13 D.20 2.如图，直线AB与⊙O相切于点A,线段AC,CD是O0的两条弦，且CDAB;若⊙O的半径为10， CD=16,则弦AC的长为() D A B A.20 B.16 c.85 D.85 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，圆心在BC上的半圆O与斜边AB相切于点D,则 ∠BCD的度数是度. 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 4.如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上，已知∠PAB=20°，则∠P的度数 是 B 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上的一点，以AD为直径的圆O与BC相切于点E,连接 AE,DE.求证：AE平分∠BAC. B E ◆题型4应用切线长定理求解 1.如图所示，P是O0外一点，PA,PB分别和⊙O切于A,B两点，C是AB上任意一点，过C作OO的切 线分别交PA,PB于D,E.若△PDE的周长为12，则PA的长为() D A.12 B.6 C.8 D.4 2.如图，PA,PB是OO的切线，A,B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=58°，则∠APB=() 5/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.54° B.58° C.64° D.68 3.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，若∠OAB=21°，则∠P= B 4.如图，PA、PB切⊙O于点A、B,PA=10,则PB=;CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、 D两点，则△PCD的周长是一 >P B 5.已知，如图，AB是⊙O的直径，直线DC,DA分别切⊙O于点C,点A,连接BC,OD. B (1)求证：BC∥OD: (2)若∠ODC=35°，AB=12,求出BC的长 ◆题型5三角形内切圆与外接圆 1.在△ABC中，∠A=50°，⊙0是△ABC的内切圆，连接OB、OC,则∠B0C的度数为() 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.105° B.110° c.115 D.125° 2.如图，O是△ABC的外心，连接OB,OC,若∠OBC=32°，则∠A的度数为() A.56 B.58 C.60° D.62 3.如图，⊙0为△ABC的外接圆，其中∠B=50°，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙0于点D,连 接IC,CD,则∠ICD=°. D 4.如图，OO为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD=6,BD=4,则△ABC的面积为 B E 5.如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D. 7/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D (1)求证：∠BAD=∠CBD: (2)求证：BD=ID; (3)连接B1、CI,求证：点D是△BIC的外心. ◆题型6正多边形与圆 1.如图，一个正多边形中心点O为正多边形的中心，OA=1,若∠4CB=15°，则这个正多边形的面积为 () A.1 B.3 C.π D.3元 2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为BC上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为 () B D A.36° B.45° C.60° D.72° 3.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，DFJOE,EFOD,连接OF,则∠OFD的度数为 8/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4.如图，正五边形ABCDE的边长为10，点B、E在⊙A上，则BE的长是 B 5.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OA,OC,AD D (1)求∠ADC的度数： (2)若⊙0的半径为1，求扇形A0C(阴影部分)的面积. 综合攻坚知能拔高 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,以点C为圆心，r为半径作圆.若⊙C与斜边 AB所在直线有且只有一个公共点，则r的值为() C D B 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 A.5 B.3 C.4 D.5 2.如图，AB是OO的直径，CD是⊙O的切线，切点为C,点D在AB的延长线上，若∠A=25°，则∠D 的度数为() B D A.40° B.50° C.60 D.70° 3.如图，PA、PB分别与⊙0相切于A、B,∠P=60°，C为⊙0上一点，则∠ACB的度数为() A ●O B A.110° B.120° C.125 D.130° 4.如图，⊙0是△ABC的内切圆，∠BOC=117°，则∠A的度数为() B A.54° B.55 C.56 D.60° 5.如图，PA、PB与半径为2的⊙0相切于A、B两点，AC是⊙0的直径，∠BOC=60°，则AP的长是 () B A.√2 B.3 c.22 D.25 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=2,D是AB上一点（点D与点A不重合）. 若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个项点，则AD长的取值 范围是 7.如图，⊙0是△ABC的内切圆，与AB,BC,CA的切点分别为D,E,F,若∠BDE+∠CFE=I1O° 则∠A的度数是 ° A D E 8.AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B,圆心O在PA上，若∠P=40°，则∠PAB=° B δ 9.如图，⊙0的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于OO则△OAB的面积为一· 10.如图所示，△ABC的内切圆⊙0与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,若∠DEF=5S°，则∠A的 度数是 11/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 11.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，以A为圆心的圆过点D, D B (1)求证：BC与OA相切： (2)若AB=10,∠B=30°，求阴影部分的面积. 12.如图，△ABC内接于O0,AB是直径，∠ABC=40°.点D是⊙0上一点且与点C位于AB两侧， AD=CD,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E,连接CD. D ◇E B C (1)求∠DCB的度数； (2)求证：DE是⊙0的切线. 13.如图，△ABC内接于⊙0，∠B=60°，CD是⊙0的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC, A D 0 B (1)求证：PA为⊙O的切线： (2)若PD=V5,求由线段PA,PD及AD围成的图形的面积（结果保留π）· 14.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是BD的中点，过点C作AD的垂线EF交直线 AD于点E. 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：EF是OO的切线， (2)若∠CAB=30°，⊙0的半径为4，求BD的长. 15.如图，AD为⊙O的直径，AD=4,B,C是⊙0上的点，四边形OABC为菱形. B (1)求AC的长： (2)延长AD到点P,使得DP=2,求证：PC是⊙O的切线， 13/13的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01直线与圆的位置关系重难题型归纳 内容概览 目常考题型精准突破 题型1判断直线与圆的位置关系及求值 题型2切线的判定（高频） 题型3利用切线的性质求值（高频） 题型4应用切线长定理求解（重） 题型5三角形内切圆与外接圆 题型6正多边形与圆 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1判断直线与圆的位置关系及求值 1.A 2.A 3.3<r<6 4.相离 0<r<2 5. 【答案】(1)解：当r=4时，直线与圆相离：理由如下： ·∠ACB=90°，AC=8,BC=6, .AB=V62+82=10, 作cD1AB则54BcD-4cC,6x8=10CcD 、CD=4.8,即点C到直线AB的距离d为4.8： 4<4.8,即r<d, 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .直线AB与圆相离： (2)解：当r=4.8时，直线与圆相切；理由如下： 由(1)可知，点C到直线AB的距离d为4.8； ..r=d, ∴直线AB与圆相切： 3)解：当r=5时，直线与圆相交；理由如下： 由(1)可知，点C到直线AB的距离d为4.8， :5>4.8,即r>d, ∴，直线AB与圆相交 ◆题型2切线的判定 1. 【答案】证明：如图，过点O作OH⊥AB于H, H ,是 的角平分线， C .·∠ACB=90°AO△ABC ∴.OC=OH, 0为圆心，OC为半径， AB是OO的切线， 2. 【答案】(1)证明：连接OM,如图所示： ，为斜边 的中点， E D B:∠ACB=90°D AB :.CD=DA=DB=14B. .∠ACD=∠A 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OC=OM, ∴.∠ACD=∠OMC, .∠OMC=∠A, .OM∥AB, ME⊥AB, .ME⊥OM, 又：OM为⊙0的半径， .ME是⊙O的切线， (2)解：连接DM,如图所示： M E D B..CD=5 .由(1)可知，BD=AD=CD=5, :CD为⊙O的直径， .∠CMD=90°， .DM⊥AC, 在等腰。DC中，由三线合一性质可得DM是边4C上的中线，即4M=CM-4C=4, ∴.在RtCDM中，由勾股定理可得DM=VCD2-CM2=V52-42=3, 5w= AM.DM= 2 AD-ME ME=AM.DM 4x3 2.4 AD 5 3. 】(1)证明：连接OD,AD, 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AB是⊙O的直径， .∠ADB=90° ∴.AD⊥BC .AB=AC ∴.BD=CD .OA=OB. ∴.OD是△BAC的中位线， .OD∥AC :EF⊥AC, ∴.OD⊥EF .EF是⊙O的切线： (2)解：：AB=AC,AD⊥BC,∠A=60° :.△ABC为等边三角形， :∠BAD=号∠BAC=30, 在RieABD中， BD= AB=x10=5 BD长为5. 4. (1)证明：连接OC, A C B :直线AB经过O0上的点C,OA=OB,CA=CB, .OC⊥AB, 又：OC为⊙0的半径， ∴直线AB是⊙O的切线 (2)解：：∠A0B=90°，0A=2,OA=0B,CA=CB 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4B=O1+0B=2W2,0C=AB=2」 二阴影部分的面积=2010B :0c2=1x2x2- 90 -2 90 360 360 5. 证明：连接OM, ..AB=AC. .∠B=∠C, ,以AB为直径的⊙O交BC于点M, ..OB=OM, ∴.∠B=∠OMB. .∠OMB=∠C, OMI‖AC, .MN⊥AC, :.OM⊥MN :OM是⊙0的半径， .MN是⊙O的切线. M ◆题型3利用切线的性质求值 1.D 2.C 3.25 4.50 5. 】证明：连接OE, 5/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 是 的切线， B E C.:BC ⊙0 ∴.OE⊥BC,即∠OEB=90°， ∠C=90°， .OE∥AC, ∴.∠OEA=∠EAC, ..OE=OA, ∴∠OEA=∠OAE ∴.∠OAE=∠EAC,即AE平分∠BAC ◆题型4应用切线长定理求解 1.B 2.C 3.42° 4.10 20 5. (1)证明：连接OC, C 直线， 分别切 于点， B DC DA ⊙0 ∴.CD=AD. 在△ADO与ACDO中， 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=AD OC=OA OD=OD ∴△ADO≌ACDO(SSS). ∴∠AOD=∠COD. :∠AOD=2 ∠A0C, ∠B=5∠40C .∠B=∠AOD, 、BC∥OD: (2)解：：△ADO2△CD0. ∴.∠ADC=2∠CD0=70° .∠A0C=180°-∠ADC=110°， .∠BOC=70°. AB=12, OB=6, 70π×6_ BC的长 180 3交 ◆题型5三角形内切圆与外接圆 1.C 2.B 3.65 4.24 5. (1) 证明：~点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD. 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=CD, .∠CBD=∠CAD, ∴.∠BAD=∠CBD (2) 证明：如图，连接B1, A 点I是 的内心， B D △ABC AI平分∠BAC,BI平分∠ABC, .∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI 又∠CBD=∠CAD ·∠CBD=∠BAD '∠BID=∠ABI+∠BAD,∠DBI=∠CBI+∠CBD, .∠BID=∠IBD, ∴ID=BD (3) 证明：如图，连接BI,CI,DC, A B D .·∠BAD=∠CAD :BD=CD. .ID=BD .BD=CD=ID, 点D是△BIC的外心. 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6正多边形与圆 1.B 2.A 3.36 4.6π 5. 【详解】(1)解：~正五边形ABCDE内接于⊙0， 2 ∠40C=360×写144 ∠ADC=)∠40C=72: 2 (2)由(1)得∠A0C=144°， ⊙0的半径为1， 扇形40C(阴影部分)的面积为：S=心=144元x1_2红 360=360°=5· 综合攻坚知能拔高 1.A 2.A 3.B 4.A 5.D 8<AD<4 6. 7.40° 8.25 9.45 10.70° 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11. (1)证明：连接AD, :AB=AC,D为BC中点， AD⊥BC, 又以A为圆心的圆过点D, ∴.AD为圆的半径， BC与OA相切. (2)解：在Rt△ADB中，∠B=30°，AD⊥BC, 4D-4B=10x25,2B4D=90-∠B=30 1 ∴.BD=VAB2-AD =V102-53 =5V5. ~点D是BC的中点， .BC=2BD=10W3, Sm=4D-Bc=×5x10w5=255, 又，AB=AC,AD⊥BC, .∠BAD=∠CAD=60°，即∠BAC=120°， 120π×52_25元 S扇形 360 3 S影=5c-Sa形-255-25 · 12. 【详解】(1)解：如图所示，连接AD, AC=AC,∠ABC=40°， 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E C .∠ADC=∠ABC=40° .AD=CD, ∠DCA=∠DAC=180°-∠ADC=18040°=70 2 2 :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， :∠DCB=∠ACB-∠DCA=90°-70°=20°， (2)证明：如图所示，连接OD, D E C :DE⊥CB ∠E=90°， ∴.∠CDE=90°-∠DCE=90°-20°=70° .·BD=BD ∴.∠DAB=∠DCE=20° .OA=OD. ∴.∠ODA=∠OAD=20°， ∴.∠ODC=∠ADC-∠AD0=40°-20°=20° .∠ODE=∠ODC+∠CDE=20°+70°=90°，即OD⊥DE, 又：OD是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线. 13. (1)证明：连接A0, ∠B=60°， ∴.∠AOC=2∠B=120° 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,A0=C0, ÷∠AC0=∠CA0=180°，120°=30° ..AP=AC, ∴.∠APC=∠ACP=30° .∠CAP=180°-2×30°=120°， .∠PAO=∠CAP-∠CAO=90°， .PA⊥AO ∴PA为⊙O的切线： A D B (2)解：在RtAAPO中，∠P=30°， &A0=2P0,1A0P=600: m40=5+D0.又40=D0 解得AO=DO=V3, P0=23, 根据勾股定理，得PA=√PO2-A02=3. ∴线段 A,PD及D国成图形的面积是Spo-SwPA:40 60mx5_1 360 3xV5-π=35π 2 222 14. (1)证明：连接OC,如图， ..OC=OA, .∠OCA=∠OAC, :点C是BD的中点， ∴.∠OAC=∠CAE, ∴.LOCA=LCAE, 12/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OC∥AE, AE⊥EF, OC⊥EF, :.EF是⊙O的切线： E D B (2)解：连接OD,如图， 点C是BD的中点， .∠CAE=∠BAC=30°， .∠BAD=2LBAC=60°， ∴.∠BOD=2∠BAD=120°， D B 20元×48π p= 1803· 15. 【详解】(1)解：如图1，连接OB B D 图1 :四边形OABC为菱形， 13/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OA=AB,AB∥OC. 又OA=OB」 ∴△AOB是等边三角形. .∠A=60°， .∠AOC=180°-∠A=120° AD=4, 0A=,AD=2 120×π×2_4 :AC的长为180 3 (2)证明：如图2，连接CD B D 图2 由(1)可得AB1/OC,∠A=60° .∠A=∠C0D=60°， OC=OD ∴△COD是等边三角形， ∴.CD=OD=2,∠OCD=∠ODC=60°， DP=2, ∴.DP=CD ∠DCP=∠P= ∠ODC=30° 2 .∠OCP=∠OCD+∠DCP=90°， 又，OC是⊙0的半径 ∴.PC是⊙O的切线. 14/14