江苏南通市启东市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次质检检测数学试题

启东市第一中学2026-2027学年度第一学期第一次素质检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线过点，则直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3.过点的直线的方向向量为，则该直线方程为 A. B. C. D. 4.设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，关于该椭圆，有下列四个结论． 甲：； 乙：的周长为； 丙：离心率为； 丁：四边形的面积为． 如果只有一个错误结论，那么该结论是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5.双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过点的弦的长为，那么的周长是(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，已知圆：，点，若圆上存在点，满足为坐标原点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线过点，在轴和轴上的截距相反，则直线的方程可能为(    ) A. B. C. D. 10.关于曲线：，下列说法正确的是(    ) A. 曲线围成图形的面积为 B. 曲线所表示的图形有且仅有条对称轴 C. 曲线所表示的图形是中心对称图形 D. 曲线是以为圆心，为半径的圆 11.已知点，，，，点为曲线：上一点，则(    ) A. 存在无数个点，使得为定值 B. 存在无数个点，使得为定值 C. 仅存在个点，使得 D. 仅存在个点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设为实数，若点在圆的内部，求的取值范围           ． 13.已知两条直线和都过点，求过两点，的直线的方程   ． 14.在平面直角坐标系中，已知点，，定义为“曼哈顿距离”若，则点的轨迹所围成图形的面积为           若椭圆上有且仅有个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是           ． 四、解答题：本题共小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线：；：为常数． 若，求的值； 若，且它们的距离为，求，的值． 16.本小题分  在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于，两点．若，求直线的方程；求的面积的最大值． 17.本小题分 已知动点满足方程． 试将上面的方程化简为标准方程； 类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为，其中，分别是椭圆的长半轴和短半轴的长，如得到动点得轨迹为椭圆，则求该椭圆的面积。如不是椭圆，请写出点得轨迹图形． 18.本小题分 已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． 求圆的标准方程 若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求直线的方程 过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于，两点，在非正半轴上是否存在点，使得若存在，求点的坐标若不存在，请说明理由． 19.本小题7分 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为． 求椭圆的方程 设，为椭圆上异于，的两点，记直线，的斜率分别为，，且． 证明：直线过定点； 设直线与直线交于点，记直线的斜率为，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026- -2027学年度高二年级第一次质量测试数学试卷答案 1.   2.C 3.  4.  5.  6.  7.  8.． 9.  10.  11.  12.． 13.． 14；  15.【答案】解：直线：；：，若， 则，求得． 若，则，求得，， 故直线：；：． 再根据它们的距离为，，或． 综上可得，，或．  16.【答案】解：因为圆 ，所以  ， 所以圆  的圆心为  ，半径为 ， 设圆心  到直线  的距离为 ， 则 ，所以 ，当直线  的斜率不存在时，  ，此时 ，                当直线  的斜率存在时，设直线  的斜率为  ，则  ， 所以  ，所以  ，所以 ，即 ， 综上可知：直线  的方程为  或 ；                 的面积 ，由  的性质可知 ， 所以  ，                当且仅当  时，即  时等号成立，所以  的面积的最大值是         17【答案】解： 由， 可以看作动点到定点的距离和为常数， 所以由椭圆的定义知动点轨迹为焦点在轴上的椭圆，且， 所以，所以椭圆的方程为：. 由知，， 由所给椭圆面积公式． 18.【答案】解：设圆心的坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线：的距离， 因为，所以， 所以圆的标准方程为； 法：由条件可知，，，四点共圆，且以为直径，记为圆， 则，半径， 所以圆的方程为， 因为圆的方程为， 两圆方程相减可得，所以直线的方程为； 法：设，，设直线上任意不同于点，的点为， 根据，可得切线的方程为， 因为在直线上，所以， 同理， 从而直线的方程为，即； 设存在点满足条件，由题可设直线：， ，， 由，得， 点在圆内部，恒成立，则， 因为，所以，即， 即，整理得， 从而，化简有， 因为对任意的都要成立，所以， 由此可得假设成立，存在满足条件的，且坐标为．  19.解：由题意可得，解得，故椭圆的方程为； 证明：连接，设，， ， 所以， 设：，联立，消去可得， 即，， ， 显然，， 因此原式， 解得，所以直线过定点，得证； 设：，：，联立，解得，， 所以，，， ， 故的值为．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $