4.4.1对数函数的概念（导学案）高一数学人教A版必修第一册

4.4.1 对数函数的概念（导学案）（解析版） 1、理解对数函数的定义，掌握对数函数解析式形式，能判断函数是否为对数函数，会求对数函数的定义域。 2、通过实例抽象出对数函数模型，体会对数函数与指数函数的联系，提升抽象概括能力。 3、感受对数函数在实际问题中的应用价值，体会数学模型刻画变量关系的作用，激发探究函数的兴趣。 重点：理解对数函数定义，认清底数取值范围，掌握对数函数简单判断与求定义域的基本方法。 难点：辨析对数函数形式，理清对数函数与指数函数的联系，理解对数函数的生成背景。 阅读教材，完成以下问题： 【1】（1）对数函数的概念 函数___________（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 常用对数函数 以___________为底的对数函数___________ 自然对数函数 以___________为底的对数函数___________ 【答案】 10 探究一、对数函数的概念 问题1：对于表达式，是否是关于的函数？ 【答案】 如图，过轴正半轴上任意一点(0≤1)作轴的平行线，与函数的图象有且只有一个交点 . 即对于任意一个，通过对应关系（）在[0，+∞)上都有唯一确定的数和它对应，所以也是的函数。 中是关于的函数 问题2：对于指数函数，将其改写为对数形式，我们能否判断是否是关于的函数？ 【答案】， 是关于的函数，每个都有唯一确定的与之对应 问题3：为什么定义域是？ 【答案】，根据指数函数性质可得，，即。 所以，对数函数定义域是 【辨析1】下列函数中，哪些是对数函数？ （3） （4） （5） 【答案】：×，×，×，×，×，√ 问题4：如何判断函数是否为对数函数？ 【答案】①系数是1 ②底数为大于0且不等于1的常数 ③对数的真数仅有自变量 【例1】求下列函数的定义域： (1) (2) 【分析】对数式的函数定义域关键是真数大于0,底数大于0且不为1。 解：(1)∵即 ∴函数的定义域是或 (2)∵即 ∴的定义域是或. 【例2】写假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为. （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 【分析】设原有量为每次增长率为,经过次增长，该量增长到,则 解：(1)由题意可知，经过年后物价为 ，即 由对数与指数间的关系，可得 由计算工具可得，当时， 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番。 :(2)根据函数，利用计算工具，可得下表： 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小。 【题型1：对数函数的概念】 1、下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦. ．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 【答案】： 2、(1)函数是对数函数，则实数 (2)函数是对数函数，则函数 【答案】： 【知识点拨】 对数函数概念的理解： (1)判断一个函数是对数函数必须满足形如(,且)的形式，即①系数为1, ②底数为大于0且不等于1的常数，③对数的真数仅有自变量x。 (2)若已知函数是对数函数，设函数解析式，将已知点的坐标代入，即可得到对数函数的底数。 3、函数是对数函数，求实数 解：∵,解得或1. 而且，∴即1. 4、函数是对数函数，求的值 解：∵，解得或-3. 而∴.即 ∴ 【题型2：与对数函数有关的定义域问题】 1、求下列函数的定义域： (1) (2)(3) 解：(1)由得 ∴定义域为 (2)由得.由指数函数的单调性知， ∴定义域为 (3)据题意得：且，得且 ∴定义域为 【知识点拨】 与对数函数有关的定义域问题： (1)真数大于0; (2)对数出现在分母时，真数不等于1; (3)底数含有自变量时，需大于零且不等于1,同时根据解析式中是否含有根式列关于自变量的不等式(组)求定义域。 2、函数的定义域为(　　) A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(4,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 【答案】：A 3、函数+的定义域为(　　) A.(1,4]　 B.(1,2)∪(2,4] C.[2,4]　 D.(1,2) 【答案】：B 【题型3：对数函数模型的应用】 1、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数。 (1)当一条鲑鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数； 解:(1)由可知， 当时， 所以当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是 (2)由可知， 当时， 所以一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数是100 2、声强级(单位：)由公式给出，其中为声强(单位：). (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围. (2)平时常人交谈时的声强约为，求其声强级。 解：(1)∵，∴令得，， 令得，，∴人听觉得声强级范围为： (2)∵，令得，， ∴其声强级为. 一、单选题 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案。 【详解】形如的函数为对数函数。 据此可得仅有D选项满足题意。 2．函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为. 3．已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由题设 . 4．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的判定方法一一分析即可。 【详解】对于选项A，，，，所以函数不是奇函数； 对于选项B，，所以，且函数定义域为，所以函数为偶函数； 对于选项C，，，解得，则其定义域为，关于原点对称， 而，，所以函数是奇函数； 对于选项D，， 所以，且定义域为，关于原点对称，所以函数为偶函数； 故选：C 5．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可。 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 6．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可。 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 7．大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（    ） A．迭代12轮时，损失值为 B．损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C．迭代36轮后，损失值为初始的 D．该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 【答案】B 【分析】先由损失函数确定初始值为1,再分别代入验证A、C的函数值正误，对B通过给不等式两边取常用对数，代入估算迭代轮次，依据指数函数非线性变化特点判断D错误，最终得出只有B选项正确。 【详解】由题意得损失函数，初始损失值时，. 对选项A，当时，，不等于，故A错误。 对选项B，令，两边取常用对数得. ，代入得， 化简得，迭代轮次至少约轮，故B正确。 对选项C，当时，，不等于，故C错误。 对选项D，为指数型函数，令，则，不是一次函数，损失值不是匀速减少，故D错误。 8．已知，点在函数的图象上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得且，进而有，结合二次函数的性质求最大值。 【详解】由，且点在函数图象上， 所以，且，则， 所以， 当且仅当时取等号，故的最大值为. 故选：C 二、多选题 9．下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数的定义判断即可。 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义。 对于B，底数为，，真数为，满足定义。 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义。 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义。 10．下列说法正确的是（   ） A．已知是一次函数且，则 B．与表示同一个函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 【答案】ABD 【分析】根据待定系数法求解函数解析式判断A；根据同一函数及对数函数的定义判断B；根据抽象函数的定义域判断C；根据函数的定义即可判断D． 【详解】A，因为是一次函数，可设， 所以，即， 所以解得所以，A正确； B，与的定义域均为， 又， 所以对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确； C，函数的定义域为， 由，得，则函数的定义域为，故C错误； D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确． 11．对于函数若存在两个常数使得则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据“U函数”定义，题意选项所给函数性质逐项分析判断可得答案。 【详解】对于A，若，则， 即存在两个常数，，使得成立，故A正确； 对于B，若，则 ，若为定值， 则，解得，且， 故存在两个常数，，使得，故B正确； 对于C，若，则， ，不为定值， 即不存在两个常数，，使得，故C错误； 对于D，若，则不为定值， 故D错误． 故选：AB. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题要充分理解定义，严格按照定义的要求推理、运算，注意区别我们已学的相近知识。该题型重点考查学生的思维逻辑能力。 三、填空题 12．已知，求_____. 【答案】9 【详解】由解析式知，则. 13．函数的定义域为_______. 【答案】 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为. 14．若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 四、解答题 15．下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是 【分析】根据对数函数的定义判断。 【详解】（1）真数为，不是对数函数． （2）对数式后加3，∴不是对数函数． （3）真数为，且系数不为1，不是对数函数． （4）底数是8，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 16．求下列各式中的取值范围： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)，且 (3)且，且 【详解】（1）由题意知， 所以. （2）由题意知满足，，且， 即，且， 所以，且. （3）由题意知满足，，且， 解得且，且. 17．已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)函数为定义域上的偶函数． 令， 则， 又 ． 则，有成立． 所以函数为定义域上的偶函数． 【分析】（1）对于函数，要使其有意义，需满足对数函数的真数大于0，从而求出定义域； （2）判断奇偶性，需先看定义域是否关于原点对称，再判断与的关系． 【详解】（1）由， 则有，得．则函数的定义域为． （2）略 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.1 对数函数的概念（导学案） 1、理解对数函数的定义，掌握对数函数解析式形式，能判断函数是否为对数函数，会求对数函数的定义域。 2、通过实例抽象出对数函数模型，体会对数函数与指数函数的联系，提升抽象概括能力。 3、感受对数函数在实际问题中的应用价值，体会数学模型刻画变量关系的作用，激发探究函数的兴趣。 重点：理解对数函数定义，认清底数取值范围，掌握对数函数简单判断与求定义域的基本方法。 难点：辨析对数函数形式，理清对数函数与指数函数的联系，理解对数函数的生成背景。 阅读教材，完成以下问题： 【1】（1）对数函数的概念 函数___________（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 常用对数函数 以___________为底的对数函数___________ 自然对数函数 以___________为底的对数函数___________ 探究一、对数函数的概念 问题1：对于表达式，是否是关于的函数？ 问题2：对于指数函数，将其改写为对数形式，我们能否判断是否是关于的函数？ 问题3：为什么定义域是？ 【辨析1】下列函数中，哪些是对数函数？ （3） （4） （5） 问题4：如何判断函数是否为对数函数？ 【例1】求下列函数的定义域： (1) (2) 【例2】写假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为. （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 【题型1：对数函数的概念】 1、下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦. ．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 2、(1)函数是对数函数，则实数 (2)函数是对数函数，则函数 【知识点拨】 对数函数概念的理解： (1)判断一个函数是对数函数必须满足形如(,且)的形式，即①系数为1, ②底数为大于0且不等于1的常数，③对数的真数仅有自变量x。 (2)若已知函数是对数函数，设函数解析式，将已知点的坐标代入，即可得到对数函数的底数。 3、函数是对数函数，求实数 4、函数是对数函数，求的值 【题型2：与对数函数有关的定义域问题】 1、求下列函数的定义域： (1) (2)(3) 【知识点拨】 与对数函数有关的定义域问题： (1)真数大于0; (2)对数出现在分母时，真数不等于1; (3)底数含有自变量时，需大于零且不等于1,同时根据解析式中是否含有根式列关于自变量的不等式(组)求定义域。 2、函数的定义域为(　　) A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(4,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 3、函数+的定义域为(　　) A.(1,4]　 B.(1,2)∪(2,4] C.[2,4]　 D.(1,2) 【题型3：对数函数模型的应用】 1、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数。 (1)当一条鲑鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数； 2、声强级(单位：)由公式给出，其中为声强(单位：). (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围. (2)平时常人交谈时的声强约为，求其声强级。 一、单选题 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 2．函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 4．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 7．大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（    ） A．迭代12轮时，损失值为 B．损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C．迭代36轮后，损失值为初始的 D．该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 8．已知，点在函数的图象上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．已知是一次函数且，则 B．与表示同一个函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 11．对于函数若存在两个常数使得则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，求_____. 13．函数的定义域为_______. 14．若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 四、解答题 15．下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 16．求下列各式中的取值范围： (1) (2) (3) 17．已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $