4.4.1 对数函数的概念（导学案）数学人教A版2019必修第一册

4.4 4.4.1 对数函数的概念 导学案 (1) 通过实际问题（如碳14衰变时间与含量的关系）抽象出对数函数的概念，能准确表述对数函数的定义及定义域。 (2) 理解对数函数与指数函数的互逆关系，能举例说明“指数函数的反函数是对数函数”。 (3) 能求与对数函数相关的复合函数的定义域（如）。 (4) 能运用对数函数解决简单的实际问题（如计算物价翻番时间），体会数学建模思想。 教学重点：对数函数的概念 ； 教学难点：指数函数与对数函数的关系及互相推导. 知识点　对数函数 一般地，函数 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是 ． [点拨]　两种特殊的对数函数 (1)常用对数函数：y＝lg x. (2)自然对数函数：y＝ln x. 情境1： 奶茶的价格好像每隔一段时间就涨一次 “同学们，你们有没有注意到，奶茶的价格好像每隔一段时间就涨一次？假设学校门口的奶茶店今年定价12元，并且商家说‘每过18个月就涨一半价’。 ① 如果想喝到24元一杯的‘天价奶茶’，我们得等多久？ ② 反过来，5年后我们手里的50元还能买到几杯？” 情境2：成长场景 “大家手机里都装了学习APP，它后台会记录每日使用时长。假设APP统计显示，本周你每天平均学习时间为30分钟，如果平台希望你的日均时长‘翻一番’到60分钟，按照‘每周比上周多10%’的增长速度，大约需要连续坚持多少周？ 反过来，若老师设定目标——30天后日均时长自然提升到90分钟，这种增长速度对应的每周增长率又是多少？” 探究点1：对数函数的定义 通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号携带月球土壤样品安全着陆，大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位24岁的小姑娘，同学们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦． 在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．思考 在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？ 根据指数与对数的关系，由得到．如图4.4-1，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点．这就说明，对于任意一个，通过对应关系，在上都有唯一确定的数和它对应，所以也是的函数．也就是说，函数刻画了时间随碳14含量的衰减而变化的规律． 同样地，根据指数与对数的关系，由，且可以得到，且，也是的函数．通常，我们用表示自变量，表示函数．为此，将，且中的字母和对调，写成，且． 一般地，函数，且叫做对数函数（logarithmic function），其中是自变量，定义域是． 探究点2：对数函数的简单应用 典例分析 例1 求下列函数的定义域： （1）； （2），且． 【变式1】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2 假设某地初始物价为1，每年以的增长率递增，经过年后的物价为． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律． 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 【变式2】某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 1.（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）（22-23高一·全国·课堂例题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 3.（20-21高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.设（且），若，则（    ）. A．2 B． C． D． 6.（2020高三下·全国·专题练习）设，则的值是（    ） A．1 B．e C． D． 7.（多选题）函数的图象过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8.（多选题）（23-24高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 9.（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则对任意的，下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 10.（多选题）（20-21高一上·河北邯郸·阶段练习）下列点中，既在指数函数图象上，也在对数函数的图象上的点可以是（    ） A． B． C． D． 1.（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 2.（2004·全国·高考真题），若，则（    ） A． B． C． D． 3.（2020·四川成都·三模）设函数，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 1．知识清单： (1)对数函数的概念和定义域．对数函数的概念：一般地，函数y＝logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). (2)对数函数模型的简单应用． 2．方法归纳：待定系数法，转化法． 3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件． 课本126页第1题第2题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 4.4.1 对数函数的概念 导学案 (1) 通过实际问题（如碳14衰变时间与含量的关系）抽象出对数函数的概念，能准确表述对数函数的定义及定义域。 (2) 理解对数函数与指数函数的互逆关系，能举例说明“指数函数的反函数是对数函数”。 (3) 能求与对数函数相关的复合函数的定义域（如）。 (4) 能运用对数函数解决简单的实际问题（如计算物价翻番时间），体会数学建模思想。 教学重点：对数函数的概念 ； 教学难点：指数函数与对数函数的关系及互相推导. 知识点　对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． [点拨]　两种特殊的对数函数 (1)常用对数函数：y＝lg x. (2)自然对数函数：y＝ln x. 【设计意图】通过回顾上节课的知识，帮助学生巩固已学内容，为学习新知识做好衔接。 【教学建议】教师可以通过提问的方式，引导学生回顾知识，同时关注学生的回答情况，及时纠正错误。 情境1： 奶茶的价格好像每隔一段时间就涨一次 “同学们，你们有没有注意到，奶茶的价格好像每隔一段时间就涨一次？假设学校门口的奶茶店今年定价12元，并且商家说‘每过18个月就涨一半价’。 ① 如果想喝到24元一杯的‘天价奶茶’，我们得等多久？ ② 反过来，5年后我们手里的50元还能买到几杯？” 情境2：成长场景 “大家手机里都装了学习APP，它后台会记录每日使用时长。假设APP统计显示，本周你每天平均学习时间为30分钟，如果平台希望你的日均时长‘翻一番’到60分钟，按照‘每周比上周多10%’的增长速度，大约需要连续坚持多少周？ 反过来，若老师设定目标——30天后日均时长自然提升到90分钟，这种增长速度对应的每周增长率又是多少？” 【设计意图】贴近生活，立刻有画面感 奶茶与手机学习APP都是学生日常接触的真实情境，把“指数增长” “对数反推”嵌进他们熟悉的事物，能迅速激活兴趣。 一眼发现“正向易、反向难” 正向算“涨一半价后多少钱” “增长10%后多少分钟”可用指数轻松解决；反向问“多久才涨到某价位” “多久才翻倍”却一下子卡壳，天然制造认知冲突，引出“需要一种新的运算工具”。 统领全课，贯穿三大板块 概念生成：用冲突引出“指数反过来就是对数”，给出对数函数定义。 定义域与模型：继续回到奶茶与APP，让学生自己写模型、求定义域，体会“真数>0”的现实意义（时间、价格、时长不能为负）。 简单应用：把刚才“卡壳”的两个反问重新抛出，让学生用刚学的对数函数一次性解决，形成完整闭环。 激发探究欲 “多久涨到24元” “几周才能翻倍”没有口算答案，学生必须借助新工具，天然产生“学会它就能马上算出来”的迫切感，推动整节课主动探究。 探究点1：对数函数的定义 通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号携带月球土壤样品安全着陆，大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位24岁的小姑娘，同学们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦． 在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．思考 在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？ 根据指数与对数的关系，由得到．如图4.4-1，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点．这就说明，对于任意一个，通过对应关系，在上都有唯一确定的数和它对应，所以也是的函数．也就是说，函数刻画了时间随碳14含量的衰减而变化的规律． 同样地，根据指数与对数的关系，由，且可以得到，且，也是的函数．通常，我们用表示自变量，表示函数．为此，将，且中的字母和对调，写成，且． 一般地，函数，且叫做对数函数（logarithmic function），其中是自变量，定义域是． 探究点2：对数函数的简单应用 典例分析 例1 求下列函数的定义域： （1）； （2），且． 解：（1）因为，即，所以函数的定义域是． （2） 因为，即，所以函数的定义域是． 【变式1】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）先由对数式中的真数大于零，然后分母不能为零，即可得到答案. （2）先由根式内部的代数式大于等于零，然后对数式中的真数大于零，即可得到答案； （3）根据对数式中的真数大于零，即可得到答案； （4）根据对数真数大于零底数大于零且不等于，即可得到答案； 【详解】（1）要使函数式有意义，需满足，解得且， ∴函数的定义域是； （2）要使函数式有意义，需满足，即，解得， ∴所求函数的定义域是； （3）要使函数式有意义，需满足，解得， ∴所求函数的定义域是； （4）要使函数式有意义，需满足，解得且， ∴所求函数的定义域是． 【感悟提升】求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． 例2 假设某地初始物价为1，每年以的增长率递增，经过年后的物价为． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律． 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 解：（1）由题意可知，经过年后物价为，即． 由对数与指数间的关系，可得． 由计算工具可得，当时，． 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番． （2）根据函数，利用计算工具，可得下表： 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小． 【变式2】某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ [解]　(1)由题意知 y＝ (2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 所以log5(x－9)＝2，所以x－9＝52， 解得x＝34， 所以老江的销售利润是34万元． 【感悟提升】利用指数、对数函数解决应用问题的步骤 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 1.（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 2.（多选题）（22-23高一·全国·课堂例题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 【答案】CD 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】由对数函数的定义判断， 【详解】对于A，真数是，故A不是对数函数； 对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数； 对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数； 对于D，底数，真数是，故D是对数函数． 故选：CD 3.（20-21高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可. 【详解】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 4.（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 5.设（且），若，则（    ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】利用求出，求出后，计算即可求解. 【详解】因为（且），， 所以，即，解得， 所以， 所以. 故选：C 【点睛】本题考查了对数函数表达式的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 6.（2020高三下·全国·专题练习）设，则的值是（    ） A．1 B．e C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解. 【详解】由题意得， 则. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题. 7.（多选题）函数的图象过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BCD 【知识点】判断对数型函数的图象形状 【分析】画出函数大致图象即可判断. 【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单位， 作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. 故选：BCD. 8.（多选题）（23-24高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】AC 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 故选：AC. 9.（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则对任意的，下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据题意结合对数运算逐项分析判断. 【详解】因为，， 所以，故A正确，B错误； ，故C错误，D正确； 故选：AD. 10.（多选题）（20-21高一上·河北邯郸·阶段练习）下列点中，既在指数函数图象上，也在对数函数的图象上的点可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】求对数函数的解析式、根据函数是指数函数求参数 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若点在函数图象上，解得，此时对数函数不成立， 不符合题意； 对于B中，若点在函数图象上，解得，此时对数函数也过点，所以符合题意； 对于C中，若点在函数图象上，解得，此时对数函数不成立， 不符合题意； 对于D中，若点在函数图象上，解得，此时对数函数也过点，所以符合题意. 故选：BD 1.（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用 【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系. 详解：由题意可知：，即，，即， ，即，综上可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 2.（2004·全国·高考真题），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算性质的应用 【分析】由奇偶性定义确定函数的奇偶性，然后由奇偶性求值． 【详解】函数定义域是，又 函数为奇函数，所以． 故选：B． 3.（2020·四川成都·三模）设函数，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、解分段函数不等式 【分析】针对的范围进行分类讨论，然后求解不等式的解集. 【详解】由题意，， 所以， ①当时，，即， 解得，所以； ②当时，，即， 解得，所以； 综上是，时的取值范围为. 故选：B 【点睛】本题考查分段函数与不等式的结合问题，难度一般，解答时注意对自变量的范围进行分类讨论. 4.（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 1．知识清单： (1)对数函数的概念和定义域．对数函数的概念：一般地，函数y＝logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). (2)对数函数模型的简单应用． 2．方法归纳：待定系数法，转化法． 3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件． 课本126页第1题第2题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $