30.2 三角形的内切圆（知识清单，知识点&9易错&5题型）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 🔷知识点一　三角形的内切圆与内心 1.内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心；这个三角形叫作圆的外切三角形。如图1，与、、分别相切于、、，则是的内切圆，是内心。 图1 2.内心的性质： ①内心是三角形三条内角平分线的交点，所以、、分别平分、、；②内心到三边的距离相等，且都等于内切圆的半径。如图1中，、、，； ③每个三角形都有唯一的内切圆，内心一定在三角形的内部。 内心的确定用到了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。两条内角平分线的交点到三边等距，因此也在第三条内角平分线上；这个交点唯一，半径也会随之确定。 比较内容 内切圆与内心 外接圆与外心 圆与三角形 圆与三边相切 圆经过三个顶点 圆心的确定 内角平分线的交点 边的垂直平分线的交点 等距关系 到三边的距离相等 到三个顶点的距离相等 圆心位置 一定在三角形内部 可在内部、边上或外部 ⚠️特别提醒 ①“到三边的距离”指垂线段的长，不是、、的长。内心到三个顶点的距离一般不相等，不能把外心的性质用到内心上； ②切点不一定是边的中点。相等的是从同一个顶点引出的两条切线段，不是同一条边被切点分成的两段； ③判定一个圆是三角形的内切圆，必须确认它与三条边都相切。只与两边相切，或者只画在三角形内部，都不够。 📌 归纳总结 内切圆切三边，外接圆过三顶点；内心是三条内角平分线的交点，位于三角形内部，到三边的垂距都等于半径。使用等距性质时先认清比较的是边还是顶点。 🔷知识点二　三角形内切圆的作图 内切圆作图步骤：已知，求作它的内切圆。 ①用直尺和圆规分别作、的平分线、，交于点； ②过作，垂足为； ③以为圆心、为半径作圆，这个圆就是的内切圆。 图2 ⚠️特别提醒 ①只需作出任意两个内角的平分线，不必把三条都作出。不能改作边的垂直平分线，也不能把中线当作一般三角形的角平分线； ②半径可以取到任意一边的垂距，但不能取到这条边上任意一点的距离，更不能用作半径。画出圆后检查三个切点是否都在三角形的边上。 📌 归纳总结 内切圆作图按作两条内角平分线→确定内心→作一条垂线→以垂距为半径作圆完成。角平分线确定圆心，垂线段确定半径，两个步骤不能混用。 🔷知识点三　内切圆中的切线段关系 1.基本关系：如图1所示，与三边的切点为、、。由切线长定理， ，， 。 2.求切线段的常用方法：如图1所示，设，，，则 ，， 。把三条边拆成三组切线段，可以列方程求长。 3.半周长与切线段：设、、，半周长 。由上面的三个等式相加，得，于是：，， 。例如从顶点引出的切线段长等于半周长减去的对边；不要减错成邻边。 💡 拓展延伸 圆的外切四边形的对边和相等。若一个凸四边形的四条边都与同一个圆相切，分别从四个顶点配对相等的切线段，可得 。使用这个结论前，要确认四条边都与同一个圆相切，不能套用到任意四边形中。 📌 归纳总结 切线段先按同一顶点配对，再把整边写成两段之和。设三组切线段为、、，则半周长；某顶点引出的切线段长等于半周长减去该顶点的对边长。 🔷知识点四　与内心有关的角度 1.内心角的计算：设是的内心，由、分别平分、，在中有： 。同理，，。 图3　α、β、γ依次表示∠A、∠B、∠C，θ=∠BIC 例如、，则，。反过来，已知，可得。 ⚠️特别提醒 一定是钝角，。两条内角平分线所在直线相交还会形成另一个锐角，它与互补，不能看到“夹角”就直接写。 📌 归纳总结 内心角的核心是 ，也可先求两个半角再用内角和。看清角的三字母、认准剩下的顶角；涉及外心时另用圆的角度关系。 🔷知识点五　内切圆半径与三角形面积 1.面积与半径：设的面积为，内切圆半径为，周长为，半周长为。如图1，连接、、，把分成三个小三角形。因为到三边的距离都为，所以：，即 ，反过来 。这个公式中的是三角形的面积，不是内切圆的面积。例如三角形面积为、周长为，则。 2.直角三角形的内切圆半径：设，两条直角边、，斜边，则 。 图4 推导过程： 第一种求法：如图4，、，又，所以四边形为正方形，。设、，则、、，进而可得。 第二种求法：由及，得。例如两条直角边为、，斜边为，内切圆半径。 ⚠️特别提醒 ①中的是半周长。若题目给的是周长，必须写，不能漏掉一半； ②只用于直角三角形，且必须是斜边。一般三角形可用，不能直接用“两边和减第三边再除以”。 💡 拓展延伸 等边三角形中，三条角平分线也是中线和边的垂直平分线，内心与外心重合。设边长为、高为，则、，由得 。又内心在中线上，外接圆半径，所以 。注意：这组比例适用于等边三角形，不能用于一般三角形。 📌 归纳总结 三角形面积与内切圆半径满足 ，已知面积和周长可求。直角三角形另有 ；等边三角形、。记公式时同时记住半周长、斜边及图形条件。 易错点 1 把内心与外心的确定方法混淆 · 错例：求作三角形的内切圆时，先作两边的垂直平分线，把交点当作内心； · 错因：只记得“作两条线找圆心”，没有分清角平分线与垂直平分线各自保证的等距关系； · 规避方法：先写目标：内切圆切三边，要找“到三边等距”的点，作内角平分线；外接圆过三顶点，才作边的垂直平分线。 易错点 2 把内心到顶点的距离当作内切圆半径 · 错例：已知是内心，直接写，或以为半径画内切圆； · 错因：把到边的距离误当成到顶点的距离，套用了外心的性质； · 规避方法：过向三边作垂线，用垂线段表示半径，如，则。是角平分线上的线段，一般不等于半径。 易错点 3 认为内切圆的切点一定平分边 · 错例：如图1中，就写； · 错因：把切点误当中点，忽略切线长定理中的“同一个圆外点”； · 规避方法：分别圈出、、，写、、。本例中应列，得、。 易错点 4 用半周长求切线段时减错边 · 错例：图1中假设半周长，把写成； · 错因：只记“半周长减一边”，没有对应切线段的公共顶点； · 规避方法：先找公共顶点，再减它的对边：。 易错点 5 计算内心角时对应错顶角或漏除以2 · 错例：已知为内心、，写； · 错因：没有落实、分别平分两个内角，漏掉公式中的一半； · 规避方法：在中先标、，再用内角和；本例中。求时则应对应。 易错点 6 混用内心角与外心角的公式 · 错例：已知是内心、，按圆心角关系写； · 错因：看到角的顶点在三角形内部，就把内心当成外心； · 规避方法：先在题干圈出“内心”或“外心”。内心用，本例为；外心才根据圆心角、圆周角及所对弧求角。 易错点 7 面积公式中把周长当作半周长 · 错例：三角形周长为、内切圆半径为，写； · 错因：公式中的是半周长，误把题目的周长直接代入； · 规避方法：先写，再得；或者统一用。这里求的是三角形面积，不是圆面积。 易错点 8 直角三角形半径公式减错边 · 错例：直角三角形三边为、、，写； · 错因：没有先确认斜边，把任意一边放在减号后； · 规避方法：先圈出最大边为斜边，再写；还可以用、验算。非直角三角形不能套用此公式。 易错点 9 把等边三角形的半径比例用于一般三角形 · 错例：直角三角形三边为、、，由就写外接圆半径； · 错因：忽略了的等边三角形条件； · 规避方法：先检查图形类型。本例中，应取斜边的一半。 题型一：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 📝方法技巧 ①先判断三角形的形状。已知两条直角边时，用勾股定理求斜边；只给出三边长时，应先用勾股定理的逆定理确认直角。若边长由非负项之和为等条件给出，应先求边长，再判断，不能直接套用直角三角形的结论。 ②设两条直角边为，斜边为，内切圆半径为，常用：，也可用。注意减去的是斜边，不一定是题目中字母所表示的边。 ③需要说明线段关系时，可连接圆心与切点。直角顶点、两直角边上的切点及圆心构成边长为的正方形，因此直角顶点到这两个切点的距离都等于；再利用同一顶点引出的两条切线段相等，把其他线段表示出来。 ④已知半径和部分边长，反求其余边时，可设一段切线长为，利用切线长定理将三边统一表示，再列勾股方程。也可结合“直角边之和－斜边＝”减少未知量。 ⑤求阴影面积，应先看清未涂色部分。直角处可能还包含一个边长为的正方形，圆内也可能只需扣除部分扇形，不能一律按“三角形面积－整个圆面积”计算。 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 【答案】A 【分析】根据是的内切圆添加辅助线，然后，运用勾股定理及圆的切线长定理，再根据，设半径为，得到解方程即可 ． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∴四边形是矩形． 设半径为，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为1． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期末）张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，可通过勾股定理先求出斜边长度，再利用面积法求解． 【详解】解：∵在中，，米，米， ∴（米）． 如图，连接，，，，，，设内切圆半径为，则， ∵的面积可以表示为，也可以表示为， ∴， 解得． 故选：C． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】因为一个数的平方、算术平方根、绝对值是非负数，所以可求、、的值，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，用面积法可求内切圆半径． 【详解】解：， ，，． ， ， 是直角三角形． 设内切圆的半径为． 根据题意，得，即， 解得 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形的面积公式求内切圆半径是解答本题的关键． 4．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，，则直角三角形内切圆半径为（    ） A．12 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，利用内切圆半径（a、b为直角边，c为斜边）易得这个三角形的内切圆的半径． 【详解】解：因为直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，， 则这个三角形的内切圆的半径． 故选：B． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据切线长定理和勾股定理可得，进而可求内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质． 【详解】解：如图， 根据题意，得 ， 设圆O是等腰的内切圆，切圆于点D，切圆于点E， 连接， ∴， ∴， ∴， 根据切线长定理可知： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 6．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设的三边分别与相切于点、、，连接，，，，，，然后利用等面积法进行计算即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴， 设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，， ∴，，， 设的半径为， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ， ∴． 7．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，则，由勾股定理逆定理可得，易证四边形是正方形，即；再根据三角形内切圆的性质可得，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆与边分别相切于点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选A． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理，首先过点作，设，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可． 【详解】解：如下图所示， 过点作， 又∵， ∴四边形是矩形 ， ∵是的内切圆，半径为， ∴ ， 设， 则有， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴． 故选：B． 9．（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选：A． 题型二：圆的外切四边形 📝方法技巧 ①四条边都与同一个圆相切时，可按四个顶点分别标出相等切线段，得到两组对边的和相等。求周长时，常可转化为一组对边和的倍，不必分别求出四条边。 ②求角度时，连接圆心与有关顶点，利用这些连线平分四边形内角，再结合三角形、四边形的内角和计算。若圆是四边形的内切圆，圆心为，则可得到。注意这不是说原四边形的对角互补。 ③判断某类四边形是否一定有内切圆，应寻找能保证其内部一点到四边距离相等的性质。例如菱形的两条对角线平分对角，可据此确定圆心和半径；不能仅凭图形看起来能放入一个圆就判断。 ④折叠问题先标出对应线段相等，并利用折痕垂直平分对应点连线的性质。若某顶点折叠后与圆心重合，且折痕与圆相切，则圆心到折痕的距离为，对应顶点到折痕的距离也为。再结合正方形中的角、等腰直角三角形及切线长等关系求解。 1．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 2．（2026九年级下·上海·专题练习）下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 3．（18-19九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，边均与相切，且，则四边形的周长为（   ） A．44 B．42 C．46 D．47 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形的外切四边形， ∴ ∴四边形的周长 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的切线，四边形的周长问题，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 4．（20-21九年级上·河南三门峡·期中）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ∴DF=DE，OF⊥DC， ∴GF⊥DC， ∴OG⊥AB， ∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中，DE=2， ∴EH=DH==AE． ∴AD=AE+DE=+2． 故选C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 题型三：三角形内心 📝方法技巧 ①看到“内心”或“内切圆圆心”，优先使用两条关系：与顶点的连线平分对应内角；到三边的距离相等。 若在实际问题中，要求在三角形内部选一点，使它到三条道路的距离相等，此时应该找内心，不能误用到三个顶点等距的外心。 ②求内心处的夹角，可先把原三角形的角分成两半，再利用内角和。常用结论是：若为的内心，则。求几个半角的和时，可先求原角的和，再整体除以，通常更简便。 ③内心与折叠结合时，应同时标出角平分线形成的相等角，以及折叠前后对应的相等角。多个角围绕同一点时，可利用周角建立关系；不要把折痕直接当作原三角形的角平分线。 ④角平分线延长后与外接圆相交，可先利用同弧所对圆周角相等，把圆上的角转移到原三角形的顶点，再利用角平分线确定原角，最后求内心处的夹角。 ⑤平移后求局部图形周长，可连接内心与原三角形顶点，利用平移得到的平行关系，把角平分线上的相等角转化为等腰三角形中的等边，再将局部周长拼接为原图中的已知线段。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）三角形内切圆的圆心是（     ） A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【详解】解：选项，三角形的三条高的交点是三角形的垂心，错误； 选项，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，错误； 选项，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三条角平分线的交点，同时三角形的内心到三边的距离相等，正确； 选项，三角形的三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），错误． 2．（26-27九年级上·北京·随堂练习）已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 3．（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，由三角形内心性质得到，结合三角形内角和定理，求出，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 点是的内心， 平分， ， ， 平分，平分， ， ． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的内心为，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内心是三角形三条角平分线的交点，结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：在中，， ∴， ∵的内心为， ∴平分，平分， ∴， ∴. 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】连接，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， 点I为的内心， 是的平分线， ， 由平移得：， ， ， ， 同理可得， ， 即图中阴影部分的周长为6． 题型四：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 📝方法技巧 ①设三角形面积为、周长为、内切圆半径为，优先考虑。连接内心与三个顶点后，原三角形被分成三个以原边为底、以为高的小三角形，这就是面积关系的依据。 ②已知面积和半径，可先求周长，再减去已知两边求第三边；已知周长和半径，可直接求面积。注意区分周长与半周长：若用表示半周长，才有。 ③已知切点处分出的线段，应先用切线长定理成对替换。若三个顶点引出的切线长分别为，则三边分别为，周长为。线段和差问题也常可通过替换、合并直接消去。 ④求角度时，要区分内心与切点。涉及顶点和内心，使用角平分线；涉及几个切点，先确认它们位于同一个圆上，再结合圆周角定理、切点半径与边垂直等关系计算。 ⑤求分散的阴影面积，可先利用面积相等或图形分割，将它们合并为一个三角形减去一个扇形。以内心为顶点、原三角形某边为底的小三角形，其高就是；扇形角度则应由内心处夹角确定，不要直接使用原三角形的顶角。 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 5．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 6．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由切线长定理可得，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， ∵的周长为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴剪下的的周长为． 7．（2023九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 9．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 题型五：三角形内切圆与外接圆综合 📝方法技巧 ①先分清圆与哪个三角形有关。一个圆可以是原三角形的内切圆，同时又是三个切点组成的三角形的外接圆。判断内心看是否到三边等距，判断外心看是否到三个顶点等距，不能只根据图中圆心的位置判断。 ②同时求内切圆、外接圆半径时，可先判断是否为特殊三角形。直角三角形中，内切圆半径可用面积法或两直角边与斜边的关系求出；外接圆圆心是斜边中点，因此外接圆半径等于斜边的一半。两种半径应使用不同字母，避免混淆。 ③求角度时，可先用内心关系求原角，再利用圆周角定理联系外心处的圆心角。注意圆心角与圆周角必须对应同一条弧，不能不看弧的范围就直接乘。 ④等边三角形的内心、外心重合，且外接圆半径是内切圆半径的倍。因此内切圆与外接圆的半径比为，面积比为。注意这些是等边三角形的特殊结论，不能推广到一般三角形。 ⑤两个等边三角形通过同一个圆联系时，先明确这个圆分别充当谁的内切圆、谁的外接圆，再把它的半径作为共同量，用含角的直角三角形分别表示两三角形的边长，最后求比。求面积比时，还要将对应边长比平方。 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 2．（23-24九年级上·内蒙古·阶段检测）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 3．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 4．（19-20九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正三角形的内切圆与外接圆的面积的比为（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：2 D．3：4 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可得到等边三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为1：2，从而得到它的内切圆与外接圆的面积的比． 【详解】解：等边三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为1：2， 所以等边三角形的内切圆与外接圆的面积的比为1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与外接圆,相似图形的性质,熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键. 5．（18-19九年级上·天津和平·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（   ） A．64° B．120° C．122° D．128° 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数． 【详解】在⊙O中， ∵∠CBD=32°， ∴∠CAD=32°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAC=64°， ∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°， ∴∠BEC=180°-58°=122°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数． 6．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 🔷知识点一　三角形的内切圆与内心 1.内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心；这个三角形叫作圆的外切三角形。如图1，与、、分别相切于、、，则是的内切圆，是内心。 图1 2.内心的性质： ①内心是三角形三条内角平分线的交点，所以、、分别平分、、；②内心到三边的距离相等，且都等于内切圆的半径。如图1中，、、，； ③每个三角形都有唯一的内切圆，内心一定在三角形的内部。 内心的确定用到了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。两条内角平分线的交点到三边等距，因此也在第三条内角平分线上；这个交点唯一，半径也会随之确定。 比较内容 内切圆与内心 外接圆与外心 圆与三角形 圆与三边相切 圆经过三个顶点 圆心的确定 内角平分线的交点 边的垂直平分线的交点 等距关系 到三边的距离相等 到三个顶点的距离相等 圆心位置 一定在三角形内部 可在内部、边上或外部 ⚠️特别提醒 ①“到三边的距离”指垂线段的长，不是、、的长。内心到三个顶点的距离一般不相等，不能把外心的性质用到内心上； ②切点不一定是边的中点。相等的是从同一个顶点引出的两条切线段，不是同一条边被切点分成的两段； ③判定一个圆是三角形的内切圆，必须确认它与三条边都相切。只与两边相切，或者只画在三角形内部，都不够。 📌 归纳总结 内切圆切三边，外接圆过三顶点；内心是三条内角平分线的交点，位于三角形内部，到三边的垂距都等于半径。使用等距性质时先认清比较的是边还是顶点。 🔷知识点二　三角形内切圆的作图 内切圆作图步骤：已知，求作它的内切圆。 ①用直尺和圆规分别作、的平分线、，交于点； ②过作，垂足为； ③以为圆心、为半径作圆，这个圆就是的内切圆。 图2 ⚠️特别提醒 ①只需作出任意两个内角的平分线，不必把三条都作出。不能改作边的垂直平分线，也不能把中线当作一般三角形的角平分线； ②半径可以取到任意一边的垂距，但不能取到这条边上任意一点的距离，更不能用作半径。画出圆后检查三个切点是否都在三角形的边上。 📌 归纳总结 内切圆作图按作两条内角平分线→确定内心→作一条垂线→以垂距为半径作圆完成。角平分线确定圆心，垂线段确定半径，两个步骤不能混用。 🔷知识点三　内切圆中的切线段关系 1.基本关系：如图1所示，与三边的切点为、、。由切线长定理， ，， 。 2.求切线段的常用方法：如图1所示，设，，，则 ，， 。把三条边拆成三组切线段，可以列方程求长。 3.半周长与切线段：设、、，半周长 。由上面的三个等式相加，得，于是：，， 。例如从顶点引出的切线段长等于半周长减去的对边；不要减错成邻边。 💡 拓展延伸 圆的外切四边形的对边和相等。若一个凸四边形的四条边都与同一个圆相切，分别从四个顶点配对相等的切线段，可得 。使用这个结论前，要确认四条边都与同一个圆相切，不能套用到任意四边形中。 📌 归纳总结 切线段先按同一顶点配对，再把整边写成两段之和。设三组切线段为、、，则半周长；某顶点引出的切线段长等于半周长减去该顶点的对边长。 🔷知识点四　与内心有关的角度 1.内心角的计算：设是的内心，由、分别平分、，在中有： 。同理，，。 图3　α、β、γ依次表示∠A、∠B、∠C，θ=∠BIC 例如、，则，。反过来，已知，可得。 ⚠️特别提醒 一定是钝角，。两条内角平分线所在直线相交还会形成另一个锐角，它与互补，不能看到“夹角”就直接写。 📌 归纳总结 内心角的核心是 ，也可先求两个半角再用内角和。看清角的三字母、认准剩下的顶角；涉及外心时另用圆的角度关系。 🔷知识点五　内切圆半径与三角形面积 1.面积与半径：设的面积为，内切圆半径为，周长为，半周长为。如图1，连接、、，把分成三个小三角形。因为到三边的距离都为，所以：，即 ，反过来 。这个公式中的是三角形的面积，不是内切圆的面积。例如三角形面积为、周长为，则。 2.直角三角形的内切圆半径：设，两条直角边、，斜边，则 。 图4 推导过程： 第一种求法：如图4，、，又，所以四边形为正方形，。设、，则、、，进而可得。 第二种求法：由及，得。例如两条直角边为、，斜边为，内切圆半径。 ⚠️特别提醒 ①中的是半周长。若题目给的是周长，必须写，不能漏掉一半； ②只用于直角三 角形是斜边。一般三角形可用，不能直接用“两边和减第三边再除以”。 💡 拓展延伸 等边三角形中，三条角平分线也是中线和边的垂直平分线，内心与外心重合。设边长为、高为，则、，由得。又内心在中线上，外接圆半径，所以 。注意：这组比例适用于等边三角形，不能用于一般三角形。 📌 归纳总结 三角形面积与内切圆半径满足 ，已知面积和周长可求。直角三角形另有 ；等边三角形、。记公式时同时记住半周长、斜边及图形条件。 易错点 1 把内心与外心的确定方法混淆 · 错例：求作三角形的内切圆时，先作两边的垂直平分线，把交点当作内心； · 错因：只记得“作两条线找圆心”，没有分清角平分线与垂直平分线各自保证的等距关系； · 规避方法：先写目标：内切圆切三边，要找“到三边等距”的点，作内角平分线；外接圆过三顶点，才作边的垂直平分线。 易错点 2 把内心到顶点的距离当作内切圆半径 · 错例：已知是内心，直接写，或以为半径画内切圆； · 错因：把到边的距离误当成到顶点的距离，套用了外心的性质； · 规避方法：过向三边作垂线，用垂线段表示半径，如，则。是角平分线上的线段，一般不等于半径。 易错点 3 认为内切圆的切点一定平分边 · 错例：如图1中，就写； · 错因：把切点误当中点，忽略切线长定理中的“同一个圆外点”； · 规避方法：分别圈出、、，写、、。本例中应列，得、。 易错点 4 用半周长求切线段时减错边 · 错例：图1中假设半周长，把写成； · 错因：只记“半周长减一边”，没有对应切线段的公共顶点； · 规避方法：先找公共顶点，再减它的对边：。 易错点 5 计算内心角时对应错顶角或漏除以2 · 错例：已知为内心、，写； · 错因：没有落实、分别平分两个内角，漏掉公式中的一半； · 规避方法：在中先标、，再用内角和；本例中。求时则应对应。 易错点 6 混用内心角与外心角的公式 · 错例：已知是内心、，按圆心角关系写； · 错因：看到角的顶点在三角形内部，就把内心当成外心； · 规避方法：先在题干圈出“内心”或“外心”。内心用，本例为；外心才根据圆心角、圆周角及所对弧求角。 易错点 7 面积公式中把周长当作半周长 · 错例：三角形周长为、内切圆半径为，写； · 错因：公式中的是半周长，误把题目的周长直接代入； · 规避方法：先写，再得；或者统一用。这里求的是三角形面积，不是圆面积。 易错点 8 直角三角形半径公式减错边 · 错例：直角三角形三边为、、，写； · 错因：没有先确认斜边，把任意一边放在减号后； · 规避方法：先圈出最大边为斜边，再写；还可以用、验算。非直角三角形不能套用此公式。 易错点 9 把等边三角形的半径比例用于一般三角形 · 错例：直角三角形三边为、、，由就写外接圆半径； · 错因：忽略了的等边三角形条件； · 规避方法：先检查图形类型。本例中，应取斜边的一半。 题型一：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 📝方法技巧 ①先判断三角形的形状。已知两条直角边时，用勾股定理求斜边；只给出三边长时，应先用勾股定理的逆定理确认直角。若边长由非负项之和为等条件给出，应先求边长，再判断，不能直接套用直角三角形的结论。 ②设两条直角边为，斜边为，内切圆半径为，常用：，也可用。注意减去的是斜边，不一定是题目中字母所表示的边。 ③需要说明线段关系时，可连接圆心与切点。直角顶点、两直角边上的切点及圆心构成边长为的正方形，因此直角顶点到这两个切点的距离都等于；再利用同一顶点引出的两条切线段相等，把其他线段表示出来。 ④已知半径和部分边长，反求其余边时，可设一段切线长为，利用切线长定理将三边统一表示，再列勾股方程。也可结合“直角边之和－斜边＝”减少未知量。 ⑤求阴影面积，应先看清未涂色部分。直角处可能还包含一个边长为的正方形，圆内也可能只需扣除部分扇形，不能一律按“三角形面积－整个圆面积”计算。 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 2．（25-26九年级上·云南昭通·期末）张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，，则直角三角形内切圆半径为（    ） A．12 B．2 C．3 D．6 5．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 6．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 题型二：圆的外切四边形 📝方法技巧 ①四条边都与同一个圆相切时，可按四个顶点分别标出相等切线段，得到两组对边的和相等。求周长时，常可转化为一组对边和的倍，不必分别求出四条边。 ②求角度时，连接圆心与有关顶点，利用这些连线平分四边形内角，再结合三角形、四边形的内角和计算。若圆是四边形的内切圆，圆心为，则可得到。注意这不是说原四边形的对角互补。 ③判断某类四边形是否一定有内切圆，应寻找能保证其内部一点到四边距离相等的性质。例如菱形的两条对角线平分对角，可据此确定圆心和半径；不能仅凭图形看起来能放入一个圆就判断。 ④折叠问题先标出对应线段相等，并利用折痕垂直平分对应点连线的性质。若某顶点折叠后与圆心重合，且折痕与圆相切，则圆心到折痕的距离为，对应顶点到折痕的距离也为。再结合正方形中的角、等腰直角三角形及切线长等关系求解。 1．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2026九年级下·上海·专题练习）下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 3．（18-19九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，边均与相切，且，则四边形的周长为（   ） A．44 B．42 C．46 D．47 4．（20-21九年级上·河南三门峡·期中）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 题型三：三角形内心 📝方法技巧 ①看到“内心”或“内切圆圆心”，优先使用两条关系：与顶点的连线平分对应内角；到三边的距离相等。 若在实际问题中，要求在三角形内部选一点，使它到三条道路的距离相等，此时应该找内心，不能误用到三个顶点等距的外心。 ②求内心处的夹角，可先把原三角形的角分成两半，再利用内角和。常用结论是：若为的内心，则。求几个半角的和时，可先求原角的和，再整体除以，通常更简便。 ③内心与折叠结合时，应同时标出角平分线形成的相等角，以及折叠前后对应的相等角。多个角围绕同一点时，可利用周角建立关系；不要把折痕直接当作原三角形的角平分线。 ④角平分线延长后与外接圆相交，可先利用同弧所对圆周角相等，把圆上的角转移到原三角形的顶点，再利用角平分线确定原角，最后求内心处的夹角。 ⑤平移后求局部图形周长，可连接内心与原三角形顶点，利用平移得到的平行关系，把角平分线上的相等角转化为等腰三角形中的等边，再将局部周长拼接为原图中的已知线段。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）三角形内切圆的圆心是（     ） A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三条边的垂直平分线的交点 2．（26-27九年级上·北京·随堂练习）已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 3．（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的内心为，，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 📝方法技巧 ①设三角形面积为、周长为、内切圆半径为，优先考虑。连接内心与三个顶点后，原三角形被分成三个以原边为底、以为高的小三角形，这就是面积关系的依据。 ②已知面积和半径，可先求周长，再减去已知两边求第三边；已知周长和半径，可直接求面积。注意区分周长与半周长：若用表示半周长，才有。 ③已知切点处分出的线段，应先用切线长定理成对替换。若三个顶点引出的切线长分别为，则三边分别为，周长为。线段和差问题也常可通过替换、合并直接消去。 ④求角度时，要区分内心与切点。涉及顶点和内心，使用角平分线；涉及几个切点，先确认它们位于同一个圆上，再结合圆周角定理、切点半径与边垂直等关系计算。 ⑤求分散的阴影面积，可先利用面积相等或图形分割，将它们合并为一个三角形减去一个扇形。以内心为顶点、原三角形某边为底的小三角形，其高就是；扇形角度则应由内心处夹角确定，不要直接使用原三角形的顶角。 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25九年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 5．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 6．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 7．（2023九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型五：三角形内切圆与外接圆综合 📝方法技巧 ①先分清圆与哪个三角形有关。一个圆可以是原三角形的内切圆，同时又是三个切点组成的三角形的外接圆。判断内心看是否到三边等距，判断外心看是否到三个顶点等距，不能只根据图中圆心的位置判断。 ②同时求内切圆、外接圆半径时，可先判断是否为特殊三角形。直角三角形中，内切圆半径可用面积法或两直角边与斜边的关系求出；外接圆圆心是斜边中点，因此外接圆半径等于斜边的一半。两种半径应使用不同字母，避免混淆。 ③求角度时，可先用内心关系求原角，再利用圆周角定理联系外心处的圆心角。注意圆心角与圆周角必须对应同一条弧，不能不看弧的范围就直接乘。 ④等边三角形的内心、外心重合，且外接圆半径是内切圆半径的倍。因此内切圆与外接圆的半径比为，面积比为。注意这些是等边三角形的特殊结论，不能推广到一般三角形。 ⑤两个等边三角形通过同一个圆联系时，先明确这个圆分别充当谁的内切圆、谁的外接圆，再把它的半径作为共同量，用含角的直角三角形分别表示两三角形的边长，最后求比。求面积比时，还要将对应边长比平方。 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 2．（23-24九年级上·内蒙古·阶段检测）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 3．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 4．（19-20九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正三角形的内切圆与外接圆的面积的比为（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：2 D．3：4 5．（18-19九年级上·天津和平·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（   ） A．64° B．120° C．122° D．128° 6．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $