29.3 弧长与扇形面积（知识清单，知识点&9易错&4题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十九章 圆 29.3 弧长与扇形面积 🔷知识点一　弧长公式及其应用 1.弧长公式： 设圆的半径为，一条弧所对的圆心角为，弧长为。圆周长为，的圆心角所对的弧占整个圆周的，所以： 。其中是圆心角的度数，代入数值时不带符号；与使用相同的长度单位。 2.公式的变形： （1）已知弧长和圆心角，可求； （2）已知弧长和半径，可求圆心角的度数。求半径时，还要注意题目是否给了直径。 ⚠️特别提醒 ①弧长是曲线的长度，弦长是两端点间线段的长度，不能混用。弧长公式中的角必须是这条弧所对的圆心角；若给的是同弧所对的圆周角，应该先把角的度数乘以； ②题目要求保留时，不要提前取近似值；要求近似值时，按题目规定取，并在最后统一取舍。 💡 拓展延伸 ①在同圆或等圆中，弧长与所对圆心角的度数成正比。但弧长相等不一定是等弧。例如半径为的半圆弧与半径为的弧，长度都是，却不能重合。等弧还要求在同圆或等圆中，不能忽略这个条件； ②弯形管道、跑道或传送带的总长，应按直线段长与弧长相加计算。弯管沿中心线求展直长度；两个半径均为、圆心距为的传送轮，连接它们的绷紧且不交叉的传送带由两段长为的直线段和两个半圆弧组成，总长为。 📌 归纳总结 先找半径及对应圆心角，再用。区分弧与弦、优弧与劣弧，避免计算长度的时候产生混乱；由圆周角求弧长时先转成圆心角，曲直组合的总长要逐段相加。 🔷知识点二　扇形面积与周长 1.扇形的概念：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 2.扇形面积公式：设扇形的半径为，圆心角为，弧长为。它的面积占整个圆面积的，所以 。又因为，所以 。已知圆心角和半径时，用第一个式子方便；已知弧长和半径时，用第二个式子方便。注意：这里的只指弧长，不是扇形的周长。 3.扇形周长： 。周长要沿边界走一周，除弧以外，还包括两条半径。 所求量 公式 单位及注意事项 弧长 长度单位，只算圆弧 扇形面积 面积单位，半径要平方 扇形周长 长度单位，两条半径不能漏 ⚠️特别提醒 ①弧长公式分母是，面积公式分母是。记不清时，可从整圆的和分别乘推回去； ②在同圆或等圆中，扇形面积与圆心角度数成正比；圆心角相等时，面积与半径的平方成正比。例如半径扩大到原来的倍，面积扩大到倍，弧长和周长均扩大到倍； ③计算前先统一长度单位，计算后区分长度单位与面积单位。例如，不能按直接换算面积。 📌 归纳总结 扇形面积用，周长用。面积看围成的区域，周长看全部边界；代入前注意统一单位。 🔷知识点三　圆弧形区域的面积 1.弓形面积：弦与它所对的一条弧围成的图形叫作弓形，与由两条半径和弧围成的扇形不同。求弓形面积，常连接圆心与弦的端点，把弓形与扇形、三角形联系起来。 图1　阴影部分为弓形 如图1，，，是垂足，为下方劣弧的中点，。则，由垂径定理得，所以。 连接，因为是的垂直平分线，所以，为等边三角形。因此，，阴影面积为： 。 ⚠️特别提醒 ①弓形面积也不能一律用“扇形减三角形”的套路。图1中弦上方的大弓形等于圆面积减下方小弓形，也等于优弧对应的扇形面积加的面积，结果为。先看所求区域在弦的哪一侧，再确定加减。 ②环形扇面的面积：两扇形圆心相同、圆心角相同，大扇形扣去小扇形后得到环形扇面。如图2，外半径为、内半径为，圆心角为，则： 。若外半径为、内半径为、圆心角为，面积为。 图2 💡 拓展延伸 组合图形的面积，先连接半径、找圆心角，把目标区域分割或补成已知图形，再列面积关系。环形扇面给的是宽度时，要先确定内、外半径。相加时检查是否重复计算，相减时检查是否多减。 📌 归纳总结 弓形常转化为扇形与三角形的和或差；环形扇面用同角度的大扇形减小扇形。先明确阴影边界和面积关系，再求半径、圆心角及三角形的底、高。 🔷知识点四　圆锥及其侧面展开图 1.圆锥的有关概念：圆锥由一个底面和一个侧面围成。连接圆锥顶点与底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线。顶点到底面圆心的线段长为高。 设底面圆半径为，高为，母线长为。如图3，连接顶点、底面圆心和圆周上的点，得到直角三角形，所以 ，即。容易混淆的地方是：母线是斜边，不是高。 图3 2. 侧面展开图：沿一条母线剪开并展平，圆锥的侧面展开图是一个扇形。展开前后，母线长和底面边界的长度不变，最重要的是以下两组对应关系： 侧面展开扇形 原来的圆锥 扇形的半径 圆锥的母线长 扇形的弧长 底面圆的周长 3. 展开扇形的圆心角：设展开后的圆心角为，由弧长相等得，所以 ，反过来。这里仍只表示度数，计算结果写成。 ⚠️特别提醒 ①弧长公式常用表示弧长，圆锥问题又用表示母线长，要结合所在公式辨认字母。圆锥的展开扇形中，弧长是，不能再把母线长当作弧长； ②理想情况下用扇形无重叠、无缝隙地围成圆锥时，扇形两条半径边重合；扇形半径成为母线，扇形弧围成底面圆周。通常的圆锥满足，若计算出展开角不在这个范围，需要重新检查半径和母线的对应。 📌 归纳总结 圆锥先分清底面半径、高、母线，利用求缺少的量。展开图记住半径对应母线，弧长对应底面周长，圆心角的度数。 🔷知识点五　圆锥的侧面积与表面积 1.圆锥侧面积：圆锥的侧面积等于展开扇形的面积。扇形半径为、弧长为，所以 。 2.圆锥表面积：圆锥的表面积由一个侧面和一个底面组成，所以 。侧面积、表面积都是面积，所以单位要写平方单位。 ⚠️特别提醒 实际用料问题要看需要覆盖哪些表面。圆锥形烟囱帽、粮仓顶等通常只算侧面积；完整封闭圆锥才需要算入底面积。忽略接缝、裁剪损耗等附加因素时，按题目所说的表面求面积即可，不要看到“圆锥”就一律计算整个锥体的表面积。 💡 拓展延伸 圆锥与圆柱组合时，先分清两部分的高，再分别算外露表面。如图4，上部圆锥的高为，下部圆柱的高为，总高为；若只覆盖屋顶与侧墙，面积为 ，其中。 图4 📌 归纳总结 圆锥侧面积为，表面积为。先用底面半径与高求母线，再根据题意决定是否加底面；组合体只计需要的外露表面，重合接面不重复计入。 易错点 1 混淆弧长公式与面积公式的分母 · 错例：半径为、圆心角为，把弧长列成； · 错因：记混了弧长与扇形面积的公式，忽略圆周长中还有因数； · 规避方法：先从整圆出发：弧长为；面积才是。 易错点 2 把圆周角直接代入弧长公式 · 错例：半径为，某弧所对的圆周角为，就用求得弧长； · 错因：没有辨认角顶点的位置，弧长公式要求的是所对圆心角的度数； · 规避方法：先找这条弧所对的圆心角，其度数为，弧长为。圆周角对应哪条弧也要核对。 易错点 3 把弧长相等当作等弧的充分条件 · 错例：半径为的半圆弧与半径为的弧都长，就判定它们是等弧； · 错因：只比较长度，漏掉等弧必须在同圆或等圆中的条件； · 规避方法：先查两圆半径，再查弧长或所对圆心角。本例中两弧所在圆的半径不同，不能重合，不是等弧。 易错点 4 求扇形周长时漏掉两条半径 · 错例：半径为、圆心角为的扇形，周长只答； · 错因：把弧长当作整个扇形边界的长度，遗漏两条直线边； · 规避方法：沿边界依次标出两条半径和一条弧，得到。若题目只求弧长，才不加半径。 易错点 5 面积单位仍按长度的进率换算 · 错例：算得圆锥帽侧面积为，换成平方米时只除以，写成； · 错因：沿用长度单位的进率，没有把换算倍数平方； · 规避方法：先写，本例中应为；也可先把、化为米再算。 易错点 6 把圆锥的高当作母线长 · 错例：圆锥底面半径为、高为，直接算侧面积为； · 错因：把内部的高与侧面上的母线混为一谈，漏掉勾股关系； · 规避方法：先画顶点、底面圆心与圆周上一点组成的直角三角形，求，再算侧面积。 易错点 7 把展开扇形半径当作圆锥底面半径 · 错例：半径为、圆心角为的扇形围成圆锥，就说底面半径为； · 错因：只看到两个图形都出现“半径”，没有找到展开前后同一条边的对应关系； · 规避方法：扇形半径成为母线，所以；扇形弧长为，令，得到底面半径。 易错点 8 求展开角时把半径与母线的比写反 · 错例：圆锥底面半径为、母线长为，把展开角算成； · 错因：没有用弧长公式推导，把底面半径与母线的比颠倒； · 规避方法：先写，得到，本例为。普通圆锥中，，展开角应小于。 易错点 9 实际用料不分侧面积与表面积 · 错例：制作底面半径为、母线长为且底部敞开的圆锥帽，仍用计算用料； · 错因：没有检查所需覆盖的表面，把不存在的底面也计入材料； · 规避方法按题意列出需要覆盖的表面。本例只需侧面，用料面积为；只有另需封住底部时才加。 题型一：弧长公式 📝方法技巧 ①求弧长时，先找准圆心角和半径，再利用 计算。已知弧长求半径或圆心角时，可直接代入公式列方程，注意统一长度单位； ②求点旋转经过的路程，关键是确定旋转中心、旋转半径和实际旋转角。旋转半径是该点到旋转中心的距离，必要时先利用勾股定理求出；旋转角不能直接用图中某个三角形的内角代替，必须严格按照旋转的定义确定旋转角； ③比较弧长时，可以先利用比例关系简化计算：同圆或等圆中，弧长之比等于所对圆心角之比；圆心角相同时，弧长之比等于半径之比； ④求环形扇形的弧长或周长，应分清内、外半径。若已知外半径和环宽，可先求内半径；完整周长由内弧、外弧和两条直线段组成，不能只计算两段弧长。 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径，圆心角，则该弯形管道的长度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 4．（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 8．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为________．（结果保留） 10．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 11．（21-22九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 12．（2026·甘肃平凉·二模）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如图），该邮票的形状是扇形的一部分，延长、交于点，，其“下圆弧”的长为，“直边”的长为，则单枚邮票的周长为_________（结果保留） 13．（2022·浙江丽水·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 14．（2022·河南开封·模拟预测）如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 题型二：扇形的定义及面积 📝方法技巧 ①求扇形面积时，学会根据已知条件选择公式：已知圆心角和半径，用 ；已知弧长和半径，用 。注意所求部分对应的圆心角，尤其是“剪去一部分后剩余的扇形”，不能直接使用被剪去部分的角度； ②求线段旋转扫过的面积，应先判断旋转中心是否为线段的端点。若是，扫过的图形是扇形；若不是，应画出线段的起始位置、终止位置及两端点的运动轨迹，再通过补形、割形计算，不能直接把线段长当作扇形半径； ③对于常见组合图形，可先转化为基本图形面积关系：弓形面积＝扇形面积－相应三角形面积；环形扇形面积＝同圆心角的大扇形面积－小扇形面积。 环形扇形应使用两半径的平方差，不能直接把环宽当作半径计算； ④对于圆锥、圆柱组合体的表面积问题，先逐一找出需要计算的外表面，再分别求和；相接处的圆面不计入外表面积，底面是否计入应以题意为准。涉及到用料或费用时，先统一单位，再按“单个面积→总面积→用料或费用”的顺序计算，最后按要求取近似值。 1．（26-27九年级下·全国·单元复习）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 2．（22-23六年级下·山东泰安·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一根长的木棒，如果绕着它的一端旋转，木棒扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）一个钟表，分针长8厘米，如果分针从“12”走到“6”，则分针扫过的面积是（   ）平方厘米． A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）如图，点 是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 ，在 点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于 ，两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（   ） A．点 到弦 所在直线的距离存在最大值 B．弦 的大小改变 C．弦 与 的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变 9．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 10．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 11．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 12．（26-27九年级上·全国·期末）如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 13．（2022·湖南娄底·模拟预测）如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 14．（2026·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交x轴于点；将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；将线段绕点顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；…，按此规律，则的值为________． 15．（2026·广东广州·一模）如图，中，，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点落到点，则在旋转中，边变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 16．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 17．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求： (1)该圆形盖子的半径为多少厘米？ (2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？ 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，已知，求此蒙古包的表面积（含底圆）． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？ 20．（26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 题型三：圆锥的定义及面积 📝方法技巧 ①圆锥与侧面展开扇形之间，抓住两个对应关系：扇形半径等于圆锥母线长，扇形弧长等于圆锥底面周长。 设母线长为 、底面半径为 、展开扇形圆心角为 ，可由 建立等量关系。注意不要把展开扇形半径与底面半径混用； ②母线、底面半径和高组成直角三角形，可利用 求出缺少的条件，其中母线是斜边。若直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥时，旋转轴所在的直角边对应高，另一条直角边对应底面半径，斜边对应母线； ③计算面积前，先判断求的是侧面积还是表面积。无底帽子等问题通常只求侧面积即可，即 ；需要计入底面积时，再加上 即可； ④已知展开扇形的圆心角时，可先求母线与底面半径的比：。又因为 ，所以已知底面积求侧面积时，往往可以直接利用面积比，避免先求半径再代入计算； ⑤圆锥放入圆柱形容器的水位变化问题，可利用排水体积建立方程。圆锥完全浸没且水未溢出时，圆锥体积等于容器底面积乘水位上升高度，再结合圆锥体积公式求解。注意使用的是水位变化量，而不是容器高度。 1．（2026·江苏镇江·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·云南昆明·二模）甜品店的一款圆锥形冰淇淋甜筒引起小明的注意，经了解这个模型的侧面展开图的圆心角的度数为，底面半径为，小明想制作一个这样的甜筒模型，那么这个圆锥形甜筒的母线长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·广东广州·期中）把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D．2 6．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2026·江苏南通·三模）一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·云南玉溪·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）用一张圆心角为的扇形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为(　　) A． B． C． D． 11．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 12．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）已知圆锥侧面展开图的圆心角是，底面圆的面积为15，则该圆锥的侧面积为______． 14．（25-26六年级下·上海·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长是12，则这个圆锥的侧面积是_________． 15．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为___________，母线长为___________． 18．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 19．（2026·云南昭通·一模）数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 20．（2022九年级下·山东济宁·专题练习）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是_____． 21．（2026·甘肃天水·模拟预测）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为________． 题型四：圆锥侧面上最短路径问题 📝方法技巧 ①求圆锥侧面上的最短路径，通常先将侧面展开为扇形，再确定起点、终点在展开图中的位置。展开前后，点到顶点沿母线的距离不变，因此母线中点在展开图中仍是对应半径的中点； ②对“绕圆锥一周”的路径问题，应该把起点和终点放在展开图中相应的位置。沿同一条母线剪开时，这条母线会出现在扇形的两条边上；绕行一周后的终点应取在另一条边上，不能把它与起点放在同一条半径上，容易遗漏绕行条件； ③正确展开并定位后，若连接两点的线段位于允许经过的展开区域内，且满足题目的绕行要求，就可利用“两点之间，线段最短”求解。长度的计算通常转化为等腰三角形、等边三角形或直角三角形问题，可通过作高、取中点等方法使用勾股定理。侧面上的点到圆锥顶点的最短路径，则是经过该点的母线段。 1．（18-19九年级上·江苏南通·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 4．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知O为圆锥顶点,OA、OB为圆锥的母线,C为OB中点, 一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( ) A． B． C． D． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 7．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为_____________． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 29.3 弧长与扇形面积 🔷知识点一　弧长公式及其应用 1.弧长公式： 设圆的半径为，一条弧所对的圆心角为，弧长为。圆周长为，的圆心角所对的弧占整个圆周的，所以： 。其中是圆心角的度数，代入数值时不带符号；与使用相同的长度单位。 2.公式的变形： （1）已知弧长和圆心角，可求； （2）已知弧长和半径，可求圆心角的度数。求半径时，还要注意题目是否给了直径。 ⚠️特别提醒 ①弧长是曲线的长度，弦长是两端点间线段的长度，不能混用。弧长公式中的角必须是这条弧所对的圆心角；若给的是同弧所对的圆周角，应该先把角的度数乘以； ②题目要求保留时，不要提前取近似值；要求近似值时，按题目规定取，并在最后统一取舍。 💡 拓展延伸 ①在同圆或等圆中，弧长与所对圆心角的度数成正比。但弧长相等不一定是等弧。例如半径为的半圆弧与半径为的弧，长度都是，却不能重合。等弧还要求在同圆或等圆中，不能忽略这个条件； ②弯形管道、跑道或传送带的总长，应按直线段长与弧长相加计算。弯管沿中心线求展直长度；两个半径均为、圆心距为的传送轮，连接它们的绷紧且不交叉的传送带由两段长为的直线段和两个半圆弧组成，总长为。 📌 归纳总结 先找半径及对应圆心角，再用。区分弧与弦、优弧与劣弧，避免计算长度的时候产生混乱；由圆周角求弧长时先转成圆心角，曲直组合的总长要逐段相加。 🔷知识点二　扇形面积与周长 1.扇形的概念：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 2.扇形面积公式：设扇形的半径为，圆心角为，弧长为。它的面积占整个圆面积的，所以 。又因为，所以 。已知圆心角和半径时，用第一个式子方便；已知弧长和半径时，用第二个式子方便。注意：这里的只指弧长，不是扇形的周长。 3.扇形周长： 。周长要沿边界走一周，除弧以外，还包括两条半径。 所求量 公式 单位及注意事项 弧长 长度单位，只算圆弧 扇形面积 面积单位，半径要平方 扇形周长 长度单位，两条半径不能漏 ⚠️特别提醒 ①弧长公式分母是，面积公式分母是。记不清时，可从整圆的和分别乘推回去； ②在同圆或等圆中，扇形面积与圆心角度数成正比；圆心角相等时，面积与半径的平方成正比。例如半径扩大到原来的倍，面积扩大到倍，弧长和周长均扩大到倍； ③计算前先统一长度单位，计算后区分长度单位与面积单位。例如，不能按直接换算面积。 📌 归纳总结 扇形面积用，周长用。面积看围成的区域，周长看全部边界；代入前注意统一单位。 🔷知识点三　圆弧形区域的面积 1.弓形面积：弦与它所对的一条弧围成的图形叫作弓形，与由两条半径和弧围成的扇形不同。求弓形面积，常连接圆心与弦的端点，把弓形与扇形、三角形联系起来。 图1　阴影部分为弓形 如图1，，，是垂足，为下方劣弧的中点，。则，由垂径定理得，所以。 连接，因为是的垂直平分线，所以，为等边三角形。因此，，阴影面积为： 。 ⚠️特别提醒 ①弓形面积也不能一律用“扇形减三角形”的套路。图1中弦上方的大弓形等于圆面积减下方小弓形，也等于优弧对应的扇形面积加的面积，结果为。先看所求区域在弦的哪一侧，再确定加减。 ②环形扇面的面积：两扇形圆心相同、圆心角相同，大扇形扣去小扇形后得到环形扇面。如图2，外半径为、内半径为，圆心角为，则： 。若外半径为、内半径为、圆心角为，面积为。 图2 💡 拓展延伸 组合图形的面积，先连接半径、找圆心角，把目标区域分割或补成已知图形，再列面积关系。环形扇面给的是宽度时，要先确定内、外半径。相加时检查是否重复计算，相减时检查是否多减。 📌 归纳总结 弓形常转化为扇形与三角形的和或差；环形扇面用同角度的大扇形减小扇形。先明确阴影边界和面积关系，再求半径、圆心角及三角形的底、高。 🔷知识点四　圆锥及其侧面展开图 1.圆锥的有关概念：圆锥由一个底面和一个侧面围成。连接圆锥顶点与底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线。顶点到底面圆心的线段长为高。 设底面圆半径为，高为，母线长为。如图3，连接顶点、底面圆心和圆周上的点，得到直角三角形，所以 ，即。容易混淆的地方是：母线是斜边，不是高。 图3 2. 侧面展开图：沿一条母线剪开并展平，圆锥的侧面展开图是一个扇形。展开前后，母线长和底面边界的长度不变，最重要的是以下两组对应关系： 侧面展开扇形 原来的圆锥 扇形的半径 圆锥的母线长 扇形的弧长 底面圆的周长 3. 展开扇形的圆心角：设展开后的圆心角为，由弧长相等得，所以 ，反过来。这里仍只表示度数，计算结果写成。 ⚠️特别提醒 ①弧长公式常用表示弧长，圆锥问题又用表示母线长，要结合所在公式辨认字母。圆锥的展开扇形中，弧长是，不能再把母线长当作弧长； ②理想情况下用扇形无重叠、无缝隙地围成圆锥时，扇形两条半径边重合；扇形半径成为母线，扇形弧围成底面圆周。通常的圆锥满足，若计算出展开角不在这个范围，需要重新检查半径和母线的对应。 📌 归纳总结 圆锥先分清底面半径、高、母线，利用求缺少的量。展开图记住半径对应母线，弧长对应底面周长，圆心角的度数。 🔷知识点五　圆锥的侧面积与表面积 1.圆锥侧面积：圆锥的侧面积等于展开扇形的面积。扇形半径为、弧长为，所以 。 2.圆锥表面积：圆锥的表面积由一个侧面和一个底面组成，所以 。侧面积、表面积都是面积，所以单位要写平方单位。 ⚠️特别提醒 实际用料问题要看需要覆盖哪些表面。圆锥形烟囱帽、粮仓顶等通常只算侧面积；完整封闭圆锥才需要算入底面积。忽略接缝、裁剪损耗等附加因素时，按题目所说的表面求面积即可，不要看到“圆锥”就一律计算整个锥体的表面积。 💡 拓展延伸 圆锥与圆柱组合时，先分清两部分的高，再分别算外露表面。如图4，上部圆锥的高为，下部圆柱的高为，总高为；若只覆盖屋顶与侧墙，面积为 ，其中。 图4 📌 归纳总结 圆锥侧面积为，表面积为。先用底面半径与高求母线，再根据题意决定是否加底面；组合体只计需要的外露表面，重合接面不重复计入。 易错点 1 混淆弧长公式与面积公式的分母 · 错例：半径为、圆心角为，把弧长列成； · 错因：记混了弧长与扇形面积的公式，忽略圆周长中还有因数； · 规避方法：先从整圆出发：弧长为；面积才是。 易错点 2 把圆周角直接代入弧长公式 · 错例：半径为，某弧所对的圆周角为，就用求得弧长； · 错因：没有辨认角顶点的位置，弧长公式要求的是所对圆心角的度数； · 规避方法：先找这条弧所对的圆心角，其度数为，弧长为。圆周角对应哪条弧也要核对。 易错点 3 把弧长相等当作等弧的充分条件 · 错例：半径为的半圆弧与半径为的弧都长，就判定它们是等弧； · 错因：只比较长度，漏掉等弧必须在同圆或等圆中的条件； · 规避方法：先查两圆半径，再查弧长或所对圆心角。本例中两弧所在圆的半径不同，不能重合，不是等弧。 易错点 4 求扇形周长时漏掉两条半径 · 错例：半径为、圆心角为的扇形，周长只答； · 错因：把弧长当作整个扇形边界的长度，遗漏两条直线边； · 规避方法：沿边界依次标出两条半径和一条弧，得到。若题目只求弧长，才不加半径。 易错点 5 面积单位仍按长度的进率换算 · 错例：算得圆锥帽侧面积为，换成平方米时只除以，写成； · 错因：沿用长度单位的进率，没有把换算倍数平方； · 规避方法：先写，本例中应为；也可先把、化为米再算。 易错点 6 把圆锥的高当作母线长 · 错例：圆锥底面半径为、高为，直接算侧面积为； · 错因：把内部的高与侧面上的母线混为一谈，漏掉勾股关系； · 规避方法：先画顶点、底面圆心与圆周上一点组成的直角三角形，求，再算侧面积。 易错点 7 把展开扇形半径当作圆锥底面半径 · 错例：半径为、圆心角为的扇形围成圆锥，就说底面半径为； · 错因：只看到两个图形都出现“半径”，没有找到展开前后同一条边的对应关系； · 规避方法：扇形半径成为母线，所以；扇形弧长为，令，得到底面半径。 易错点 8 求展开角时把半径与母线的比写反 · 错例：圆锥底面半径为、母线长为，把展开角算成； · 错因：没有用弧长公式推导，把底面半径与母线的比颠倒； · 规避方法：先写，得到，本例为。普通圆锥中，，展开角应小于。 易错点 9 实际用料不分侧面积与表面积 · 错例：制作底面半径为、母线长为且底部敞开的圆锥帽，仍用计算用料； · 错因：没有检查所需覆盖的表面，把不存在的底面也计入材料； · 规避方法按题意列出需要覆盖的表面。本例只需侧面，用料面积为；只有另需封住底部时才加。 题型一：弧长公式 📝方法技巧 ①求弧长时，先找准圆心角和半径，再利用 计算。已知弧长求半径或圆心角时，可直接代入公式列方程，注意统一长度单位； ②求点旋转经过的路程，关键是确定旋转中心、旋转半径和实际旋转角。旋转半径是该点到旋转中心的距离，必要时先利用勾股定理求出；旋转角不能直接用图中某个三角形的内角代替，必须严格按照旋转的定义确定旋转角； ③比较弧长时，可以先利用比例关系简化计算：同圆或等圆中，弧长之比等于所对圆心角之比；圆心角相同时，弧长之比等于半径之比； ④求环形扇形的弧长或周长，应分清内、外半径。若已知外半径和环宽，可先求内半径；完整周长由内弧、外弧和两条直线段组成，不能只计算两段弧长。 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】扇形弧长计算公式，代入求值即可． 【详解】解：将，代入 ． 2．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径，圆心角，则该弯形管道的长度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】管道的长度实际为的长，把圆心角和半径代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， 又∵弧长公式， ∴的长为 即该弯形管道的长度为． 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 4．（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 5．（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 【详解】解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 6．（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 7．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 8．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到；由垂径定理得到的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的长． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，，则，利用垂径定理得出，根据圆周角定理得到，则，得到，根据勾股定理可得，进而利用弧长公式解答即可． 【详解】解：连接，， 是的直径，弦于点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 10．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 11．（21-22九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【答案】 【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为， ∵的长度为， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴的长度是． 12．（2026·甘肃平凉·二模）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如图），该邮票的形状是扇形的一部分，延长、交于点，，其“下圆弧”的长为，“直边”的长为，则单枚邮票的周长为_________（结果保留） 【答案】 【分析】利用弧长公式求得该邮票的“下圆弧”的半径，再利用弧长公式求得该邮票的“上圆弧”的长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，每一枚邮票的圆心角为， ∴设该邮票的“下圆弧”的半径为，则， 解得：， ∴该邮票的“上圆弧”的半径为， 则该邮票的“上圆弧”的长为， ∴单枚邮票的周长为：． 13．（2022·浙江丽水·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2022·河南开封·模拟预测）如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 【答案】68.56 【分析】通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了个圆，利用弧长公式即可计算，然后再加上矩形的周长即可． 【详解】解： 答：圆心所经过的路线长度是． 题型二：扇形的定义及面积 📝方法技巧 ①求扇形面积时，学会根据已知条件选择公式：已知圆心角和半径，用 ；已知弧长和半径，用 。注意所求部分对应的圆心角，尤其是“剪去一部分后剩余的扇形”，不能直接使用被剪去部分的角度； ②求线段旋转扫过的面积，应先判断旋转中心是否为线段的端点。若是，扫过的图形是扇形；若不是，应画出线段的起始位置、终止位置及两端点的运动轨迹，再通过补形、割形计算，不能直接把线段长当作扇形半径； ③对于常见组合图形，可先转化为基本图形面积关系：弓形面积＝扇形面积－相应三角形面积；环形扇形面积＝同圆心角的大扇形面积－小扇形面积。 环形扇形应使用两半径的平方差，不能直接把环宽当作半径计算； ④对于圆锥、圆柱组合体的表面积问题，先逐一找出需要计算的外表面，再分别求和；相接处的圆面不计入外表面积，底面是否计入应以题意为准。涉及到用料或费用时，先统一单位，再按“单个面积→总面积→用料或费用”的顺序计算，最后按要求取近似值。 1．（26-27九年级下·全国·单元复习）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式，代入已知圆心角与面积，进而求出扇形的半径． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意得， 化简得， 解得， ， ． 2．（22-23六年级下·山东泰安·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题已知扇形的半径和圆心角，可直接利用扇形面积公式计算结果，再选出正确选项.用到的扇形面积公式为，其中为圆心角度数，为扇形半径． 【详解】解：由题意得，该扇形的半径，圆心角， 代入扇形面积公式得． 3．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 4．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一根长的木棒，如果绕着它的一端旋转，木棒扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，绕木棒一端旋转，木棒扫过的图形是半径为的半圆，利用圆的面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵木棒长为，绕一端旋转， ∴扫过的图形是半径的半圆 ∵圆的面积公式为 ∴木棒扫过的面积为. 5．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）一个钟表，分针长8厘米，如果分针从“12”走到“6”，则分针扫过的面积是（   ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的面积计算，分针从“12”走到“6”扫过的区域是半圆，半径等于分针长度，利用圆的面积公式计算半圆面积． 【详解】解：∵钟面被12等分，每份圆心角为，从“12”到“6”共6份， ∴圆心角为，即半圆， ∵分针长， ∴半径， ∴扫过的面积， 故选：C． 6．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 7．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 8．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）如图，点 是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 ，在 点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于 ，两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（   ） A．点 到弦 所在直线的距离存在最大值 B．弦 的大小改变 C．弦 与 的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变 【答案】A 【分析】此题主要考查圆的基本性质，圆周角定理，点到直线的距离，掌握基础知识的综合运用是解此题的关键．根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断即可． 【详解】解：A、如图，连接， 当时，此时点P到弦所在直线的距离最大，故A正确； B、根据题意得：点A，B是圆O上的定点，所以所对的弦的大小不变，即的大小不变，故B错误； C、当点P无限接近点B时，线段与的长度之和无限接近，而当点P从点B向点A移动过程中，线段与的长度之和发生变化，故C错误； D、阴影部分面积分为弓形面积和面积之和，弓形面积不变，而点P到距离不一定，所以面积非定值，故阴影部分面积随着点P的移动发生变化，故D选项错误； 故选：A． 9．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】/ 【分析】求出阴影部分扇形的圆心角，再求出扇形面积即可解答； 【详解】解：∵正六边形的边长为1， ∴，, ∴． 10．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：∵ ∴ . 11．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，即，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到，通过转化知道阴影部分面积等于扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】解：， ， 设阴影部分面积为，扇形的面积为，则， ， ， ． 12．（26-27九年级上·全国·期末）如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【分析】连接，，作于点，由中心对称图形的性质可知，阴影部分的面积等于弓形的面积，证明是等边三角形可得出，由勾股定理可得，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点，则， 与正六边形都是中心对称图形， 阴影部分的面积和弓形的面积． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故阴影部分的面积和为． 13．（2022·湖南娄底·模拟预测）如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 【答案】 【分析】由题意可知，线段扫过的图形为一个扇形，半径为，先根据三角函数的定义求出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由旋转的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴线段扫过的图形的面积为． 14．（2026·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交x轴于点；将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；将线段绕点顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；…，按此规律，则的值为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，分别求出，，，利用扇形面积求出，概括出相应的规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 同理可得，， ∴，，，， ∴， ∴． 15．（2026·广东广州·一模）如图，中，，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点落到点，则在旋转中，边变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】先求出，，由旋转性质可得， ，，然后通过．即可求解 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴，， ∵将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到延长线上的点， ∴， ∴ ，， ∴ ， ∴边变到边所扫过的面积为平方厘米． 16．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】 / 【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 17．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求： (1)该圆形盖子的半径为多少厘米？ (2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？ 【答案】(1)该圆形盖子的半径为20厘米． (2)制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米． 【分析】（1）先求出圆锥的底面周长，即为扇形的弧长，设圆锥底面圆的半径是r厘米，根据圆的周长公式即可求解； （2）用侧面积加上底面积即可． 【详解】（1）解：圆锥的底面周长是（厘米）． 设圆锥底面圆的半径是r厘米，则， 解得． 答：该圆形盖子的半径为20厘米． （2）解：（平方厘米） 答：制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，已知，求此蒙古包的表面积（含底圆）． 【答案】 【分析】蒙古包的表面积由三部分组成：圆锥侧面积、圆柱侧面积、圆柱底面积，因为圆锥底面和圆柱上底面重合，所以这两个面不计入总表面积先求圆锥的母线长，已知圆锥的高和底面半径，用勾股定理即可计算母线长分别代入圆锥侧面积公式、圆柱侧面积公式、圆的面积公式计算各部分面积，再求和得到总表面积． 【详解】解：， ． 圆锥的侧面积：， 圆柱的侧面积：， 圆柱的底面积：． ∴此蒙古包的表面积：． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？ 【答案】35.9千克 【分析】由图可得该几何体是上下两个圆锥和中间一个圆柱组成的，利用圆柱和圆锥的侧面积计算公式求出1个锚标浮筒的表面积，进而可求解． 【详解】解：由图知，圆柱和圆锥的底面半径为， 两个圆锥的高均为，圆柱的高为， ∴圆锥的母线长为， ∴两个圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， ∴1个锚标浮筒的表面积为， ∵每平方米用锌， ∴电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌（千克）． 20．（26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； （2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． 题型三：圆锥的定义及面积 📝方法技巧 ①圆锥与侧面展开扇形之间，抓住两个对应关系：扇形半径等于圆锥母线长，扇形弧长等于圆锥底面周长。 设母线长为 、底面半径为 、展开扇形圆心角为 ，可由 建立等量关系。注意不要把展开扇形半径与底面半径混用； ②母线、底面半径和高组成直角三角形，可利用 求出缺少的条件，其中母线是斜边。若直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥时，旋转轴所在的直角边对应高，另一条直角边对应底面半径，斜边对应母线； ③计算面积前，先判断求的是侧面积还是表面积。无底帽子等问题通常只求侧面积即可，即 ；需要计入底面积时，再加上 即可； ④已知展开扇形的圆心角时，可先求母线与底面半径的比：。又因为 ，所以已知底面积求侧面积时，往往可以直接利用面积比，避免先求半径再代入计算； ⑤圆锥放入圆柱形容器的水位变化问题，可利用排水体积建立方程。圆锥完全浸没且水未溢出时，圆锥体积等于容器底面积乘水位上升高度，再结合圆锥体积公式求解。注意使用的是水位变化量，而不是容器高度。 1．（2026·江苏镇江·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 3．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：扇形的半径等于正方形的边长，即，圆心角， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ， ． 4．（2026·云南昆明·二模）甜品店的一款圆锥形冰淇淋甜筒引起小明的注意，经了解这个模型的侧面展开图的圆心角的度数为，底面半径为，小明想制作一个这样的甜筒模型，那么这个圆锥形甜筒的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面周长，列方程求解母线长即可． 【详解】解：设这个圆锥形甜筒的母线长为， ∵圆锥底面半径为， ∴圆锥底面周长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，且侧面展开图圆心角为， ∴， 化简得， 两边同除以得， 解得， 即母线长为． 5．（24-25九年级下·广东广州·期中）把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用圆锥侧面展开图的性质，即半圆的弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于原半圆的半径，再结合勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：∵原半圆的半径为，即圆锥母线长， ∴半圆的弧长为， 设圆锥底面圆半径为， ∵圆锥底面周长等于侧面展开半圆的弧长， ∴， 解得， ∵圆锥的高，底面半径，母线长构成直角三角形，满足勾股定理， ∴． 6．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程实际应用．根据题意设这个圆锥的高是x厘米，再列出一元一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：设这个圆锥的高是x厘米，根据题意得， 解得， 答：这个圆锥的高是6厘米． 故选：C． 7．（2026·江苏南通·三模）一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，利用该关系列方程即可求解圆心角度数． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵母线长为，底面圆半径为，且圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长为，侧面展开扇形的弧长为， ∴， 解得， ∴侧面展开图圆心角度数为． 8．（2026·云南玉溪·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，根据该关系列方程求解即可 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角度数为， ∵圆锥底面圆半径，母线长，且圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长 ，侧面展开图的弧长为. ∴，解得. ∴该圆锥侧面展开图的圆心角度数为 9．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题关键是利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，结合勾股定理求出圆锥底面半径． 先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：由圆锥母线长为、高为，得底面半径为， 底面周长为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数为， 扇形弧长公式为， 化简得，解得， 即所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 故选：． 10．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）用一张圆心角为的扇形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于扇形半径，利用该关系列方程求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，即扇形半径为. 根据扇形弧长等于圆锥底面周长， 可得方程. 解得. ∴圆锥的母线长为. 11．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 12．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再根据圆锥侧面积公式计算结果． 【详解】解：∵圆锥的高为，母线长为， ∴由勾股定理可得，圆锥底面圆的半径 ， ∵圆锥侧面积公式为 ，其中是母线长， ∴代入得 ． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）已知圆锥侧面展开图的圆心角是，底面圆的面积为15，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】30 【分析】设圆锥底面半径为，母线长为，由底面面积得到，再根据侧面展开弧长等于底面周长得到母线长与底面半径的关系，代入侧面积公式即可求出结果． 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为． ∵ 底面圆的面积为， ∴ ． ∵ 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，圆心角为， ∴． 化简得． ∵圆锥的侧面积公式为， ∴将代入得：． 14．（25-26六年级下·上海·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长是12，则这个圆锥的侧面积是_________． 【答案】 【分析】根据“完美扇形”的定义得到弧长与半径的关系，结合扇形周长求出半径和弧长，代入面积公式计算即可． 【详解】解：设“完美扇形”所在圆的半径为，根据“完美扇形”的定义可得弧长， “完美扇形”的周长为两个半径长加弧长， 由题意得， 将代入得， 解得， 则， 圆锥的侧面积等于其侧面展开扇形的面积， 因此这个圆锥的侧面积为． 15．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【分析】连接，由题意可得为的直径，，，求出扇形的对应半径为，弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得为的直径，，， ∴，即扇形的对应半径为， ∴弧的长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，确定旋转得到的圆锥的底面半径和母线长，再分别计算圆锥的侧面积和底面积，求和得到全面积． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ 由勾股定理得 ． 将绕所在直线旋转一周后，得到的圆锥底面半径， 母线长， 圆锥的侧面积为 ， 圆锥的底面积为 ， ∴ 圆锥的全面积为 ． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为___________，母线长为___________． 【答案】 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥母线长，利用圆周长公式和弧长公式即可求解． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，母线长为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得． ∵扇形弧长公式为，其中圆心角，弧长为， ∴， 解得． 18．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 即， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以圆锥的高为． 19．（2026·云南昭通·一模）数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【答案】 【分析】先求得，即圆锥的底面圆的周长为，进而求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径为，即， 在中，． 20．（2022九年级下·山东济宁·专题练习）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是_____． 【答案】 【分析】先根据扇形弧长等于圆锥底面周长计算出圆锥底面的半径，再画出圆锥的截面图，使用勾股定理计算出圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面的半径为， 由题意可知，， 解得， 圆锥的截面图如图所示， 由圆锥的性质可知，，，， 在中，， ∴圆锥的高为． 21．（2026·甘肃天水·模拟预测）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为________． 【答案】/216度 【分析】先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：由圆锥母线长、高，得底面半径为， 底面周长为， 扇形弧长公式为， 化简得， 解得， ∴扇形卡纸的圆心角的度数为． 题型四：圆锥侧面上最短路径问题 📝方法技巧 ①求圆锥侧面上的最短路径，通常先将侧面展开为扇形，再确定起点、终点在展开图中的位置。展开前后，点到顶点沿母线的距离不变，因此母线中点在展开图中仍是对应半径的中点； ②对“绕圆锥一周”的路径问题，应该把起点和终点放在展开图中相应的位置。沿同一条母线剪开时，这条母线会出现在扇形的两条边上；绕行一周后的终点应取在另一条边上，不能把它与起点放在同一条半径上，容易遗漏绕行条件； ③正确展开并定位后，若连接两点的线段位于允许经过的展开区域内，且满足题目的绕行要求，就可利用“两点之间，线段最短”求解。长度的计算通常转化为等腰三角形、等边三角形或直角三角形问题，可通过作高、取中点等方法使用勾股定理。侧面上的点到圆锥顶点的最短路径，则是经过该点的母线段。 1．（18-19九年级上·江苏南通·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 3．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【答案】D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点， ∵，， ∴装饰带的长度， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 4．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是 6π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l=6π， 设展开后的圆心角是n°，则 解得：n=180， 即展开后 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得： 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知O为圆锥顶点,OA、OB为圆锥的母线,C为OB中点, 一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A， ∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即可是最短路线， ∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可； 故选C． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】 /3厘米 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 7．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为_____________． 【答案】/ 【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得． 【详解】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接、， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点为的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $