29.2 圆有关的性质（知识清单，知识点&13易错&5题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十九章 圆 29.2 圆有关的性质 🔷知识点一　圆的对称性 1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。注意对称轴是直线，不能说“直径是对称轴”。 2.圆的中心对称性： 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。把圆绕圆心旋转，所得图形与原图形重合。 3.圆的旋转对称性： 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形都与原图形重合。旋转前后各点到圆心的距离不变，仍等于半径。 ⚠️特别提醒 圆绕圆心旋转后，圆作为一个整体不变，但如果圆上有已经标记的点，且该点也随着圆一起旋转，则标记的点通常会改变位置。不能认为圆上每个点都停在原来的位置。📌 归纳总结 圆的对称轴是直径所在的直线，对称中心是圆心；绕圆心旋转任意角度都能与原图重合。 🔷知识点二　垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图1，是的直径，，垂足为，则：，，。 图1 2. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如图1，若，不是直径，且、、、共线，就能反过来得到及两组等弧。 ⚠️特别提醒 ①若要使用垂径定理，必须同时具备过圆心、垂直于弦两个条件。只有一条直径与弦相交，但夹角不是直角时，推不出弦被平分； ②推论中的“不是直径”不能省略。两条直径互相平分，但不一定垂直；若弦本身是直径，它的中点就是圆心，过这个中点不能唯一确定一条垂线。 💡 拓展延伸 处理非直径的弦时，“过圆心”“垂直于弦”“平分弦”三个条件，知道其中两个，就能推出第三个，并能平分弦所对的两条弧。辅助线只需画出过圆心的垂线或连接圆心与弦中点，不必每次画出完整的直径。 📌 归纳总结 过圆心且垂直弦→平分弦、平分两条弧；反过来，过圆心且平分非直径的弦→垂直弦、平分两条弧。记得先检查条件，再使用结论。 🔷知识点三　弦长、弦心距与弓高 1.半径、半弦长、弦心距之间的关系： 圆心到弦所在直线的距离叫作弦心距。如图1，设半径为，，，则。在中，有： ，从而，。这三个量中，知道两个就可求第三个。 2.弓高与半径： 连接弧的中点与弦的中点，这段垂直于弦的线段长称为弓高，常用表示。拱桥的拱高、圆弧形隧道的内部高度等，可转化为这类数量关系。 图2 如图2，，，。图2（1）中，图2（2）中，统一写成。由勾股定理可得如下关系式： 。 ⚠️特别提醒 先看题目给的是弦心距还是弓高，再判断圆心与弦的位置。弓高不一定小于半径。 💡 拓展延伸 ①在同圆或等圆中，等弦的弦心距相等；弦越长，弦心距越小。由即可说明，反过来也成立； ②求两条平行弦之间的距离：先求各自的弦心距、。两弦在圆心同侧时，距离为；在异侧时，为。若两条平行弦的相对位置未确定，要分类讨论。 📌 归纳总结 弦的常用辅助线是连接半径、作弦心距，把问题转化为直角三角形。弓高问题先写弦心距与、的关系，平行弦距离要区分圆心同侧与异侧。 🔷知识点四　圆心角与弧、弦的关系 1.圆心角的概念：顶点在圆心的角叫作圆心角。如图3，、都是圆心角；角的两边与圆相交，即可确定相应的弧和弦。 2.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 图3 如图3，、、，其中任意一组成立，就能推出另外两组成立（这里两条弧均指图中的劣弧）；由等弦比较弧时，要把优弧与优弧、劣弧与劣弧对应。 根据圆心角的概念以及圆心角、弧、弦之间的关系，我们可以得到下表中常见的几种结论： 已知（同圆或等圆中） 可以得到 两个圆心角相等 所对的弧相等，所对的弦相等 两条弧相等 所对的圆心角相等，所对的弦相等 两条弦相等 所对的圆心角相等，所对的优弧、劣弧分别相等 ⚠️特别提醒 ①比较弦与弧时，“同圆或等圆”是前提。半径不同的两个圆，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等；； ②“相等”不能任意换成“成比例”。圆心角变为原来的倍，所对的弦长通常不会变为原来的倍。 💡 拓展延伸 ①等弧可先转化为等弦，再利用等腰三角形求解；等弦也可转化为等圆心角； ②证明弦相等时，可连接圆心与弦端点，利用半径相等及夹角相等构造全等三角形。 📌 归纳总结 在同圆或等圆中，圆心角、对应弧、对应弦的相等关系可以互相转化；等弦对应的优弧、劣弧分别相等。 🔷知识点五　圆周角及其定理 1.圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。判断是否为圆周角时，两个条件都要满足，两边必须各与圆再交于一点。圆周角所对的弧，是两个交点间不含角顶点的那一条弧。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。如图4中的与同对劣弧，则，即。 图4　 ⚠️特别提醒 ①使用“一半”的关系前，先确认两个角是否对着同一条弧； ②若圆周角对着优弧，不能把图中较小的圆心角直接除以。应先用减去这个较小圆心角，再取一半。如图5，较小的，则，而。 📌 归纳总结 判断圆周角先看顶点在圆上、两边都与圆再相交；计算时先找它所对的不含顶点的弧。同一条弧：圆周角是圆心角的一半，圆心角是圆周角的2倍。 🔷知识点六　圆周角定理的推论 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。同弧所对的圆周角顶点可以在圆上的不同位置；只要所对的是同一条弧，角的大小就不变。等弧所在的圆应为同圆或等圆。 图5 图5中，与虽然同对弦，却分别对着两条不同的弧，不能据此说它们相等。由此可得一条结论：同弦同侧的圆周角相等，同弦异侧的圆周角互补。 2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。如图6，是直径，、是圆上异于、的点，则。反过来，若且、、在同一圆上，就是这个圆的直径。 图6 ⚠️特别提醒 直角对应的弦，是两条边与圆的交点所连的弦，不是经过直角顶点的某条边。见到直径，可连接圆上适当的点构造直角三角形；见到圆周角为直角，可反过来判断其所对的弦为直径。 📌 归纳总结 同弧或等弧→圆周角相等；直径→圆周角为直角；直角圆周角→所对弦为直径。解题时先找弧端点，再找对应的角或弦，避免只凭图形外观配对。 🔷知识点七　圆内接四边形 1.相关概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。四个顶点都在同一圆上的四边形，就是圆内接四边形。 2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。如图7，四边形内接于，则，。 图7 ⚠️特别提醒 “对角”指的是四边形中不相邻的两个内角，不是对角线。一般四边形只有内角和为，不能直接套用对角互补；必须先确认四个顶点共圆。 💡 拓展延伸 ①圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。图7中，在的延长线上，；又因为，所以； ②连接对角线，还可利用同弧所对的圆周角相等找角。如图7，，。标角时先看两边与圆的交点，不能只看两个角靠得近。 ③圆内接平行四边形一定是矩形。平行四边形的对角相等，而圆内接四边形的对角互补，所以每个内角都是。 📌 归纳总结 圆内接四边形先确认四点共圆，再使用对角互补、外角等于内对角。同一图中还可结合圆周角定理，把同弧所对的角对应起来。 易错点 1 只要直径与弦相交，就认为弦被平分 · 错例：直径与弦交于，没有垂直条件，就写； · 错因：把“经过圆心”当作垂径定理的全部条件，忽略垂直于弦； · 规避方法：先查过圆心，再查垂直。只有等条件能补足时，才可用垂径定理；没有依据不能在图上自行添加直角符号。 易错点 2 由平分弦推出垂直时，漏掉非直径条件 · 错例：两条直径、交于圆心，因为，就断定； · 错因：忽略推论中“弦不是直径”的限制，两条直径互相平分并不能保证垂直； · 规避方法：使用推论前，先查被平分的弦是不是直径。两条直径的夹角可以是，此时仍互相平分，但不垂直。 易错点 3 把整条弦长代入勾股关系 · 错例：半径为、弦长为，设弦心距为，列成； · 错因：把弧中点到弦的距离，误当作圆心到弦的距离； · 规避方法：先标圆心、弦中点和弧中点。本例对应劣弧，弦心距为，应列，解得。 易错点 4 混淆弓高与弦心距 · 错例：圆弧所对的弦长为、拱高为，求半径时列； · 错因：把弧中点到弦的距离，误当作圆心到弦的距离； · 规避方法：先标圆心、弦中点和弧中点。本例对应劣弧，弦心距为，应列，解得。 易错点 5 平行弦距离只考虑一种位置 · 错例：半径为，两条平行弦长为和，求得弦心距为、后，只答两弦距离为； · 错因：默认两条弦在圆心异侧，漏掉同侧位置； · 规避方法：画出同侧、异侧两种草图。位置未定时，两弦距离分别为或，两种都要保留。 易错点 6 忽略同圆或等圆的大前提 · 错例：两个圆的圆心角都是，就断定它们所对的弦相等； · 错因：只比较角，没有检查半径，相等圆心角在不同大小的圆中对应的弦长不同； · 规避方法：先查半径是否相等。例如半径分别为、时，圆心角对应的弦长分别为、，并不相等。 易错点 7 把圆心角与弦长的关系当成正比例 · 错例：同一圆中，一条弦长是另一条的倍，就说它所对的圆心角也是另一角的倍； · 错因：把等角、等弧、等弦之间的相等关系，错误推广为倍数关系； · 规避方法：相等定理只保证对应量相等。例如半径为时，长为的弦所对圆心角为，长为的直径所对的是，不是。 易错点 8 只看顶点在圆上，就判定为圆周角 · 错例：一个角的顶点在圆上，其中一条边除顶点外不再与圆相交，仍称它为圆周角； · 错因：漏掉“两边都与圆相交”的条件，没有检查两条射线与圆的另一个交点； · 规避方法：分两步检查：顶点是否在圆上；两条边是否各与圆再交于一点。任一条件不满足，就不能套用圆周角定理。 易错点 9 圆周角与圆心角的一半关系用反 · 错例：同一条弧所对圆心角为，把圆周角算成； · 错因：没有区分已知角的类型，把“圆周角是一半”记成“圆心角是一半”； · 规避方法：先标出角的顶点。同弧时，圆心角圆周角；本例中，圆周角应为。若所对的弧不同，应先重新找弧，不能直接倍乘。 易错点 10 同弦所对的圆周角一律判为相等 · 错例：在图5中，、在弦两侧，仍写； · 错因：把“同弦”混同于“同弧”，忽略两角所对的是互补成整圆的两条弧； · 规避方法：先看角顶点位于弦的哪一侧。同弦同侧角相等、异侧角互补。 易错点 11 直角圆周角所对的弦找错 · 错例：、、在同一圆上，，却把判为直径； · 错因：把经过直角顶点的边，当作直角圆周角所对的弦； · 规避方法：角的顶点是，两边与圆的另两个交点是、，所对的弦是。先圈出角顶点，再连另外两个点判断直径。 易错点 12 把圆内接四边形的邻角当作对角 · 错例：圆内接四边形中，已知，就写； · 错因：没有按顶点顺序找对角，把相邻的两个内角误认为互补； · 规避方法：按、、、的顺序找不相邻的顶点。本例只能由对角互补得到，与各自的度数仍不能确定。 易错点 13 把外角与内对角误判为互补 · 错例：圆内接四边形中，在的延长线上，已知，却算； · 错因：把外角与它的内对角，也套成内接四边形的对角互补； · 规避方法：先找与外角相邻的内角，它为；再用邻补角得。外角与内对角相等，本例都为。 · 题型一：垂径定理 📝方法技巧 ①看到直径或半径与弦垂直时，先标出垂足是弦的中点。应用垂径定理时，要同时确认“经过圆心”和“垂直于弦”两个条件，不能只看到垂直就认为弦被平分； ②求线段长度时，优先找直角三角形，缺辅助线时可以连接圆心与弦的端点构造直角三角形； ③求直径上的部分线段，要先看清圆心、垂足和端点的位置，再判断是用半径加弦心距，还是用半径减弦心距； ④桥拱、筒车等实际问题，先把桥拱跨度或水面宽度看成弦长，把拱高或最大入水深度看成弓形高。设半径为，弓形高为；在的图形中，弦心距为，再用半弦、弦心距和半径列勾股方程。最后看清题目求的是半径还是直径。 1．（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 3．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 4．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 5．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据垂径定理可以得到的长，在中，根据勾股定理求出，根据线段的和差即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 6．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（     ） A．13 B．12 C．8 D．5 【答案】C 【分析】连接，根据圆的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，是的弦，，垂足为， ∴， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 8．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 题型二：垂径定理的推论 📝方法技巧 ①由“平分弦”推出“垂直于弦”，要特别检查这条弦是不是直径。若弦本身就是直径，两条直径虽然互相平分，却不一定垂直，可以用这个特殊情况检验命题； ②已知非直径弦的中点，可以连接圆心与中点，得到垂直关系；已知弧的中点，可以连接它与圆心，找到对应弦的垂直平分线； ③在某些实际测量的问题中，先分清已知的是半径、弦长还是弓形高。圆心在水面上方时，先求圆心到水面的距离，再用半径减去这个距离，得到最大入水深度；已知弦长和弓形高求半径时，则用半径表示弦心距，构造直角三角形列方程； ④水位变化时，圆的半径保持不变，变化的是水面对应的弦长及弦心距，可以根据拱顶离新水面的高度重新确定弦心距。有精度要求时，中间计算尽量保留准确值，最后再取近似值。 1．（2026·重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（     ） A．过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】结合各定理的前提条件逐一分析选项，最终确定真命题． 【详解】选项A：∵当该点在已知直线上时，无法作出已知直线的平行线，定理要求“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，∴A是假命题； 选项B：∵当被平分的弦本身是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，定理要求“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，∴B是假命题； 选项C：∵该命题缺少“同一平面内”的前提条件，不在同一平面内时结论不成立，∴C是假命题； 选项D：由初中数学基本公理可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，∴D是真命题． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题考查弧、弦、圆周角之间的关系，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据弦、弧、圆周角的关系及垂径定理，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、相等的弦所对的弧不一定相等，要在同圆或者等圆中才成立，故原说法错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； C、在同圆或者等圆中，长度相等的弧才是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、等弧所对的圆周角相等，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列语句中，正确的有（   ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键；根据圆的性质，判断每个语句的正确性，考虑同圆或等圆的条件以及弦是否为直径，然后问题可求解． 【详解】解：∵①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，故①错误； ∵②等弧对等弦，故②正确； ∵③平分弦的直径垂直于弦，当弦为直径时不一定垂直，故③错误； ∵④经过圆心的直线是圆的对称轴，故④正确； ∴ 正确的有②④，共2个； 故选B． 4．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆；         ④平分弦的直径垂直于弦； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据圆的基本性质和相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弦相等，故①说法错误； ②同弧或等弧所对的圆周角相等，故②说法正确； ③不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，故③说法错误； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④说法错误； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，故⑤说法错误； 综上所述，正确的有个． 5．（26-27九年级上·甘肃·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知，， ， ， 米． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据题意构建拱形图形，利用勾股定理、垂径定理列方程解题． 【详解】解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为，半径为，经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点，连接，根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高， 根据题意可知，，， 则，， 在中， ，即， 解得， 故桥拱所在圆的半径为． 7．（26-27九年级上·湖北·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 【答案】圆形工件的半径为 【分析】假设圆心为点，连接，由题意得出，设半径为，在中，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：假设圆心为点，连接， ∵作的垂直平分线交于点， ∴点在直线上， ∴， 设半径为， 则在中， ， 即， 解得：． ∴圆形工件的半径为． 8．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 题型三：圆心角 📝方法技巧 ①判断一个角是否为圆心角，直接看角的顶点是不是圆心。顶点在圆内还不够，也不能因为顶点标着字母，就认定它是圆心，要结合图形和题目条件判断； ②求圆心角的度数，可以连接半径构造等腰三角形。例如已知底角，圆心角就是；已知圆心角，底角就是；圆心角为时，两条半径与弦组成直角三角形，可以用勾股定理求弦长； ③出现弧的中点，优先连接它与圆心，把等弧转化为相等的圆心角，再结合半径相等求角。若圆心角为，两条半径与对应弦可以组成等边三角形，进而得到各角都是； ④在同圆或等圆中，圆心角相等，可以推出对应弦相等、相应弧相等。先按角的两边与圆的交点找准对应关系，不着急把图上其他线段的关系也顺带推出，容易混乱条件。 1．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）下列各选项中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】顶点在圆心的角叫作圆心角． 【详解】解：A、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； B、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； C、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； D、顶点在圆心，故是圆心角，符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 6．（2026·云南玉溪·一模）如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 题型四：圆周角及其圆周角定理 📝方法技巧 ①求角度前，先找这个圆周角所对的弧，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求角度； ②遇到直径，优先连接直径的两个端点与圆上有关的点，构造直角三角形，再利用两锐角互余求角。如果需要转移角的位置，可以寻找同弧所对的圆周角。另外，还需要记住：同圆中，同一条弦同侧的圆周角相等，异侧的圆周角互补； ③两条相等的弦有一个公共端点时，可以先转化为等弧，再根据等弧推等角； ④出现圆内接四边形时，可以先利用对角互补转移已知角。求同弦所对的较小圆心角时，若已知圆周角是钝角，应先求它的补角，再乘以，不能把这个钝角直接乘当成所求角。 1．（26-27九年级上·陕西·期中）如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 4．（2022·湖南张家界·模拟预测）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得出，根据直径所对圆周角为直角得出，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 题型五：正多边形和圆 📝方法技巧 ①正边形内接于圆时，相邻顶点间的劣弧对应圆心角都是，每个内角是。先看清所求的是中心角、内角还是圆周角，不能混用公式； ②求边长、边心距或对角线时，可以连接圆心、作垂线，构造等腰三角形或直角三角形。一般在正边形中，可利用半个中心角及三角函数计算；特殊地，正六边形可以分成个等边三角形，边长等于外接圆半径； ③求扇形面积，先找准扇形自身的圆心、半径和圆心角，再用计算，其中为圆心角的度数； ④求阴影面积，优先考虑分割、补形或整体作差。半圆与外接圆组成的阴影，可以尝试用“半圆面积−相应圆弓形面积”，也可以补成整体后减去大圆面积。列式前检查所加、所减的范围，半圆的半径要取其直径的一半。 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解． 【详解】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 2．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 4．（2026·浙江·模拟预测）我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术》中提到了割圆术，其本质上可以用来估算的近似值，如图，现在在半径为R的圆内有一n边正多边形，则可以精确表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数表示出圆内接正边形的边长，进而求出正边形的周长，根据割圆术原理，正边形周长近似等于圆周长，建立等式即可得出的表达式. 【详解】解：正边形的中心角为， 正边形的一条边所对的圆心角的一半为， 如图，在由半径、边心距和边长的一半组成的直角三角形中，边长的一半， 正边形的边长为， 正边形的周长， 圆的周长，且由割圆术可知 ， ， . 5．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 29.2 圆有关的性质 🔷知识点一　圆的对称性 1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。注意对称轴是直线，不能说“直径是对称轴”。 2.圆的中心对称性： 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。把圆绕圆心旋转，所得图形与原图形重合。 3.圆的旋转对称性： 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形都与原图形重合。旋转前后各点到圆心的距离不变，仍等于半径。 ⚠️特别提醒 圆绕圆心旋转后，圆作为一个整体不变，但如果圆上有已经标记的点，且该点也随着圆一起旋转，则标记的点通常会改变位置。不能认为圆上每个点都停在原来的位置。📌 归纳总结 圆的对称轴是直径所在的直线，对称中心是圆心；绕圆心旋转任意角度都能与原图重合。 🔷知识点二　垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图1，是的直径，，垂足为，则：，，。 图1 2. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如图1，若，不是直径，且、、、共线，就能反过来得到及两组等弧。 ⚠️特别提醒 ①若要使用垂径定理，必须同时具备过圆心、垂直于弦两个条件。只有一条直径与弦相交，但夹角不是直角时，推不出弦被平分； ②推论中的“不是直径”不能省略。两条直径互相平分，但不一定垂直；若弦本身是直径，它的中点就是圆心，过这个中点不能唯一确定一条垂线。 💡 拓展延伸 处理非直径的弦时，“过圆心”“垂直于弦”“平分弦”三个条件，知道其中两个，就能推出第三个，并能平分弦所对的两条弧。辅助线只需画出过圆心的垂线或连接圆心与弦中点，不必每次画出完整的直径。 📌 归纳总结 过圆心且垂直弦→平分弦、平分两条弧；反过来，过圆心且平分非直径的弦→垂直弦、平分两条弧。记得先检查条件，再使用结论。 🔷知识点三　弦长、弦心距与弓高 1.半径、半弦长、弦心距之间的关系： 圆心到弦所在直线的距离叫作弦心距。如图1，设半径为，，，则。在中，有： ，从而，。这三个量中，知道两个就可求第三个。 2.弓高与半径： 连接弧的中点与弦的中点，这段垂直于弦的线段长称为弓高，常用表示。拱桥的拱高、圆弧形隧道的内部高度等，可转化为这类数量关系。 图2 如图2，，，。图2（1）中，图2（2）中，统一写成。由勾股定理可得如下关系式： 。 ⚠️特别提醒 先看题目给的是弦心距还是弓高，再判断圆心与弦的位置。弓高不一定小于半径。 💡 拓展延伸 ①在同圆或等圆中，等弦的弦心距相等；弦越长，弦心距越小。由即可说明，反过来也成立； ②求两条平行弦之间的距离：先求各自的弦心距、。两弦在圆心同侧时，距离为；在异侧时，为。若两条平行弦的相对位置未确定，要分类讨论。 📌 归纳总结 弦的常用辅助线是连接半径、作弦心距，把问题转化为直角三角形。弓高问题先写弦心距与、的关系，平行弦距离要区分圆心同侧与异侧。 🔷知识点四　圆心角与弧、弦的关系 1.圆心角的概念：顶点在圆心的角叫作圆心角。如图3，、都是圆心角；角的两边与圆相交，即可确定相应的弧和弦。 2.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 图3 如图3，、、，其中任意一组成立，就能推出另外两组成立（这里两条弧均指图中的劣弧）；由等弦比较弧时，要把优弧与优弧、劣弧与劣弧对应。 根据圆心角的概念以及圆心角、弧、弦之间的关系，我们可以得到下表中常见的几种结论： 已知（同圆或等圆中） 可以得到 两个圆心角相等 所对的弧相等，所对的弦相等 两条弧相等 所对的圆心角相等，所对的弦相等 两条弦相等 所对的圆心角相等，所对的优弧、劣弧分别相等 ⚠️特别提醒 ①比较弦与弧时，“同圆或等圆”是前提。半径不同的两个圆，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等；； ②“相等”不能任意换成“成比例”。圆心角变为原来的倍，所对的弦长通常不会变为原来的倍。 💡 拓展延伸 ①等弧可先转化为等弦，再利用等腰三角形求解；等弦也可转化为等圆心角； ②证明弦相等时，可连接圆心与弦端点，利用半径相等及夹角相等构造全等三角形。 📌 归纳总结 在同圆或等圆中，圆心角、对应弧、对应弦的相等关系可以互相转化；等弦对应的优弧、劣弧分别相等。 🔷知识点五　圆周角及其定理 1.圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。判断是否为圆周角时，两个条件都要满足，两边必须各与圆再交于一点。圆周角所对的弧，是两个交点间不含角顶点的那一条弧。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。如图4中的与同对劣弧，则，即。 图4　 ⚠️特别提醒 ①使用“一半”的关系前，先确认两个角是否对着同一条弧； ②若圆周角对着优弧，不能把图中较小的圆心角直接除以。应先用减去这个较小圆心角，再取一半。如图5，较小的，则，而。 📌 归纳总结 判断圆周角先看顶点在圆上、两边都与圆再相交；计算时先找它所对的不含顶点的弧。同一条弧：圆周角是圆心角的一半，圆心角是圆周角的2倍。 🔷知识点六　圆周角定理的推论 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。同弧所对的圆周角顶点可以在圆上的不同位置；只要所对的是同一条弧，角的大小就不变。等弧所在的圆应为同圆或等圆。 图5 图5中，与虽然同对弦，却分别对着两条不同的弧，不能据此说它们相等。由此可得一条结论：同弦同侧的圆周角相等，同弦异侧的圆周角互补。 2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。如图6，是直径，、是圆上异于、的点，则。反过来，若且、、在同一圆上，就是这个圆的直径。 图6 ⚠️特别提醒 直角对应的弦，是两条边与圆的交点所连的弦，不是经过直角顶点的某条边。见到直径，可连接圆上适当的点构造直角三角形；见到圆周角为直角，可反过来判断其所对的弦为直径。 📌 归纳总结 同弧或等弧→圆周角相等；直径→圆周角为直角；直角圆周角→所对弦为直径。解题时先找弧端点，再找对应的角或弦，避免只凭图形外观配对。 🔷知识点七　圆内接四边形 1.相关概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。四个顶点都在同一圆上的四边形，就是圆内接四边形。 2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。如图7，四边形内接于，则，。 图7 ⚠️特别提醒 “对角”指的是四边形中不相邻的两个内角，不是对角线。一般四边形只有内角和为，不能直接套用对角互补；必须先确认四个顶点共圆。 💡 拓展延伸 ①圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。图7中，在的延长线上，；又因为，所以； ②连接对角线，还可利用同弧所对的圆周角相等找角。如图7，，。标角时先看两边与圆的交点，不能只看两个角靠得近。 ③圆内接平行四边形一定是矩形。平行四边形的对角相等，而圆内接四边形的对角互补，所以每个内角都是。 📌 归纳总结 圆内接四边形先确认四点共圆，再使用对角互补、外角等于内对角。同一图中还可结合圆周角定理，把同弧所对的角对应起来。 易错点 1 只要直径与弦相交，就认为弦被平分 · 错例：直径与弦交于，没有垂直条件，就写； · 错因：把“经过圆心”当作垂径定理的全部条件，忽略垂直于弦； · 规避方法：先查过圆心，再查垂直。只有等条件能补足时，才可用垂径定理；没有依据不能在图上自行添加直角符号。 易错点 2 由平分弦推出垂直时，漏掉非直径条件 · 错例：两条直径、交于圆心，因为，就断定； · 错因：忽略推论中“弦不是直径”的限制，两条直径互相平分并不能保证垂直； · 规避方法：使用推论前，先查被平分的弦是不是直径。两条直径的夹角可以是，此时仍互相平分，但不垂直。 易错点 3 把整条弦长代入勾股关系 · 错例：半径为、弦长为，设弦心距为，列成； · 错因：把弧中点到弦的距离，误当作圆心到弦的距离； · 规避方法：先标圆心、弦中点和弧中点。本例对应劣弧，弦心距为，应列，解得。 易错点 4 混淆弓高与弦心距 · 错例：圆弧所对的弦长为、拱高为，求半径时列； · 错因：把弧中点到弦的距离，误当作圆心到弦的距离； · 规避方法：先标圆心、弦中点和弧中点。本例对应劣弧，弦心距为，应列，解得。 易错点 5 平行弦距离只考虑一种位置 · 错例：半径为，两条平行弦长为和，求得弦心距为、后，只答两弦距离为； · 错因：默认两条弦在圆心异侧，漏掉同侧位置； · 规避方法：画出同侧、异侧两种草图。位置未定时，两弦距离分别为或，两种都要保留。 易错点 6 忽略同圆或等圆的大前提 · 错例：两个圆的圆心角都是，就断定它们所对的弦相等； · 错因：只比较角，没有检查半径，相等圆心角在不同大小的圆中对应的弦长不同； · 规避方法：先查半径是否相等。例如半径分别为、时，圆心角对应的弦长分别为、，并不相等。 易错点 7 把圆心角与弦长的关系当成正比例 · 错例：同一圆中，一条弦长是另一条的倍，就说它所对的圆心角也是另一角的倍； · 错因：把等角、等弧、等弦之间的相等关系，错误推广为倍数关系； · 规避方法：相等定理只保证对应量相等。例如半径为时，长为的弦所对圆心角为，长为的直径所对的是，不是。 易错点 8 只看顶点在圆上，就判定为圆周角 · 错例：一个角的顶点在圆上，其中一条边除顶点外不再与圆相交，仍称它为圆周角； · 错因：漏掉“两边都与圆相交”的条件，没有检查两条射线与圆的另一个交点； · 规避方法：分两步检查：顶点是否在圆上；两条边是否各与圆再交于一点。任一条件不满足，就不能套用圆周角定理。 易错点 9 圆周角与圆心角的一半关系用反 · 错例：同一条弧所对圆心角为，把圆周角算成； · 错因：没有区分已知角的类型，把“圆周角是一半”记成“圆心角是一半”； · 规避方法：先标出角的顶点。同弧时，圆心角圆周角；本例中，圆周角应为。若所对的弧不同，应先重新找弧，不能直接倍乘。 易错点 10 同弦所对的圆周角一律判为相等 · 错例：在图5中，、在弦两侧，仍写； · 错因：把“同弦”混同于“同弧”，忽略两角所对的是互补成整圆的两条弧； · 规避方法：先看角顶点位于弦的哪一侧。同弦同侧角相等、异侧角互补。 易错点 11 直角圆周角所对的弦找错 · 错例：、、在同一圆上，，却把判为直径； · 错因：把经过直角顶点的边，当作直角圆周角所对的弦； · 规避方法：角的顶点是，两边与圆的另两个交点是、，所对的弦是。先圈出角顶点，再连另外两个点判断直径。 易错点 12 把圆内接四边形的邻角当作对角 · 错例：圆内接四边形中，已知，就写； · 错因：没有按顶点顺序找对角，把相邻的两个内角误认为互补； · 规避方法：按、、、的顺序找不相邻的顶点。本例只能由对角互补得到，与各自的度数仍不能确定。 易错点 13 把外角与内对角误判为互补 · 错例：圆内接四边形中，在的延长线上，已知，却算； · 错因：把外角与它的内对角，也套成内接四边形的对角互补； · 规避方法：先找与外角相邻的内角，它为；再用邻补角得。外角与内对角相等，本例都为。 题型一：垂径定理 📝方法技巧 ①看到直径或半径与弦垂直时，先标出垂足是弦的中点。应用垂径定理时，要同时确认“经过圆心”和“垂直于弦”两个条件，不能只看到垂直就认为弦被平分； ②求线段长度时，优先找直角三角形，缺辅助线时可以连接圆心与弦的端点构造直角三角形； ③求直径上的部分线段，要先看清圆心、垂足和端点的位置，再判断是用半径加弦心距，还是用半径减弦心距； ④桥拱、筒车等实际问题，先把桥拱跨度或水面宽度看成弦长，把拱高或最大入水深度看成弓形高。设半径为，弓形高为；在的图形中，弦心距为，再用半弦、弦心距和半径列勾股方程。最后看清题目求的是半径还是直径。 1．（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 2．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 4．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 6．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（     ） A．13 B．12 C．8 D．5 7．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 题型二：垂径定理的推论 📝方法技巧 ①由“平分弦”推出“垂直于弦”，要特别检查这条弦是不是直径。若弦本身就是直径，两条直径虽然互相平分，却不一定垂直，可以用这个特殊情况检验命题； ②已知非直径弦的中点，可以连接圆心与中点，得到垂直关系；已知弧的中点，可以连接它与圆心，找到对应弦的垂直平分线； ③在某些实际测量的问题中，先分清已知的是半径、弦长还是弓形高。圆心在水面上方时，先求圆心到水面的距离，再用半径减去这个距离，得到最大入水深度；已知弦长和弓形高求半径时，则用半径表示弦心距，构造直角三角形列方程； ④水位变化时，圆的半径保持不变，变化的是水面对应的弦长及弦心距，可以根据拱顶离新水面的高度重新确定弦心距。有精度要求时，中间计算尽量保留准确值，最后再取近似值。 1．（2026·重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（     ） A．过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．垂线段最短 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．等弧所对的圆周角相等 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列语句中，正确的有（   ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆；         ④平分弦的直径垂直于弦； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27九年级上·甘肃·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 7．（26-27九年级上·湖北·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 8．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 题型三：圆心角 📝方法技巧 ①判断一个角是否为圆心角，直接看角的顶点是不是圆心。顶点在圆内还不够，也不能因为顶点标着字母，就认定它是圆心，要结合图形和题目条件判断； ②求圆心角的度数，可以连接半径构造等腰三角形。例如已知底角，圆心角就是；已知圆心角，底角就是；圆心角为时，两条半径与弦组成直角三角形，可以用勾股定理求弦长； ③出现弧的中点，优先连接它与圆心，把等弧转化为相等的圆心角，再结合半径相等求角。若圆心角为，两条半径与对应弦可以组成等边三角形，进而得到各角都是； ④在同圆或等圆中，圆心角相等，可以推出对应弦相等、相应弧相等。先按角的两边与圆的交点找准对应关系，不着急把图上其他线段的关系也顺带推出，容易混乱条件。 1．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）下列各选项中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·云南玉溪·一模）如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：圆周角及其圆周角定理 📝方法技巧 ①求角度前，先找这个圆周角所对的弧，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求角度； ②遇到直径，优先连接直径的两个端点与圆上有关的点，构造直角三角形，再利用两锐角互余求角。如果需要转移角的位置，可以寻找同弧所对的圆周角。另外，还需要记住：同圆中，同一条弦同侧的圆周角相等，异侧的圆周角互补； ③两条相等的弦有一个公共端点时，可以先转化为等弧，再根据等弧推等角； ④出现圆内接四边形时，可以先利用对角互补转移已知角。求同弦所对的较小圆心角时，若已知圆周角是钝角，应先求它的补角，再乘以，不能把这个钝角直接乘当成所求角。 1．（26-27九年级上·陕西·期中）如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2022·湖南张家界·模拟预测）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 题型五：正多边形和圆 📝方法技巧 ①正边形内接于圆时，相邻顶点间的劣弧对应圆心角都是，每个内角是。先看清所求的是中心角、内角还是圆周角，不能混用公式； ②求边长、边心距或对角线时，可以连接圆心、作垂线，构造等腰三角形或直角三角形。一般在正边形中，可利用半个中心角及三角函数计算；特殊地，正六边形可以分成个等边三角形，边长等于外接圆半径； ③求扇形面积，先找准扇形自身的圆心、半径和圆心角，再用计算，其中为圆心角的度数； ④求阴影面积，优先考虑分割、补形或整体作差。半圆与外接圆组成的阴影，可以尝试用“半圆面积−相应圆弓形面积”，也可以补成整体后减去大圆面积。列式前检查所加、所减的范围，半圆的半径要取其直径的一半。 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·模拟预测）我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术》中提到了割圆术，其本质上可以用来估算的近似值，如图，现在在半径为R的圆内有一n边正多边形，则可以精确表示为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $