21.2 过三点的圆（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册
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内容正文：
分层作业
21.1过三点的圆
参考答案
(
题型01
)判断确定圆的条件
1．D 2．B 3．A 4. C 5. C 6. A 7. D 8. B
9. ②
10. （答案不唯一）
11.
(
题型02
)确定圆心（尺规作图）
12. B 13. A 14. B 15. A 16. A 17. A
18. ②①④③
19.
20.
(
题型03
)外接圆概念辨析
21. C 22. B 23. C 24. A 25. D
26.
27.
28. ，或
(
题型04
)求外心坐标
29. A 30. C 31. A 32. D 33. D
34.
35.
36.
(
题型05
)求特殊三角形外接圆半径
37. A 38. D 39. D 40. C 41. A
42.
43.
44.
(
题型06
)由外心位置判断三角形形状
45. A 46. C 47.A 48. C 49. D 50. C
51. 外心
52.
53. /140度
(
题型07
)判断外接圆圆心位置
54. C 55. C 56. D 57. A 58. C 59. D
60.
61.
62. 垂直平分弦的直线经过圆心
1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. B 7. D 8. D 9. C 10. C 11. D 12. B 13. B 14. A
15. C 16. A
1. C 2. B 3. A 4. B 5. C 6. A 7. D 8. A 9. B 10. A 11. B
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分层作业
21.2过三点的圆
目 录
A组 巩固过关
题型01 判断确定圆的条件
题型02确定圆心（尺规作图）
题型03 外接圆概念辨析
题型04 求外心坐标
题型05 求特殊三角形外接圆半径
题型06 由外心位置判断三角形形状
题型07 实际判断外接圆圆心位置
B组 能力进阶
C组 思维拔高
判断确定圆的条件题型01
1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查确定圆的条件，一次函数、二次函数与反比例函数的图象，熟练掌握相关知识是关键．
不在同一直线上的三点可以确定一个圆，结合函数的图象逐个判断即可．
【详解】解：不在同一直线上的三点可以确定一个圆，
对于①和④，一次函数的图象的形状是直线，故不符题意；
对于②，二次函数的图象的形状是抛物线，与直线最多两个交点，故符合题意；
对于③，反比例函数的图象的形状是双曲线，与直线最多两个交点，故符合题意．
故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．弧是半圆 B．直径是弦 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．三点确定一个圆
【答案】B
【详解】解：A选项，弧是圆上任意两点间的部分，半圆是特殊的弧，弧不一定是半圆，该说法错误；
B选项，弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，该说法正确；
C选项，等弧是能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，该说法错误；
D选项，不在同一直线上的三点确定一个圆，共线三点无法确定一个圆，该说法错误．
3．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．2个 D．0个
【答案】A
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，，；，；，加上点可以画出一个圆，
∴共有3个．
4．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心 B．以长为半径
C．以点O为圆心，长为半径 D．半径为，且经过点O
【答案】C
【分析】根据已知圆心和半径所作的圆就是唯一的进而得出答案．
【详解】解：A、B仅分别确定圆心或半径，均可画出无数个圆，不符合题意，
C、圆心为，半径为，二者均唯一确定，只能画出一个圆，符合题意，
D、半径为且经过点时，圆心可为平面内到点距离为的任意点，可画出无数个圆，不符合题意．
5．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键．
经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆．
【详解】解：如图，
分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D，
然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求．
故选：C．
6．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】A
【分析】根据圆的概念求解．
【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长，
∴满足条件的圆有1个．
7．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
【答案】D
【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可．
【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆，
若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆，
故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个．
故选：D．
8．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可．
【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
9．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ．
【答案】②
【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧．
所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②．
故答案为：②．
10．已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；设直线的解析式为，则根据待定系数法得出函数解析式，然后根据A、B、C三点不能确定一个圆可知：A、B、C三点共线，进而问题可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，由题意得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A、B、C三点不能确定一个圆，
∴A、B、C三点共线，
∴点C的坐标只需满足在直线上即可，例如：，等等；
故答案为（答案不唯一）．
11．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________．
【答案】2
【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键．
经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可．
【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为．
故答案为：2．
确定圆心（尺规作图）题型02
12．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（ ）
A． B． C．距离一样 D．无法判断
【答案】B
【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法．
首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可．
【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心，
∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离
∴所在圆的圆心到线段的距离更小．
故选：B．
13．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故选：A．
14．（21-22九年级上·北京朝阳·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．
故选：B．
【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
15．（2021·河北石家庄·一模）如图，在中，．小丽按照下列方法作图：
①作的角平分线，交于点D；
②作的垂直平分线，交于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是的外心 B．点E是的内心
C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等
【答案】A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”，可得是底边BC的垂直平分线，进而即可得到答案．
【详解】∵在中，，
∴的角平分线也是底边BC的垂直平分线，
∵的垂直平分线，交于点E，
∴点E是的外心，
故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的外心的定义，掌握“三角形各边上的垂直平分线的交点是三角形的外心”是解题的关键．
16．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
【答案】A
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出外接圆的圆心，进而即可得到坐标．
【详解】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为外接圆的圆心，坐标为（5，2）．
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键．
17．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【答案】A
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
18．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤：
①连接和；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，为半径作；
④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为______．
【答案】②①④③
【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案．
【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③．
故正确的操作步骤是②①④③．
19．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）如图，在每个小正方形的边长均为2的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为______．
【答案】
【分析】找出圆心，根据勾股定理即可求出半径，根据图形得出的度数，根据三角形面积公式和扇形面积公式求出即可．
【详解】解：如图，作、的垂直平分线，两线交于，连接、、，
由图形可知是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，确定圆心，扇形的面积公式的应用，主要考查学生的计算能力．
20．（21-22九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．
【答案】（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
外接圆概念辨析题型03
21．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
C．过三点能作一个圆
D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
【答案】C
【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确；
∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确；
∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确；
∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确．
22．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角
C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径
D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
【答案】B
【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可．
【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意；
B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意；
C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意；
D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意．
23．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
C．过三点能作一个圆
D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查确定圆的条件和三角形外接圆的性质，根据圆的基本性质判断各命题的正确性即可．
【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确；
∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确；
∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确；
∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确；
故选：C．
24．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等，
∴ 三角形一定有外接圆，
四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，
故选：A
25．对于三角形的外心，下列说法正确的是（ ）
A．它到三角形三边的距离相等
B．它是三角形三条高的交点
C．它一定在该三角形的内部
D．它到三角形三个顶点的距离相等
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案．
【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误．
故选：D．
26．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为____．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点．
先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数．
【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为，
以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆，
由图可知，还经过点、、、、这5个格点，
故答案为：5．
27．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案．
【详解】解：由勾股定理得：，
则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是，
故答案为：．
28．如图，是的直径，是弦，．若点P是上一动点，当是等腰三角形时， ________．
【答案】，或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，三角形的外接圆，解答本题的关键分三种情况讨论：．
当时，线段和差即可求解；当时，利用勾股定理求得，利用等面积法求得，再利用等腰三角形的性质即可求解；，根据外接圆的定义即可得到与重合．
【详解】解：①时，
；
②时，过点作于点，连接
中：，
，
∴，
，
∴；
③时，此时与重合，
∴．
综上为，或．
故答案为：，或．
求外心坐标题型04
29．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．
依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标．
【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点，
图中已明确出各边垂直平分线以及其交点，
观察图象，可直接得出外心坐标为，
故选A．
30．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，圆心M的坐标，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选：C．
31．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题的关键．
设的外心P的坐标为，根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出、，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：∵抛物线关于y轴对称，
∴的外心在y轴上，
设的外心P的坐标为，连接，则有，
对于二次函数，当时，，
当时，
∴
∴，
则，，
在中，，即
解得：，
∴的外心P的坐标为，
故选：A．
32．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外
C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为
【答案】D
【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴圆心在直线上，
设其圆心坐标为，
则，即，
由勾股定理得，
解得，
∴这条圆弧所在圆的圆心为，
半径为，
∵，
∴点在这条圆弧所在圆上，
∵，
∴原点在这条圆弧所在圆内，
观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
33．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心．
【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的垂直平分线交点即为的外心，
的外心坐标是，
故选：D．
34．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解．
【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：
∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为；
故答案为．
35．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是________．
【答案】
【分析】本题考查了求三角形外心坐标，解题关键是掌握三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．
先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心.
【详解】解：∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴与的交点即为所求的的外心，
∴的外心坐标是，
故答案为：．
36．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可．
【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点，
故弧所在圆的圆心坐标是．
求特殊三角形外接圆半径题型05
37．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ）
A．5 B．5或4 C． D．5或
【答案】A
【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8．
∴斜边长．
∴外接圆半径．
38．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等边三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解.
【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点，
∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上，
∴，.
设外接圆半径，在中，.
∵，
∴，
由勾股定理得 ，
代入得 ，
整理得 ，
，
∵，
∴.
39．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离．
【详解】解：∵，，，，
∴．
∵ 外心为斜边的中点，
∴ 外接圆半径．
∴ 外心与顶点的距离为．
故选：D．
40．在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ）
A．5 B．4 C．10 D．8
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径．
根据勾股定理可得的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径．
【详解】解：∵在中，两直角边分别为6和8，
∴斜边长为 ，
∵的圆周角所对的弦是直径，
∴这个三角形的外接圆直径是．
故选：C．
41．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6和8，它的外接圆的半径是（ ）
A．5 B．4 C．5或 D．4或5
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，外接圆．直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，因此先利用勾股定理求出斜边长，即可求出外接圆的半径．
【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为6和8，
∴斜边，
∴外接圆半径，
因此，外接圆半径为5，
故选：A．
42．已知的三边长分别是5，12，13，则外接圆的直径是________．
【答案】13
【分析】根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆的性质求直径即可．
【详解】解∶∵的三边长分别为，，，
∴ ，
∴是直角三角形，斜边长为，
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，
∴外接圆的直径是．
43．在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是________．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再利用直角三角形外接圆直径等于斜边长计算半径.
【详解】解：∵ 在中，，，，有,
∴ ，
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，
∴ 三角形外接圆的半径为 ．
44．在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________．
【答案】
【分析】直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，利用勾股定理求出斜边长即可得到结果．
【详解】解：∵在中，两直角边长分别为、，
∴由勾股定理可得斜边长为，
∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，
∴外接圆的直径为．
由外心位置判断三角形形状题型06
45．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下：
嘉嘉：
作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心
淇淇：
作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都错误
【答案】A
【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断．
【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点．
嘉嘉正确，淇淇错误．
故选：A．
46．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等，
如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于．
故选：C
47．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键．
根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可．
【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
48．已知是的三边长，外接圆的圆心在的一条边上的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由外接圆的圆心在△ABC一条边上，可得△ABC是直角三角形．然后由勾股定理逆定理求得答案．
【详解】解：∵外接圆的圆心在△ABC一条边上，
∴△ABC是直角三角形，
A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误；
故选C.
【点睛】此题考查了三角形外接圆的性质与勾股定理的逆定理，此题难度不大，注意判定△ABC是直角三角形是解此题的关键．
49．（20-21九年级上·河北沧州·期中）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据内心和外心的概念，三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边的垂直平分线的交点；再根据等边三角形中三线合一性质，所以一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形．
【详解】解：根据等边三角形的性质可知，一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内心、外心的相关知识，熟悉相关性质是解题的关键．
50．（20-21九年级上·河北石家庄·期中）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE
【答案】C
【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答；
【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键．
51．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______．
【答案】外心
【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案．
【详解】解：由图中信息可得：，
∴点O在的外心上，
故答案为：外心．
52．如图，点是的外心，且，则________．
【答案】
【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵点为的外心，
∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键．
53．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________．
【答案】/140度
【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可．
【详解】点是的外心
是等腰三角形
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键．
判断外接圆圆心位置题型07
54．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（ ）
A．三角形的外心到三个顶点的距离相等
B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C．等腰三角形的外心在三角形内
D．任何一个三角形有且只有一个外接圆
【答案】C
【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项．
【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确．
B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确．
C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点，
故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误．
D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确．
55．三角形的外心是（ ）
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点
【答案】C
【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案.
【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.
56．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断．
【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部，
由题意得知，只有D选项为钝角，
故选：D．
57．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得．
【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示：
则的外心是点．
故选：A．
58．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，
三角形的外心到三个顶点的距离相等．
由图可知，设网格中每个小正方形的边长为，
则点到三个顶点的距离均为，
即点到三个顶点的距离相等，
的外心是点．
故选：C．
59．（2025·山东菏泽·二模）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图，若，则点为的准外心.
探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．2或
【答案】D
【分析】运用勾股定理求出的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：，，设，解一元一次方程，即可求得答案．本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义．
【详解】解：∵，，，
根据勾股定理，可得：，
∵准外心P在上，
∴或，
①当时，如图，
设，
则，
即，
解得：；
②当，如图，
设，
则，
此时也是直角三角形，
故，
即，
解得：；
故选：D
60．如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________．
【答案】3
【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∴垂直平分，
∵是的垂直平分线，交于点O，
∴点即为外接圆的圆心，
∵，
∴外接圆的半径为3；
故答案为：3．
61．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________．
【答案】
【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，
∴为圆心，
∴半径，
故答案为：
62．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图是一个残破的圆形零部件，现在需要找到它所在圆的圆心，当老师布置好这个任务后，第一小组的同学制定了如下方案：①在圆弧上取两条不平行的弦；②分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于、；③分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q；④作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心．其他小组的同学都非常认可第一小组的方案，你认为第一小组这样作法的依据是：________．
【答案】垂直平分弦的直线经过圆心
【分析】本题考查了三角形外接圆圆心（外心）的确定，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
根据在同一个圆中，每条弦的垂直平分线都经过圆心．因此，只要找到两条不平行弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心．即可得出答案．
【详解】解：由作法可知，直线垂直平分弦，垂直平分弦，
因为在同一个圆中，每条弦的垂直平分线都经过圆心．
所以作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心．
故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心．
1．（2020·湖南湘西·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
【答案】B
【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．
2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可．
【详解】解：如图，满足题意．
这样的圆可以作2个．
故选：B．
3．如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【分析】根据三角形的外心到三角形各顶点的距离相等以及勾股定理确定点、的位置，然后利用勾股定理求出线段长度．
【详解】解：点、的位置如图所示，
∵的外心为，
∴，
∵，
∴，
∵点、在格点上，
∴点、的位置即可确定，
∴．
4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：三角形外心是其三边垂直平分线的交点，故由作图方法可知只有C选项符合题意．
5．如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（ ）
A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出，可得答案．
【详解】解：由勾股定理可知：，
，
所以点是△的外心．
6．如图，图中外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解．
【详解】解：由图可知，，
，
线段的中点坐标为，且垂直于轴
线段的垂直平分线为直线
外接圆圆心的纵坐标为，
设圆心坐标为
圆心到点、的距离相等
整理得
解得
外接圆的圆心坐标是．
7．在中，，，，那么的外接圆半径为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，则是直角三角形，
∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，
∴的外接圆半径为．
8．下列关于外心的说法正确的是（ ）
A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点
C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可．
【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点，
9．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．点D为的外心
【答案】C
【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线，
，，
，
，
．
，
，
B正确，C错误；
，，
，
点为的外心，故D正确；
，，
，故A正确．
故选：C．
10．如图，，，，，则外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，
∴直线是线段的垂直平分线，
记，的交点为，则为的外心，
∵，，，
∴直线为，，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，
∴，即的外心坐标为：．
故选C．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键．
11．如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解直角三角形等，作直径，连接，根据勾股定理求得 ，，解直角三角形得到，由，，得出，进而即可求得，从而求得圆的半径为．
【详解】解：作的外接圆，作直径，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圆的半径为，
故选：D．
12．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【详解】解：∵中，，，，
，
斜边上的中线长，
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长.
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．
13．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为( )
A．6 B． C． D．3
【答案】B
【分析】分别作与角平分线，交点为．由三线合一可知与为、垂直平分线；再由垂径定理可知圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；连，若半径最短，则，由为底边，底角的等腰三角形，可求得．
【详解】如图，分别作与角平分线，交点为，
和都是等边三角形，
与为、垂直平分线，，
又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；
连接，
若半径最短，则，
又，，
，
，
在直角中，，
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的“三线合一”的性质、三角形的外接圆圆心、点到直线的距离、垂线段最短以及解直角三角形等知识，注重数形结合思想的应用是解题的关键．
14．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵点O为的外心，
∴，点B和点C的位置如图所示，
∴，
故选：A．
15．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解．
【详解】解：如图所示，满足题意，共2个，
故选：C．
16．已知锐角中，是的中点，甲、乙二人想在上找一点，使得的外心为点，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（ ）
甲的作法
过点作与垂直的直线，交于点，则即为所求．
乙的作法
以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求．
A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确
【答案】A
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边中线的性质，由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断．
【详解】解：甲的作法，
，
，
∵O是中点，
，
，
∴O是的外心，
∴甲的作法正确．
乙的作法，
由作法知：，
∴O是的外心，
∴乙的作法正确．
故选：A．
1．【几何综合】如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】连接，由直角三角形斜边中线的性质可得，即可判断①；证出是的垂直平分线，即可判断，即可判断②；根据题意得到，，在中，即可判断，即可判断③；根据题意证出是的垂直平分线，然后得到为等腰直角三角形，再由勾股定理求解的长度，即可判断④；先证出，，则，即可判断⑤．
【详解】解：如图所示，连接．
∵，分别为的中点，
∴，
∴、、、四点共圆，故①正确；
∵N是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴．故②正确；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，
，
∴．故③正确；
∵在，
，
∵，
，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴，即
∴（舍负），故④错误；
∵，
，
，
，
∴，
∵
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
∴正确的有4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，圆的确定等知识点，难度大，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用．
2．【几何综合】如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，连接，则点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上，然后由等腰直角三角形的性质求得的长，再结合勾股定理求得半径的长．
【详解】解：连接，由个正方形的相框的位置关系，可知均在上，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，交于点，交于点，连接，如图所示：
是圆形的金属框的两条弦，
点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上，
，
由勾股定理可得，，，
，
则，
∴点为线段的中点，
即线段的中垂线过点，
，
，
是等腰直角三角形，
则，
是线段的中垂线，，，
，，
则，
在中，，，，则由勾股定理可得，
故选：B．
【点睛】本题考查中垂线性质、圆心的确定、正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用勾股定理求得三个正方形的对角线的长度．
3．【代几综合+最值问题】（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解．
【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0，
∵OA⊥OB，
∴，
∴，
即，
，
设AB的解析式为：，代入A(a，a²)，
解得：，
∴，
∵，即 ，
∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，
当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，
故CH的最大值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．
4．【几何综合】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，等边三角形的边长为，点是的中心（即），，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外心，三角函数等，连接，证明，可得，，即可判断①；由得
，即得四边形的面积，可判断③；作，可得，由四边形的面积为定值得，可判断②；由得的周长，可知当时，最小，的周长最小，进而求出可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵点是的中心，
∴，分别平分和，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，， 故①正确；
∵，
∴，
∴四边形的面积，故③正确；
作，如图，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即随的变化而变化，而四边形的面积为定值，
∴，故②错误；
∵，
∴的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
∴周长的最小值，故④错误；
综上，结论正确的个数为个，
故选：．
5．【几何综合】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的外接圆及外心，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过点E作于F，过点A作于H，先求出，则，进而再求出，则，进而得，则，进而再求出，则，从而得是等腰直角三角形，则，然后再分别求出，，进而可得的长．
【详解】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示：
∵内接于，为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
故选：C．
6．【几何综合】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，等边是的内接三角形，点分别为边上的中点，延长交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，交于点，延长交于点，连接，根据等边是的内接三角形，可得，，，从而得到，，进而得到，，再证得，可得，，，再由勾股定理求出的长，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，交于点，延长交于点，连接，
∵等边是的内接三角形，
∴平分，平分，，，
∴，，，
∴，，
∵，即
∴，，
∵点，分别为边上的中点，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆内接三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．【动点问题】（21-22九年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质可求ON = 1，FO=OB= GO= OH = 2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH， 即可求解．
【详解】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠EOF= 120，
∵OE= OF， ON⊥EF，
∠OEF=∠OFE= 30°
EN= FN=，
OF= 2ON， FN =ON，
ON= 1，FO= 2，
OB=GO=OH=2，
∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴ OG = OH， OP⊥GH，
∴GH = 2PH，
∵PH=
∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，
∴ GH的长度是先变大再变小，
故选： D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键．
8．【旋转问题】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ）
A． B．13 C．26 D．24
【答案】A
【分析】连接，根据旋转的性质得到，，，推出，是等腰直角三角形，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，是等腰直角三角形，
，，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．【几何综合】（2020·河北衡水·一模）如图，已知E是的外心，P、Q分别是、的中点，连接、交于点F、D，若，，，则的面积为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外心的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理及三角形面积公式．先根据三角形外心性质及中点条件，得到，，，，从而得到，的长度，由的已知长度可知，三边符合勾股定理的逆定理，从而得到，进而求得的长，最终求得的面积．
【详解】解：如图，连接，，
∵E是的外心，P、Q分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
10．【动点问题】如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I．
结论Ⅰ：四边形为矩形；
结论Ⅱ：的最小值为2．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】A
【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，，则，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵垂直平分，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形为矩形；
故结论Ⅰ正确；
如图，为直角三角形，
∴的外心是的中点，
当P，C重合时，最短，
过作于H，过作于，
垂直平分
四边形为矩形，
．
即的最小值为2．
故Ⅱ正确．
11．【动点问题】如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，交于点，当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，先求出点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是，再利用勾股定理求出，的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
∴点在的边的垂直平分线上，
当点与点或重合时，的外接圆的圆心为点，
当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴此时点在的边的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，
∴点一定在上，
∴点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是，
在中，，
，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，垂直平分，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
即点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外接圆、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出外接圆的圆心运动的路径是解题关键．
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分层作业
21.2过三点的圆
目 录
A组 巩固过关
题型01 判断确定圆的条件
题型02确定圆心（尺规作图）
题型03 外接圆概念辨析
题型04 求外心坐标
题型05 求特殊三角形外接圆半径
题型06 由外心位置判断三角形形状
题型07 判断外接圆圆心位置
B组 能力进阶
C组 思维拔高
判断确定圆的条件题型01
1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．弧是半圆 B．直径是弦 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．三点确定一个圆
3．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．2个 D．0个
4．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心 B．以长为半径
C．以点O为圆心，长为半径 D．半径为，且经过点O
5．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
6．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
7．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
8．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ．
10．已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行）
11．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________．
确定圆心（尺规作图）题型02
12．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（ ）
A． B． C．距离一样 D．无法判断
13．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．（21-22九年级上·北京朝阳·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
15．（2021·河北石家庄·一模）如图，在中，．小丽按照下列方法作图：
①作的角平分线，交于点D；
②作的垂直平分线，交于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是的外心 B．点E是的内心
C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等
16．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
17．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
18．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤：
①连接和；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，为半径作；
④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为______．
19．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）如图，在每个小正方形的边长均为2的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为______．
20．（21-22九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．
外接圆概念辨析题型03
21．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
C．过三点能作一个圆
D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
22．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角
C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径
D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
23．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
C．过三点能作一个圆
D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
24．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
25．对于三角形的外心，下列说法正确的是（ ）
A．它到三角形三边的距离相等
B．它是三角形三条高的交点
C．它一定在该三角形的内部
D．它到三角形三个顶点的距离相等
26．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为____．
27．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．
28．如图，是的直径，是弦，．若点P是上一动点，当是等腰三角形时， ________．
求外心坐标题型04
29．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
30．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
31．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
32．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外
C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为
33．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
34．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．
35．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是________．
36．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．
求特殊三角形外接圆半径题型05
37．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ）
A．5 B．5或4 C． D．5或
38．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
39．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）．
A． B． C． D．
40．在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ）
A．5 B．4 C．10 D．8
41．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6和8，它的外接圆的半径是（ ）
A．5 B．4 C．5或 D．4或5
42．已知的三边长分别是5，12，13，则外接圆的直径是________．
43．在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是________．
44．在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________．
由外心位置判断三角形形状题型06
45．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下：
嘉嘉：
作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心
淇淇：
作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都错误
46．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
47．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
48．已知是的三边长，外接圆的圆心在的一条边上的是（ ）
A． B．
C． D．
49．（20-21九年级上·河北沧州·期中）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
50．（20-21九年级上·河北石家庄·期中）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE
51．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______．
52．如图，点是的外心，且，则________．
53．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________．
判断外接圆圆心位置题型07
54．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（ ）
A．三角形的外心到三个顶点的距离相等
B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C．等腰三角形的外心在三角形内
D．任何一个三角形有且只有一个外接圆
55．三角形的外心是（ ）
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点
56．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（ ）
A． B． C． D．
57．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
58．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
59．（2025·山东菏泽·二模）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图，若，则点为的准外心.
探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．2或
60．如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________．
61．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________．
62．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图是一个残破的圆形零部件，现在需要找到它所在圆的圆心，当老师布置好这个任务后，第一小组的同学制定了如下方案：①在圆弧上取两条不平行的弦；②分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于、；③分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q；④作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心．其他小组的同学都非常认可第一小组的方案，你认为第一小组这样作法的依据是：________．
1．（2020·湖南湘西·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
3．如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（ ）
A．4 B． C． D．5
4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（ ）
A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心
6．如图，图中外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，，那么的外接圆半径为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．
8．下列关于外心的说法正确的是（ ）
A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点
C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点
9．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．点D为的外心
10．如图，，，，，则外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（ ）
A．5 B． C． D．
12．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为( )
A．6 B． C． D．3
14．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（ ）
A． B． C．4 D．
15．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16．已知锐角中，是的中点，甲、乙二人想在上找一点，使得的外心为点，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（ ）
甲的作法
过点作与垂直的直线，交于点，则即为所求．
乙的作法
以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求．
A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确
1．【几何综合】如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．【几何综合】如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
3．【代几综合+最值问题】（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
4．【几何综合】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，等边三角形的边长为，点是的中心（即），，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．【几何综合】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．【几何综合】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，等边是的内接三角形，点分别为边上的中点，延长交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．【动点问题】（21-22九年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小
8．【旋转问题】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ）
A． B．13 C．26 D．24
9．【几何综合】（2020·河北衡水·一模）如图，已知E是的外心，P、Q分别是、的中点，连接、交于点F、D，若，，，则的面积为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
10．【动点问题】如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I．
结论Ⅰ：四边形为矩形；
结论Ⅱ：的最小值为2．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
11．【动点问题】如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
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