20.2 30°、45°、60°角的三角函数值（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

分层作业 20.2 ，，角的三角函数值 目 录 A组 巩固过关 题型01 特殊三角形的三角函数 题型02特殊角三角函数值的混合运算 题型03 根据特殊角三角函数值求角度 题型04 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 特殊三角形的三角函数题型01 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 2．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 3．的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的相反数为． 4．实数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，先化简每个数，再判断分类，统计有理数的个数即可． 【详解】解：∵是分数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 是无理数，因此是无理数； 是无理数，因此是无理数； ，1是整数，属于有理数； ，3是整数，属于有理数； ∴有理数共有4个，故选C． 5．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算特殊角的三角函数值得到点的坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征求解，即可得到正确选项. 【详解】解：∵， ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴点关于轴对称的点的坐标为. 6．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ． 特殊角三角函数值的混合运算题型02 7．的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将特殊角的三角函数值，代入后按实数运算法则计算即可得到结果. 【详解】解：原式 . 8．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】解：原式 ． 9．（2026·天津·中考真题）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 10．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A：，零指数幂的底数不能为，无意义，故A错误； 对选项B：，运算正确，故B正确； 对选项C：，故C错误； 对选项D：，故D错误． 11．（2026·天津和平·三模）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 根据特殊角三角函数值求角度题型03 12．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 13．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 14．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 15．若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为锐角， ∴也是锐角， ∵，且， ∴， ∴． 16．已知锐角满足，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的特殊值，解题的关键是熟知特殊角的余弦值． 根据特殊角的余弦值，由得出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：因为，且是锐角，所以， 解得． 故选：D． 17．若锐角满足，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据正切函数的性质：，得出，且是锐角，即可直接求解． 【详解】解：∵，，是锐角， ∴， ∴． 故选：C． 18．（22-23九年级上·山东泰安·期末）在中，为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值得出的值，进而得出答案． 【详解】解：在中，为锐角，， ， ， ． 故选：D． 由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型04 19．在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：B． 20．在中，都是锐角，且，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值与三角形形状的判定，掌握利用特殊角的三角函数值求出角的度数，进而判断三角形形状是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再判断三角形的形状． 【详解】解：，且是锐角， ； ，且是锐角， ；则， 三个角都为， 是等边三角形． 故答案为：C． 21．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 22．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 23．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 24．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 25．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关键． 由作图可得，，根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论③；由作图可得，得到，根据特殊角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到是等边三角形，四边形是菱形，即可判断①④错误． 【详解】解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． 故选：B 2．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；由正六边形的性质得，，由余弦函数得，四边形是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：六边形是正六边形， ， ， ， ， 同理可求：， 在中， ， 同理可求：， 四边形是菱形， 四边形的面积是： ； 故选：A． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后解直角三角形解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、正切的定义等知识点，求出是解答本题的关键． 4．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求得,设，将都表示出含有的代数式，利用的函数值求得，继而求得的值 【详解】 设交于点, 由题意： 是等边三角形 四边形为正方形 ∴∠CBF=90°-60°=30°， DE⊥ 又 设 则 解得： 故选A 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键． 5．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。 【详解】解：因为AD垂直BC， 则△ABD和△ACD都是直角三角形， 又因为 所以AD=， 因为sin∠C=， 所以AC=2， 因为EF为△ABC的中位线， 所以EF==1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键． 6．（2020·山东泰安·中考真题）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令AF=x，根据，根据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果． 【详解】如图所示，过点F作交BC于点M，    ∵，，AG=2， ∴BG=FM=2，AF=GM， 令AF=x， ∵两个梯形全等， ∴AF=GM=EC=x， 又∵， ∴， ∴， 又∵BC=6， ∴， ∴． 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键． 7．（2013·湖北孝感·中考真题）式子的值是（ ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案： .故选B. 8．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，由可得，可得，而，可得为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，    ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∴多边形的边数为：， 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 9．（2026·辽宁丹东·中考真题）已知、均为锐角，且满足，则等于（   ） A．75° B．60° C．45° D．105° 【答案】A 【分析】先求出与的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，计算两角和即可. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∵，均为锐角， ∴，， ∴． 10．（2020·湖北黄冈·中考真题）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值． 【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2， ∵菱形的周长为16， ∴AB＝4， 在Rt△ABH中，sinB＝＝， ∴∠B＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝150°， ∴∠C：∠B＝5：1． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了正弦的定义及应用． 11．（2019·湖北荆州·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作轴于，轴于，再证明即可求解. 【详解】解：如图，作轴于，轴于． 在Rt△AOE中，点的坐标为， ∴OE=,AE=1, ∵tan∠AOE=， ∴∠AOE=30°， 又∵∠AOA’=30°， ∴∠A’OF=90°－30°－30°=30°. ， ， ， ，， ． 故选． 【点睛】本题考查的是正切的应用，熟练掌握旋转和全等三角形的性质是解题的关键. 12．（2019·山东滨州·中考真题）满足下列条件时，不是直角三角形的为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质，三边符合勾股定理，三角之和为，还有三角函数的关系式计算即可. 【详解】解：A、∵，∴是直角三角形，错误； B、∵，∴是直角三角形，错误； C、∵，∴，∴不是直角三角形，正确； D、∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，关键在于是否有一个角为，还有一些特殊的三角函数的值得记忆. 13．（14-15九年级上·山东济南·期中）△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC是（ ） A．直角（不等腰）三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰（不等边）三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】试题分析：一个数的绝对值以及平方都是非负数，两个非负数的和是0，因而每个都是0，就可以求出，以及的值．进而得到∠A=60°，∠B=60°．判断△ABC的形状为等边三角形．故应选D 考点：特殊角的三角函数，非负数的应用，绝对值，偶次幂 1．【几何综合】（2026·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由平行四边形性质及角平分线定义得出相关角度，进而由等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，确定，再结合含直角三角形性质得出，由等边对等角及外角性质求出，最后根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，，，则，， 平分， ， 在中，，则，， 在中，，则是等边三角形， ，则， 平分， ， 在中，，，则， 在中，，，则， ， ，则， 是的一个外角，且， ， ． 2．【动点问题】（2026·安徽·中考真题）如图，在，，，，P为上一点，，动点M，N分别在边和射线上（点M不与点A，C重合），，令，的面积为y，则y关于x的函数图象是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】延长，使,连接，延长，交于，过点作，可知是等边三角形，根据两个角对应相等证明，进而根据相似三角形的性质可用来表示的长度，即可得到，可推导出，求出，即可表示出y关于x的函数． 【详解】解：延长，使,连接，延长，交于，过点作， ∵，，， ∴,, ∴是等边三角形， ,， ∵ ∴ ∴, ∴, , , ∵， ∴， ∵， ∴,, , ∴， ∴， ∴， ， ， 则y关于x的函数为反比例函数， ∴只有B选项满足条件． 3．【动点问题】（2020·四川巴中·中考真题）如图，在矩形中，，对角线，交于点，，为上一动点，于点，于点，分别以，为边向外作正方形和，面积分别为，．则下列结论：①；②点在运动过程中，的值始终保持不变，为；③的最小值为6；④当时，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由矩形的性质和特殊角三角函数可得和是等边三角形，进而可以判断； ②连接．由求得答案； ③利用完全平方公式变形，当且仅当时，等号成立，即可判断； ④根据已知条件证明，对应边成比例即可判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴OA=OC=OD=OB， ∴和是等边三角形， ∴BD=2OA=2AB=8，故①正确； ②连接，由①知， ∵矩形的两边，， ∴， ∴，， ∴． ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 当且仅当时，等号成立，故③正确； ④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF， ∴， ∴AE：DF=PE：PF=EG：FM=PH：PN=5：6, ∵AE:DF=(AG+GE):（DM+FM）, ∴AG：DM=5：6,，故④错误． 综上所述，其中正确的结论有①②③，3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角形，三角形的相似，完全平方公式，等边三角形的判定与性质，灵活运用矩形的性质，特殊角的函数值，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 4．【规律问题】（2013·广西百色·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（    ） A．24 B．48 C．96 D．192 【答案】C 【详解】∵点A(−，0),点B(0,1)， ∴OA=，OB=1， ∴tan∠OAB=， ∴∠OAB=30°， ∵△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形， ∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°， ∴∠OB1A=∠A1B2A=∠A2B3A=∠OAB=30°， ∴OB1=OA=，A1B2=A1A,A2B3=A2A， ∴OA1=OB1=,OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B2=+2=3， 同理：OA3=7,OA4=15,OA5=31,OA6=63， 则A5A6=OA6−OA5=32 则△A5B6A6的周长是96， 故选C. 5．【折叠问题】（2026·山东济南·中考真题）如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 【答案】 【分析】点M作，交的延长线于点K，设，则，根据勾股定理，求得，；继而就可以确定；过点E作于点H，证明，继而得到，解答即可． 【详解】解：如图，过点M作，交的延长线于点K，根据折叠的性质，得， 由平行四边形纸片中，，，， ，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得， 解得， ∴； ，， ， ； 过点E作于点H， ，，， 由平行四边形纸片中，， 则， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 6．【折叠问题】（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）． 【答案】 【分析】先证明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又点P1为线段A1B1的中点，从而可得P2为线段A2B2的中点，同理可证P3、P4、Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．结合相似三角形的性质可得△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2，所以△P1B1Q1的P1B1上的高为，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为⋯，从而＝﹣，以此类推来求，从而找到的面积规律． 【详解】解：由折叠可知，OA1＝A1A2＝， 由题意得：A1B1//A2B2， ∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2， ∴＝＝＝ ， 又∵点P1为线段A1B1的中点， ∴A1P1＝P1B1， ∴A2P2＝P2B2， 则点P2为线段A2B2的中点， 同理可证，P3、P4、⋯Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点． ∵A1B1//A2B2， ∴△P1B1Q1∽△P2A2O1， ∴＝＝， 则△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2， ∴△P1B1Q1的P1B1上的高为， 同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为， ， 由折叠可知A2A3＝，A3A4＝， ∵∠MON＝30°， ∴A1B1＝tan30°×OA1＝1， ∴A2B2＝2，A3B3＝4， ， ∴＝﹣ ＝﹣ ＝， 同理，＝﹣ ＝﹣ ＝， ＝﹣ ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律． 7．【规律问题】（2021·山东东营·中考真题）如图，正方形中，，AB与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段________． 【答案】 【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可. 【详解】∵AB与直线l所夹锐角为，正方形中，， ∴∠=30°， ∴=tan30°==1， ∴； ∵=1，∠=30°， ∴=tan30°=， ∴； ∴线段, 故答案为：. 【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键. 8．【几何综合】（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形ABCD中，ADAB，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF=DC，②OF：BF=CE：CG，③S△BCGS△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是____． 【答案】①② 【分析】通过证明△ABE和△ADF是等腰直角三角形，结合已知条件，可判断①正确；通过证明△DCE∽△BCG，得到，通过证明△ABF∽△ADE，得到，再通过相似和三角形的外角性质，得到OEDE，进而证得，可判断②正确；证明△BEF≌△FDG，连接CF后，可知，结合图象，即可判断③不正确；通过图形中相似三角形超过6对，可判断④不正确，问题即可得解． 【详解】∵AEAD，ADAB， ∴AEAB． 在Rt△ABE中，∠ABE=90°，cos∠BAE=， ∴cos∠BAE=． ∴∠BAE=45°，即△ABE是等腰直角三角形． ∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°， ∴∠DAF=45°． ∵DF⊥AE， ∴∠ADF=45°，即△ADF是等腰直角三角形． ∴ADAF． ∴AF=AB． ∵在矩形ABCD中，AB=CD， ∴AF=CD ．故①正确； 又∵AF=AB，∠BAE=45°， ∴∠ABF=67.5°． ∴∠CBG=22.5°． 又∵AE=AD，∠DAE=45°， ∴∠ADE=67.5°． ∴∠CDE=22.5°． ∴∠CBG=∠CDE． ∵∠C=∠C， ∴△DCE∽△BCG． ∴． ∵在矩形ABCD中，BC=ADCD， ∴． 在△ABF和△ADE中．∠BAF=∠DAE=45°，AFAB ，AEAD ， ∴△ABF∽△ADE． ∴． 在△ABF和△OEF中，∠OEF＝∠ADE＝67.5°＝∠ABF， ∵∠AFB=∠OFE，∠AFB=∠ABF， ∴△ABF∽△OEF，∠OEF=∠OFE． ∴OE＝OF，∠EOF=45°． 又∵∠EOF=∠DFO+∠ODF =45°，∠ODF=∠ADE-∠ADF=22.5°， ∴∠ODF =∠DFO． ∴OFOD． ∴OEOFODDE． ∴ ．故②正确； 在△BEF和△FDG中, BE =FD，∠EBF=∠DFG ，∠BEF =∠FDG=∠ADC-∠ADF=45°， ∴△BEF≌△FDG． 连接CF． 又∵ BC=ADADBE， ∴ ．故③不正确； ∵△ABF∽△ADE，△ABF∽△OEF， ∴△ADE∽△OEF． 在△BEF和△BOE中， ∠BEF∠BOE45°，∠EBF∠OBE， ∴△BEF∽△BOE． 在△BOE和△DOG中， ∠ODG∠OBE，∠BOE∠DOG， ∴△BOE∽△DOG． ∴△BEF∽△DOG． 又∵△DCE∽△BCG， ∴图形中相似三角形超过6对，故④不正确． 综上，正确的结论是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，涉及了特殊角的三角函数值、三角形的外角性质、举反例等，是一道综合题．相似和全等是证明边的比例关系中最常用的方法． 9．【分类讨论】 Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为_______． 【答案】4或或． 【分析】分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示，由∠ABC=60°，利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°，又∠PCA=30°，由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°，可得出三角形PCB为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时，再分两种情况进行求解即可. 【详解】分两种情况考虑： 当∠ABC=60°时，如图所示： ∵∠CAB=90°， ∴∠BCA=30°． 又∵∠PCA=30°， ∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°． 又∵∠ABC=60°， ∴△PCB为等边三角形． 又∵BC=4， ∴PB=4． 当∠ABC=30°时， （i）当P在A的右边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°， ∴∠PCB=90°． 又∠B=30°，BC=4， ∴， 即 ． （ii）当P在A的左边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°， ∴∠BCP=30°． 又∠B=30°， ∴∠BCP=∠B． ∴CP=BP． 在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4， ∴AC=BC=2． 根据勾股定理得：， ∴AP=AB－PB=－PB． 在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2， 即22+（－PB）2=BP2， 解得：BP=． 综上所述，BP的长为4或或． 【点睛】此题考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，利用了转化及分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 10．【几何综合】（2023·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形的面积是_______．    【答案】 【分析】连接，可得，即平分，在上截取，连接，证明，进而可得为等腰直角三角形，则四边形的面积，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，连接，   矩形中，，， ，， ，， ，， ，， ，， 在上截取，连接，则， ∵， ∴， ∴，， ， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，根据特殊角三角函数值求角的度数，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线，将四边形的面积转化为． 1．（2026·天津红桥·中考真题）的值等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】把角的正切与正弦值，代入原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 2．（2024·河南商丘·中考真题）在中，若|，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出，，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 3．（2025·北京·中考真题）已知，则锐角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先明确，然后根据余弦函数随角度的增大而减小即可得出答案． 【详解】∵，余弦函数随角度的增大而减小， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角函数，掌握特殊角的三角函数值及锐角三角函数的增减性是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 20.2 ，，角的三角函数值 目 录 A组 巩固过关 题型01 特殊三角形的三角函数 题型02特殊角三角函数值的混合运算 题型03 根据特殊角三角函数值求角度 题型04 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 特殊三角形的三角函数题型01 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．的相反数为（     ） A． B． C． D． 4．实数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 特殊角三角函数值的混合运算题型02 7．的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 8．的值等于（     ） A． B． C． D． 9．（2026·天津·中考真题）的值等于（     ） A． B． C． D． 10．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·天津和平·三模）的值等于（    ） A． B． C． D． 根据特殊角三角函数值求角度题型03 12．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 13．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 14．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 15．若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 16．已知锐角满足，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 17．若锐角满足，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·山东泰安·期末）在中，为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型04 19．在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 20．在中，都是锐角，且，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 21．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 22．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 23．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 24．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 25．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 6．（2020·山东泰安·中考真题）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（  ）    A． B． C． D． 7．（2013·湖北孝感·中考真题）式子的值是（ ） A． B．0 C． D．2 8．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 9．（2026·辽宁丹东·中考真题）已知、均为锐角，且满足，则等于（   ） A．75° B．60° C．45° D．105° 10．（2020·湖北黄冈·中考真题）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（   ） A． B． C． D． 11．（2019·湖北荆州·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2019·山东滨州·中考真题）满足下列条件时，不是直角三角形的为（　　）． A． B． C． D． 13．（14-15九年级上·山东济南·期中）△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC是（ ） A．直角（不等腰）三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰（不等边）三角形 D．等边三角形 1．【几何综合】（2026·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．【动点问题】（2026·安徽·中考真题）如图，在，，，，P为上一点，，动点M，N分别在边和射线上（点M不与点A，C重合），，令，的面积为y，则y关于x的函数图象是（   ） A． B．C． D． 3．【动点问题】（2020·四川巴中·中考真题）如图，在矩形中，，对角线，交于点，，为上一动点，于点，于点，分别以，为边向外作正方形和，面积分别为，．则下列结论：①；②点在运动过程中，的值始终保持不变，为；③的最小值为6；④当时，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．【规律问题】（2013·广西百色·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（    ） A．24 B．48 C．96 D．192 5．【折叠问题】（2026·山东济南·中考真题）如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 6．【折叠问题】（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）． 7．【规律问题】（2021·山东东营·中考真题）如图，正方形中，，AB与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段________． 8．【几何综合】（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形ABCD中，ADAB，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF=DC，②OF：BF=CE：CG，③S△BCGS△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是____． 9．【分类讨论】 Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为_______． 10．【几何综合】（2023·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形的面积是_______．    1．（2026·天津红桥·中考真题）的值等于（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·河南商丘·中考真题）在中，若|，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·中考真题）已知，则锐角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 20.230°， 45°，60°角的三角函数值 参考答案 A组 巩固过关 瓶孔型01 特殊三角形的三角函数 1.D 2.B 3.D4.C 5.B6.D 题型02 特殊角三角函数值的混合运算 7.C 8.B9.B10.B11.D 题型03 求根据特殊角三角函数值求角度 12.B 13.A14.B15.C16.D17.C18.D 题型04 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 19.B 20.C 21.B22.D23.A24.C25.B B组 能力进阶 1.B2.A3.D4.A5.C 6.D7.B 8.B9.A10.B11.A12.C13.D C组 思维拔高 1.D2.B3.C4.C 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 s9 5V3.4"-2 3 7 8.①② 8 94或等5或 10. 2W3-1 2 拓展 链接中考 1.C2.A3.D 2/2