精品解析：重庆市九龙坡区实验外国语学校2026-2027学年度上期八年级上期数学10月定时作业

重庆市九龙坡区实验外国语学校2026-2027学年度上期 八年级上期数学10月定时作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题：（共10题，每题4分，共40分） 1. 下面能组成三角形的三边长是（ ） A. 2，4，2 B. 3，4，5 C. 4，5，9 D. 4，5，10 2. 工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的内角和等于 C. 三角形两边的和大于第三边 D. 三角形的稳定性 3. 如图，，点在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，在中，平分，，若，，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图所示，将含角角的直角三角板与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 18 7. 下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ） A. 69 B. 73 C. 77 D. 83 8. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 9. 如图，在正方形中，，点在上，连接，将沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到，延长与交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（c，d，e，f均为非零常数），下列说法有正确的有（ ） ①当的结果为关于x的三次三项式时，则 ②当多项式A与B的乘积中不含项时，则； ③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题：共6题，每题4分，共24分 11. 一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为______． 12. 如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是________． 13. 如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 14. 如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有_____． 15. 如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是，上的动点，则的最小值为____________． 16. 如果一个四位自然数，各个数位上的数均不为0，且满足，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n令．例如，满足，则为的“同心数”，将十位与百位数字调换得到，满足，则的“同心数”为，此时．若，则其“同心数”m为______；当，且为整数时，M最大值与最小值的差为______． 三．解答题（共8小题，17-18各8分，19-25各10分，共86分） 17. 计算： （1）解方程组 （2）解不等式组 解：由不等式①得： 由不等式②得： 把不等式①和②的解集在数轴上表示为： 不等式组的解集为： 18. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： 数据整理： （1）此次调查的学生人数为________人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为________； （2）请补全条形统计图； （3）合理预测：若该校共有1200名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数． 19. 如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． （1）的面积； （2）的长度． 20. 如图，在中， ， ， ． （1）作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵ ， ∵ ∴（⑤ ） 21. 如图，在一次户外工程测量中，需要确定被椭圆形障碍物隔开的线段的长度．点B、F、C、E在直线l上（F、C之间被椭圆形障碍物阻挡，无法直接测量），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 22. 为了帮助乡村推销特色产品，某商场第一次购进了50千克枇杷和60千克樱桃共用去1500元，已知每千克枇杷的进价比每千克樱桃进价少3元． （1）求每千克枇杷和每千克樱桃的进价各是多少元？ （2）该商场计划在枇杷和樱桃进价不变的条件下，第二次再购进枇杷和樱桃共200千克，且第二次购进的枇杷和樱桃的总费用不超过2640元，求第二次樱桃最多可以购进多少千克？ 23. 如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． （1）若，，求的度数； （2）当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 24. 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作． 例如，点的一次反射点为，二次反射点为． 根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点为__________，二次反射点为____________； （2）当点在第一象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是___________； （3）若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线与轴所夹锐角的度数． （4）若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置． 25. 阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 （1）请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． （2）根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； （3）与面积之间的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市九龙坡区实验外国语学校2026-2027学年度上期 八年级上期数学10月定时作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题：（共10题，每题4分，共40分） 1. 下面能组成三角形的三边长是（ ） A. 2，4，2 B. 3，4，5 C. 4，5，9 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】通过比较较小两边之和与最长边的大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形． B、，能组成三角形． C、，不能组成三角形． D、，不能组成三角形． 2. 工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的内角和等于 C. 三角形两边的和大于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，将四边形结构转化为三角形结构即可防止变形，判断即可． 【详解】解：门框原本是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．钉上斜拉的木条后，门框的结构中被分割出了三角形． ∵三角形具有稳定性， ∴这样做的根据是三角形的稳定性． 3. 如图，，点在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得，，结合即可． 【详解】解：，， ∴，， 则． 4. 如图，在中，平分，，若，，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据平分，得到，结合得到，得到继而得到，结合计算，选择即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图所示，将含角角的直角三角板与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的求解，三角形外角性质，先根据三角形外角性质求出的度数，再利用平角定义求解即可． 【详解】解：如图， ，， ， ， 故选：C． 6. 如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 7. 下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ） A. 69 B. 73 C. 77 D. 83 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案． 【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1）， 第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3， 第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4， 第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5， 第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6， …… 第⑨个图形中三角形的个数为5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73 第n个图形中三角形的个数为5+2×(n-1)+3+4……+(n+1)（n>1） 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出每次变换增加个数规律,列出代数式． 8. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】要使游戏公平，凳子到三个顶点的距离必须相等，保证三名同学到凳子的距离一致，获胜概率相同． 【详解】解：选项A，三角形三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此该交点到三个顶点的距离相等，选项符合题意； 选项B，三角形三条角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此该交点到三角形三边的距离相等，不满足到三个顶点距离相等的要求，选项不符合题意； 选项C，三角形三边中线的交点为重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，到三个顶点的距离不相等，选项不符合题意； 选项D，三角形三边上高的交点为垂心，无到三个顶点距离相等的性质，选项不符合题意． 9. 如图，在正方形中，，点在上，连接，将沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到，延长与交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用折叠性质得到，再根据正方形的性质分别证明，，进而得出，再根据求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到， ， ，， ,， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 10. 关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（c，d，e，f均为非零常数），下列说法有正确的有（ ） ①当的结果为关于x的三次三项式时，则 ②当多项式A与B的乘积中不含项时，则； ③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 【详解】解：① 的结果为关于的三次三项式，且， ∴， 解得：，故①正确； ② ∵的结果中不含项,. ， 解得：，故②正确； ③当时，， ∴， 当时， ∴， 即， ∴，故③错误； 故选:C． 二．填空题：共6题，每题4分，共24分 11. 一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵三角形三边均为整数， ∴三角形第三边的最大值为6． 故答案为：． 12. 如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定——，解题关键是掌握全等三角形的判定——． 根据全等三角形的判定——求解． 【详解】解：在中，，，需要添加，可用“”证明， 故答案为：． 13. 如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为，再利用三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为9和4， ∴它的周长为． 14. 如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有_____． 【答案】 【解析】 【分析】由于， 于，得，则，可判断正确；根据“同角的余角相等”推导出，即可证明， 可判断正确；由垂线段最短可证明， ，则，可判断错误；由， ，且，得，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】∵，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴，故错误； ∵， ∴，， ∵， ∴，故正确； 故答案为： ． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 15. 如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】过点C作于点E，交于点，过点作于点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案． 【详解】解：过点C作于点E，交于点，过点作于点，如图． 平分， ． 又，， （）， ， ， 此时的值最小，点M与点重合，点N与点重合． 的面积为15，， ， ，即的最小值为6． 16. 如果一个四位自然数，各个数位上的数均不为0，且满足，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n令．例如，满足，则为的“同心数”，将十位与百位数字调换得到，满足，则的“同心数”为，此时．若，则其“同心数”m为______；当，且为整数时，M最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，二元一次方程的解，数字问题(二元一次方程组的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用定义可以求得当时m的值；根据为整数，可得出可取，，，，再分这8种情况，分别求出M最大值与最小值，最后求出它们的差即可． 【详解】解：，满足，其“同心数”m为， 当时，设， ∵， ∴， ∵将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n， ∴， ∴， ∵为整数， ∴可取，，，， 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴，，，，，，，， 显然，此时当时，最大；当时，最小； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴，，…，， 当时，最大；当时，最小； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到，这种情况不符合， 综上所述，最大为，最小为， ∴M最大值与最小值的差为， 故答案为：，． 三．解答题（共8小题，17-18各8分，19-25各10分，共86分） 17. 计算： （1）解方程组 （2）解不等式组 解：由不等式①得： 由不等式②得： 把不等式①和②的解集在数轴上表示为： 不等式组的解集为： 【答案】（1） （2），，， 【解析】 【分析】（1）观察方程组两个方程都含，用加减消元法消去，先求出，再代入求． （2）分别解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组解集，最后在数轴标注． 【小问1详解】 解：得：， ， 将代入①，， ， 原方程组的解集为． 【小问2详解】 解：由不等式①得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 由不等式②得：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 把不等式和的解集在数轴上表示：略， 不等式组的解集为：． 18. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： 数据整理： （1）此次调查的学生人数为________人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为________； （2）请补全条形统计图； （3）合理预测：若该校共有1200名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数． 【答案】（1）200， （2） （3）336人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体， （1）根据喜爱哪吒的有72人，占36%，可求出此次调查的学生人数；根据喜爱“太乙真人”有30人除以此次调查的学生数乘以360度可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数； （2）用此次调查的学生总人数减去其他人数可得喜爱“殷夫人”的人数； （3）根据此次调查的学生中最爱“敖丙”的有56人除以此次调查的学生人数乘以1200即可． 【小问1详解】 解：此次调查的学生人数为：（人）， 扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为：， 故答案为：200，． 【小问2详解】 解：喜欢殷夫人的人数为：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为336人． 19. 如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． （1）的面积； （2）的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：的面积为：； 【小问2详解】 解：， ． 20. 如图，在中， ， ， ． （1）作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵ ， ∵ ∴（⑤ ） 【答案】（1）如图，作图如下： （2）；②；；；⑤同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质； （1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在一次户外工程测量中，需要确定被椭圆形障碍物隔开的线段的长度．点B、F、C、E在直线l上（F、C之间被椭圆形障碍物阻挡，无法直接测量），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是根据题意，正确得到． （1）由可得，再根据，可得，即可求证； （2）由（1）可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴． 22. 为了帮助乡村推销特色产品，某商场第一次购进了50千克枇杷和60千克樱桃共用去1500元，已知每千克枇杷的进价比每千克樱桃进价少3元． （1）求每千克枇杷和每千克樱桃的进价各是多少元？ （2）该商场计划在枇杷和樱桃进价不变的条件下，第二次再购进枇杷和樱桃共200千克，且第二次购进的枇杷和樱桃的总费用不超过2640元，求第二次樱桃最多可以购进多少千克？ 【答案】（1）每千克枇杷进价是元，每千克樱桃的进价是元 （2）樱桃最多可以购进千克 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每千克枇杷进价是元，每千克樱桃的进价是元，结合已知可列出方程，解方程即可． （2）设第二次购进樱桃千克，则购进枇杷千克，结合已知列出关于a的一元一次不等式，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每千克枇杷进价是元，每千克樱桃的进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每千克枇杷进价是元，每千克樱桃的进价是元． 【小问2详解】 设第二次购进樱桃千克，则购进枇杷千克， ， ∴． 答：樱桃最多可以购进千克． 23. 如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． （1）若，，求的度数； （2）当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】（1）的度数是 （2） ， 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作． 例如，点的一次反射点为，二次反射点为． 根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点为__________，二次反射点为____________； （2）当点在第一象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是___________； （3）若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线与轴所夹锐角的度数． （4）若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置． 【答案】（1），；（2）点；（3）射线与轴所夹锐角或；（4）轴负半轴或第三象限的角平分线（不含点） 【解析】 【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可． （2）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可． （3）由题意点A在第二象限，推出点A1，A2均在第一象限．由△OA1A2为等边三角形，A1，A2关于OB对称，推出∠A1OB=∠A2OB=30°，分两种情形分别求解即可解决问题． （4）根据题意结合图形即可解答. 【详解】解：（1）由题意：点（2，5）的一次反射点为（-2，5），二次反射点为（5，-2）． 故答案为（-2，5），（5，-2）． （2）由题意点A的二次反射点在第四象限， 故答案为N点． （3）点在第二象限 点，均在第一象限 为等边三角形，，关于对称 分类讨论： ①若点位于直线的上方，如图所示 此时 因此射线与轴所夹锐角 ②若点位于直线的上下方，如图所示 此时 因此射线与轴所夹锐角为 综上所述，射线与轴所夹锐角或 （4）若点A在y 轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，则点A在平面直角坐标系xOy中的位置：x轴负半轴或第三象限的角平分线（不含点）． 【点睛】此题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，坐标由图形变化-对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25. 阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 （1）请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． （2）根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； （3）与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． （3）与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：略； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $