重庆市南渝中学校2026-2027学年八年级上学期数学 阶段考试题一（10月）

2028届初二（上）阶段练习一 （全卷共三道大题，满分150分，时间120分钟） 一．选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列各选项中，是无理数的是（ ▲ ） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ▲ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在中，，若，则的值为（ ▲ ） A． B． C． D． 5．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出倍，即甲的钱币数是乙钱币数的倍；若甲给乙枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有枚钱币，乙有枚钱币，则可列方程组为（ ▲ ） A． B． C． D． 6．若点与点关于轴对称，则（ ▲ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（ ▲ ） A． B． C． D． 8．估计的值应在（ ▲ ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 9．如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落至点处，若点的坐标为，则点的坐标为（ ▲ ） A． B． C． D． 10．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行．从内到外，它们的边长依次为，，，，…，顶点依次用，，，…表示，则顶点的坐标是（ ▲ ） A． B． C． D． 11．如图，在中，点为边上一点，连接，过点作交于点，作交于点．若，，，则的度数为（ ▲ ） A． B． C． D． 12．已知代数式：，其中，，…，为自然数，与为正整数，且，则下列说法： ①当时，的值为； ②不存在任何一个，使得满足条件的化简后与为同类二次根式； ③满足条件的化简后只有种不同的结果． 其中正确的个数是（ ▲ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共10个小题，13—20每小题3分，21—22每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ▲ ． 14．将点向左平移个单位长度得到点，则的值为 ▲ ． 15．比较大小： ▲ （填“”“”“”）． 16．如果是关于，的二元一次方程，则的值为 ▲ ． 17．若方程组的解为，则方程组的解为 ▲ ． 18．已知，，则代数式的值为 ▲ ． 19．如图，在平面直角坐标系中，，两点分别在轴、轴上，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ▲ ． 20．如图，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图所示的几何体，一只蚂蚁沿着图中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 ▲ ． 21．如图，在矩形中，，平分，过点作于点，连接，过点作于点，，接，将沿直线翻折至矩形所在的平面内，得，过点作交于点，则 ▲ ；点到的距离为 ▲ ． 22．对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且满足，则称该四位数为“差十数”．例如：四位数，因为，所以是“差十数”；又如四位数，因为，所以不是“差十数”．则最大的“差十数”为 ▲ ；若一个“差十数”的前两个数字组成的两位数记作，的后两个数字组成的两位数记作，并规定，若能被整除，则满足条件的四位数的最大值与最小值之差为 ▲ ． 三．解答题（本大题共9个小题，23题至27题每题8分，28题至30题每题10分，31题12分，共82分） 23．计算：（1） （2）． 24．解二元一次方程组： （1） （2） 25．先化简，再求值：，其中． 26．如图，，射线在内部，点，点分别为射线，上一点，且． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，交射线于点，在射线上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：．（请根据下列证明思路完成填空） 证明： ① ， ． ， ， （ ② ）． 在和中 ， ， ④ ， ， ． 27．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年、张伯苓“爱国三问”提出周年，弘扬爱国主义精神和教育家精神，由重庆南开中学出品，携手重庆大学、树人小学联合创排的大型原创话剧《大江东去我西来》在重庆大剧院成功首演．演出结束后，剧社随机抽取了部分观众进行满意度调查（观众只能选择一种选项），调查选项为：非常喜欢，喜欢，比较喜欢，不太喜欢；并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次被调查的观众共有 ▲ 人，的值为 ▲ ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若到重庆大剧院观看此话剧首演的观众共有人，估计对此话剧首演“非常喜欢”的人数． 28．如图，在中，，于点，的平分线交于点，过点作，分别交、于点、． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 29．国庆假期，不少市民选购鲜花点缀居室，玫瑰、百合十分畅销．某花店同时销售玫瑰、百合两种花束，已知销售束玫瑰和束百合共获利元，销售束玫瑰和束百合共获利元． （1）该花店销售束玫瑰、束百合分别获利多少元？ （2）国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合．国庆假期后天，花店对两种花束进行降价销售，其中每束玫瑰降价元，每束百合降价元，结果玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长．为了使国庆天假期的总利润达到元，求的值． 30．“数形结合”和“建模思想”是数学中两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图，可看作直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，，．问题就转为“在上求点，使最小”问题． 素材三 【解答过程】如图，连接，交于点．此时的值最小，将延长至点，使得，连接． ， ∴在中，， ． 的最小值是． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ▲ ； （2）任务二：【知识运用】如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄点到河岸的垂直距离为，村庄点到河岸的垂直距离为，且点，到河岸的垂足之间的水平距离为，现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为 ▲ ． （3）任务三：思维拓展：已知正数满足，求的值． 31．如图，在中，，，点，点分别为边，上一点，，点为边上一点，连接交线段于点． （1）如图，过点作于点，若，，求的长； （2）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，求证：； （3）如图，点为直线上一动点，连接，以为边向右侧作等边，连接．若，当取得最小值，且最小时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $