第30讲_简单枚举与列表法（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学

第三十讲 简单枚举与列表法 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 用、、组成没有重复数字的两位数，一共有多少个？写出全部。 解析：十位是时，有、。 十位是时，有、。 十位是时，有、。 共个。每个两位数都被十位唯一分到一类。 答：个：、、、、、。 跟踪1 【模拟练习】 用、、组成没有重复数字的两位数，写出全部。 解析：按十位、、分类，每类个，共个。 答：、、、、、。 例2 【模拟练习】 游乐场有面值元和元的代币。用这些代币支付元，两种代币的数量都可为，且不考虑投入顺序。共有几种付法？ 解析：元代币最多用枚，分别固定为、、枚。 用枚元时，元可用枚元。 用枚元时，剩元，不能用元代币凑成。 用枚元时，剩元，配枚元。共种。 答：种。 跟踪2 【模拟练习】 用面值元、元、元的游乐场代币支付元，各种面额都可用枚，不计投入顺序，有几种付法？ 解析：按元枚数分类：枚时元可用到枚，共种；枚时元可用到枚，共种；枚时种。合计种。 答：种。 例3 【模拟练习】 从行列方格网左下角走到右上角，每步沿网格边走一格，只能向右或向上。共有几条路径？ 解析：每条路必须向右步、向上步，一共步。 按前两次向右的位置列：右右上上、右上右上、右上上右、上右右上、上右上右、上上右右。 种方向顺序各对应一条不同路径，没有其他允许步数。 答：条。 跟踪3 【模拟练习】 从行列方格网左下角到右上角，只能沿边向右或向上，每步一格，共几条路径？ 解析：必须次向右、次向上；向上那一步可在个位置中任选个，共条。 答：条。 例4 【模拟练习】 位同学，每两人握手一次，每人不能与自己握手。共握手几次？ 解析：给同学编号、、、。 号与后面人握手，号只再与、号握手，共次。 号只再与号握手，次；号不用再数。 共（次）。 答：次。 跟踪4 【模拟练习】 名同学每两人握手一次，一共握手多少次？ 解析：每人各与人握手，直接算得到次，但每次被两人各算了一次，应除以，得到次。 答：次。 分层训练 A1 【模拟练习】 件不同上衣、条不同裤子，每次各选件，有多少种搭配？ 解析：每件上衣配条裤子，种。 答：种。 B2 【模拟练习】 两个正整数的和为，且前一个不大于后一个，有多少组？写出全部。 解析：固定较小数从递增到；再增大就超过另一数，不符合限制。 答：组：(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)。 B4 【模拟练习】 到中，能被或整除的整数有多少个？ 解析：的倍数个，的倍数个；、被重复数了，减去个，得个。 答：个。 C1 【模拟练习】 用、、、各一次组成四位偶数，一共有多少个？ 解析：末位时，其余个数字排列有个；末位时，首位只能是或，各有种后续排列，共个。总计个，首位的都排除。 答：个。 C2 【模拟练习】 从到中选个不同整数，要求任意两个都不相邻。不计选择顺序，有多少组？写出全部。 解析：按最小数分类：最小时有(,,)、(,,)、(,,)、(,,)、(,,)、(,,)；最小时有(,,)、(,,)、(,,)；最小时有(,,)。共组。 答：组。 真题拓展 真题1 【2023年香港华罗庚金杯少年数学邀请赛小中组决赛甲部第8题，改写】 四位数的数字从左到右严格递增，而且这个四位数是的倍数。一共有多少个这样的四位数？ 解析：严格递增的四位数不能含，否则在首位。因此只从至选个不同数字；选好后递增排列，对应唯一的数。 按除以的余数分三组：余组为、、；余组为、、；余组为、、。全部数字和须是的倍数。 个数字在三组中的个数只可能依次为（，，）、（，，）、（，，）、（，，）。把三组个数从到逐项列出即可查全。 每组个数中选个或个均有种，选个或个各种。四类有、、、种，合计种。 答：个 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十讲 简单枚举与列表法 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 简单枚举与列表法 解题思路 明确分类 按顺序列 检查遗漏 情境探路 有种上衣和种裤子，一共有多少套搭配？随便写几种很容易漏掉。先固定第一件上衣，把两条裤子都配过，再换下一件上衣，事情就变得整齐。枚举的重点不是列得多，而是列得有次序。 列举时应先决定按照什么顺序写，再核对每一种情况都符合条件。 知识示意 知识梳理 可以先固定一个位置或一种选择，再依次列出其余情况；顺序能帮助避免重复与遗漏。 若一次选择由几个独立步骤组成，可逐步列出可能；不同类别要区分并分别计数。 列数时注意能否使用零、能否重复，以及交换顺序是否算作不同情况。 先找出题目中的已知条件，再选择合适的方法，最后代回题目检验。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 用、、组成没有重复数字的两位数，一共有多少个？写出全部。 跟踪1 【模拟练习】 用、、组成没有重复数字的两位数，写出全部。 例2 【模拟练习】 游乐场有面值元和元的代币。用这些代币支付元，两种代币的数量都可为，且不考虑投入顺序。共有几种付法？ 跟踪2 【模拟练习】 用面值元、元、元的游乐场代币支付元，各种面额都可用枚，不计投入顺序，有几种付法？ 例3 【模拟练习】 从行列方格网左下角走到右上角，每步沿网格边走一格，只能向右或向上。共有几条路径？ 跟踪3 【模拟练习】 从行列方格网左下角到右上角，只能沿边向右或向上，每步一格，共几条路径？ 例4 【模拟练习】 位同学，每两人握手一次，每人不能与自己握手。共握手几次？ 跟踪4 【模拟练习】 名同学每两人握手一次，一共握手多少次？ 分层训练 A1 【模拟练习】 件不同上衣、条不同裤子，每次各选件，有多少种搭配？ B2 【模拟练习】 两个正整数的和为，且前一个不大于后一个，有多少组？写出全部。 B4 【模拟练习】 到中，能被或整除的整数有多少个？ C1 【模拟练习】 用、、、各一次组成四位偶数，一共有多少个？ C2 【模拟练习】 从到中选个不同整数，要求任意两个都不相邻。不计选择顺序，有多少组？写出全部。 真题拓展 真题1 【2023年香港华罗庚金杯少年数学邀请赛小中组决赛甲部第8题，改写】 四位数的数字从左到右严格递增，而且这个四位数是的倍数。一共有多少个这样的四位数？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $