第20讲 盈亏问题（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学苏教版

四年级奥数 第20讲 原卷 学生讲义 20 第二十讲 盈亏问题 先独立思考，再核对解析。保留必要的算式、图示和推理过程。 姓名________________ 班级________________ 日期________________ 学习目标 1 能把剩余、不足转化为统一的数量差。 2 会区分一盈一亏、两盈、两亏三种情况。 3 能处理空房间、剩人数和分配对象变化的条件。 情境探路 同一摞本子，每人分3本还多14本，每人分5本却少10本。本子没有变，人数也没有变。两种分法之间要多准备的本子，正好由原来多出的14本和后来不足的10本组成。 知识梳理 1 盈是按某种分法分完后还有剩余，亏是按某种分法还不够分。比较前后分法时，要同时看每人多分多少，以及全部需要增加多少。 2 一盈一亏，需求总差＝盈数＋亏数；两盈，需求总差＝原来多的盈数－后来少的盈数；两亏，需求总差＝后来大的亏数－原来小的亏数。 3 分配人数＝需求总差÷每人分配数之差。求出人数后，物品总数可用“每人数量×人数＋盈”或“每人数量×人数－亏”算，两个结果应相同。 4 “空2间房”应先换成空出的床位数。例如每间6人，空2间就是多出12个位置。若两种分法的人数不同，不能直接套同人数公式，应先把新增加对象需要的数量单独处理。 例题研习 例1 模拟练习 ★★ 给一组同学分本子，每人3本还剩14本，每人5本则缺10本。共有多少名同学，多少本本子？ 例2 模拟练习 ★★ 分糖果，每人4颗剩23颗，每人6颗仍剩5颗。共有多少人、多少颗糖？ 例3 模拟练习 ★★ 分铅笔，每人5支缺7支，每人7支缺25支。共有多少人、多少支铅笔？ 例4 模拟练习 ★★★ 安排住宿，每间住4人，还有8人无房住；每间住6人，恰好空出2间，其余每间住满。共有多少间房，多少人？ 方法整理 1 把每种分法写成“每人几份，剩多少或缺多少”。 2 用实物或线段图解释为什么加、为什么减，不凭关键词选公式。 3 人数求出后分别代回两种分法，得到同一个物品总数。 分层训练 A组 基础巩固 A1 模拟练习 苹果每人分3个剩8个，每人分4个缺6个。多少人、多少苹果？ A2 模拟练习 每人分4颗糖剩17颗，每人分6颗剩3颗。多少人、多少颗糖？ A3 模拟练习 每人分5张纸缺4张，每人分7张缺20张。多少人、多少张纸？ A4 模拟练习 把零件装盒，每盒8个余5个，每盒10个缺9个。共有多少盒、多少个零件？ B组 综合运用 B1 模拟练习 给同一组学生分纪念票，每人5张剩12张，每人6张剩1张。多少学生、多少张票？ B2 模拟练习 给一组学生发纸，每人4张缺3张，每人6张缺27张。多少学生、多少张纸？ B3 模拟练习 给同一组学生分书，每人5本剩20本，每人8本缺10本。多少学生、多少本书？ B4 模拟练习 同一批游客乘车，若每辆安排40人，还有20人上不了车；若每辆安排50人，共空10个座位。车辆数不变，共多少辆车、多少游客？ C组 挑战思考 C1 模拟练习 宿舍每间住4人，有16人无处住；每间住6人，恰好空出2间，其余全住满。多少间宿舍、多少人？ C2 模拟练习 给一班学生分本子，每人4本剩18本。若学生增加3人，并改为每人5本，就缺12本。这个班原来多少人，本子多少本？ 真题研习 先尝试本讲方法，再寻找不同的解题途径。赛事、年份和原题号见题旁。 Z24 ★★★★ 袋鼠数学 2026年 Benjamin 五至七年级组选题 原卷第16题 一群学生平均分一箱苹果。如果增加80个苹果，每人可多分4个；如果学生少8人，每人可多分6个。这箱原有多少个苹果？ 易错提醒 1 两次都剩余或两次都不足时，要用差，不能把两个数相加。 2 “空2间”与“空2个位置”不同，先换成同一单位；人数改变时，不能直接套固定人数公式。 数学万花筒 可以用“每人增加1件，剩余就减少人数那么多”来做小实验。例如7人分45颗糖，每人4颗余17，每人5颗余10，每人6颗余3。连续的剩余数每次少7，分配人数就藏在这个稳定的变化里。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数 第20讲 解析 配套解析 20 第二十讲 盈亏问题 按学生讲义原题序编排，包含完整题干、答案和解题过程。 本讲教学提示 能把剩余、不足转化为统一的数量差。；会区分一盈一亏、两盈、两亏三种情况。；能处理空房间、剩人数和分配对象变化的条件。 例题研习解析 例1 模拟练习 ★★ 给一组同学分本子，每人3本还剩14本，每人5本则缺10本。共有多少名同学，多少本本子？ 答案 12名同学，50本本子。 1 从每人3本改为5本，每人增加2本。 2 一共要多准备14＋10＝24本。原先余下的14本先用完，仍缺10本。 3 人数24÷2＝12名；本子3×12＋14＝50本。 4 检验：5×12－10＝50本，与第一种分法一致。 方法提示 一盈一亏相加，除以每份之差。 例2 模拟练习 ★★ 分糖果，每人4颗剩23颗，每人6颗仍剩5颗。共有多少人、多少颗糖？ 答案 9人，59颗糖。 1 每人多分6－4＝2颗。 2 剩余从23颗降到5颗，说明共多分出23－5＝18颗。 3 人数18÷2＝9人，糖果4×9＋23＝59颗。 4 检验6×9＋5＝59。 方法提示 两盈相减，观察剩余减少量。 例3 模拟练习 ★★ 分铅笔，每人5支缺7支，每人7支缺25支。共有多少人、多少支铅笔？ 答案 9人，38支铅笔。 1 每人多分2支，使不足数从7支增加到25支。 2 总需求增加25－7＝18支。 3 人数18÷2＝9人，实际铅笔5×9－7＝38支。 4 检验7×9－25＝38。 方法提示 两亏相减，观察不足增加量。 例4 模拟练习 ★★★ 安排住宿，每间住4人，还有8人无房住；每间住6人，恰好空出2间，其余每间住满。共有多少间房，多少人？ 答案 10间房，48人。 1 每间住6人时空2间，相当于全部房间住满后会多出6×2＝12个床位。 2 从每间4人增到6人，每间增加2个位置；总容量由少8个变为多12个，增加8＋12＝20个。 3 房间数20÷2＝10间。人数4×10＋8＝48人。 4 检验48人每间6人需8间，确实空2间。 方法提示 先把空房换成空位，再按盈亏比较。 方法整理 1 把每种分法写成“每人几份，剩多少或缺多少”。 2 用实物或线段图解释为什么加、为什么减，不凭关键词选公式。 3 人数求出后分别代回两种分法，得到同一个物品总数。 分层训练解析 A组 基础巩固 A1 模拟练习 苹果每人分3个剩8个，每人分4个缺6个。多少人、多少苹果？ 答案 14人，50个苹果。 解析 一盈一亏总差14，每人差1，所以14人；3×14＋8＝50个。 A2 模拟练习 每人分4颗糖剩17颗，每人分6颗剩3颗。多少人、多少颗糖？ 答案 7人，45颗糖。 解析 两盈差14，每人差2，得7人；4×7＋17＝45颗。 A3 模拟练习 每人分5张纸缺4张，每人分7张缺20张。多少人、多少张纸？ 答案 8人，36张纸。 解析 两亏差16，每人差2，得8人；5×8－4＝36张。 A4 模拟练习 把零件装盒，每盒8个余5个，每盒10个缺9个。共有多少盒、多少个零件？ 答案 7盒，61个零件。 解析 总需求差5＋9＝14，每盒差2，得7盒；8×7＋5＝61个。 B组 综合运用 B1 模拟练习 给同一组学生分纪念票，每人5张剩12张，每人6张剩1张。多少学生、多少张票？ 答案 11名，67张。 解析 两盈差11，每人差1，所以11名；5×11＋12＝67张。 B2 模拟练习 给一组学生发纸，每人4张缺3张，每人6张缺27张。多少学生、多少张纸？ 答案 12名，45张。 解析 两亏差24，每人差2，人数12；纸4×12－3＝45张。 B3 模拟练习 给同一组学生分书，每人5本剩20本，每人8本缺10本。多少学生、多少本书？ 答案 10名，70本。 解析 总差20＋10＝30，每人差3，得10名；书5×10＋20＝70本。 B4 模拟练习 同一批游客乘车，若每辆安排40人，还有20人上不了车；若每辆安排50人，共空10个座位。车辆数不变，共多少辆车、多少游客？ 答案 3辆车，140人。 解析 总容量增加20＋10＝30个，每辆增加10个，车数3；人数40×3＋20＝140。 C组 挑战思考 C1 模拟练习 宿舍每间住4人，有16人无处住；每间住6人，恰好空出2间，其余全住满。多少间宿舍、多少人？ 答案 14间，72人。 解析 空2间相当于多12个位置；容量总差16＋12＝28，每间差2，故14间；人数4×14＋16＝72。 C2 模拟练习 给一班学生分本子，每人4本剩18本。若学生增加3人，并改为每人5本，就缺12本。这个班原来多少人，本子多少本？ 答案 原来15人，78本。 解析 新增3人按每人5本计算，需要3×5＝15本。若仍只给原班学生每人5本，就比第二种分法少需15本；第二种分法缺12本，因此原班每人5本时会剩15－12＝3本。由每人4本剩18本改为每人5本剩3本，共多分18－3＝15本，每人多1本，所以原班15人。本子共有4×15＋18＝78本。检验新增后18人每人5本需90本，确实缺12本。 真题研习解析 先尝试本讲方法，再寻找不同的解题途径。赛事、年份和原题号见题旁。 Z24 ★★★★ 袋鼠数学 2026年 Benjamin 五至七年级组选题 原卷第16题 一群学生平均分一箱苹果。如果增加80个苹果，每人可多分4个；如果学生少8人，每人可多分6个。这箱原有多少个苹果？ 答案 180个 解析 先求人数80÷4＝20人。少8人后剩12人，多分的苹果共12×6＝72个，正好是原来8人的份额。原来每人72÷8＝9个，整箱共有20×9＝180个。 易错提醒 1 两次都剩余或两次都不足时，要用差，不能把两个数相加。 2 “空2间”与“空2个位置”不同，先换成同一单位；人数改变时，不能直接套固定人数公式。 数学万花筒 可以用“每人增加1件，剩余就减少人数那么多”来做小实验。例如7人分45颗糖，每人4颗余17，每人5颗余10，每人6颗余3。连续的剩余数每次少7，分配人数就藏在这个稳定的变化里。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $