第9讲 工程模型初步与归总问题 专题讲义-苏教版数学四年级上册奥数培优

第9讲 工程模型初步与归总问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 工程问题三要素 工作总量：完成的工作总数量，比如加工的零件总数、修路的总长度、看书的总页数等。 工作效率：单位时间内完成的工作量，比如每天加工多少个、每小时修多少米、每天看多少页等。 工作时间：完成工作总共用的时间，常用天、小时、分钟作单位。 2. 核心数量关系 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 3. 归总问题定义 在工作总量不变的前提下，工作效率发生变化，求对应的工作时间；或工作时间发生变化，求对应的工作效率，这类问题叫做归总问题。 核心本质：工作总量不变，效率越高，所需时间越短；效率越低，所需时间越长。 4. 常见基础题型 单人效率变化型：单人完成一项工作，效率提高或降低，求时间变化；或时间变化，求效率变化。 不同主体归总型：同一项工作，甲的效率和时间已知，求乙单独完成的时间或效率。 实际场景归总型：结合修路、加工零件、看书、运货等生活场景，总量不变的应用题。 5. 解题通用步骤 ① 定总量：根据题目中原来的效率和时间，求出工作总量； ② 找新量：明确变化后的工作效率或工作时间； ③ 算结果：用工作总量除以新的效率，得到新的时间；或除以新的时间，得到新的效率； ④ 验答案：代入原题验证总量是否一致。 6. 易错警示 归总问题的核心是总量不变，要先算准工作总量，这是后续计算的基础； 求 “提前几天”“推迟几天” 时，要用原来的时间和新的时间相减，不能直接用效率差计算； 多人合作时，工作效率是多人效率相加，工作总量还是不变； 计算时注意单位统一，效率单位和时间单位要对应。 例题讲解 【典型例题 1】基础归总（求时间） 加工一批零件，工人每天加工 30 个，8 天正好完成。如果每天加工 40 个，多少天可以完成？ 【跟踪训练 1】 修一条公路，工程队每天修 50 米，12 天正好修完。如果每天修 60 米，多少天可以修完？ 【典型例题 2】效率变化求提前天数 修一段水渠，每天修 80 米，15 天可以修完。如果每天多修 20 米，可以提前几天修完？ 【跟踪训练 2】 生产一批玩具，每天生产 40 个，20 天可以完成。如果每天少生产 8 个，会推迟几天完成？ 【典型例题 3】不同主体归总 加工一批服装，甲车间每天加工 24 套，10 天正好完成。乙车间每天加工 30 套，乙车间单独加工这批服装需要多少天？ 【跟踪训练 3】 运一堆货物，大卡车每次运 12 吨，15 次正好运完。小卡车每次运 9 吨，小卡车运完这堆货物需要多少次？ 【典型例题 4】归总求人数（效率） 一项工程，8 个工人 15 天可以完成。如果要 10 天完成，需要多少个工人？ 【跟踪训练 4】 修一条路，6 个工人 8 天可以修完。如果要 12 天修完，需要多少个工人？ 巩固练习 1. 加工一批零件，每天加工 25 个，12 天完成。如果每天加工 30 个，多少天完成？ 2. 一本书，每天看 18 页，10 天看完。如果每天看 20 页，多少天可以看完？ 3. 修一条路，每天修 70 米，9 天修完。如果每天多修 20 米，可以提前几天修完？ 4. 生产一批零件，每天生产 50 个，18 天完成。如果要提前 3 天完成，每天需要生产多少个？ 5. 一堆货物，大货车每次运 16 吨，9 次运完。小货车每次运 12 吨，小货车要多运几次？ 6. 一项工程，12 个工人 8 天可以完成。如果增加 4 个工人，几天可以完成？ 7. 铺一间教室，用边长 3 分米的方砖需要 320 块。如果用边长 4 分米的方砖，需要多少块？ 8. 小明看一本故事书，每天看 12 页，15 天看完。如果每天多看 3 页，可以提前几天看完？ 9. 加工一批零件，师傅单独做 6 小时完成，徒弟每小时做 12 个，单独做 10 小时完成。师傅每小时做多少个？ 10. 学校运来一批煤，每天烧 12 吨，可以烧 30 天。如果每天节约烧 3 吨，可以多烧多少天？ 11. 修一条水渠，15 个工人 8 天可以修完。现在要提前 2 天完工，需要增加多少个工人？ 12. 一批水果，用每箱装 20 千克的箱子，需要 30 个箱子。如果改用每箱多装 10 千克的箱子，可以少用多少个箱子？ 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）加工一批零件，每天加工 36 个，10 天完成。如果每天加工 40 个，多少天可以完成？ 2.（希望杯四年级试题）修一条路，每天修 60 米，12 天修完。如果每天多修 30 米，可以提前几天修完？ 3.（小升初衔接题）一批货物，用载重 8 吨的卡车运，15 次运完。如果改用载重 10 吨的卡车运，少运几次？ 4.（华杯赛初赛）一项工程，8 个人 12 天可以完成。如果要 6 天完成，需要增加多少个人？ 5.（苏教版培优题）铺一个会议室，用面积 9 平方分米的方砖需要 400 块。如果用边长 6 分米的方砖，需要多少块？ 6.（重点中学分班考）一本书，每天读 20 页，18 天读完。如果每天多读 4 页，多少天可以读完？ 7.（走美杯真题）加工一批服装，甲组每天做 32 套，15 天完成。乙组每天做 40 套，乙组单独做比甲组少用几天？ 8.（四年级期末真题）食堂运来一批大米，每天吃 50 千克，可以吃 20 天。如果每天少吃 10 千克，可以多吃多少天？ 9.（希望杯模拟题）修一条公路，12 个工人 6 天可以修完。现在有 8 个工人，多少天可以修完？ 10.（小升初真题）一批零件，师傅每小时做 30 个，8 小时完成。徒弟每小时比师傅少做 6 个，徒弟单独做需要几小时？ 11.（华杯赛模拟题）一堆煤，计划每天烧 15 吨，可以烧 24 天。实际每天节约 3 吨，实际比计划多烧多少天？ 12.（思维训练题）搬运一批图书，每人每次搬 8 本，15 人正好搬完。如果每人每次多搬 2 本，需要多少人可以一次搬完？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 工程模型初步与归总问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 工程问题三要素 工作总量：完成的工作总数量，比如加工的零件总数、修路的总长度、看书的总页数等。 工作效率：单位时间内完成的工作量，比如每天加工多少个、每小时修多少米、每天看多少页等。 工作时间：完成工作总共用的时间，常用天、小时、分钟作单位。 2. 核心数量关系 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 3. 归总问题定义 在工作总量不变的前提下，工作效率发生变化，求对应的工作时间；或工作时间发生变化，求对应的工作效率，这类问题叫做归总问题。 核心本质：工作总量不变，效率越高，所需时间越短；效率越低，所需时间越长。 4. 常见基础题型 单人效率变化型：单人完成一项工作，效率提高或降低，求时间变化；或时间变化，求效率变化。 不同主体归总型：同一项工作，甲的效率和时间已知，求乙单独完成的时间或效率。 实际场景归总型：结合修路、加工零件、看书、运货等生活场景，总量不变的应用题。 5. 解题通用步骤 ① 定总量：根据题目中原来的效率和时间，求出工作总量； ② 找新量：明确变化后的工作效率或工作时间； ③ 算结果：用工作总量除以新的效率，得到新的时间；或除以新的时间，得到新的效率； ④ 验答案：代入原题验证总量是否一致。 6. 易错警示 归总问题的核心是总量不变，要先算准工作总量，这是后续计算的基础； 求 “提前几天”“推迟几天” 时，要用原来的时间和新的时间相减，不能直接用效率差计算； 多人合作时，工作效率是多人效率相加，工作总量还是不变； 计算时注意单位统一，效率单位和时间单位要对应。 例题讲解 【典型例题 1】基础归总（求时间） 加工一批零件，工人每天加工 30 个，8 天正好完成。如果每天加工 40 个，多少天可以完成？ 【分析】这批零件的总个数（工作总量）不变。先根据原来的效率和时间求出零件总数，再用总数除以新的工作效率，得到新的工作时间。 【详解】 工作总量：（个） 新工作时间：（天） 综合算式：（天） 答：6 天可以完成。 【答案】天 【跟踪训练 1】 修一条公路，工程队每天修 50 米，12 天正好修完。如果每天修 60 米，多少天可以修完？ 【分析】公路总长度不变，先算总长，再除以新的每天修的长度。 【详解】 公路总长：（米） 新时间：（天） 答：10 天可以修完。 【答案】天 【典型例题 2】效率变化求提前天数 修一段水渠，每天修 80 米，15 天可以修完。如果每天多修 20 米，可以提前几天修完？ 【分析】先求水渠总长度，再算出每天多修 20 米后的新效率，求出新的工作时间，最后用原来的时间减去新时间，得到提前的天数。 【详解】 水渠总长：（米） 新效率：（米 / 天） 新时间：（天） 提前天数：（天） 答：可以提前 3 天修完。 【答案】天 【跟踪训练 2】 生产一批玩具，每天生产 40 个，20 天可以完成。如果每天少生产 8 个，会推迟几天完成？ 【分析】先求玩具总数量，再算降低后的效率，求出新时间，减去原来的时间就是推迟的天数。 【详解】 总数量：（个） 新效率：（个 / 天） 新时间：（天） 推迟天数：（天） 答：会推迟 5 天完成。 【答案】天 【典型例题 3】不同主体归总 加工一批服装，甲车间每天加工 24 套，10 天正好完成。乙车间每天加工 30 套，乙车间单独加工这批服装需要多少天？ 【分析】服装总套数不变，先根据甲车间的效率和时间求出总套数，再除以乙车间的效率，得到乙车间需要的时间。 【详解】 总套数：（套） 乙车间时间：（天） 答：乙车间单独加工需要 8 天。 【答案】天 【跟踪训练 3】 运一堆货物，大卡车每次运 12 吨，15 次正好运完。小卡车每次运 9 吨，小卡车运完这堆货物需要多少次？ 【分析】货物总吨数不变，先算总吨数，再除以小卡车每次运的吨数。 【详解】 总吨数：（吨） 小卡车次数：（次） 答：小卡车需要 20 次。 【答案】次 【典型例题 4】归总求人数（效率） 一项工程，8 个工人 15 天可以完成。如果要 10 天完成，需要多少个工人？ 【分析】把 1 个工人 1 天的工作量看作 1 份，先算出工作总份数，再用总量除以新的工作时间，得到需要的工人数。 【详解】 工作总量：（份） 需要工人数：（个） 答：需要 12 个工人。 【答案】个 【跟踪训练 4】 修一条路，6 个工人 8 天可以修完。如果要 12 天修完，需要多少个工人？ 【分析】先算总工作量，再除以新的时间得人数。 【详解】 总工作量：（份） 需要人数：（个） 答：需要 4 个工人。 【答案】个 巩固练习 1. 加工一批零件，每天加工 25 个，12 天完成。如果每天加工 30 个，多少天完成？ 【分析】先求零件总数，再除以新效率。 【详解】 总数：（个） 时间：（天） 答：10 天完成。 【答案】天 2. 一本书，每天看 18 页，10 天看完。如果每天看 20 页，多少天可以看完？ 【分析】总页数不变，先算总页数，再除以每天看的页数。 【详解】 总页数：（页） 天数：（天） 答：9 天可以看完。 【答案】天 3. 修一条路，每天修 70 米，9 天修完。如果每天多修 20 米，可以提前几天修完？ 【分析】先算总长，再算新效率和新时间，求提前天数。 【详解】 总长：（米） 新效率：（米 / 天） 新时间：（天） 提前：（天） 答：可以提前 2 天修完。 【答案】天 4. 生产一批零件，每天生产 50 个，18 天完成。如果要提前 3 天完成，每天需要生产多少个？ 【分析】先算总零件数，再算新的时间，求新效率。 【详解】 总数：（个） 新时间：（天） 每天生产：（个） 答：每天需要生产 60 个。 【答案】个 5. 一堆货物，大货车每次运 16 吨，9 次运完。小货车每次运 12 吨，小货车要多运几次？ 【分析】先算总吨数，再算小货车次数，求次数差。 【详解】 总吨数：（吨） 小货车次数：（次） 多运：（次） 答：小货车要多运 3 次。 【答案】次 6. 一项工程，12 个工人 8 天可以完成。如果增加 4 个工人，几天可以完成？ 【分析】先算总工作量，再算新的人数，求时间。 【详解】 总工作量：（份） 新人数：（个） 时间：（天） 答：6 天可以完成。 【答案】天 7. 铺一间教室，用边长 3 分米的方砖需要 320 块。如果用边长 4 分米的方砖，需要多少块？ 【分析】教室地面面积不变，先算总面积，再除以新方砖面积。 【详解】 一块小方砖面积：（平方分米） 总面积：（平方分米） 一块大方砖面积：（平方分米） 块数：（块） 答：需要 180 块。 【答案】块 8. 小明看一本故事书，每天看 12 页，15 天看完。如果每天多看 3 页，可以提前几天看完？ 【分析】先算总页数，再算新效率和新时间，求提前天数。 【详解】 总页数：（页） 新效率：（页 / 天） 新时间：（天） 提前：（天） 答：可以提前 3 天看完。 【答案】天 9. 加工一批零件，师傅单独做 6 小时完成，徒弟每小时做 12 个，单独做 10 小时完成。师傅每小时做多少个？ 【分析】先根据徒弟的效率和时间求零件总数，再除以师傅的时间得师傅效率。 【详解】 总数：（个） 师傅每小时：（个） 答：师傅每小时做 20 个。 【答案】个 10. 学校运来一批煤，每天烧 12 吨，可以烧 30 天。如果每天节约烧 3 吨，可以多烧多少天？ 【分析】先算总吨数，再算实际每天烧的吨数，求新时间，再算多烧的天数。 【详解】 总吨数：（吨） 实际每天烧：（吨） 新时间：（天） 多烧：（天） 答：可以多烧 10 天。 【答案】天 11. 修一条水渠，15 个工人 8 天可以修完。现在要提前 2 天完工，需要增加多少个工人？ 【分析】先算总工作量，再算新时间，求需要的总人数，减去原来的人数就是增加的人数。 【详解】 总工作量：（份） 新时间：（天） 需要人数：（个） 增加：（个） 答：需要增加 5 个工人。 【答案】个 12. 一批水果，用每箱装 20 千克的箱子，需要 30 个箱子。如果改用每箱多装 10 千克的箱子，可以少用多少个箱子？ 【分析】先算水果总重量，再算新箱子每箱装的重量，求新箱子数，再求少用的个数。 【详解】 总重量：（千克） 新每箱装：（千克） 新箱子数：（个） 少用：（个） 答：可以少用 10 个箱子。 【答案】个 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）加工一批零件，每天加工 36 个，10 天完成。如果每天加工 40 个，多少天可以完成？ 【分析】先求零件总数，再除以新效率。 【详解】 总数：（个） 时间：（天） 答：9 天可以完成。 【答案】天 2.（希望杯四年级试题）修一条路，每天修 60 米，12 天修完。如果每天多修 30 米，可以提前几天修完？ 【分析】先算总长，再算新效率和新时间，求提前天数。 【详解】 总长：（米） 新效率：（米 / 天） 新时间：（天） 提前：（天） 答：可以提前 4 天修完。 【答案】天 3.（小升初衔接题）一批货物，用载重 8 吨的卡车运，15 次运完。如果改用载重 10 吨的卡车运，少运几次？ 【分析】先算总吨数，再算新次数，求次数差。 【详解】 总吨数：（吨） 新次数：（次） 少运：（次） 答：少运 3 次。 【答案】次 4.（华杯赛初赛）一项工程，8 个人 12 天可以完成。如果要 6 天完成，需要增加多少个人？ 【分析】先算总工作量，再算 6 天需要的人数，减去原来的人数。 【详解】 总工作量：（份） 需要人数：（个） 增加：（个） 答：需要增加 8 个人。 【答案】个 5.（苏教版培优题）铺一个会议室，用面积 9 平方分米的方砖需要 400 块。如果用边长 6 分米的方砖，需要多少块？ 【分析】会议室面积不变，先算总面积，再除以新方砖面积。 【详解】 总面积：（平方分米） 新方砖面积：（平方分米） 块数：（块） 答：需要 100 块。 【答案】块 6.（重点中学分班考）一本书，每天读 20 页，18 天读完。如果每天多读 4 页，多少天可以读完？ 【分析】先算总页数，再算新效率，求时间。 【详解】 总页数：（页） 新效率：（页 / 天） 时间：（天） 答：15 天可以读完。 【答案】天 7.（走美杯真题）加工一批服装，甲组每天做 32 套，15 天完成。乙组每天做 40 套，乙组单独做比甲组少用几天？ 【分析】先算总套数，再算乙组时间，求时间差。 【详解】 总套数：（套） 乙组时间：（天） 少用：（天） 答：乙组单独做比甲组少用 3 天。 【答案】天 8.（四年级期末真题）食堂运来一批大米，每天吃 50 千克，可以吃 20 天。如果每天少吃 10 千克，可以多吃多少天？ 【分析】先算总千克数，再算实际每天吃的量，求新时间，算多吃的天数。 【详解】 总重量：（千克） 实际每天：（千克） 新时间：（天） 多吃：（天） 答：可以多吃 5 天。 【答案】天 9.（希望杯模拟题）修一条公路，12 个工人 6 天可以修完。现在有 8 个工人，多少天可以修完？ 【分析】先算总工作量，再除以人数得时间。 【详解】 总工作量：（份） 时间：（天） 答：9 天可以修完。 【答案】天 10.（小升初真题）一批零件，师傅每小时做 30 个，8 小时完成。徒弟每小时比师傅少做 6 个，徒弟单独做需要几小时？ 【分析】先算零件总数，再算徒弟效率，求时间。 【详解】 总数：（个） 徒弟效率：（个 / 小时） 时间：（小时） 答：徒弟单独做需要 10 小时。 【答案】小时 11.（华杯赛模拟题）一堆煤，计划每天烧 15 吨，可以烧 24 天。实际每天节约 3 吨，实际比计划多烧多少天？ 【分析】先算总吨数，再算实际每天烧的量，求实际时间，再算多烧的天数。 【详解】 总吨数：（吨） 实际每天：（吨） 实际时间：（天） 多烧：（天） 答：实际比计划多烧 6 天。 【答案】天 12.（思维训练题）搬运一批图书，每人每次搬 8 本，15 人正好搬完。如果每人每次多搬 2 本，需要多少人可以一次搬完？ 【分析】先算图书总本数，再算每人搬的本数，求需要的人数。 【详解】 总本数：（本） 每人搬：（本） 需要人数：（人） 答：需要 12 人可以一次搬完。 【答案】人 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $