15.3.2 等边三角形（第2课时30°角的直角三角形） 课时同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 第2课时 30°角的直角三角形 1、 选择题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直角三角形中角所对的直角边为， ∴斜边长为． 2．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，，P是边上一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ． ， ，， ， ． 3．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，连接并延长，交于点D，于点H．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点O作于点E． 平分，， ． 的平分线与的平分线相交于点O， 平分． ， ， ． 4．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 5．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，故可得出，即，由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ，即． 在中， ，， ， ∴． 6．（26-27九年级上·广东广州·开学考试）如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，可得，推出三角形为等边三角形，即可得到，即可推出． 【详解】解：∵在等边三角形中，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】特殊情形：点是等边三边的垂直平分线的交点，据此解答即可． 【详解】解：如图，特殊情形：点是等边三边的垂直平分线的交点， ∴，，， ∵是等边三角形，且， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 9．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知，点，，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若则等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，然后根据同理可得，，从而进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 同理可得：， 是等边三角形， ， ， 同理可得：， 是等边三角形， ， ． 10．（2026八年级上·全国·专题练习）已知点在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，、相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、，则①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】利用等边三角形边、角相等，证明，得到，判断①正确；利用对顶角和三角形内角和得到，判断③正确．由全等得到对应角相等，结合，，证得，判断②正确，进一步得到，结合角判定为等边三角形，判断④正确．过向、作垂线，借助全等三角形对应高相等得到，依据角平分线判定定理得到平分，判断⑤正确．在上截取构造等边，再证明得到，等量代换推出，判断⑥正确；六个结论全部正确，选择 D． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，． ∴， ， ． 在和中 ， ， ，故结论①正确． ． 又， ， ，故结论③正确． ，，， 在和中 ， ，故结论②正确． ． 又， 是等边三角形，故结论④正确． 如图，过点作于，于． ， 两个全等三角形对应边上的高相等，即． ，， 点在的角平分线上，即平分，故结论⑤正确． 如图，在上截取，连接． ，， 是等边三角形． ，， ． ，平分， ， ． ， ． 在和中 ， ， ． ，， ，故结论⑥正确． 综上，①②③④⑤⑥全部正确，正确结论共 6 个， 故选：D． 2、 填空题 11．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 12．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高，，则_________． 【答案】 【分析】先求出，可求出的长，再求出的长，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 是高， ， ， ， ． 13．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则_____． 【答案】 【分析】连接，先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出和，再根据线段垂直平分线的性质求出，从而推出，最后根据中角所对的边等于斜边的一半求出的长,从而得到的长． 【详解】解：如图，连接． ，， , 的垂直平分线是， ， ， ， ， ， ， ． 14．如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为__________． 【答案】30 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外角的性质得出，可得，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：30 15．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由已知易得为等腰直角三角形，则有；再由含30度直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 16．如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动 s后，可得到． 【答案】2或10或3.2 【分析】根据题意，时P点刚好运动一周回到B点，而Q点只能运动到的中点.分情况讨论：①P在上，Q在上，且②P在上，Q在上，且；③P、Q都在上，且.根据“直角三角形中，的角所对的边等于斜边的一半”分别列方程求出t的值即可. 【详解】①如图1，P在上，Q在上，且， 解得       （图1） ②如图2，P在上，Q在上，且， 则 解得 （图2） ③如图3，P、Q都在上，且， 则 解得 （图3）   综上，点P与点Q运动的时间为2秒或3.2秒或10秒时可得到. 【点睛】本题是一个动点问题，主要考查了“直角三角形中，的角的边等于斜边的一半”这一性质.解题的关键是要运用数形结合和分类讨论的思想，防止漏解. 3、 解答题 17．如图，，，的垂直平分线交于点，交于点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用知识是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质可求出，再由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得到，再等量代换即可得到结论． 【详解】略 18．（2026·四川南充·三模）如图，是的中线，于，于．求证：． 【答案】证明：∵是的中线， ∴， ，， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】先证明，得出，再根据含的直角三角形的性质，得出，即可得出结论． 19．如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 【分析】（1）据题意得到∠CBM＝60°，∠BAM＝30°，求得∠BMA＝30°，得到 AB＝BM，于是得到结论； （2）根据已知条件得到△BMC是等边三角形，求得 CM＝BC，∠BCM＝60°，于是得到结论． 【详解】解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°， 因为∠CBM＝∠BAM+∠BMA， 所以∠BMA＝30°， 所以∠BMA＝∠BAM， 所以 AB＝BM， AB＝28×0.5＝14， BM＝14， 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里； （2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60° 所以△BMC是等边三角形， 所以 CM＝BC，∠BCM＝60°， 所以CM＝14， 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，正确理解方向角的定义是解题的关键． 20．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； (2)6 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后利用三角形的外角性质可得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，由（1）可知，在中，求得，利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而利用线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知， 在中，， ∴； ∴， ∵垂直平分， ∴． 21．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质结合条件得，进一步求出，再根据即可求出，进而得，即可证明是等腰三角形． （2）由（1）得：，，根据垂直定义得，再根据度角所对边等于斜边的一半即可得，进而得，再根据，计算即可得的长为． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由（1）得：，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长为． 22．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)8 (2) 是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； （2）略 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E，连接CD． （1）求证：△BCD是等边三角形； （2）若AE＝2，求CE的长． 【答案】（1）见详解；（2）1． 【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出BCAB，再由由垂直平分线的性质可求得AD＝BD＝CD，可证明△BCD为等边三角形； （2）根据∠ACB＝90°，∠A＝30°可得出∠ABC＝60°，连接BE，根据线段垂直平分线的性质可知AE＝BE＝2，故∠ABE＝∠A＝30°，据此可得出∠CBE＝30°，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：在△ABC中， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴BCAB， ∵DE垂直平分AB， ∴D为AB中点， ∴AD＝BD＝CDAB， ∴△BCD是等边三角形； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AE＝2， ∴∠ABC＝60°， 连接BE， ∵AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E， ∴BE＝AE＝2，∠ABE＝∠A＝30°， ∴∠CBE＝30°， ∴CEBE＝1． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是了解30°角所对的直角边是斜边的一半，难度不大． 24．如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，AB＝60cm，动点P、Q同时从 A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【答案】（1）t＝20；（2）t＝15或t＝24时． 【分析】用含t的代数式表示出BP、BQ． （1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当∠BQP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． 【详解】解：（1）在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∵60÷2＝30， ∴0≤t≤30，BP＝（6﹣2t）cm，BQ＝tcm． 当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形， 即60﹣2t＝t， ∴t＝20； 当t＝20时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即60﹣2t＝2t， ∴t＝15， ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（60﹣2t）， ∴t＝24． 即当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形、等边三角形的判定和性质，分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴上，点在轴上，，．    (1)求点的坐标； (2)点从点出发沿着线段以每秒2个单位长度运动，到点停止运动，运动时间为秒，连接，的面积为，用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，当时，以为边作等边，求点的纵坐标．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)或6 【分析】(1)求出,由直角三角形的性质可得出答案； (2)过点作于点,由直角三角形的性质可得出 根据三角形面积公式可得出答案； (3)分两种情况，当点在的上方时，当点 在的下方时，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案. 【详解】（1）∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴； （2）过点P作于点E, 当点D在的上方时，    ∵点从点出发沿着线段以每秒个单位长度运动， ∴, ∵, ; （3）∵, ∴, ∴, ∴, 如图，当点D在的上方时，    ∵为等边三角形, ∴, ∴, ∴, ∴D点的纵坐标为， 当点D在的下方时，    ∵为等边三角形, ∴, ∵, ∴轴, ∴, ∴, ∴D点的纵坐标为， 综上所述，D点的纵坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 第2课时 30°角的直角三角形 1、 选择题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，，P是边上一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，连接并延长，交于点D，于点H．若，，则（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 6．（26-27九年级上·广东广州·开学考试）如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 9．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知，点，，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若则等于（） A． B． C． D． 10．（2026八年级上·全国·专题练习）已知点在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，、相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、，则①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2、 填空题 11．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 12．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高，，则_________． 13．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则_____． 14．如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为__________． 15．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则_________． 16．如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动 s后，可得到． 3、 解答题 17．如图，，，的垂直平分线交于点，交于点．求证：． 18．（2026·四川南充·三模）如图，是的中线，于，于．求证：． 19．如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 20．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 21．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 22．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E，连接CD． （1）求证：△BCD是等边三角形； （2）若AE＝2，求CE的长． 24．如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，AB＝60cm，动点P、Q同时从 A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 25．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴上，点在轴上，，．    (1)求点的坐标； (2)点从点出发沿着线段以每秒2个单位长度运动，到点停止运动，运动时间为秒，连接，的面积为，用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，当时，以为边作等边，求点的纵坐标．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $