15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 练习题含答案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦含30°角直角三角形性质，通过树折断、测量白塔等生活情境与基础-综合-动态问题梯度设计，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|7|性质直接应用（如第1题30°对直角边求斜边）|基础巩固，考查性质记忆| |填空|8|性质辨析（如第12题判断30°角相关结论）|深化理解，培养批判性思维| |解答|7|综合应用（如第20题测量高度）、动态探究（如第22题动点问题）|结合现实情境，发展模型意识与推理能力|

15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 一、单项选择题。 1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是(　 　) A．2cm　　　　　　B．4cm　　　　　　C．6cm　　　　　　D．8cm 2．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，CE＝3，则AC等于(　 　) A．12　　　　　　B．14　　　　　　C．16　　　　　　D．18 3．如图，AD、BE为△ABC的两条高，∠EAF＝30°，则下列结论不正确的是(　 　) A．AC＝2CD B．BC＝2CE C．CD＝CE D．AF＝2EF 4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED＝5，则CE的长为(　 　) A．10 B．8 C．5 D．2.5 5.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(　 　) A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是(　 　) A．60° B．45° C．30° D．75° 7．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少用(　 　) A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．500a元 二、填空题。 8．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，且AC＝AB，则∠B＝____. 9．如图，Rt△ABC的斜边AC∥x轴，点B的坐标是(，0)，∠A＝30°，则AC＝____． 10．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4，则BD＝____． 11．如图是某车库出入口的栏杆，若BC＝4m，∠B′CB＝30°.则栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离B′D为_______m． 12．下列结论正确的是_______． ①直角三角形中，若有一锐角为30°，则它所对的直角边等于另一直角边的一半；②在一个三角形中，若有一锐角为30°，则它所对的边等于最长边的一半；③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；④在直角三角形中，若最短的边长是最长的边长的一半，则最小角是30°. 13．如图，在△ABC中，AB＝8，AD平分∠BAC，∠BAD＝15°，点P，Q分别为边AD，AB上的动点，连接BP，PQ，则BP＋PQ的最小值为____． 14．如图，梯子与地面的夹角为60°，上端A靠墙，底端B距离墙角3米，则梯子的长度为____米． 15．将一张长方形纸片ABCD按如图所示折叠，使顶点C落在点C′处，已知AB＝2，∠DEC′＝30°，则折痕DE的长度为_______． 三、解答题。 16．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC.若∠B＝30°，求证：BE＝2EC. 17．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝30°，∠CBD＝90°.求证：AB＝2BC. 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6cm，AD是∠CAB的平分线，求CD的长. 19．如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°.请完整说明为何AD＝BD与CD＝2BD的理由． 20．如图，李明同学想测量泸州白塔CD的高度，他在A处测得∠CAD＝15°，再往前行进60m到达B处，此时测得∠CBD＝30°，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔CD的高度． 21．如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N. (1)求证：BE＝AD； (2)求∠BMN的度数； (3)若MN＝3，ME＝1，求AD的长． 22．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动． (1)点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； (2)若它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t(s)，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 答案： 一、 1-7 BACAD CC 二、 8. 30° 9. 6 10. 1 11. 2 12. ③④ 13. 4 14. 6 15. 4 三、 16. 证明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°， ∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝30°，∴∠C＝90°，∴AE＝2EC， ∵AE＝BE，∴BE＝2EC. 17. 证明：延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，易证△ADE≌△CDB(SAS)， ∴∠AED＝∠CBD＝90°，AE＝CB，∵∠ABD＝30°，∴AB＝2AE＝2BC. 18. 解：由题意得∠CAB＝90°－30°＝60°.∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°.∴AD＝2CD，AD＝BD.∴BC＝3CD.∴CD＝BC＝×6＝2(cm).∴CD的长为2cm 19. 解：∵∠4＝60°，∠1＝30°，根据三角形外角定理可得：∠ABD＝∠4－∠1＝60°－30°＝30°＝∠1，∴BD＝AD.∵∠ABD＝30°，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝30°， ∴∠2＝180°－∠4－∠C＝180°－60°－30°＝90°，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD＝2BD. 20. 解：∵∠ACB＝∠CBD－∠CAD＝15°，∴∠CAB＝∠ACB＝15°，∴BC＝AB＝60m． 在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×60＝30 (m).∴泸州白塔的高度是30m 21. 解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝CA. 在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD(SAS).∴BE＝AD (2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD. ∴∠BMN＝∠ABE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAE＝60° (3)∵BN⊥AD，∴∠BNM＝90°，由(2)得∠BMN＝60°，∴∠NBM＝30°， ∴BM＝2MN＝2×3＝6 ，∴BE＝BM＋ME＝6＋1＝7，由(1)得AD＝BE，∴AD＝7 22. 解：(1)根据题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm，当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm， ∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等边三角形 (2)在△PBQ中，BP＝6－t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝(6－t)， 解得t＝2； ②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，即6－t＝t，解得t＝4， 综上可知，当t＝2或t＝4时，△PBQ是直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $