15.3.2等边三角形第二课时含30°角的直角三角形分层训练 2026-2027学年人教版 数学八年级上册

15.3.2 等边三角形（第2课时） 含30°角的直角三角形分层训练 根据性质求边长 1.如图，在 中， ， ， 交 的延长线于点 ，则 的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.将含 角的直角三角尺 和直尺按如图所示的方式放置，若 ，点A，B表示的刻度分别为 ， ，则 的长为（     ） A． B． C． D． 3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD为△ABC的角平分线，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若DE＝2，则BE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4.如图，点C为直线 上一个定点，点D为直线 上一个动点，直线 外有一点P， ，当 最短时，则 的长是______． 5.如图所示，在 中， ， 平分 于点 ，如果 ， 那么 等于________． 6.如图， 中， ， ， ， ，垂足为A，那么 ___ ． 7.如图，在 中， ，按如下步骤作图：①以点A为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交 于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P， 作射线 ，交 于点D，过点D作 交 于点E，已知 ， EMBED Equation.DSMT4 ，则 的长为 ． 8.如图，在 中， ， ， ，交 于点 ． (1)求 的值； (2)若 ，求 的长． 9.如图，在 中， ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 10.如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点D，连接 ，若 ． (1)求证： ． (2)求 的长． 二、作辅助线构造含30°角的直角三角形 1.如图， ，E在 的平分线上， ，垂足为C，点F在 上，若 ， ，则 的面积是（     ） A．4 B．8 C．16 D．18 2.如图， 中， ， ． 、 的中垂线 、 分别交 、 、 于D、E、F、H．若 ，则 的长度是（　　） A．3 B．2 C． D．4 3.如图，在 中， ， ，D是AC边的中点，过点D作 于点E，若 ，则AE的长为______． 4.如图，在 中， 是 的中点，且 ，则 的长是_____________． 三、与等边三角形的综合运用 1.如图， 是边长为1的等边三角形， 是 的中点， 于 ，延长 到点F， ，则 的长为（    ） A． B． C． D． 2.如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则_____. 3.如图，点P是等边三角形 边 上一点， 于点M， 于点N，若 ， ，则 ______． 4.如图，点 是等边三角形ABC的边 延长线上一点， 于点 ， 交 于点 ，若 ， ，则BP的长为____. 5.如图，在等边三角形 中，点E在 上，点D在 的延长线上，且 ，连接 并延长交 于点F． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 6.如图， 、 分别是等边三角形 的两边 、 上的点，且 ， ， 相交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，若 ，求 的长度． 四、实际应用 1．如图，梯子 与地面 的夹角 ，梯子上端靠墙，底端到墙角距离 ，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 2.数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含 角的直角三角形框架，如图， ， ．然后她依次添加支撑木条 ，并使得 ，垂足分别为 ，则支撑木条 长度为（     ） A． B． C． D． 3.如图是屋架设计图的一部分，立柱 垂直于横梁 ， ， ， ，则 的长度为______m． 4.如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘 ，与闸机侧立面夹角 ，双翼展开时端点 、 的间距为 ．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______ ． 5.如图，小明在 处看见前面山上有一个气象站 ，此时测得水平线与视线的夹角为 ，当他乘坐汽车笔直地向山的方向行驶 到达 处后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为 ，点 离路面的高为 ，求这个气象站离地面的高度． 1.如图，在池塘两岸有四个点 、 、 、 ，且它们在同一直线 上（ 、 之间不能直接测量），点 、 在直线 异侧，测得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ． (1)求证： ； (2)若连接 、 ，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想。 (3)现测得 ， ，求池塘两岸 的宽度． 2.如图，等边三角形 中，D、E分别为 边上的点， ， 与 交于点F， 于点G， (1)求 的度数； (2)若 ，求 的长度． 3.如图， 中， ， 的平分线交 于 ， 交 的延长线于点 ， 交 于点 ． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ， ，求 的长． 1.（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分， 是斜梁 的中点，立柱 垂直于横梁 ．若 ， ，则 的长为 ． 2.（2025·山东东营·中考真题）如图，在 中， ， ， 的平分线交 于点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ． 3.（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ． 15.3.2 等边三角形（第2课时） 含30°角的直角三角形分层训练 一、根据性质求边长 1.C   2.C 3.B　 4.2 5.3 6.3 7.3 （1）解：∵在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 解：∵在 中， ， ， ， ∴ ， 由（1）已得： ， ∴ ， ∴ ． 9.（1）证明：∵ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ， ∴ ，   ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 10.（1）证明： ， ， ， 的垂直平分线是 ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ． 二、作辅助线构造含30°角的直角三角形 1.C     2.A　 3.18 4. 三、与等边三角形的综合运用 1.A    2.9 3.4 4.1.5 5.（1）证明：∵等边 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：如图，连接 ， ∵等边 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 解：∵ 是等边三角形， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ∴ ． 四、实际应用 1.B 2.C    3.8 4.68 解：过点 作 地面于点 过点 作 地面于点 过点 作 地面于点 ，交直线 于点 由题意可得 ， ∵过点 作 地面于点 过点 作 地面于点 过点 作 地面于点 ， ∴ ， 四边形 和四边形 均为矩形 ． 是 的外角 ． ， ． ． ． ． ． ． ． ． 在 中 ． ． ． ． 答：这个气象站离地面的高度为 （1）证明： ， ， 在 和 中， ， ； （2） 与 的数量关系是AE=BD； 证明：如图， ∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （1）解：∵ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ 3.（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的度数为 ； （2）解：∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 1.2 2. 3. 6或12 $