15.3.1　等腰三角形（第1课时等腰三角形的性质） 课时同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 15.3.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1、 选择题 1．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（        ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】未明确的角是顶角还是底角，需分类讨论． 【详解】解：当的角为底角时，底角为． 当的角为顶角时，底角为． 2．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 3．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，计算出，由垂直平分线的性质得，由等边对等角得，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，平分，，，垂足分别为、．则图中全等三角形的对数共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】由，平分，可证得；利用全等的结论可证得；再利用角平分线的性质可证得． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴, ， 在和中，有， ∴； ∴， ∵，，垂足分别为、． ∴， 在和中，有， ∴； 在和中，有 ∴； 综上可得图中全等三角形的对数共有3对． 5．（2026八年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边对等角得出，证明得出，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解. 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 7．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．图2是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，根据等角对等边得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而求得的长． 【详解】解：连接，如图 ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 即点A，E之间的距离为4． 9．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（     ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到，利用三角形外角性质推出，根据线段垂直平分线的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质得到，，由建立方程求解即可． 【详解】解：， ， ，，且， ， 的中垂线交于点， ， 在与中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ． 10．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）等腰中，，D是的中点，于E，交的延长线于F，若，则的面积为（     ）． A．40 B．46 C．48 D．50 【答案】C 【分析】先证明，得出，结合题意可得，由，求出，从而可得，最后结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵等腰中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 2、 填空题 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为； 故答案为： ． 12．（26-27八年级上·广东惠州·期中）如图所示，在中，，、分别是、的垂直平分线，点E、N在上，则_______． 【答案】/40度 【分析】先由及三角形内角和定理求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出，即，由解答即可． 【详解】解：在中，， ， 是的垂直平分线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ． 13．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，，D为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为______． 【答案】9 【分析】连接，由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，D为边的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线，与边相交于点H．则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用角平分线的定义可得，然后利用三角形的外角性质可得，再由作图可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 由作图可得：， ∴， ∴． 15．在中，，是边上的高，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】①如图，当顶角为锐角三角形时：，②如图，当顶角为钝角三角形时：，再结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：，    ∵， ∴； ②如图，当顶角为钝角三角形时： ∵，， ∴，    ∵， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解本题的关键． 16．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则________． 【答案】 2 【分析】作的垂直平分线交于点，连接，利用等腰三角形性质和外角定理得出，证明，利用对应边相等建立关于的方程求解. 【详解】解：作的垂直平分线交于点，连接 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 又，， ∴， ∴， ， 设，则， ∵ ， ∴ ， 解得， ∴. 3、 解答题 17．如图，在中，，点D是边上的中点，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三线合一的性质求解即可； （2）先根据等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，然后根据三线合一的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，点D是边上的中点， ∴. 18．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 即， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）由推出；由得内错角；由得补角，用证全等． （2）由得等腰三角形，结合求出，再由全等得． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 由(1)知， ． 19．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）由得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图1，在中，，于点，点在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其它条件不变．试探索与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：，点是的中点， 垂直平分， 点在上． ； (2)． 证明：， ， ，， ， ， ， 垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得； （2）判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 21．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是边上任意一点，连接，过点分别向、引垂线，垂足分别为、，是的边上的高． (1)当点为的中点时，求证：； (2)线段、、的长度之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 为的中点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (2)，理由如下， ，，，， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）等边对等角，用证明，根据全等的性质得到； （2）等面积法，，，，，代入进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，在上截取，连接，在的外部作，且交的延长线于点． (1)证明：； (2)延长到，使，连接、．请在备用图里补全图形，猜想与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． (2)补全的图形如图所示，． 证明：如上图，过点B作于点G， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴，即． ∵于点G， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据“等边对等角”和三角形外角的定义，结合已知条件，可得到，根据“等角对等边”证明． （2）由推出，结合推出，证明，得到；注意到E、A、D、F四点共线，过B作，利用得G为中点，进而证G为中点，由垂直平分线性质得，故，等量代换即得结论． 【详解】（1）略 （2）略 23．（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 (1)如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：__________筝形（填“是”或“不是”） 【性质探究】 (2)如图②，已知四边形纸片是筝形，对角线相交于点，从不同角度写出三个正确的结论，并说明理由； 【拓展应用】 如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点； (3)若，当时，求的度数． 【答案】(1)是 (2)解：，，；；； 理由如下：如图②，与相交于点O， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；； (3) 【分析】（1）根据题意得，，即可证明； （2）如图②，根据折叠性质可证明，可得，，，再利用等腰三角形的三线合一的性质即可得到结论； （3）先求出，再求，由折叠性质即可求，从而可求的度数． 【详解】（1）解：四边形的形状是筝形； 理由如下：将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形， ∴，， ∴四边形是“筝形”， （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合）．连接，以点为直角顶点，以为一边作，使，边交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点是的中点，试判断与是否垂直？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)； (3) 解：，理由： 如图， ∵点是的中点，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明，然后通过“”证明即可； （）通过全等三角形的性质即可求解； （）由点是的中点，，，则有，，再求出，则有，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得：， ∴； （3）略 25．如图，在中，，点D在边上，，，，垂足分别为E，F． (1)求证； (2)若，求证． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先证明，再根据可证； （2）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，根据角平分线的性质可知，进一步即可得证． 【详解】（1）证明： ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作于点，如图所示： ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 15.3.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1、 选择题 1．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（        ） A． B．或 C．或 D． 2．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 3．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，平分，，，垂足分别为、．则图中全等三角形的对数共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 5．（2026八年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，则（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．图2是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（     ） A．3 B．4 C． D．6 10．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）等腰中，，D是的中点，于E，交的延长线于F，若，则的面积为（     ）． A．40 B．46 C．48 D．50 2、 填空题 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 12．（26-27八年级上·广东惠州·期中）如图所示，在中，，、分别是、的垂直平分线，点E、N在上，则_______． 13．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，，D为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为______． 14．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线，与边相交于点H．则的大小为______． 15．在中，，是边上的高，，则的度数为 ． 16．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则________． 3、 解答题 17．如图，在中，，点D是边上的中点，． (1)求的度数； (2)求的度数． 18．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图1，在中，，于点，点在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其它条件不变．试探索与的数量关系，并证明你的结论． 21．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是边上任意一点，连接，过点分别向、引垂线，垂足分别为、，是的边上的高． (1)当点为的中点时，求证：； (2)线段、、的长度之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 22．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，在上截取，连接，在的外部作，且交的延长线于点． (1)证明：； (2)延长到，使，连接、．请在备用图里补全图形，猜想与的数量关系并加以证明． 23．（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 (1)如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：__________筝形（填“是”或“不是”） 【性质探究】 (2)如图②，已知四边形纸片是筝形，对角线相交于点，从不同角度写出三个正确的结论，并说明理由； 【拓展应用】 如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点； (3)若，当时，求的度数． 24．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合）．连接，以点为直角顶点，以为一边作，使，边交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点是的中点，试判断与是否垂直？请说明理由． 25．如图，在中，，点D在边上，，，，垂足分别为E，F． (1)求证； (2)若，求证． 学科网（北京）股份有限公司 $