3.4 等腰三角形（分层作业15题）-2026-2027学年人教版八年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 3.4等腰三角形（分层作业15题） 一、选择题 1.等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为( ) A.70 B.50°或70 C.55°或70° D.40° 2.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,∠BAC=45°.若AD平分LBAC交BC于D,BE⊥AC于 E,且交AD于O.则下列结论：①AD⊥BC;②OB=OE;③OE=CE;④△ACD≌aBCE,其中 正确的个数有( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.如图，在△ABC中，点I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，AB=4,AC=3,BC=2, 将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为( ) B.5 C.4.5 D.4 4.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=6, 则BD的长为( B D A.2 B.1.5 C.3 D.6 5.如图，在△ABC中，AB=6,AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC 分别交AB、AC于M、N,则△AMN的周长为( M A.12 B.10 C.8 D.不确定 二、填空题 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CH⊥AB于H,若AH=2,则BH= 7.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图在5×5的网格中，点A的 坐标为么，2)点8的坐标为2,5)，P为第一象限内的整点，若连接不共线的18，P三点构成轴 对称图形，则点P的坐标为 216 B 5 2 10 12345x -1 8.如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有_个 D 9.如图，在平面直角坐标系xO中，点A,B分别在x轴，y轴上，OB>OA,若点M在y轴 上.且△AMB是等腰三角形，则符合条件的点M有个. B A 10.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过BC的中点M作AD的垂线，分别交AD, B的延长线于点了，2，若E=15B=4 ,则1C的长为 316 B D M E 三、解答题 11.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAC=∠D,∠B+∠AEC=18O°，BC=CE. 求证： B (I)△ABC≌aDEC; (2)AC平分∠BAD. 12.如图，己知点E,C在线段BF上，AC交DE于点O,AB=DF,BE=CF,∠ABC=∠DFE ·求证：OE=OC 4/6 13.按要求完成下列各题： A A 2 E D B D C 图1 图2 (1)如图1，△ABC中，BD=CD,∠I=∠2，求证：AB=AC. (2)如图2，BD=CD,∠1=∠2，此时EB=AC成立吗？请说明你的理由. 14.如图，在平面直角坐标系中，△18C各顶点的坐标分别为1(4,0)，B(-1,4),C3, B 4 2 5-43-2-11 012345x 2 (1)画出与△ABC关于x轴对称的△AB'C': (2)点C关于y轴对称的点的坐标为 516 (3)P是x轴上的一个动点，若以点P,B,A为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件 的动点P的个数为 个 15.己知，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点M为AB的中点，连接CM. E M H N B D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AM=CM; (2)如图2，点D在线段AB的延长线上，连接CD,过点A作AE⊥BD,且AE=BD.求证： CE⊥CD ； (3)如图3，在(2)的条件下，连接BE,过点C作CH⊥BE,垂足为点H,CH交AB于点 N,当CM=BD时，若aCDN的面积为3，求AB的长. 6162026-2027学年八年级上册数学《典例全解：题型通关》 3.4等腰三角形（分层作业15题） 一、选择题 1.等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为( A.70° B.50°或70° C.55°或70 D.40° 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当110°外角的邻补角为等腰三角形的底角时，底角为180°-110°=70°，符合三角形内 角和定理， 情况2：当110°外角的邻补角为等腰三角形的顶角时，顶角为180°-110°=70°，则底角为 180°-70° =55° 2 综上，等腰三角形的底角为55°或70° 2.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,∠BAC=45°.若AD平分∠BAC交BC于D,BE⊥AC于 E,且交AD于O.则下列结论：①AD⊥BC;②OB=OE;③OE=CE;④△ACD≌aBCE,其中 正确的个数有( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【分析】结论①：利用等腰三角形的三线合一即可证明；结论②：证明OB=OC>OE即可判 断：结论③：证明∠EC0=∠OBA=45°即可：结论④：缺少全等的条件，无法证明两三角形全 等 【详解】解：如图，连接OC, ,∠ABC=∠ACB, .'AB=AC, .AD平分∠BAC, .AD⊥BC,BD=CD,即①正确： ∴.OB=OC, 2124 .BE⊥AC, 而OC>OE, ∴.OB>OE,即②错误： .∠ABC=∠ACB,∠OBC=∠OCB,BE⊥AC,∠BAC=45°， ∴.∠ABE=∠AC0=45°， ∴.∠EC0=∠E0C=45°， ∴.OE=CE,即③正确： ,AB=AC,∠BAC=45°， ∴.∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴.AC不一定等于BC, ,∴.△ACD和△BCE不全等，即④错误， 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 3.如图，在△ABC中，点I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，AB=4,AC=3,BC=2, 将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为( A.6 B.5 C.4.5 D.4 3124 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定； 连接AI、BI,因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性 质和等角对等边可得：AD=DI,同理BE=EI,所以图中阴影部分的周长就是边AB的长. 【详解】解：如图，连接AI、BI, .点I为△ABC角平分线交点， ∴.LA和IB分别平分∠CAB和∠CBA, ∴.∠CAI=∠DAL,∠CBI=∠EBL, ,将∠ACB平移，使其顶点与点I重合， .DIll AC,EII BC, ∴.∠CAI=∠DIA,∠CBI=∠EIB, ∴.∠DA=∠DLA,∠EBI=∠EIB, ∴.DA=DL,EB=EI, .'DE+DI+EI=DE+DA+EB=AB-4. 即图中阴影部分的周长为4. 4/24 故选：D. 4.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=6, 则BD的长为( B A.2 B.1.5 C.3 D.6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等 腰三角形是解题关键， 延长BD交AC于点E,证明 CDB≌CDE(ASA),得CE=BC=6,BD=DE,然后利用等腰三角 形的判定可求出AE=BE=3,进而得到BD. 【详解】解：延长BD交AC于点E, B A .CD平分∠ACB,BD⊥CD,BC=6, .∠BCD=∠ECD,∠CDB=∠CDE=9O°， 在ACDB和△CDE中， 5124 ∠CDB=∠CDE=90 CD=CD ∠BCD=∠ECD △CDB≌ACDE(ASA) ∴.CE=BC=6,BD=DE, ,AC=9, ∴.AE=AC-CE=3, :∠A=∠ABD, ∴AE=BE=3, :D=BE=15, 2 故选：B 5.如图，在△ABC中，AB=6,AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC 分别交AB、AC于M、N,则△AMN的周长为( M B A.12 B.10 C.8 D.不确定 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定证明MB=ME,NE=NC,即可求解. 6124 【详解】解：：∠ABC和∠ACB的平分线交于点E, ∴.∠MBE=∠CBE,又MN∥BC, ∴.∠MEB=∠CBE, ∴.∠MBE=∠MEB, .'MB=ME, 同理可得：NE=NC, △AMN 的周长=AM+W+AN=AM+ME+E+AN =AM+MB+AN+NC =6+4 =10 二、填空题 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CH⊥AB于H,若AH=2,则BH= C B 【答案】6 【分析】根据直角三角形的性质可得∠A和∠ACH的度数，再根据在直角三角形中，30°角所 对的直角边等于斜边的一半可得AC和AB的长，进而可得答案. 7124 【详解】解：：CH⊥AB, ∴.∠AHC=90°， ,∠ACB=90°，∠B=30°， .∠A=60°，AB=2AC, ∴.∠ACH=30°， ∴.AC=2AH=4, ∴.AB=2AC=8, ∴.BH=AB-AH=8-2=6. 7.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图在5×5的网格中，点A的 坐标为2)，点8的坐标为25)，P为第一象限内的整点，若连接不共线的18，P三点构成轴 对称图形，则点P的坐标为 B 3 A -10 12345 【答案】43)，3,2)，(54)(，3)(4，) 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知 8124 识，运用分类思想是解题的关键. 由不共线的A,B,P三点构成轴对称图形，则△ABP是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问 题 【详解】解：依题意，由不共线的A,B,P三点构成轴对称图形， ∴.△ABP是等腰三角形， 则以A为圆心，以AB为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点： 或以B为圆心，以AB为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点： 或以AB为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的P点： 456x 如图。共有符合要求的点P坐标为：43)(B,2),(64),(3)(4,) 故答案为：43)，8,2)，(5,4.3,3)4,1) 8.如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有个 9124 D 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等 腰三角形的判定是解答的关键.先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到 ∠A=∠ABD=36°∠ABC=∠BDC=∠C=72° 然后根据等腰三角形的判定可得结论 【详解】解：，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°， .∠CBD=∠ABD-2∠ABC=36°， .∠ABC=72°， .∠C=72°， .∠A=180°-∠ABC-∠C=36°，∠BDC=180°-∠CBD-∠C=72°， 即∠A=∠ABD=36°，∠ABC=∠BDC=∠C=72°， 则△ABD、△BCD、△ABC都是等腰三角形，有3个， 故答案为：3. 9.如图，在平面直角坐标系xO少中，点A,B分别在x轴，y轴上，OB>OA,若点M在y轴 上.且△AMB是等腰三角形，则符合条件的点M有一个. 10/24 B A 【答案】4 【分析】本题考查在坐标系中构造等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质与两点间的距离 的公式是解题的关键， 分AM=BM、AM=AB、AB=BM三种情况讨论即可. 【详解】解：如图： B M A 当AM=BM时，在y轴上有1点满足条件的点M 当AM=AB时，在y轴上有1点满足条件的点M; 当AB=BM时，在y轴上有2点满足条件的点M: 符合条件的有4个点4： 故答案为4. 11/24 10.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过BC的中点M作AD的垂线，分别交AD, AB 4,则1C的长为 E=1.5,AB=4 的延长线于点F,E,若 B M 【答案】7 【分析】延长EM至点N,使EM=MN,连接CN,设EN交AC于点G,推导出 △BME≌aCMN(SAS ,得到BE=CN=15∠E=∠N,进而推导出△1EF@aMGF(ASA), 得到 AE=AG=AB+BE=5.5,∠E=∠AGE 证明2N=∠CGN,得到CG=CN=l5,月 ，则 AC=AG+CG=7 ,即可解答. 【详解】解：延长EM至点N,使EM=MN,连接CW,设EN交AC于点G,如图 B .M为BC中点， ∴.BM=CM. .'∠BME=∠CMN, 12/24 :△BME≌ACMN(SAS) .BE=CN=1.5,∠E=∠N, ,AD平分∠BAC, ∴.∠EAF=∠CAF AF L EM, ∴.∠AFE=∠AFM=90°， .'AF=AF, △AEF≌△AGF(ASA) .AE=AG=AB+BE=5.5,∠E=∠AGE, ∴.∠N=∠AGE, ,∠AGE=∠CGN, ∴.∠N=∠CGN, ∴.CG=CN=1.5, ∴.AC=AG+CG=7. 三、解答题 11.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAC=∠D,∠B+∠AEC=180°，BC=CE. 求证： 13/24 (1)△ABC≌aDEC: (2)AC平分∠BAD. 【答案】(1)证明：：∠B+∠AEC=180°，∠DEC+∠AEC=180°， ∴.∠B=∠CED 又.∠BAC=∠D,BC=CE, .△ABC≌ADEC(AAS） (2)证明：△ABC≌aDEC, .AC=DC .∠CAD=∠D ,∠BAC=∠D ∴.∠CAD=∠BAC 平分∠BAD ..AC 【分析】(1)首先得到∠B=∠CED,然后证明 ABC≌△DEC(AAS) (2)首先利用全等三角形的性质得到AC=DC,得到∠CAD=∠D,等量代换得到 ∠CaAD=∠BAC,即可得到C平分 AC BAD 14/24 【详解】(1)略 (2)略 12.如图，已知点E,C在线段BF上，AC交DE于点O,AB=DF,BE=CF,∠ABC=∠DFE ·求证：OE=OC A D 【答案】见解析 【分析】根据题意容易证得△ABC≌aDFE,进而得到∠ACB=∠DEF,结论即可得到证明. 【详解】因为BE=CF, 所以BE+EC=CF+EC. 所以BC=FE, 又因为AB=DF,∠ABC=∠DFE, 所以△ABC≌aDFE(SAS). 所以∠ACB=∠DEF 所以OE=OC. 13.按要求完成下列各题： 15/24 A N 2 42 E B D B D C 图1 图2 (1)如图1，△ABC中，BD=CD,∠I=∠2，求证：AB=AC. (2)如图2，BD=CD,∠I=∠2，此时EB=AC成立吗？请说明你的理由. 【答案】(1)见解析： (2)成立，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的知识，合理作出辅助线证明 三角形全等是关键， (1)延长AD至E,使ED=AD,连接BE证明△MDC≌aEDB(SM),结合题意得到∠E=A, AB=EB,由此即可求解： (2)延长D至F,使FD=AD,连接BF,证明△1DC≌FDB(S4S),结合题意得到∠F=A, BF=BE ，由此即可求解。 【详解】(I)证明：延长AD至E,使ED=AD,连接BE,如图1所示： 16/24 A 2 B D 图1 E AD=ED ∠ADC=∠EDB .在 和 中， △ADC AEDB DC=DB △ADC≌△EDB(SAS) ∴.AC=EB,∠2=∠E, .∠1=∠2， .∠E=∠1， .'AB=EB, .'AC=AB; (2)解：EB=AC成立，理由如下： 延长AD至F,使FD=AD,连接BF,如图2所示： 17/24 42 E B D C 图2 ! LAD=FD ∠ADC=∠FDB .在 和 中， △ADC△FDB DC=DB △ADC≌△FDB(SAS) ∴.AC=FB,∠2=∠F, .∠1=∠2， ∴.∠F=∠1， ∴，BF=BE, ∴.EB=AC, 14.如图，在平面直角坐标系中，△1BC各顶点的坐标分别为1(4,0)，B(-1,4),C(-3,0 B 4 3 A 5-4-3-2-11 012345x 2 3 18/24 (1)画出与△ABC关于x轴对称的△A'B'C': (2)点C关于y轴对称的点的坐标为一： (3)P是x轴上的一个动点，若以点P,B,A为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件 的动点P的个数为 个 【答案】(1)图见解析 (2) (3,1 (3)4 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟 练掌握轴对称的性质是解题关键： (I)根据轴对称的性质确定点A、B、C关于x轴的对称点A'、B'、C',然后顺次连接即 可 (2)关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案： (3)根据等腰三角形的定义，分以AB为等腰三角形的腰和以AB为等腰三角形的底两种情 况，即可求解. 【详解】(1)解：△ABC如图所示： 19/24 3 2 4) 5-4-3-2-1 45x 5 (2)解：点C-3,1)关于'轴的对称点的坐标为8，) (3,1) 故答案为： (3)解：如图， P-5-4-3-2-1,O12345 3 A 当以AB为等腰三角形的腰时，可得△ABP,△ABP,△ABP, 当以AB为等腰三角形的底时，可得△AB3, 所以，以点P,B,A为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点P有4个. 故答案为：4. 15.已知，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点M为AB的中点，连接CM. 20/24 E M B D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AM=CM: (2)如图2，点D在线段AB的延长线上，连接CD,过点A作AE⊥BD,且AE=BD,求证： CE⊥CD (3)如图3，在(2)的条件下，连接BE,过点C作CH⊥BE,垂足为点H,CH交AB于点 N,当CM=BD时，若aCDN的面积为3，求AB的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)AB=4 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠A=∠B=45°，∠ACM=∠BCM=45°，从而得出 ∠ACM=∠A 最后根据等腰三角形的判定得出答案即可： △E.AC≌△DBC(SAS (2)证明 ,得出∠ACE=∠BCD,从而得出 ∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=90° 即可得出答案： (3)过点A作AF LCH于点F,过点D作DG1CH于点G,证明 CBH≌ACF(AAS,得出 21/24 AF=CH,证明 CDc(AS.得CI=DG,f期A2,G(MAS),得业N-DN 1 ，从而证明BD=2MN,设MN=x,则BD=CM=BM=2x,根据ScN=3,得出22x:3x=3, 求出x的值，即可得出答案， 【详解】(1)证明：△ABC中，AC=BC, ∴.∠A=∠B, 又.∠ACB=90°， ∴.∠A=∠B=45°， ,点M为AB的中点， ∴.∠ACM=∠BCM=45°， ∴.∠ACM=∠A, .'AM=CM; (2)证明：，AE⊥BD, ∴.∠EAD=90°， ∴.∠EAC=135°， ,∠DBC=180°-∠ABC=135°， ∴.∠EAC=∠DBC, 在△EAC和△DBC中，EA=DB,∠EAC=∠DBC,AC=BC, 22/24 片△EAC≌aDBC(SAS ∴.∠ACE=∠BCD, ∴.∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=90°， .CE⊥CD; (3)解：过点A作AF⊥CH于点F,过点D作DG⊥CH于点G,如图所示： HG D 图3 则∠ACF+∠BCH=∠ACF+∠CAF=90°， ∴.∠BCH=∠CAF, 在aCBH和△ACF中，∠BCH=∠CAF,∠AFC=∠CHB,AC=CB, △CBH≌△ACF(AAS) .'AF=CH, 同理：在aCEH和△DCG中，∠CEH=∠DCG,∠CHE=∠DGC,CE=DC, △CEH≌△DCG(AAS) .'CH=DG, .'AF=DG, 23/24 bi/bE “b=乙+乙=8F ‘元=Na=WY. 子号印4‘1=x ‘I=x怕 ‘=g知 “￡=aoS∴· ‘xE=Na, ‘x=N8, ‘x乙=Na=WO=QaM‘x=NW9 ‘NW忆=Qa怕 (Wr-Ny）z=aV-QN ‘WFz=8V∴.X ‘WWZ=q ‘Na=NP, (SVV)N9a元NHv ‘Da=HF‘9Na7=HNW7‘N9q7=NHW7‘中N9a哗NHF~平